不等式与不等关系总复习学案

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学科数学年级高一上课时间课时计划

教学目标

教学内容基本不等式个性化学习问题解决

教学重点、难点

教学过程

不等式与不等关系总复习学案

一．复习

1.不等关系:参考教材73页的8个性质;

2. 一元二次不等式20(0)

ax bx c a

++>>与相应的函数2(0)

y ax bx c a

=++>、相应的方程20(0)

ax bx c a

++=>之间的关系：

判别式

ac

b4

2-

=

?

>

?0

=

?0

<

?

二次函数

c

bx

ax

y+

+

=2

（0

>

a）的图

象

一元二次方程

()的根

2

>

=

+

+

a

c

bx

ax

有两相异实根

)

(

,

2

1

2

1

x

x

x

x<

有两相等实根

a

b

x

x

2

2

1

-

=

=无实根

的解集

)0

(

2

>

>

+

+

a

c

bx

ax{}

2

1

x

x

x

x

x>

<或

?

?

?

?

?

?

-

≠

a

b

x

x

2

R

的解集

)0

(

2

>

<

+

+

a

c

bx

ax{}

2

1

x

x

x

x<

<

??

3.一元二次不等式恒成立情况小结：

20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立?0

0a >???

20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立?0

0a

．

4. 一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：

y kx b >+表示直线上方的平面区域；y kx b <+表示直线下方的平面区域． 说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；

y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．

（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线． 5.基本不等式：

(1).如果R b a ∈,，那么ab b a 22

2

≥+．

(2). ab ≤

2

a b

+(0,0)a b >>． （当且仅当b a =时取“=”） 二.例题与练习

例１． 解下列不等式：

(1) 2

7120x x -+>； (2) 2

230x x --+≥； (3) 2

210x x -+<； (4) 2

220x x -+<．

练习1. （1）解不等式

073

<+-x x ；（若改为

307

x x -≤+呢？） （2）解不等式23

17

x x -<+；

例2.已知关于x 的不等式2

0x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数,m n 之值．

练习2．已知不等式2

0ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式2

0cx bx a -+>的解集．

例3．设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-??

+≤??≥?

，求z 的最大值和最小值．

练习3．设610z x y =+，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-??

+≤??≥?

，求z 的最大值和最小值．

例4．若,0x y >,且21x y +=，求

11

x y

+的最小值。

三.课堂小结

1.理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法；

2.掌握号一元二次不等式恒成立的问题基本原理;

3.学会用平面区域表示二元一次不等式组；掌握好简单的二元线性规划问题的解法; 解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④求最优解;

4.掌握好基本不等式及其应用条件；

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

不等式

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,

+>+（若

>>，则a c b d

a b c d

->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

><，则a c b d

,

a b c d

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，

但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则

a b c d

>）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或n n a b >；

4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11

a b

>。如

（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；

③22,0b ab a b a >><<则若； ④b

a b a 1

1,0<<<则若；

⑤b

a

a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；

⑦b

c b

a c a

b a

c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______

（答：137x y ≤-≤）；

（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a

c

的取值范围是______

（答：12,2?

?-- ??

?）

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

（1）设0,10>≠>t a a 且，比较2

1

log log 21+t t a a 和的大小

（答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11

log log 22

a a

t t +≥（1t =时取等号））；

（2）设2a >，1

2

p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小

（答：p q >）；

（3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小

（答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当4

13

x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；

当4

3

x =时，1+3log x ＝2log 2x ）

三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积

定和最小”这17字方针。如 （1）下列命题中正确的是

A 、1

y x x =+

的最小值是2 B 、22

3

2

x y x +=+的最小值是2

C 、4

23(0)y x x x =-->的最大值是243-

D 、4

23(0)y x x x

=-->的最小值是243-

（答：C ）；

（2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______

（答：22）；

（3）正数,x y 满足21x y +=，则

y

x 1

1+的最小值为______ （答：322+）；

4.常用不等式有：（1）

22

22211

a b a b ab a b

++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；

（3）若0,0a b m >>>，则b b m

a a m

+<+（糖水的浓度问题）。如

如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________

（答：[)9,+∞）

五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）

后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).

常用的放缩技巧有：21111111

1(1)(1)1n n n n n n n n n -

=<<=-++-- 11111121k k k k k k k k k

+-=

<<=-+++-+

如（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ； (2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；

（3）已知,,,a b x y R +∈，且11,x y a b >>，求证：x y

x a y b

>++；

(4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222

a b b c c a

a b c +++++>++； （5）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22()c a abc a b c +≥++； (6)若*n N ∈，求证：2(1)1(1)n n ++-+<21n n +-；

(7)已知||||a b ≠，求证：||||||||

||||

a b a b a b a b -+≤-+；

（8）求证：222

1111223n +

+++< 。 六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，

并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现

()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。如

（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

（答：{|1x x ≥或2}x =-）；

（2）不等式2(2)230x x x ---≥的解集是____

（答：{|3x x ≥或1}x =-）；

（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x > 的解集为______

（答：(,1)[2,)-∞+∞ ）；

（4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.

（答：81

[7,)8）

七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分

子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如 （1）解不等式

2

5123

x

x x -<--- （答：(1,1)(2,3)- ）；

（2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式

02

>-+x b

ax 的解集为____________

（答：),2()1,(+∞--∞ ）.

八．绝对值不等式的解法：

1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2

1

|2|432|+-≥-x x

（答：x R ∈）；

（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合；如解不等式|||1|3x x +->

（答：(,1)(2,)-∞-+∞ ）

（4）两边平方：如

若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。

（答：4

{}3）

九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是

关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如

（1）若2

log 13

a

<，则a 的取值范围是__________ （答：1a >或2

03a <<）；

（2）解不等式

2

()1

ax x a R ax >∈- （答：0a =时，{|x 0}x <；

0a >时，1{|x x a >或0}x <；0a <时，1

{|0}x x a

<<或0}x <） 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x 的不等式

0>-b ax 的解集为)1,(-∞，则不等式02

>+-b

ax x 的解集为__________（答：（－1,2））

十一．含绝对值不等式的性质：

a b 、同号或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、异号或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.

如设2()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+ 十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常

应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

如（1）设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______

（答：)

21,?-+∞?）

； （2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____

（答：1a <）；

（3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____

（答：（

712-,31

2

+））； （4）若不等式n

a n n

1

)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是

_____

（答：3

[2,)2

-）；

（5）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.

（答：12

m >-

） 2). 能成立问题

若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的

()min f x B <.如

已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围____

（答：1a >）

3). 恰成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .

课 堂 练 习

1.如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ）

（A ）

11

a b < （B ）a b -< （C ）22a b < （D ）||||a b > 2.不等式11

2

x <的解集是（ ）

A ．(,2)-∞

B ．(2,)+∞

C ．(0,2)

D ．(,0)-∞?(2,)+∞

3. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( ) （A ）

b

a 1

1<. （B ）22b a >. （C ）1122

+>+c b c a .（D ）||||c b c a >. 4. 若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为( )

（A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2 5. 不等式

1201

x

x -≥+的解集是_________ .

6.已知实数,x y 满足3025000

x y x y x y +-≥??+-≤?

?≥??≥?，则2y x -的最大值是_________.

7.设函数)32lg()(-=x x f 的定义域为集合M ，函数1

2

1)(--=x x g 的定义域为集合N ．求：（1）

集合M ，N ；（2）集合N M ，N M ．

8. 若1->x ，则x 为何值时1

1

++

x x 有最小值，最小值为多少

课后作业

高一数学必修5不等式与不等关系专题练习

一、选择题

1.已知a,b,c∈R,下列命题中正确的是

A、2

2bc

ac

b

a>

?

> B、b

a

bc

ac>

?

>2

2

C、

b

a

b

a

1

1

3

3<

?

> D、|

|

2

2b

a

b

a>

?

>

2.设a，b∈R，且a≠b，a+b=2，则下列不等式成立的是（）

A、

2

b

a

ab

1

2

2+

<

< B、

2

b

a

1

ab

2

2+

<

<

C、1

2

b

a

ab

2

2

<

+

< D、1

ab

2

b

a2

2

<

<

+

3．二次方程22

(1)20

x a x a

+++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a的取值范围是( ) A．31

a

-<

a

-<

a

-<

a

<<

4．下列各函数中，最小值为2的是( ) A．

1

y x

x

=+B．

1

sin

sin

y x

x

=+，(0,)

2

x

π

∈

C．

2

2

3

2

x

y

x

+

=

+

D．

2

1

y x

x

=+-

5．已知函数2(0)

y ax bx c a

=++≠的图象经过点(1,3)

-和(1,1)两点,若01

c

<<,则a的取值范围是( )

A．(1,3)B．(1,2)C．[)

2,3D．[]

1,3

6．不等式组

1

31

y x

y x

≥-

??

?

≤-+

??

的区域面积是( ) A．

1

2

B．

3

2

C．

5

2

D．1

7、已知正数x、y满足

81

1

x y

+=，则2

x y

+的最小值是（）

Ａ．18Ｂ．16C．8D．10

8．已知不等式250

ax x b

-+>的解集为{|32}

x x

-<<,则不等式250

bx x a

-+>的解集为A、

11

{|}

32

x x

-<< B、

11

{|}

32

x x x

<->

或

C、{|32}

x x

-<< D、{|32}

x x x

<->

或( )

二、填空题

9．不等式0

1

2

1

>

+

-

x

x

的解集是

10．已知x＞2，则y＝

2

1

-

+

x

x的最小值是．

11．对于任意实数x，不等式2

3

20

8

kx kx

+-<恒成立，则实数k的取值范围是

12、设y

x,满足,

40

4=

+y

x且,

,+

∈R

y

x则y

x lg

lg+的最大值是。

三、解答题

13．解不等式2

2

3

2

1

42-

<

-

-

-

<

-x

x

14．已知x 、y 满足不等式??

?

??-≥≥+-≤-+10303y y x y x ,求z =3x +y 的最大值与最小值。

15. 已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3）. （1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围.

16.某场拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元。甲、乙产品都需要在A 、B 两种设备上加工，在每台A 、B 设备上加工1件甲设备所需工时分别为1h 、2h ，加工1件乙设备所

x

y 0

1

1

2

2

334

4

1-1

-2-2

-3

-3-4-4

-

需工时分别为2h、1h，A、B两种设备每月有效使用台时分别为400 h和500h。如何安排可使收入最大？

17.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3,深3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？