2017届高考数学(理)一轮复习讲练测：专题4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式(讲).doc

2017年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】 第四章 三角函数

第02节 同角三角函数的基本关系及诱导公式

【课前小测摸底细】

1. 【课本典型习题，p115A 组2】已知1tan 3θ=-，求7sin 3cos 5sin 4cos θθ

θθ

-+的值. 【答案】16

7

-

【解析】由1

tan 3

θ=-

，知cos 0θ≠，则17sin 3cos 73

7sin 3cos 7tan 3163cos 5sin 4cos 15sin 4cos 5tan 4754

cos 3θθθθθθθθθθθθ??-?-- ?--??====-+++??

?-+ ???

= 2. 【2016全国丙理5】若3

tan 4

α=

，则2cos 2sin 2αα+=（ ）. A.

6425 B. 4825 C. 1 D.1625

【答案】A 【解析】

22

2

22

cos 4sin cos cos 2sin 2cos 4sin cos sin cos αααααααααα

++=+==+223

1414tan 644tan 124

314αα+?

+=

=+??+ ???

.故选A. 3. 【2016

湖北武汉模拟】已知()sin cos 0,αααπ-=

∈，则tan α=（ ）

A ．-1

B ．1 C

． D

【答案】

A

4.【基础经典试题】已知tan 2α=，则2212sin cos sin cos αα

αα

+-的值是

（A ）13 （B ）3 （C ）1

3

- （D ）3-

【答案】B 【解析】原式=

3121

21tan 1tan cos sin cos sin )cos )(sin cos (sin )cos (sin cos sin cos sin 2cos sin 22222=-+=-+=-+=-++=-++ααααααααααααα

ααααα答案选B ．

5. 【改编2012年高考江西卷理科4)】 若tan θ+

1

tan θ

=4,，04πθ<<.则cos2θ=（ ）

A ．

15 B. 14 C. 1

3

D.

【答案】D

【解析】因为221sin cos sin cos 1

tan 41tan cos sin sin cos sin 22

θθθθθθθθθθθ++=+===

1sin 2,002,cos 2242ππθθθθ∴=<

【考点深度剖析】

高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查主要是小题为主,试题难度不大．主要从两个方面考查：（1）同角的三个函数值中sin ,cos ,tan θθθ知一求二；（2）能灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系． 【经典例题精析】

考点1同角三角函数的基本关系式

【1-1】【2016浙江杭州模拟】已知cos ,,,2k k R πααπ??

=∈∈

???

，则()sin πα+=（ ） A

． B

C

． D ．k - 【答案】A 【

解

析

】

由

于

cos ,,,2k k R πααπ??

=∈∈ ?

??

,因此

()sin πα+=221cos 1sin k --=--=-αα,应选A.

【1-2】(2016.丹东模拟)已知α为第三象限角，且sin α＋cos α＝2m ，sin 2α＝m 2，则m 的值为 . 【答案】 －

33

【解析】 (sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α 所以m 2＋1＝4m 2，m 2＝1

3，又α为第三象限角，

所以sin α<0，cos α<0，m ＝－

33

. 【1-3】若α为第三象限，则

α

αα

α2

2

cos 1sin 2sin 1cos -+

-的值为（ ）

A ．3

B ．3-

C ．1

D ．1- 【答案】B

【课本回眸】

同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α??

??α≠k π＋π2，k ∈Z . 【方法规律技巧】

1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin α

cos α＝tan α可以实现角α

的弦切互化．

2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 【新题变式探究】

【变式】已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________. 【答案】±6

4

【解析】∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，②

由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4， ∵cos 2α＋sin 2α＝1， ∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.

考点2 利用诱导公式化简求值

【2-1】若3sin()5πα+=

，α是第三象限的角，则

sin

cos

22sin cos 22

πα

πα

παπα++-=--- （ ） A ．

12 B ．1

2

- C ．2 D ．2- 【答案】B.

【解析】由题意3

sin 5

α=-，因为α是第三象限的角，所以4cos 5

α=-， 因此

2

22

sin

cos

cos

sin

(cos

sin )1sin 1222222cos 2sin cos cos sin cos sin 222222

παπααααα

απαπαααααα++-+++====------. 【2-2

】已知sin()πθ+=cos(3)cos(2)3cos()[cos()1]cos sin()cos 2

πθθπθπθθπθθ+-+----+ 【答案】18

【解析】由题有1sin 3θ-=-=-，1sin 3

θ∴=， 原式cos cos cos [cos 1]cos (cos )cos θθ

θθθθθ

-=

+

---+ 221122

181cos 1cos 1cos sin θθθθ

=

+===+--

【2-3】化简

[][]sin()cos (1),sin (1)cos()

k k k Z k k παπαπαπα---∈+++

【答案】当2,k n n Z =∈时，原式1=- 当21,k n n Z =+∈时，原式1=

【课本回眸】 六组诱导公式

对于角“k π

2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是

指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” 【方法规律技巧】

(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．

(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化． 【新题变式探究】

【变式】在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos (π－B )，求△ABC 的三个内角．

【解析】 由已知得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B 两式平方相加得2cos 2A ＝1， 即cos A ＝

22或cos A ＝－22

.

三、易错试题常警惕

易错典例：cos(80)k -?=,那么tan100?=( )

C.

易错分析：(1)k 值的正负一撮；（2）tan100 表达式符号易错

正确解析：

sin 80sin 80tan10080cos80tan ===∴=-=-=

温馨提醒：本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化 思想的应用

四、注重通解通法，模型化解题 【典例】已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝

3－1

2

，则tan θ的值为( ) A ．－3或－33 B ．－3

3

C ．－3

D ．－

3

2

【解析】由sin θ＋cos θ＝3－1

2， 两边平方得sin θ·cos θ＝－

34

， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ ＝1＋

32＝4＋23

4＝(3＋12

)2.

∵θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝1

2(3－1)<1，

∴θ∈(π

2，π)，∴sin θ－cos θ>0，

∴sin θ－cos θ＝

3＋1

2. 由?????

sin θ＋cos θ＝3－1

2，sin θ－cos θ＝

3＋12

得sin θ＝

32，cos θ＝－1

2

. ∴tan θ＝－3，故选C ．

【反思】同角中的sin cos αα-，sin cos αα+，sin cos αα?知一可求二，将sin cos αα-与sin cos αα+联立可求tan α以及其二倍角三角函数值．