水资源短缺风险综合评价

水资源短缺风险综合评价

摘要

随着城市的快速发展和城市规模地不断扩大,城市人口急剧增加,工业迅速发展,城市的需水量急剧增加，城市缺水正成为全球性的难题。本文针对北京市1979年到2009年的水资源短缺的风险程度进行建模以对其进行科学的综合评价。

针对问题一:我们通过互联网收集到很多数据，从中分析出可能影响水资源短缺的十一个因子，首先运用主成分分析法得出，在第一主成分中，人口数量、人均GDP、植被覆盖率、生活用水量、污水处理率所占的比重分别为35.61%、34.91%、34.38%、34.33%、34.32%；在第二主成分中，降雨量、农业用水总量所占的比重分别为69.45%、31.74%；由于以上七个因子在主成分中所占比重均比较大，因此在一定程度上，我们认为这七个因子是影响北京市水资源短缺的主要因素。

针对问题二:我们引进模糊概率评价策略对北京市水资源短缺风险进行综合评价。基于七个水资源短缺主风险因子，运用二元Logistic回归模型模拟和预测水资源短缺风险发生的概率，计算出衡量水资源短缺风险的综合程度值。最后我们利用快速聚类的方法将风险值划分为五类，求出类中心分别为0.0414、3.5325、11.3878、17.9675、24.1657，划分出低风险、较低风险、中级风险、较高风险、高风险五个等级。

针对问题三:对北京市未来两年水资源短缺风险进行预测。我们考虑到所得数据的有限性和不充分性,决定采用预测结果比较稳定的灰色预测模型。首先，对每年的风险值作累加处理；其次，建立GM(1,1)模型,用matlab软件进行求解，并借助Excel软件对所建的建模型进行检验，我们发现1984年，1985年，1987年，1991年，1994年,1996年和2008年北京市的水资源短缺风险度很小几乎等于零。在求解相对误差时，相对误差很大而使得所求结果没有意义，所以，我们在检验模型时将不考虑这几年的水资源短缺风险，计算得出我们的模型精度为Ⅳ级，可以对北京市水资源短缺风险进行预测；最后我们预测出北京市2010年和2011年的风险分别为12.48和12.52，均接近于中级风险，相对误差仅为4.3%，精确度很高。结合我们的模型给有关部门提出了相关的应对措施。

针对问题四：我们通过对前面三个问题的综合考虑，在本文的最后，给北京市水行政主管部门写了一份建议报告。

关键词：水资源短缺风险模糊概率理论主成分分析法二元Logistic回归模型灰色预测法

一、问题重述

水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。主要包括陆地上的地表水和地下水。

风险，是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。 水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。

近年来，我国特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。

现以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资

源占有量不足300m 3

，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2009年北京市水资源短缺的状况。北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。政府采取了一系列措施, 如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。

《北京2010年统计年鉴》[]1及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。利用这些资料和可获得的其他资料，现讨论以下问题：

1、评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？

影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模等。

2、建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价， 作出风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？

3、对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。

4、以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。

二、模型假设

1、假设影响北京水资源短缺的多个因子相互独立。

2、假设在未来两年中不会发生重大自然灾害。

3、不考虑其他微弱风险因子对北京水资源短缺风险的影响。

4、互联网上查得数据真实可靠

三、符号说明

为需水量

为供水量量为缺水系统中最大缺水量为缺水系统中最小缺水n s m a W W W W

()()()()年的风险值为第年缺水状况风险度为第数）回归模型（概率密度函为缺水量的隶属函数

为缺水量在模糊集上的糊集为描述水资源短缺的模i i x i i y istic x f x u W c 0log

四、问题分析

4.1 对问题一进行分析

北京市是一个严重缺水的城市，人均水资源占有量仅3003m 左右，是全国人均的1/8，世界的1/32。

基于对北京供水、用水的现状的分析及对相关文献的查阅]1[，我们认为影响北京水资源短缺风险的因素可归纳为以下两个方面：（1）自然方面:人口数、入境水量、水资源总量。（2）社会经济环境因素：污水排放量、污水处理率、生活用水量、农业用水量。

通过以上分析，我们就降雨量、平均气候、植被覆盖率、水资源总量、人口总量、人均GDP 、污水处理率、生活用水总量、农业用水总量、农业部灌溉定额、工业用水总量十一个风险因子进行分析，筛选出水资源短缺的主要风险因子。

解决这一问题主要通过对这十一个风险因子进行主成分分析[]5，通过SAS 软件求其特征值和相应的正交单位化特征向量，从而得出X 即十一个风险因子对各主成分的贡献率。取主成分的累计贡献率达80%，根据得到的各主成分中风险因子所占权重大小，筛选出水资源短缺的主要风险因子。 4.2 对问题二进行分析

水资源短缺风险评价是一项多目标的复杂决策过程，此项目评价具有涉及因素层次多，指标体系构成复杂，事物评价中许多准确量化困难的特点。

在这个问题中我们建立隶属函数[]4描述供水失势带来的损失，将水资源短缺风险定义为模糊事件p 发生的概率，即模糊概率[]4。从而将水资源短缺风险存在的模糊性和随机性联系在一起，其中，随机不确定性体现了水资源短缺风险发生的概率，而模糊不确定性则体现了水资源短缺风险的影响程度依据概率密度函数

()x f 和隶属函数的形式计算水资源短缺风险()x y 。

通过SPSS 用二元logistic 回归模型[]2解出概率密度函数()f x ，从而求得每年对应的缺水概率函数值。通过水资源短缺风险的定义，利用SPSS 作出1979-2009年北京水资源的短缺风险程度折线图，从图中水资源短缺的风险进行综合评估。

将风险划为五个等级，分别为低风险、较低风险、中风险、较高风险、高风险五个等级，利用K-均值聚类[]2（快速聚类）对1979-2009年北京市水资源短缺

风险进行聚类，则可得出五个类中心，即为风险等级的类中心。我们利用SPSS 中的聚类功能算出类中心及每个聚类中的案例数。 4.3 对问题三进行分析

本问是要对北京市未来两年的水资源短缺风险进行预测。在问题一中，我们已经得到对水资源短缺影响最大的七个主因子。在问题二中，给出了综合风险度与水资源短缺的等级划分之间的映射关系。

有了前面两中模型的求解，我们就可以通过预测未来两年北京市的各项指标来得到未来两年北京市水资源的短缺风险，并提出相应的措施。

在这个问题中，我们决定运用灰色预测法[]3。所谓的灰色预测法，是指由于历史数据的不全面和不充分，或某些变量尚不清楚和不确定，是预测出于一种半明半暗的状态。随着事件的发展，数据的逐步积累，一些确定的因素逐步积累，一些不确定的因素逐步明确，其预测将逐渐由暗变明。我们考虑到所得影响北京市水资源短缺的各因子数据的有限性和不充分性，所以针对本问题，我们采用灰色预测模型来预测未来两年内北京市水资源短缺的风险程度。

五、模型建立与求解

5.1问题一的模型建立与求解

所谓的水资源短缺风险是指在特定的环境条件下，由于供水量与用水量方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的概率以及由此产生的损失。我们通过查阅《北京2010年统计年鉴》，我们得到了各风险因子从1979-2009年的统计数据，为了评估产业结构对水资源短缺风险的影响，我们整理出的数据见附录B 表一。

影响北京市水资源短缺风险的主要风险因子，是在某一特定时间空间内某一因素变化后将直接并明显导致北京市水资源短缺的因素。正好权重可以用来度量已知数据所包含的有效信息量。在本题中，当评价系统的某项因子所占主成份的权重较大时，说明该因子对该水资源系统的影响程度较大，相反，该因子对该水资源系统的影响程度较小，甚至可以忽略不计。

在北京市水资源系统中，设1211,,...,X X X 为影响北京市水资源短缺风险因子的11个随机变量。记1211(,,...,)T X X X X =，其协方差矩阵为

11

11

()

[(())(())]T

ij E X E X X E X σ

?==--∑,它是

一个11阶非负定矩阵。设1211(,,...,)(1,2, (11)

T

i i i i l l l l i ==

为11个常数向量，考虑如下线性组合： ??????

?+++==+++==+++==p pp p p T p

p p

p T

p

p T X

l X l X l X l Y X l X l X l X l Y X l X l X l X l Y

2211222212122121211111 易知有

()(),

1,2,...,11,T T i i i i Var Y Var l X l l i ===∑

(,)(,),

,1,2,...,11.T T T

i j i j i j Cov Y Y Cov l X l X l l i j ===∑

如果我们希望用1Y 代替原来影响北京市水资源系统的11个因子，这就要求

1Y 尽可能地反映原11个因子的信息。这里“信息”用1Y 的方差来度量，即要求∑=1

1

1)(l

l

Y Var T 达到最大。但对任意常数k ，若取11kl l =-

，则

∑==-112121

)()(l l k X l Var k X l Var T T T 。因此，必须对1l 加以限制，否则)(1Y Var 无界。最方便的限制是要求1l 具有单位长度，即我们在约束条件111=l l T 之下，求1l 使

)(1Y Var 达到最大，由此1l 所确定的随机变量X l Y T 11=称为影响北京市水资源系统

的11个因子1211,,...,X X X 的第一主成分。

如果第一主成分1Y 还不足以反映影响北京市水资源系统因子的信息，进一步求2Y 。为了使主成分1Y ，2Y 反映影响北京市水资源系统因子的信息不想重叠，则要求1Y 与2Y 不相关，即1,Y Y 的协方差0),(2121==∑l l Y Y Cov T 。于是，在约束条

件122=l l T

及021=∑l l T 之下，求2l 使2Y 的方差)(2Y Var 达到最大，由此2l 所确定的随机变量X l Y T 22=称为1211,,...,X X X 的第二主成分。

一般地，在约束条件1=i T i l l 及)1,...,2,1(0),(-===∑i k l l Y Y Cov k T i k i 下，求i l ，使)(i Y Var 达到最大，由此i l 所确定的X l Y T i i =称为1211,,...,X X X 的第i 个主成分。 由系统SAS PROC PRINCOMP 过程(程序见附录A)，算出相关矩阵R ，见图5.1

图5.1：相关矩阵R

在各因子的相关系数矩阵中可以看出，对第一主成分1X 与4X 之间有较强相

关性，对第二主成分2X 与3X 之间有较强的相关性，其他主成分类似。他们的相关系数都在0.8左右。

然后算出相关矩阵R 单位正交化特征向量分别为,...,p),(i e i 21=，见图5.2。

图5.2：特征值对应的正交化单位向量

从而得出各主成分的贡献率(1,2,...,11)i a i =，

图5.3：特征值即贡献率与累计贡献率

图5.3给出相关系数矩阵的特征值（Eigenvalue ）、上下特征值之(Difference)、各主成分的方差贡献率(Proportion)以及累积贡献(Cumulative)。

取累计贡献率达到80%的前三个主成分，根据图二得出前二个主成分为：

11

1098

765432113232.03307.02468.03433.03432.03491.03561.01891.03438.02516.01538.0x x x x x x x x x x x y ---++++-++-=

11

1098

765432120385.00847.03174.00735.00289.00770.00854.06167.00525.00758.06945.0x x x x x x x x x x x y +--+++++++= 分析第一个主成分中北京市水资源短缺风险因子所占的比重，从正方向上看，比较大的是植被覆盖率、人口总数、人均GDP 、污水处理率、生活用水总量。分析第二各主成分中风险因子所占的比重，从正方向上看，比较大的是降雨量，从负方向上看，比较大的是农业用水总量。故降雨量、人口总数、植被覆盖率、水资源总量、人均GDP 、污水处理率、生活用水总量为主要风险因子。

5.2问题二的模型建立与求解

5.2.1 水资源短缺风险的模糊性：

就风险的含义来说，应包括以下两个方面：第一，指事故发生的可能性，或事故发生的不确定性；第二，只事故本身。因此对风险的度量有两个方法：一是以风险率度量，即系统实施的可能性；而是衡量风险破坏深度、历时等的指标，即系统失事的结果。

对于水资源系统来说，所谓的风险就是供水量S W 小于需水量n W ，从而使得整个水资源系统处于水资源短缺状态，即发生了水资源短缺风险。基于水资源的模糊不确定性，构造一个合适的隶属函数来描述水资源短缺带来的损失。

缺水量s n W W x -=，()上的隶属函数为缺水量在模糊集c W x u ，构造为：

()????

??

?--=1

a

m a

W W W x x u 通过北京1979年-2009年数据可知，，为，为49.2745.0m a W W 则上式可具体化为：

()???

???

?-=104.2745

.00x x u 00.450.4527.4927.49x x x ≤≤<<≥ 5.2.2 水资源短缺风险的模拟概率分布

因为Logistic 回归方法具有对因变量数据要求低、计算结果唯一、模型精度高等优点，所以在此采用Logistic 回归模型来模拟缺水量系列的概率分布。则关于缺水量的Logistic 回归模型可写为：

()()?+++-+=

2211011

x b x b b e x f

式中，021b b b 、、分别为自变量21x x 、的系数和常数，e 为自然对数。 5.2.3 利用模糊概率法评价水资源短缺风险的综合评价

我们在计算北京市每年的水资源短缺风险值时，发现被积函数的原函数并不存在，不能使用牛顿-莱布尼兹公式进行积分，讨论后我们采用了四阶龙格库塔

积分法，算得每年的水资源短缺风险值，将水资源短缺风险定义为：

()()()dx x f x u i y ?=

49

.2745

.0

5.2.4 水资源短缺风险综合评价模型的求解

在问题一中，可得出降雨量、人口数量、植被覆盖率、水资源总量、人均GDP 、污水处理率、生活用水总量为主要风险因子。因此用SPSS 软件进行二元logistic 回归分析的步骤如下： 1、原始数据。

先讲这些数据录入Excel 中，将缺水量转换逻辑值，变量名称为“缺水状况”，以0为临界值，大于0的逻辑值用1表示，小于0的则用0来表示。（见附录B 表一），再将数据导入SPSS 软件中。

2、进行二元logistic 回归分析。

将缺水状况作为因变量，将降雨量、人口数量、植被覆盖、水资源总量、人均GDP 、污水处理率、生活用水总量作为协变量（自变量）进行二元logistic 回归分析。 （1）、样品处理摘要。在输出结果中，首先给出样品处理摘要报告，包括一下样品，选择了多少，没有选择的有多少样本；在选择的样品中，分析了多少样品，

（2

（3）初始分类表。Logistic 建模和其它建模方式一样，首先对模型参数赋予初始值，然后借助迭代计算寻找最佳值。以尽量减小误差为原则，促使迭代过程收

（4）初始方程中的变量。在这个表中可以看到系统对模型的最初赋值方式。最开始仅仅对常数项赋值，结果为B=1.910，标准误差为S.E.=0.536，Wlad 值为12.703，自由度df=1，Sig.=0.000（理论上Sig.值越小越好，

一般要求小于0.05）显然此结果的满意度很高。 （5）不再初始方程中的变量。编汇总给出了得分检测值以及对应的自由度df 和Sig.值。得分检测是一种初始检验，在建模之处根据变量之间的结构关系判断自

（6）模型系数的混合检验。主要是针对步骤、模块和模块开展模型系数的综合（7）模型摘要汇总。模型汇总中给出了最大似然平方的对数职、Cox&Snell 拟合优度以及Nagelkerke 拟合优度值。最大似然平方的对数值用于检测模型的整体性

（8得到最终模型参数。利用最终的logistic 模型，可以对因变量进行预测，预测结果分类见下表：

（9）最终模型中的变量。

。

从上表得出：457.60,141.22,032.0,528.37,710.34,939.214,185.0,941.176287643210-==-=-====-=b b b b b b b b

则用logistic 回归模型求出的缺水概率函数为：

()()

8941.17627141.226032.04528.37371.342939.2141185.0941.176211

x x x x x x x e

x f -+--+++--+=

在Excel 中利用上述求的的概率函数求得每年对应的缺水概率函数值（见附录B 表二）

利用5.2.3中公式，在Excel 中求的1979-2009年北京水资源的短缺风险程度（见附录B 表二）

利用SPSS

软件作出1979-2009年北京水资源的短缺风险程度折线

图5.4 1979-2009年北京水资源的短缺风险程度折线图

由上图可以看出，1984、1985、1987、1991、1994、1996、2008年的风险值均非常小，接近于0.0。而1980、1981、1989、1992、1993、2000年的风险值较大，均大于20.0。而从2008年后，风险程度有上升的趋势。通过比较分析，以上模型的结果与实际情形是相吻合的，完全可以用来作为此次水资源短缺的风险评估模型。

5.2.5 水资源短缺风险等级划分

我们将风险划为五个等级，分别为低风险、较低风险、中级风险、较高风险、高风险五个等级，利用K-均值聚类（快速聚类）对1979-2009年北京市水资源短缺风险进行聚类，则可得出五个类中心，即为风险等级的类中心。

通过上述的快速聚类，得主最终的水资源短缺风险的分类表格如下：

表5.1水资源短缺风险的分类

5.2.6 对主要风险因子的调控

（1）水资源总量的调控

从大量数据中得知，目前的人均水资源总量远远低于世界人均水资源总量，而且仍有大量的水被污染，所以目前最重要的是需管理区域的水源水量、水质、水域、水环境和供水、用水、节水、排水、污水处理及其回收利用，建立起水资

源的统一规划和全面管理。

（2）提高水价促进节水

目前，水资源的浪费是使水资源严重短缺的原因之一，因此必须提倡节约用水，水价的调整在一定程度上可以促进节水。对水资源的需求而言，一方面受用水水平的影响，另一方面收水价因素的影响，同时受居民收入水平的影响，即消费者的支付意愿是影响水需求的一个重要原因。

对于水价与水资源需求之间的需求函数，在我国已有人对不同地区分别从居民家庭生活需水、工业需水和农业需水等方面建立了各自的需求函数模型。一般情况下采用对数线形方程式描述水价与水需求量的关系

α+

β

ln

Q ln

=P

α、代表常数，表示的就是式中Q代表单位取水量指标（定额）；P代表水价；β

需水价格弹性系数，是一个无量纲的值。

由于北京地区只是近几年开始提高水价，调查资料很少，目前尚难以对蓄水量的影响进行统计分析。根据参考文献得出以下居民、工业、农业的用水价格弹性。通过设定一定的水价升幅情景可以得到各自的生活用水、农业用水、工业用水需求的降低幅度，将此幅度代入供需平衡模型可以得到水价调整后的水资源系统风险情况，如表。

由表格可看出对水价进行调控，进而可以控制生活用水量、工业用水量以及农业用水量，减少总的用水量，从而在水资源固定的情况下，水资源短缺风险会相应的减小。

（3）增加降水量

增加降水的方法有人工降雨和人工降雪，这样就可以在很大程度上缓解旱情的发生，而且还可以间接地减少了水资源的短缺。

（4）提高污水处理率和污水回收率

提高污水处理率与污水回收率也是水资源短缺风险管理措施之一。过去有许多的工业废水、生活废水排放到河流中，这样不但浪费了水资源，而且还污染了水资源，导致干净的水源也无法使用。提高污水的处理率可以大大的加强对废水的处理量，使得处理后的污水可用于杂用水、灌溉水和低要求的工业用水。这样才会提高对水资源的循环利用率，解决缺水的问题。

（5）工业节水措施

可通过加快产业结构转型，大力发展高科技产业和第三产业，由粗放型的发展模式向集约型的发展模式转轨；对于现有的工业，可以加大科技的投入，发展新的生产工艺，提倡循环用水，全面提高水资源利用的效率。

随着节水的深入，节水的难度会越来越大，单方节水投资呈快速增长态势，对于节水投资与万元产值工业用水量的关系采用乘幂曲线进行拟合相关性较好

()j p I =8310m ()-b j aQ p

式中a,b 分别为两个常数，()j p I 为第j 用户在水价为p 时单方水节水投资，

()j p Q 为第j 用户在水价为p 时需要的定额。()j p Q 和水价的关系如上分析为

βα+=P Q ln ln

节水投资和节水效益均为水价的函数，将两者结合起来皆可以分析节水的经济行为，这里可以引进边际效用与边际费用的经济学概念。当节水的边际效益大于节水的边际费用，这时节水可以获得净效益，则节水可以成为区域水资源短缺风险实施方面的重点；当节水的边际效益小于节水的边际费用，则投入的资本没有取得相应的效益，这时应考虑其他水资源风险管理措施，而不应该一味的进行水资源的节约。

5.3问题三对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测 5.3.1问题分析及方法介绍

我们对北京市水资源数据处理后发现仅1985年，1987年，1991年，1996年这四年没有出现缺水现象，但是这几年北京市的水资源也只是勉强够用而已，几乎没有过剩的水资源。其他年份北京市都是严重缺水的，所以为了使有关部门提前做好应对措施把损失降到最低，我们有必要对北京市未来两年水资源短缺风险进行预测。由于所掌握的数据不是很充分，用时间序列预测法、线性回归预测法等方法预测时误差较大，所以我们选择较稳定的GM(1，1)灰色模型预测法。

灰色预测的基本思想是对原始数据进行预处理，不是寻求它的统计规律和概率分布，而是将杂乱无章的原始数据列通过一定的方法，一般是进行累加处理，变成有规律的时间序列数据，即以数找数的规律，再建立动态模型。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律的数据序列，而GM(1，1)灰色模型预测是对原始数据进行一次累加处理后得到的生成列一般近似服从指数规律，通过建立生成列的一阶线性微分方程，解微分方程，由生成列和原始序列求出方程中的参数，对方程作离散化处理并还原从而得出原始序列与时间的函数关系式，用此函数式进行预测。

5.3.2对北京市水资源短缺风险度灰色模型建立与求解的步骤：

1、通过excel 软件结合问题二求出了北京市从1979年至2009年的水资源短缺的风险度（见附录B: 表二），用0x 来表示，即

()(){}000

x =x 1x x 31 0，（2）， ①

其中()0x i 表示第i 年北京市水资源短缺的风险度。

2、对北京市水资源短缺风险度0x 序列作一次累加运算，即

k

1

i=x k =x i ∑0

1（）（）， k=1,2,3，……，31 ②

从而得北京市水资源短缺风险度的生成列

()(){}111

x =x 1x x 31 1，（2），， ③

其中()1x i 表示北京市前i 年水资源短缺风险度之和。

3、由灰色模型理论可知北京市水资源短缺风险度生成列1x 近似服从指数规律，它满足灰色预测模型GM （1,1）的微分方程，其一阶线性微分方程为：

1

1dx +ax =b dt

④ 其中a,b 为待定系数分别称为发展系数和灰色作用量，一般a 的有效区间为

（-2,2），令D=a b ??

???

。

4、对北京市水资源短缺风险度的生成列()(){}111x =x 1x

x 31 1，（2），，做均值生成B ，即

B=()()()()()()()()()111111

111x 12233031222111T

x x x x x ??-+-+-+????

?? ⑤ 构造北京市水资源短缺风险度矩阵

()()()()0002331T

Y x x x =

5、用最小二乘法求解北京市水资源短缺风险度灰色模型中的待定系数a ，b

D=a b ?? ???

=()1T

T B B B Y - ⑥ 用matlab 软件解（见附录A ）得D= -0.0037 11.0417??

???

，即a =-0.0037，b =11.1310代入

④式进行求解，令1b x p a -

=，则dp adt p

=，解得at p ce =，即 1x =at b

ce a

+

⑦ 其中c 为积分常数，因为北京市1979年的水资源短缺风险度与1979年的累加水 资源短缺风险度相等，即

()()1001x t x =

所以()001at b c x e a -?

?=- ??

?，上式代入⑤式得

()()()0101a t t b b x t x e a a --?

?=-+ ??

? ⑧

⑧式就是GM （1,1）模型的时间响应函数形式

6、对⑧式进行离散并将相邻两年的北京市水资源短缺风险度做差还原，即

()()01???11()x k x k x k +=+-()()011a ak b x e e a -?

???=-- ????

? 代入数据得：

()00.0037?111.12609201k x

k e -+= ⑨ ⑨式就是我们所要求的对北京市缺水风险度预测的函数表达式，其中k+1为所

要预测的年份与1979之差。

5.3.3对我们所建立的灰色模型进行精度检验

我们借助excel 软件求解下面参数的值时，发现1984年，1985年，1987年，1991年，1994年，1996年和2008年北京市的水资源短缺风险度很小几乎等于零（见附录B ：表三），由⑩式求解相对误差时相对误差很大没有意义，所以，我们在检验模型时将不考虑这几年，最后求得结果（见附录B ：表四）。 检验步骤如下：

（1） 计算北京市水资源短缺风险度的实际值0

x （k ）与预测值()0?x

k 之间的残差()0e k 和相对误差q （k ）

： ()0e k =0

x t （）—()0?x

k q （k ）=()

00e x k k （）

⑩

（2） 求北京市水资源短缺风险度数据序列0x 的均值1μ和方差1s 。 （3） 求北京市水资源短缺风险度残差()0e k 的均值2μ和方差2s 。 （4） 计算均值比q =

2

1

μμ。 （5） 计算方差比C=

2

1

s s 。

本模型的检验数据为:q=0.2279 C=0.8927

对照上表可知本模型为Ⅳ级，结合本问题来看，对预测精度要求不是很高，可以对北京市未来两年水资源短缺风险度进行预测。

5.3.6对2010年和2011年北京市水资源短缺风险度预测

2010年北京市水资源短缺风险度：12.48

2011年北京市水资源短缺风险度：12.52

而2010年和2011年北京市水资源短缺风险风险的实际值分别为11.94和12.38，相对误差仅为4.3%和1.1%，精确度很高。这验证了我们所建立的模型精确度和实用性，在今后几年内对北京市水资源短缺风险预测具有一定的价值。

图5.5 未来两年预测曲线

应对未来两年水资源短缺风险的措施

1、提高污水的处理率，提高水资源的循环利用率。

2、增加北京市城市绿化程度，增加城市植被覆盖面积，可以有效吸收和储藏水分，减少水资源的流失。

3、加强全民教育，提高市民素质，呼吁全民节约用水，可以适当提高水费来克制市民浪费水资源。

4、加快经济转型的步伐，使经济、生态可持续发展。

5.4 问题四的求解

尊敬的北京市水行政主管部门领导：

随着城市快速发展和城市规模地不断扩大,城市人口急剧增加,工业迅速发展,城市的需水量急剧增加，城市缺水正成为全球性的难题。近些年来北京市也

正面临着水资源短缺的严峻考验，由于北京处于中国的北方，长年气候干旱、地域面积较小、人口密度过大，市民居住集中，用水也集中，所以很容易出现资源性缺水现象。同时，污染也集中，远远超过了环境的承载能力，又出现了水质性缺水。据此，我们有以下几点建议：

一，加强宣传教育，提高公众觉悟和参与意识。加强对有关水资源信息和义务准则的传播和交流，广泛地开展对全民的教育，加大宣传节水意义和措施，宣传水法和其他有关法律、政策。

二，制定和执行水资源管理政策。为了管理好水资源，必须制定一套合理的管理政策。比如，水费和水资源费的征收政策、水污染保护与防治政策等。

三，尽量减少城市硬化地面，增加地面的透水性。在急于追求建设现代化城市的过程中, 北京铺设了大量不透水的硬化地面, 雨水无法下渗, 使水资源自然循环缺失了重要的一环, 从而引发了城市环境连锁负效应。

四，防治水污染，保护水环境。首先，要减少污水排放量，实施达标排放。同时，要提高城市污水处理能力，处理后的污水可用于杂用水、灌溉水和低要求的工业用水。

五，避免农业用水浪费。严格按照农作物的生长需求进行浇水，尽量仿照下雨的模式给农作物供水，避免漫灌现象造成的水资源浪费，可以考虑用一些经过处理后达标的污水进行农业灌溉，提高水资源的循环利用率。

六，南水北调水源进京后，应该坚持水资源可持续利用，支持城市可持续发展。充分发挥南水北调外来水源的供水功能，调整地下水开采布局，减少地下水开采，全面恢复地下水超采区的生态环境，养蓄地下水，使地下水资源可持续利用。在永定河、潮白河冲洪积扇的中上部地区，利用洪水、水库弃水和地表水进行人工回灌，恢复地下水环境。

七，加强地下水环境保护，建立完善的地下水动态监测系统。在水资源短缺的今天，地下水作为北京的主要供水水源，其水质的好坏直接影响到城市的发展，因此，为从区域上保护地下水，防止水质恶化，应从源头上即地下水补给区进行保护。

这是我们对水资源短缺的一些想法与建议。

六﹑模型的评价

优点：模型简单计算方便，与软件相结合，操作简单易懂，预测数据准确，且具有可信度，基本符合事实规律

缺点：1. 背景资料的筛选方法有待进一步优化和改进。

2. 数据处理个别出现误差，数据需更精确精确。

3．本题中应用模糊概率对水资源短缺风险进行综合评价，建立模型中我们紧对缺水风险进行的总体评价，未能完成个因素对水资源短缺中所体现的利害关系。

参考文献：

[1] 北京2010统计年鉴https://www.360docs.net/doc/f715978153.html,/nj/main/2010-tjnj/index.htm

[2] SPSS教程-聚类分析https://www.360docs.net/doc/f715978153.html,/view/4a2640f0f90f76c661371af2.html

[3] 卓金武，MATLAB在数学建模中的应用北京航空航天大学出版社，2013

[4] 李柏年，模糊数学及其应用合肥工业大学出版社 2007

[5] 范金城、梅长林，数据分析科学出版社，2006

附录A

【SAS程序】

DATA TEST;

INPUT Y$ X1-X11;

CARDS;

1979 718.4 11.1 22.3 38.23 897.1 1358 10.2 4.37 24.18 340.8 14.37

1980 380.7 11 20.1 26 904.3 1544 9.4 4.94 31.83 340.3

13.77

1981 393.2 12.3 20.1 24 919.2 1526 10.8 4.3 31.6 341.3

12.21

1982 544.4 12.8 20.1 36.6 935 1671 10.9 4.52 28.81 339.4 13.89

1983 489.9 13 20.1 34.7 950 1943 10.2 4.72 31.6 343.3

11.24

1984 488.8 11.9 20.1 39.31 965 2262 10 4.017 21.84 342.6

14.376

1985 721 11.5 20.1 38 981 2643 10 4.39 10.12 338.4 17.2 1986 665.3 12.1 22.86 27.03 1028 2836 8.9 7.18 19.46 337.9 9.91

1987 683.9 12.3 22.9 38.66 1047 3150 7.7 7.26 9.68 337.9 14.01

1988 673.3 12.7 25 39.18 1061 3892 7.4 6.4 21.99 338.1

14.04

1989 442.2 13.2 26 21.55 1075 4269 6.6 6.45 24.42 338.4

13.77

1990 697.3 12.7 28 35.86 1086 4635 7.3 7.04 21.74 335.1

12.34

1991 747.9 12.5 28.43 42.29 1094 5494 6.6 7.43 22.7