2012年北京市海淀区高三数学理科二模试卷及答案(WORD版)

本人独创的通用解题思维,是将北京市高中数学每一个必考的考点内容集中在一起,通过试题体现出来,让你做有限的题目就北京市海淀区2012高三二模

数 学(理科)

2012.05

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1)若sin cos 0θθ<,则角θ是 (A )第一或第二象限角 (B )第二或第三象限角 (C )第三或第四象限角 (D )第二或第四象限角 (2)已知命题p :0x ?∈R ,021x =.则p ?是 (A )0x ?∈R ,021x ≠ (B )0x ??R ,021x ≠ (C )0x ?∈R ,021x ≠

(D )0x ??R ,021x ≠

(3)直线11x t y t

=+??=-?(t 为参数)的倾斜角的大小为

(A )4

-π (B )4π (C )2

π

(D )

34

π

(4)若整数,x y 满足1,

1,3,2

x y x y y ì???- ??

?+

í????£???

则2x y +的最大值是 (A )1

(B )5

(C )2 (D )3

(5)已知点12,F F 是椭圆2

2

22x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,那么12PF PF +

的最小

值是

(A )0 (B )1 (C )2 (D

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)(6

)为了得到函数2

log y =2log y x =的图象上所有的点的

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本人独创的通用解题思维,是将北京市高中数学每一个必考的考点内容集中在一起,通过试题体现出来,让你做有限的题目就(A )纵坐标缩短到原来的

1

2倍,横坐标不变,再向右平移1个单位长度 (B )纵坐标缩短到原来的1

2

倍,横坐标不变,再向左平移1个单位长度

(C )横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移1个单位长度 (D )横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移1个单位长度

(7)某几何体的主视图与俯视图如图所示,左视图与主视图相同,且图中的四边形都是边

长为2的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是

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(A )

20

3

(B )

43

(C )6 (D )4

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(8)点(,)P x y 是曲线1

:(0)C y x x

=

>上的一个动点,曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点,点O 是坐标原点. 给出三个命题:①PA PB =;②OAB ?

的周长有最小值4+;③曲线C 上

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存在两点,M N ,使得OMN ?为等腰直角三角形.其中真命题的个数是

(A )1 (B )2 (C )3 (D )0

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上. (9)在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ,则PAB ?的面积大于等于1

4

的概率是_________. (10)已知1021012311(1)x a a x a x a x +=++++ . 若数列123,,,,(111,)k a a a a k k # Z 是一个单调递增数

列,则k 的最大值是 . (11)在ABC ?中,若120A ? ,5c =,ABC ?

的面积为,则a = .

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(12)如图,O 的直径AB 与弦CD 交于点P ,

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7

, 5, 15

CP PD AP ===,则DCB D=

______.

俯视图

主视图

B

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(13

)某同学为研究函数()1)f x x

=

#的性质,构造了如图所示的两个边长为

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1的正方形ABCD 和BEFC ,点P 是边BC 上的一个动点,设CP x =,则()AP PF f x +=. 请你参考这些信息,推知函数()f x 的图象的对称轴是 ;函数

()4()9g x f x =-的零点的个数是 .

(14)曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线

1x =-的距离

之和为3的动点P 的轨迹. 则曲线C 与y 轴交点的坐标是 ;又已知点(,1)B a (a 为常数),那么

PB PA +的最小值()d a = .

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分13分)

已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,346S a =+,且1413,,a a a 成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列1

{

}n

S 的前n 项和公式. (16)(本小题满分14分)

如图所示,PA ^平面ABC ,点C 在以AB 为直径的⊙O 上,30CBA ? ,2PA AB ==,点

E 为线段PB 的中点,点M 在 AB 上,且OM ∥AC . (Ⅰ)求证:平面MOE ∥平面P AC ; (Ⅱ)求证:平面P AC ^平面PCB ;

(Ⅲ)设二面角M BP C --的大小为θ,求cos θ的值.

M

E B

O

C

A

P

E

F

A

B C D

P

本人独创的通用解题思维,是将北京市高中数学每一个必考的考点内容集中在一起,通过试题体现出来,让你做有限的题目就 (17)(本小题满分13分)

某公司准备将100万元资金投入代理销售业务,现有A ,B 两个项目可供选择: (1)投资A 项目一年后获得的利润X

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11(2)投资B 项目一年后获得的利润X 2(万元)与B 项目产品价格的调整有关, B 项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整,两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p (0< p <1)和1-p . 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数X (次)与X 2的关系如下表所示:

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(Ⅱ)求X 2的分布列;

(Ⅲ)若E (X 1)< E (X 2),则选择投资B 项目,求此时 p 的取值范围.

(18)(本小题满分13分)

已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ,且点(1,2

-在椭圆C 上.

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(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;

(Ⅱ)已知动直线l 过点F ,且与椭圆C 交于A ,B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ,使得7

16

QA QB ?=-

恒成立?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

(19)(本小题满分14分)

已知函数2

1()ln()(0)2

f x a x a x x a =--+<. (Ⅰ)求()f x 的单调区间;

(Ⅱ)若12(ln 21)a -<<-,求证:函数()f x 只有一个零点0x ,且012a x a +<<+; (Ⅲ)当4

5

a =-

时,记函数()f x 的零点为0x ,若对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=都有21()()f x f x m -≥成立,求实数m 的最大值.

(本题可参考数据:99

ln 20.7,ln 0.8,ln 0.5945

≈≈≈)

本人独创的通用解题思维,是将北京市高中数学每一个必考的考点内容集中在一起,通过试题体现出来,让你做有限的题目就

(20)(本小题满分13分)

将一个正整数n 表示为12(*)p a a a p +++ N 的形式,其中*i a ?N ,1,2,,i p = ,且

p a a a ≤≤≤ 21,记所有这样的表示法的种数为)(n f (如4=4,4=1+3,4=2+2,4=1+1+2,4=1+1+1+1,

故5)4(=f ).

(Ⅰ)写出)5(),3(f f 的值,并说明理由;

(Ⅱ)对任意正整数n ,比较)1(+n f 与)]2()([2

1++n f n f 的大小,并给出证明; (Ⅲ)当正整数6≥n 时,求证:134)(-≥n n f .

海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学(理科)

参考答案及评分标准 2012.05

一. 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.

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二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. (9)

1

2

(10)6 (11 (12)45° (13)1

2x =;2 (14)(0,±; 1.41,4, 1.41,2, 1 1.a a a a a a ì?? ???+-

注:(13)、(14)题第一空3分;第二空2分.

三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为0d 1.

因为346S a =+,

本人独创的通用解题思维,是将北京市高中数学每一个必考的考点内容集中在一起,通过试题体现出来,让你做有限的题目就所以11323362

d

a a d 创+

=++. ① ……………………………………3分 因为1413,,a a a 成等比数列,

所以2111(12)(3)a a d a d +=+. ② ……………………………………5分 由①,②可得:13,2a d ==. ……………………………………6分 所以21n a n =+. ……………………………………7分 (Ⅱ)由21n a n =+可知:2(321)22

n n n

S n n ++ =

=+.

……………………………………9分

所以

11111()(2)22

n S n n n n ==-++. ……………………………………11分 所以

123111111

n n

S S S S S -+++++

11111111111()2132435112

n n n n =

-+-+-++-+--++ 21111135()212124(1)(2)

n n

n n n n +=+--=

++++. 所以数列1

{}n S 的前n 项和为2354(1)(2)

n n n n +++.

……………………………………13分

(16)(本小题满分14分)

(Ⅰ)证明:因为点E 为线段PB 的中点,点O 为线段AB 的中点,

所以 OE ∥PA . ……………………………………1分 因为 PA ì平面PAC ,OE ?平面PAC ,

所以 OE ∥平面P AC . ……………………………………2分

因为 OM ∥AC , 因为 AC ì平面PAC ,OM ?平面PAC ,

所以 OM ∥平面P AC . ……………………………………3分

因为 OE ì平面MOE ,OM ì平面MOE ,OE OM O = ,

所以 平面MOE ∥平面P AC . ………………………………………5分

本人独创的通用解题思维,是将北京市高中数学每一个必考的考点内容集中在一起,通过试题体现出来,让你做有限的题目就

(Ⅱ)证明:因为 点C 在以AB 为直径的⊙O 上,

所以 90ACB

? ,即BC AC ⊥.

因为 PA ^平面ABC ,BC ì平面ABC , 所

PA BC ⊥. ……………………………………7分

因为 AC ì平面PAC ,PA ì平面PAC ,PA AC A = ,

所以 BC ^平面PAC . 因为 BC ì平面PBC ,

所以 平面P AC ^平面PCB . ……………………………………9分

(Ⅲ)解:如图,以C 为原点,CA 所在的直线为x 轴,CB 所在的直线为y 轴,建立空间直角坐标系C xyz -. 因为 30CBA

? ,2PA AB ==,

所以

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2cos30CB =?1AC =.

延长MO 交CB 于点D . 因为 OM ∥AC ,

所以

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131, 1,2222

MD CB MD CD CB ^=+

===

. 所以 (1,0,2)P ,(0,0,0)C

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,B

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,3(,

22

M . 所以 (1,0,2)CP =

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,CB =

.

设平面PCB 的法向量(,,)=x y z m .

因为 0,0.

CP CB

ì???í

???? m m

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本人独创的通用解题思维,是将北京市高中数学每一个必考的考点内容集中在一起,通过试题体现出来,让你做有限的题目就所以

(,,)(1,0,2)0,(,,)0,x y z x y z ì???í????

即20,0.

x z ì+=??í

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?=?? 令1z =,则2,0x y =-=.

所以 (2,0,1)=-m . ……………………………………12分 同理可求平面PMB 的一个法向量

n ()

=.

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……………………………………13分 所以 1

cos ,5

?=

=-?m n m n m n . 所以 1

cos 5

θ=

. ………………………………………14分 (17)(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)由题意得:

0.41,

11120.41712.a b a b ++=??

+?+=?

解得:0.5,0.1a b ==. ……………………………………3分 (Ⅱ)X 2 的可能取值为4.12,11.76,20.40.

()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-,

()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-,

()220.40(1)P X p p ==-.

所以X 2的分布列为:

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(Ⅲ)由(Ⅱ)可得:()22

2

4.12(1)11.76(1)20.40(1)E X

p p p p p p ??=-++-+-??

211.76

p p =-++. ……………………………………11分

因为E (X 1)< E (X 2),

所以21211.76p p <-++.

所以0.40.6p <<.

当选择投资B 项目时,p 的取值范围是

()0.4,0.6.

……………………………………13分

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(18)(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)由题意知:1c =.

根据椭圆的定义得:22

a =

,即a = ……………………………………3分 所以 2211b =-=.

所以 椭圆C 的标准方程为2

212x y +=. ……………………………………4分 (Ⅱ)假设在x 轴上存在点(,0)Q m ,使得7

16

QA QB ?=- 恒成立.

当直线l 的斜率为0

时,(A B .

7

,0)(,0)16

m m ?=-

. 解得 5

4

m =

. ……………………………………6分 当直线l

的斜率不存在时,(1,A B .

由于557

(1(1,4416

+

?-?

,所以54m ?. 下面证明54m =时,7

16

QA QB ?=- 恒成立.

……………………………………8分

显然 直线l 的斜率为0时,7

16

QA QB ?=- .

当直线l 的斜率不为0时,设直线l 的方程为:1x ty =+,()()1122,,,A x y B x y .

由221,21

x y x ty ì??+=?í??=+??可得:22(2)210t y ty ++-=. 显然0?>.

本人独创的通用解题思维,是将北京市高中数学每一个必考的考点内容集中在一起,通过试题体现出来,让你做有限的题目就 122

1222,2

1.2t y y t y y t ì??+=-??+?í

??=-??+??

……………………………………10分 因为 111x ty =+,221x ty =+,

所以 112212125

511

(,)(,)()()4

444

x y x y ty ty y y -?=--+ 2

121211(1)()416

t y y t y y =+-++

2

221121

(1)

24216

t t t t t =-+++++ 2222217

2(2)1616

t t t --+=+=-+. 综上所述:在x 轴上存在点5(,0)4Q ,使得716

QA QB ?=- 恒成立.

……………………………………13分

(19)(本小题满分14分)

(Ⅰ)解:()f x 的定义域为(,)a +∞.

2(1)'()1a x a x

f x x x a x a

-++=-+=--. ……………………………………1分

令'()0f x =,0x =或+1x a =.

当10a -<<时,+10a >,函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表:

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所以,函数()f x 的单调递增区间是(0,1)a +,单调递减区间是(,0)a 和(1,)a ++ .

……………………………………3分

当1a =-时,2

'()01

x f x x -=

≤+. 所以,函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+ .

本人独创的通用解题思维,是将北京市高中数学每一个必考的考点内容集中在一起,通过试题体现出来,让你做有限的题目就 ……………………………………4分 当1a <-时,+10a <,函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表:

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所以,函数()f x 的单调递增区间是(1,0)a +,单调递减区间是(,1)a a +和(0,)+ .

……………………………………5分

(Ⅱ)证明:当12(ln21)0a -<<-<时,由(Ⅰ)知,()f x 的极小值为(0)f ,极大值为(1)f a +.

因为(0)ln()0f a a =->,2211

(1)(1)(1)(1)022

f a a a a +=-+++=->,且()f x 在(1,)a ++ 上是减函数,

所以()f x 至多有一个零点. ……………………………………7分 又因为211

(2)ln 2[2(ln 21)]022

f a a a a a a +=-

-=---<, 所以 函数()f x 只有一个零点0x ,且012a x a +<<+.

……………………………………9分

(Ⅲ)解:因为4

12(ln 21)5

-<-

<-, 所以 对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=由(Ⅱ)可知:1[0,1)

x a ∈+,20(1,]x a x ∈+,且21x ≥. ……………………………………10分

因为 函数()f x 在[0,1)a +上是增函数,在(1,)a ++ 上是减函数,

所以 1()f x (0)f ≥,2()f x (1)f ≤. ……………………………………11分 所以 12()()(0)(1)f x f x f f -?.

当45a =-

时,1(0)(1)ln()12a f f a a -=--=491

ln 542

->0. 所以 12()()(0)

(1)0f x f x f f -?>. ……………………………………13分

所以 21()()f x f x -的最小值为491

(0)(1)ln 542

f f -=

-.

本人独创的通用解题思维,是将北京市高中数学每一个必考的考点内容集中在一起,通过试题体现出来,让你做有限的题目就所以 使得21()()f x f x m -≥恒成立的m 的最大值为491ln 542

-. ……………………………………14分

(20)(本小题满分13分)

(Ⅰ)解:因为3=3,3=1+2,3=1+1+1,所以3)3(=f .

因为5=5,5=2+3,5=1+4,5=1+1+3,5=1+2+2,5=1+1+1+2,5=1+1+1+1+1, 所以7)5(=f . ……………………………………3分 (Ⅱ)结论是)1(+n f )]2()([2

1

++≤

n f n f . 证明如下:由结论知,只需证).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f

因为21≥+n ,把1+n 的一个表示法中11a =的1a 去掉,就可得到一个n 的表示法;反之,在n 的

一个表示法前面添加一个“1+”,就得到一个1n +的表示法,即1+n 的表示法中11a =的表示法种数等于n 的表示法种数,

所以)()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a 1的表示法数,)1()2(+-+n f n f 是2n +的表

示法中11a 1的表示法数.

同样,把一个11a 1的1+n 的表示法中的p a 加上1, 就可得到一个11a 1的2n +的表示法,这样

就构造了从11a 1的1+n 的表示法到11a 1的2+n 的表示法的一个对应.

所以有).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f ……………………………………9分 (Ⅲ)由第(Ⅱ)问可知:

当正整数6m 3时,()(1)(1)(2)(6)(5)f m f m f m f m f f --?--吵-

.

又,7)5(,11

)6(==f f 所以 ()(1)4f m f m -- . * 对于*式,分别取m 为n ,,7,6 ,将所得等式相加得)5(4)5()(-≥-n f n f . 即134)(-≥n n f . ……………………………………13分

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