中南大学高等数学作业参考答案
《高等数学》作业参考答案
第一章 函数作业（练习一）
一、填空题:
1.函数x x x f -+-=
5)
2ln(1
)(的定义域是________。
解：对函数的第一项，要求02>-x 且0)2ln(≠-x ，即2>x 且3≠x ；对函数的第二项，要求
05≥-x ，即5≤x 。取公共部分，得函数定义域为]5,3()3,2( 。
2.函数3
9
2--=
x x y 的定义域为________。
解：要使392--=
x x y 有意义，必须满足092
≥-x 且03>-x ，即???>≥33x x 成立，解不等式方程
组，得出?
?
?>-≤≥33
3x x x 或，故得出函数的定义域为),3(]3,(+∞?--∞。
3.已知1)1(2
+=-x e f x
，则)(x f 的定义域为________。 解：令u e x
=-1, 则()u x +=1ln ,
(),11ln )(2++=∴u u f 即(),11ln )(2++=∴x x f 故)(x f 的定义域为()+∞-,1
4.函数1
1
42-+
-=
x x y 的定义域是________。 解：),2[]2,(∞+--∞ 5.若函数52)1(2
-+=+x x x f ，则=)(x f ________。 解：62
-x
二、单项选择题：
1.若函数)(x f y =的定义域是[0，1]，则)(ln x f 的定义域是 ［ C ］ A .),0(∞+ B .),1[∞+ C .]e ,1[ D .]1,0[
2.函数x y πsin ln =的值域是 ［ D ］ A .]1,1[- B .]1,0[ C .)0,(-∞ D .]0,(-∞
3.设函数f x ()的定义域是全体实数，则函数)()(x f x f -?是 ［ C ］ A.单调减函数 B.有界函数 C.偶函数 D.周期函数 解：A 、B 、D 三个选项都不一定满足。
设)()()(x f x f x F -?=，则对任意x 有
)()()()()())(()()(x F x f x f x f x f x f x f x F =-?=?-=--?-=-
即)(x F 是偶函数，故选项C 正确。
4.函数)1,0(1
1
)(≠>+-=a a a a x x f x x ［ B ］ A.是奇函数 B.是偶函数 C.既奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。
)(1
1
)1()1(11)()(x f a a x a a a a x a a x x f x x x
x x x x x =+-=+--=+--=----- 所以B 正确。 5.若函数221
)1(x
x x x f +=+
，则=)(x f ［ B ］
A.2
x B.22
-x C.2
)1(-x D.12
-x 。 解：因为2)1(212122
2
22
-+=-++=+
x x x x x x 所以2)1()1(2-+=+x x x x f
则2)(2
-=x x f ，故选项B 正确。
6.设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f = ［ D ］ A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3 解：由于1)(+=x x f ， 得)1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f
将1)(+=x x f 代入 得)1)((+x f f =32)1(+=++x x
7.下列函数中，( )不是基本初等函数。 ［ B ］
A ．x y )e 1(=
B ．2ln x y =
C ．x x
y cos sin = D ．3
5x y =
解：因为2
ln x y =是由u y ln =，2
x u =复合组成的，所以它不是基本初等函数。
8.设函数??
?>≤=0,
00,cos )(x x x x f ，则)4(π
-f = ［ C ］
A ．)4(π
-
f =)4
(π
f B ．)2()0(πf f =
C ．)2()0(π-=f f
D ．)4
(π
f =
2
2
解：因为02<-π，故1)2cos()2(=-=-ππf 且1)0(=f ， 所以)2()0(π-=f f 9.若函数1)e (+=x f x
，则)(x f = ［ C ］ A . 1e +x
B . 1+x
C . 1ln +x
D . )1ln(+x
10.下列函数中=y ( )是偶函数. ［ B ］
A . )(x f
B . )(x f
C . )(2
x f D . )()(x f x f --
三、解答题：
1．设?
??<<≤≤=e 1ln 10)(x x x x
x f ，求：(1))(x f 的定义域；(2))0(f ，)1(f ，)2(f 。
解：(1)分段函数的定义域是各区间段之和，故)(x f 的定义域为)e ,0[)e ,1(]1,0[=
(2)10≤≤x 时，x x f =)( 0)0(=∴f ，1)1(=f
e 1< f ln )(= 2ln )2(=∴f 2. 设? ??>≤--=00,1)(x x x x x f ,???>-≤=0,0, )(2 x x x x x g 求复合函数))(()),((x f g x g f 。 解:()()???>-≤--=0,10,12x x x x x g f ()()()?? ???>--<+-≤≤---=0 ,1,10 1,122 x x x x x x x f g 3．（1）x x a a x f -+=)( (0>a )； 解:()()x f a a x f x x =+=-- ()x x a a x f -+=∴为偶函数 （2）x x x f +-=11ln )( 解:()()x f x x x x x f -=+--=-+=-11ln 11ln ()x x x f +-=∴11ln 为奇函数 （3）)1ln()(2x x x f ++= 解:()( )() ()x f x x x x x x x f -=++-=++=++-=-22 2 1ln 11ln 1ln , ()() 21ln x x x f ++=∴为奇函数 4．已知x x f sin )(=，()()2 1x x f -=?，求)(x ?的定义域 解： ()()()()( )2 2 1arcsin ,1sin x x x x x f -=∴-==??? , 故()x ?的定义域为22≤≤- x 第二章 极限与连续作业（练习二） 一、填空题： 1.________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 2.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____，=b _____。 由所给极限存在知024=++b a 得42--=a b 又由234 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x 知a=2 b=-8 3.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____， =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x ， 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x ， ∴a=0 b ≠1 4.函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x =_____。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 5.极限=→x x x 1 sin lim 0 _____。 解：因为当0→x 时，x 是无穷小量，x 1 sin 是有界变量。 故当0→x 时，x x 1sin 仍然是无穷小量。所以 =→x x x 1 sin lim 00 6.当k _____时，???<+≥+=0 01 )(2 x k x x x x f 在0=x 处仅仅是左连续。 解：因为函数是左连续的，即)0(1)1(lim )0(0 f x f x ==+=-→- 若1)(lim )0(2 ==+=+→+k k x f x ，即当=k 1时，)(x f 在0=x 不仅是左连续，而且是连续的。 所以，只有当1≠k 时，)(x f 在0=x 仅仅是左连续的。 7.要使x x x f cos 1)(-= 在0=x 处连续，应该补充定义=)(o f _____。 解：01 sin lim cos 1lim 00==-→→x x x x x ，补充定义0)0(=f 二、单项选择题： 1.已知0)1 (lim 2 =--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ ）。 A. 1,1==b a B. 1,1=-=b a C. 1,1-==b a D. 1,1-=-=b a 解：()()01 1lim )1( lim 22=+-+--=--+∞→∞→x b x b a x a b ax x x x x 1,1,0,01-==∴=+=-∴b a b a a 答案：C 2.下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A.e 1x x , ()→∞ B. sin ,()x x x →∞ C. ln(),()11+→x x D. x x x +-→11 0,() 解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以0sin lim =∞→x x x ，而A, C, D 三个选项中的极限都 不为0，故选项B 正确。 3.下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）。 A.)(1sin ∞→=x x x y B.())(1∞→=-n n y n C.)0(ln +→=x x y D.)0(1 cos 1→= x x x y 解：11 1sin lim 1sin lim ==∞→∞ →x x x x x x 故不选A 取12+=k m 则()01 21 lim lim 1=+=∞→-∞ →k n k n n 故不选B 取2 1π π+ = n x n 则01cos 1lim =∞ →n n n x x 故不选D 答案：C 4.)(0,arctan 121)(1 1x f x x e e x f x x 是则=+-= 的（ ）。 A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.无穷间断点 D.振荡间断点 解：,000 10 1arctan 121lim )00(11 =?+-= ?+-=-- →x e e f x x x ,001 02 0arctan 1 2lim arctan 121lim )00(110 110 =?+-= ?+-=?+-=+- - →→- - x e e x e e f x x x x x x 应选为可去间断点故,0),00()00(=+=-x f f A 。 5.若) 1()(--=x x a e x f x ，0=x 为无穷间断点，1=x 为可去间断点，则=a （ ）。 A.1 B.0 C.e D.e -1 解：由于0=x 为无穷间断点, 所以0) (0 ≠-=x x a e , 故1≠a . 若0=a , 则1=x 也是无穷间断点。 由1=x 为可去间断点得e a =,故选C 。 三、计算应用题： 1.计算下列极限： （1）2)3 1( lim +∞ →+-x x x x （2）2) 1sin(lim 2 1-+-→x x x x （3）x x x 33sin 9lim 0-+→ （4）1245lim 224--+-→x x x x x （5）)1 1 13(lim 21----→x x x x （6）526(12)(32)lim (1)(23)x x x x x x →∞-++-- 解：（1）1 ln 3lim 12 2 1lim( )3 x x x x x x x e x →∞ -+++→∞ -=+ 第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质 知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++?? 1 ---○---○--- ---○---○--- ………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………评卷密封 线………… 一、填空题（每小题3分，总计15分） 1、点(3,1,1)A -到平面:2340x y z π-+-=的距离为 （ ） 2、曲面42222-+=y x z 在点()1,1,0-处的法线方程为（ ） 3、设Ω是由曲面22z x y =+及平面1z =围成的闭区域，则 (),,d d d f x y z x y z Ω ??? 化为顺序为z y x →→的三次积分为（ ） 4、设∑是xoz 面的一个闭区域xz D , 则曲面积分(),,d f x y z S ∑ ??可化为二重积分 为（ ） 5、微分方程2 1 2y x y '=-满足初始条件()10y =的解为（ ） 2 3分，总计15分） =1绕z 轴旋转而成的曲面为（ ） 152=z ； （B ）15 42 22=+-z y x ； 152=z ； （D ）()15 42 2=+-z y x D 内具有二阶偏导数222222,,, f f f f x y x y y x ??????????，则（ ） 2f y x ???； （B ）则(,)f x y 在区域D 内必连续； D 内必可微； (D) 以上都不对 其中D 由2 y x =及2y x =-所围成，则化为二次积分后的结果为I = xydy ； （B ）??-+21 2 2y y xydx dy ； ?? -+41 2 x x xydy dx xydy （D ）??-+21 2 2y y xydy dx 2=介于点(0,2)到点(2,0)的一段，则 =? ( ) （B ）; （C ; （D ）2. ()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 则（ ）. （B ）12y y -也是方程的解 （D ）122y y -也是方程的解 《高等数学》课程复习资料 一、填空题： 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是______。 2.若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ______。 3.sin lim x x x x →∞-=______。 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a ______，=b ______。 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a ______，=b ______。 6.函数?????≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x =______。 7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y ______。 8.2)(x x f =，则(()1)______f f x '+=。 9.函数) 1ln(4222 y x y x z ---=的定义域为______。 10.已知2 2),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f ______。 11.设2 2),(y x x xy y x f ++ =，则=')1,0(x f ______，=')1,0(y f ______。 12.设2 3 sin ,cos ,z x y x t y t =+==,则 t z d d ＝______。 13. =?? dx x f d d dx d )(______。 14.设)(x f 是连续函数，且x dt t f x =? -1 3)(，则=)7(f ______。 15.若 2 1 d e 0 = ? ∞+-x kx ，则______k =。 16.设函数f(x,y)连续，且满足?? +=D y d y x f x y x f 2),(),(σ， 其中,:2 22a y x D ≤+则f(x,y)=______。 -- ○○ ○○ ………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按分处理…………评卷密封 线………… 一、填空题（每小题分，总计分） 、点(3,1,1)A -到平面:2340x y z π-+-=的距离为 （ ） 、曲面4222 2 -+=y x z 在点()1,1,0-处的法线方程为 （ ） 、设Ω是由曲面2 2 z x y =+及平面1z =围成的闭区域，则 (),,d d d f x y z x y z Ω ??? 化为顺序为z y x →→的三次积分为（ ） 、设∑是xoz 面的一个闭区域xz D , 则曲面积分(),,d f x y z S ∑ ??可化为二重积分 为（ ） 、微分方程2 1 2y x y '=-满足初始条件()10y =的解为（ ） -- =1绕z 轴旋转而成的曲面为（ ） 152=z ； （）15 42 22=+-z y x ； 152=z ； （）()15 42 2=+-z y x D 内具有二阶偏导数222222,,, f f f f x y x y y x ??????????，则（ ） 2f y x ???； （）则(,)f x y 在区域D 内必连续； D 内必可微； () 以上都不对 D 由2y x =及2y x =-所围成，则化为二次积分后的结果为I = ； （）??-+21 2 2y y xydx dy ； ?? -+41 2 x x xydy dx （）??-+21 2 2y y xydy dx 2=介于点(0,2)到点(2,0)的一段，则 =? ( ) （）; ; （）2. ()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 则（ ）. （）12y y -也是方程的解 （）122y y -也是方程的解 高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案 高等数学(专科) 一、填空题： 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 。 解：),2[]2,(∞+--∞ 。 2.若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f 。 解：62 -x 3.sin lim x x x x →∞-= 。 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ， 又由234 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x ，∴0,1a b =≠ 6.函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n + 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 中南大学2002级高等数学下册 一、填空题（4*6） 1、已知=-=+),(,),(2 2y x f y x x y y x f 则（）。 2、设=???=y x z x y arctg z 2,则（）。 3、设D 是圆形闭区域：)0(2222b a b y x a <<≤+≤，则=+??σd y x D 22（）。 4、设L 为圆周122=+y x 上从点），（到经01-)1,0()0,1(B E A 的曲线段，则=?dy e L y 2 （）。 5、幂级数∑∞ =-1)5(n n n x 的收敛区间为（）。 6、微分方程06'''=-+y y y 的通解为（）。 二、解下列各题（7*6） 1、求)()()cos(1lim 2222220 0y x tg y x y x y x +++-→→。 2、设y x e z 23+=，而dt dz t y t x 求,,cos 2==。 3、设),(2 2 y x xy f z =，f 具有二阶连续偏导数，求dt dz 。 4、计算}10,10|),{(,||2≤≤≤≤=-??y x y x D d x y D 其中σ。 5、计算?++-L y x xdy ydx 22，L 为1||||=+y x 所围成的边界，L 的方向为逆时针方向。 6、求微分方程2''')(12y yy +=满足1)0()0('==y y 的特解。 三、（10分） 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体。 四、（10分） 计算??∑ ++zdxdy dydz z x )2(，其中∑为曲面)10(22≤≤+=z y x z ，其法向量与z 、z 轴正向的夹角为锐角。 五、（10分） 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案 高等数学 一、填空题 1．设2 )(x x a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。 2．若???<≤+<<-=2 0102sin 2x x x x y ，则=)2(π y . 3． 极限lim sin sin x x x x →=0 21 。 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 5.已知0→x 时，1)1(3 12 -+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(2 2y z y z x ?=+，其中?可微，则 y z ??= 。 7.设2 e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则 =??) 1,0(x u 。 8.设??,),()(1 f y x y xy f x z ++=具有二阶连续导数，则=???y x z 2 。 9.函数y x xy xy y x f 2 2),(--=的可能极值点为 和 。 10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f . 11.=? xdx x 2sin 2 . 12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π . 13．若 21 d e 0 = ?∞ +-x kx ，则_________=k 。 14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得 ??≤++≤D dxdy y x )14(2 2 15.设D 由22 ,2,1,2y x y x y y ====围成（0x ≥），则 (),D f x y d σ??在直角坐标系下的 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： 中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答 案 《高等数学》（专科） 一、填空题 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由 23412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 单选题 1. 函数在点处（）． (A) 有定义 且有极 限 (B) 无定义 但有极 限 (C) 有定义 但无极 限 (D) 无定义 且无极 限 参考答案： (B) 2. 下列无穷积分中收敛的是()。 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C) 3. 若 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C) 4. 设 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C) 5. 设函数处（） (A) 极限不 存在； (B) 极限存在 但不连续 (C) 连续但不 可导； (D) 可 导 参考答案：(C) 6. 设函数 (A) (B) (C) (D) ｘ 参考答案：(C) 7. 已知 (A) 1 (B) 任意实数(C) 0.6 (D) -0.6 参考答案： (D) 8. 当 (A) 不取极值 (B) 取极大值 (C) 取极小值 (D) 取极大值 参考答案： (B) 9. 下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（） (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C) 10. 处的值为（） (A) (B) (C) (D) 1 参考答案： (C) 11. 设其中 的大小关系时（） (A) (B) (C) (D) 参考答案： (A) 12. 设则 (A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -2 参考答案： (A) 13. 若函数 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (B) 14. 下列极限存在的是（） (A) (B) (C) (D) 参考答案： (D) 15. 函数 (A) 是奇 函数 (B) 是偶 函数 (C) 既奇函数 又是偶函 数 (D) 是非奇 非偶函 数 参考答案： 高等数学习题及答案 一、填空题（每小题3分，共21分） 1．设b a by ax y x f ,,),(其中+=为常数，则=)),(,(y x f xy f .y b abx axy 2 ++ 2．函数2 2y x z +=在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的 方向导数是 .321+ 3．设有向量场k xz j xy i y A ρρρρ++=2 ，则=A div ρ . x 2 4．二重积分??2 1 ),(x dy y x f dx 交换积分次序后为 .??1 1 ),(y dx y x f dy 5．幂级数∑∞ =-1 3)3(n n n n x 的收敛域为 . [0,6) 6．已知y x e z 2-=，而3 ,sin t y t x ==，则 =dt dz 3sin 22(cos 6)t t e t t -- 7．三重积分 =???Ω dv 3 ， 其中Ω是由3,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的立体. 二、计算题（一）（每小题7分，共21分） 1．设b a b a ρρρρ与,5,2==的夹角为π3 2 ，向量b a n b a m ρρρρρρ-=+=317与λ相互垂直，求λ. 解：由25173 2 cos 52)51(1217)51(3022?-???-+=-?-+=?=πλλλλb b a a n m ρρρρρρ 得.40=λ 2．求过点)1,2,1(-且与直线?? ?=--+=-+-0 4230 532z y x z y x 垂直的平面方程. 解：直线的方向向量为{}11,7,52 13132 =--=k j i s ρρρρ 取平面的法向量为s n ρ ρ=，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5=++-+-z y x 即.081175=-++z y x 3．曲面32=xyz 上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{=S ρ ？并求出此法线方程. 解：设曲面在点),,(z y x M 处的法线平行于s ρ ，令32-=xyz F 则在点),,(z y x M 处曲面的法向量为.1 82,}.,,{},,{xy xz yz s n xy xz yz F F F n z y x ====故有 由于ρ ρρ由此解得 y z y x 8,4==，代入曲面方程，解得),,(z y x M 的坐标为)8,1,4(，用点向式即得所求法线 方程为1 8 8124-= -=-z y x 三、计算题（二）（每小题7分，共21分） 1．设)(x y xF xy z +=，其中)(u F 为可导函数，求.y z y x z x ??+?? 解： ),()(u F x y u F y x z '-+=?? )(u F x y z '+=?? xy z xF xy y z y x z x +=+=??+??2 2．将函数??? ? ??-=x e dx d x f x 1)(展成x 的幂级数，并求∑∞ =+1)!1(n n n 的和. 解：???++???++=--1! 1 !2111n x x n x x e 中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案 《高等数学》（专科） 一、填空题 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由 23412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) ? 思路: 被积函数5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34 134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★ (9) 思路 =？ 11172488x x ++==，直接积分。 解 ：7 15888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33x x x e e = （）。 第8章第1节向量及其线性运算 习题8—1 11,12,15,17,18 第8章第2节数量积、向量积、混合积习题8—2 3,4,6,7,9,10 第8章第3节曲面及其方程 习题8—3 2,5,7,9, 10(1)(2)(3)(4) 第8章第4节空间曲线及其方程 习题8—4 3,4,7,8 第8章第5节平面及其方程 习题8—5 1,2,3,5,9 第8章第6节空间直线及其方程 习题8—6 1,2,3,4,5,8,9,10(1)(2),12, 13,15 第8章总复习题 总复习题八 1,7,8,10,11,12,13,14(1)(2), 15,17,19,20 第9章第1节多元函数基本概念 习题9—1 2,5(1)(2),6(1)(2)(4)(5),7(1),8 第9章第2节偏导数 习题9—2 1(3)(4)(5) (6)(7),4,6(2), 9(1) 第9章第3节全微分 习题9—3 1(1)(2)(4),2,3,5 第9章第4节多元复合函数的求导法则习题9—4 2,4,6,7,8(1)(2),10,11, 12(1)(4) 第9章第5节隐函数的求导公式 习题9—5 1,2,4,5,6,8,9,10(1)(3) 第9章第6节多元函数微分学的几何应用习题9—6 3,4,6,7,9,10,12 第9章第7节方向导数与梯度 习题9—7 2,3,5,7,8,10 第9章第8节多元函数的极值及其求法习题9—8 1,2,5,6,7,9,11 第9章第9节二元函数泰勒公式 习题9—9 1,3 第9章总复习题 总复习题九 1,2,3,5,6,8,9, 12,15,16,17,20 第10章第1节二重积分的概念与性质 习题10—1 2,4,5 第10章第2节二重积分的计算法 习题10—2 1(1)(3),2(3)(4),4(1)(3),6(4)(5)(6),7,89,12(1)(2)(3),14(1)(2),15(1)(2)(3),16 第10章第3节三重积分 习题10—3 1(1)(2),2,4,5,7,8,9(1)(2),10(1)(2),11(1) 第10章第4节重积分的应用 习题10—4 1,2,5,6,8,10,14 第10章总复习题 总复习题十 1,2(1) (3),3(1)(2) 6,8(1)(2),10,11,12 第11章第1节对弧长的曲线积分 习题11—1 1,3(3)(4)(5)(7),4 第11章第2节对坐标的曲线积分 习题11—2 3(1) (2)(3) (5) (6)(7), 4(1)(2)(3),7(1)(2),8 第11章第3节格林公式及其应用 (一) 单选题 1. 已 知 (A) 1 (B) 任 意实 数 (C) 0.6 (D) -0.6 难度：中 分值：4.0 参考答案：D 学生答案：D 得分： 4.0 2. 下列说法正确的是（） (A) 若 可导 (B) 若不连续 (C) 若极限不存在 (D) 若不可导 难度：中 分值：4.0 参考答案：D 学生答案：D 得分： 4.0 3. 设 (A) 1 (B) 2 (C) (D) 难度：易分值：4.0参考答案：C学生答案：C得分： 4.0 4. 函数在点处（）． (A) 有 定 义 且 有 极 限 (B) 无 定 义 但 有 极 限 (C) 有 定 义 但 无 极 限 (D) 无 定 义 且 无 极 限 难度：易分值：4.0参考答案：B学生答案：B得分： 4.0 5. 下列函数中，（） 不是基本初等函 数． (A) (B) (C) (D) 难度：易分值：4.0参考答案：B学生答案：D得分： 0.0 6. 若 在 为（）. (A) 上升的凸弧 (B) 下降的凸弧 (C) 上升的凹弧 (D) 下降的凹弧 难度：易 分值：4.0 参考答案：D 学生答案：D 得分： 4.0 7. 设 函 数 (A) 单调减函数 (B) 有界函 数 (C) 偶函数 (D) 周期函 数 难度：易 分值：4.0 参考答案：C 学生答案：C 得分： 4.0 8. 设 记 ，则有（）. (A) (B) (C) (D) 难度：中分值：4.0参考答案：B学生答案：B得分： 4.0 9. 函 数 (A) 是 奇 函 数 (B) 是 偶 函 数 (C) 既 奇 函 数 又 是 偶 函 数 (D) 是 非 奇 非 偶 函 数 难度：中分值：4.0参考答案：B学生答案：B得分： 4.0 10. 函 数处（） (A) 不 取 极 值 (B) 取 极 小 值 (C) 取 极 大 值 (D) 是 否 取 极 值 与a 有 关 难度：易分值：4.0参考答案：A学生答案：A得分： 4.0 同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); (10) x e y 1 =. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x . 8. 设 ???? ?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, ) 4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x) 单选题 1. 设个电子管的寿命独立同分布，且 ，则个电子管的平均寿命的方差（） (A) A (B) 0.1A (C) 0.2A (D) 10A 参考答案： (B) 2. 在某学校学生中任选一名学生，设事件A表示选出的学生是男生，B表示选出的学生 是三年级学生，C表示选出的学生是篮球运动员，则ABC的含义是（） (A) 选出的学生是三年级男生； (B) 选出的学生是三年级男子篮球运动员； (C) 选出的学生是男子篮球运动员； (D) 选出的学生是三年级篮球运动员； 参考答案： (B) 3. X的分布函数为。 (A) (B) (C) (D) 参考答案： (A) 4. 设随机变量X服从正态分布，则下列函数中，可以是X的密度函数的是（） (A) (B) (C) (D) 参考答案： (B) 5. 设随机变量，则随机变量U与V 必然（）。 (A) 不独 立 (B) 独 立 (C) 相关系数 不为零 (D) 相关系 数为零 参考答案： (D) 6. 设随机变量。 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 参考答案： (C) 7. 设随机变量X的分布函数为则 （） (A) (B) (C) (D) 参考答案： (C) 8. 设随机变量X服从参数为 且 (A) 5/27 (B) 7/27 (C) 8/27 (D) 10/27 参考答案： (C) 9. 设随机变量 服从() (A) (B) (C) (D) 参考答案： (D) 10. 设相互独立的随机变量X ，Y 具有同一分布，且X 的分布律为 ， ，则下列式子中正确的是（ ） (A) X=Y (B) P{X=Y}=1 (C) P{X=Y}=1/2 (D) P{X=Y}=5/9 参考答案： (D) 11. 设X 是连续型随机变量，X 的密度函数为 ，则下列说法正确的是( ) (A) (B) 右连续但不一定左连续 (C) 是非负可积函数 (D) 处处可导微积分课后题答案第九章习题详解
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