数量关系之三集合容斥问题

在最近几年的公务员考试中，考察了相关的三集合容斥问题，对于这样的一个问题，华图教研中心提醒你，在复习三集合容斥问题时一定不能停留在表面，一定要从实质上理解它，因为现在在考察容斥问题时，考的比较细致。但是题目难度并不是很大，只要能够掌握它的实质，熟练运用我们的解题方法，那么这种问题肯定能够轻松应对。

一浅识三集合容斥问题

对于三集合容斥问题，一定要弄清楚它题目的关键词语及问法。

A+B+C-AB-AC-BC-ABC=总数-三个条件都不满足的情形

A+B+C-满足两个条件-2满足三个条件=总数-三个条件都不满足的情形

二真题回放

1.某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：

A. 7人

B. 8人

C. 5人

D. 6人

【华图解析】根据题意，“按规定每人至多可投考两个职位”则表明这次招聘中不存在有人报考三个职位的情形，共有42人报名，也表明不存在一个人是三个职位都不报考的情形。故可以直接代入三集合的标准形公式即可。

22+16+25-8-6-x=42 x=7，故选择A选项。

2.某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?( )

A. 148

B. 248

C. 350

D. 500

【华图解析】设三种上网方式都使用的客户有x个，则使用两种上网方式的就有352-x,根据三集合容斥问题的公式，可以得到1258+1852+932-(352-x)—2x=3542 解得x=148 故答案选择A

3. 某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?( )

A.37

B.36

C.35

D.34

【华图解析】根据题意，可直接根据容斥原理的三集合公式的变形，设三项全部合格的建筑防水卷材产品有x种，可以得到8+10+9-7-2×1=52-x

x=34 故答案选择D

7-7-5 容斥原理之最值问题.教师版

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点 7-7-5.容斥原理之最值问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---

小学奥数之容斥原理

五．容斥原理问题 1．有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11 最大值就是含铁的有43种 2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( ) A，5 B，6 C，7 D，8 解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…① 由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……② 由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③ 由（4）知：a1＝a2+a3……④ 再由②得a23＝a2－a3×2……⑤ 再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a2×4+a3＝26 由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22 又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3 因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。故只解出第二题的学生人数a2＝6人。 3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？答案：及格率至少为71％。假设一共有100人考试 100-95＝5 100-80＝20 100-79＝21 100-74＝26 100-85＝15 5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）

《三集合容斥原理》

三集合容斥原理华图教育梁维维我们知道容斥原理的本质是把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复的一种计数的方法。之前我们叙述过了两集合容斥原理，下面我们来看一下三集合容斥原理，相对于两集合容斥原理而言，三集合容斥原理的难度有所增加，但总体难度适中，所以三集合容斥原理在国家公务员考试中出现的频率较高，在其他省份考试以及各省份联考当中也时有出现，下面我们了解一下三集合容斥原理的公式。三集合容斥原理公式：三者都不满足的个数。总个数- = + - - - + + =| | | | | | | | | | | | | || |C B A C B C A B A C B A C B A 有些问题，可以直接代入三集合容斥原理的公式进行求解。【例1】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少?( ) A.15 B.16 C.14 D.18 【解析】依题意，假设阴影部分的面积为x，代入公式可得：64＋180＋160－24－70－36＋x=290，解得x=16，正确答案为B选项。近几年，直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，往往告诉大家“只满足两个条件的共有多少”这样的信息，看似无法直接套用公式，其实只要掌握本质，仍然可以直接套用公式。【例2】（2012河北-44）某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?（） A. 148 B. 248

三者容斥问题3个公式

三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的标准型公式。集合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，满足标准型公式：三集合容斥原理标准型公式：Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ·Ⅱ-Ⅰ·Ⅲ-Ⅱ·Ⅲ+Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ=总个数-三者都不满足个数通过观察公式，我们可以看到在公式中，出现了9个量，而这个式子的适用前提就是知8求1，即在题目中，若我们看到了8个已知量，要求1个未知量的时候，就要使用这个公式(注：而题目中有时候也是知7求1，其中的三者都不满足的个数可能为零)，具体题目如下： (陕西2015)针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜

欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有( )人。 A.20 B.18 C.17 D.15 E.14 F.13 G.12 H.10 解：通过观察，我们发现了八个已知量，还要我们求另一个未知量，故可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得： 28+30+42-8-10-5+3=100-x，其中x为我们要求的量，求得x=20，答案选择A。接着，我们来看一下三集合变异型的公式，如下图示：

从上式中，我们可以看出，要使用变异型公式，题目中必须要出现仅满足2个情况的个数，这就是与标准型公式最大的不同，下面我们就看看具体的题目： (广东2015)某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数为( )。 A.75 B.82 C.88 D.95 解：由于题目中出现“只参加其中两个项目的有13人”，故使用变异型公式，得到下面列式：49+36+28-1×13-2×9=x，通过尾数法(若题目中选项的尾数都不一样的话，就可以用尾数法快速得到答案)，判断出答案为82，选B。但是，现在变异型公式也出现一些变形的形式，例如国考2015中的这道三集合容斥原理，就给我带来了一写在解题是需要着重注意的地方，下面我们仔细分析一下题目 (国家2015)某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷?( ) A.310 B.360

容斥原理的极值问题

容斥原理的极值问题文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

有关容斥原理的极值问题所谓“极值问题”就是通常说的最大值，最小值的问题，题干中通常有“至少”，“至多”等题眼，解决这类问题通常有两种方法，一是极限思想，另一种就是逆向思维。通过以下几个例题具体看一下： 1. 某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，至少有几个4个活动都参加解析: 逆向思维，分别考虑不喜欢其中某项活动的人数是多少，由题意可知，分别为11,16,8,6，只有当这四项集合互相没有交集的时候，四项活动都喜欢的人数才最少，因此最少人数为46-11-16-8-6=5 2. 参加某部门招聘考试的共有120人，考试内容共有6道题。1至6道题分别有86人，88人，92人，76人，72人和70人答对，如果答对3道题或3道以上的人员能通过考试，那么至少有多少人能通过考试解析（极限思想）：要使通过的人最少，那么就是对1道，2道的人最多，并且应该是对2道的人最多（这样消耗的总题目数最多），假设都只对了2道，那120人总共对了240道，而现在对了86+88+92+76+72+70=484，比240多了244道，每个人还可以多4道（这样总人数最少）,244/4=61。(逆向思维)：先算出来1-6题每题错的人数120-86=34 120-88=32 120- 92=28 120-76=44 120-72=48 120-70=50 要使通过的人数最少，就是没通过的人数最多，让错的人都只错4道就错的人最多，总的错的题数为 34+32+28+44+48+50=236236/4=59120-59=61

2015国家公务员考试行测：数学运算-容斥原理和抽屉原理

【导读】国家公务员考试网为您提供：2015国家公务员考试行测：数学运算-容斥原理和抽屉原理，欢迎加入国家公务员考试QQ群：242808680。更多信息请关注安徽人事考试网https://www.360docs.net/doc/f218253870.html, 【推荐阅读】 2015国家公务员笔试辅导课程【面授+网校】容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”，了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算题。中公教育专家在此进行详细解读。一、容斥原理在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 1.容斥原理1——两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是 A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示：公式：A∪B=A+B-A∩B 总数=两个圆内的-重合部分的【例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 2.容斥原理2——三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1 次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩ C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

三集合非标准型容斥原理

国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|政法干警| 招警| 军转干| 党政公选| 法检系统| 路转税| 社会工作师三集合非标准型容斥原理 ———————————————海南华图数资老师，胡军亮近些年考试经常出现容斥原理的题型，容斥原理分为两集合型跟三集合型，三集合容斥原理又包括标准型和非标准型，三集合容斥原理与三集合标准型容斥原理都是相对好掌握的。这里给大家讲解三集合非标准型容斥原理题的解题方法。首先看下面三个公式（1）都不满足总数- ) (= + + + - + +C B A C A C B B A C B A （2）三条件都不满足总数只满足两条件- * 2 -= - + +C B A C B A （3）满足三条件只满足两条件只满足一个条件* 3 * 2+ + = + +C B A 公式（1）是标准型公式，公式（2）、（3）都是非标准型公式。【例1】某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种?（） A. 14 B. 21 C. 23 D. 32 解析：该题目为典型的容斥原理题，但是题目提到“两项同时不合格的有5种”，这句话的意思就是只满足两个条件的数量是5，该题属于三集合容斥原理非标准型题，带入公式（2）得到： 7+9+6-5-2*2=36-X，尾数法知道答案选C。【例2】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则只有一项不合格的建筑防水卷材产品有多少种？ A. 17 B. 12 C. 15 D. 20 解析：该题涉及到只满足一项不合格、同时两项不合格、三项都不合格，属于三个集合非标准型容斥原理的题，带入公式（3）得到： 8+10+9=X+2*7+1，尾数法知道答案选B。从上面的两道例题的讲解可以看到三集合非标准型容斥原理虽然不是很好理解，但是记住题型的特征，用正确的公式直接套用来解题还是很容易掌握的。

三集合容斥非标准公式原理

宽容与排他性原则一直是省级考试的重点，尤其是三套排他性原则。这次，陕西华图教育将带您深入了解有关三组包含和排除原则的当前问题和一般概念。首先，我们应该有一个清晰的认识。根据套数，测试中的容忍和排除原则可以分为两组排除原则和三组排除原则。今天，我们关注三集排除原则。其次，根据问题的类型，将三组包含和排除的原理分为两种，一种是标准公式，另一种是变式。接下来，我们将重点介绍三集包含排除原理的标准公式。设置I，II，III，并满足标准公式三组包含排除原理的标准公式为：Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ。Ⅱ-Ⅰ。Ⅲ-Ⅱ。Ⅲ+Ⅰ。Ⅱ。Ⅲ=总数-都不满足通过观察公式，我们可以看到公式中有9个数量，并且该公式的适用前提是知道8来找到1，即在标题中，如果我们看到8个已知数量并且需要1个未知数量，我们需要使用此公式（注意：有时在标题中，我们还需要知道7才能找到1，其中三个不满意的数目可能为零）。具体主题如下：

（陕西2015）对100名旅游爱好者的调查发现，泰山28人，华山30人，黄山42人，黄山和黄山8人，泰山和黄山10人，华山和黄山5人，三人三个景点，而（）人们不喜欢三个景点中的任何一个。 A.20 B.18 C.17 D.15 E.14 F.13 G.12 H.10 解决方案：通过观察，我们发现了八个已知数量，并且我们还需要找到另一个未知数量。因此，我们可以使用上述公式将数据一一替换为：28 + 30 + 42-8-10-5 + 3 = 100-x，其中x是我们需要的数量，x = 20，并且答案是接下来，让我们看一下三个集合变量的公式，如下图所示：从上面的公式可以看出，要使用变体公式，标题中必须只有两种情况，这与标准公式最大的不同

三集合非标准规范型容斥原理

三集合非规范型容斥原理 ———————————————海南华图数资老师，胡军亮近些年考试经常出现容斥原理的题型，容斥原理分为两集合型跟三集合型，三集合容斥原理又包括规范型和非规范型，三集合容斥原理与三集合规范型容斥原理都是相对好掌握的。这里给大家讲解三集合非规范型容斥原理题的解题方法。首先看下面三个公式（1）（2）（3）公式（1）是规范型公式，公式（2）、（3）都是非规范型公式。【例1】某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种?（） A. 14 B. 21 C. 23 D. 32 解读：该题目为典型的容斥原理题，但是题目提到“两项同时不合格的有5种”，这句话的意思就是只满足两个条件的数量是5，该题属于三集合容斥原理非规范型题，带入公式（2）得到： 7+9+6-5-2*2=36-X，尾数法知道答案选C。【例2】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则只有一项不合格的建筑防水卷材产品有多少种？ A. 17 B. 12 C. 15 D. 20 解读：该题涉及到只满足一项不合格、同时两项不合格、三项都不合格，属于三个集合非规范型容斥原理的题，带入公式（3）得到： 8+10+9=X+2*7+1，尾数法知道答案选B。从上面的两道例题的讲解可以看到三集合非规范型容斥原理虽然不是很好理解，但是记住题型的特征，用正确的公式直接套用来解题还是很容易掌握的。 1 / 1

公务员笔试之行测：巧解三集合容斥原理问题

2014年公务员行测：巧解三集合容斥原理问题华图教育三集合容斥原理此类题型主要出现在近年来各省的省考中，主要是有三个独立的个体，此类题型主要的做题方法是公式法和作图法。近年来直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，不管容斥原理的题目怎么变化，但我们只要掌握住核心思想——剔除重复，那么做任何一个容斥原理题目都能够得心应手。根据上图，可得三集合容斥原理核心公式： =A +B +C -A B -B C -A C +A B C =-x A B C 总数一、直接利用公式型【例1】（2012年4月联考）某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为： A. 7人 B. 8人 C. 5人 D. 6人【答案】A 【解析】设同时报乙、丙职位的人数为x ，则根据三集合容斥原理公式有：22+16+25-8-6-x+0=42-0，解得x=7。因此，本题答案为A 选项。二、三集合容斥原理作图型若在题目中任何一个位置看到“只满足”或“仅满足”，则公式法不能够再用，采用作图法来解题，注意，在作图的时候不管三七二十一，先画三个两两相交的圈，再往里填数字即可，填的时候注意从中间往外一层一层填。【例2】（2007年江苏）一次运动会上，17名游泳运动员中，有8名参加了仰泳，有10 C x B A

名参加蛙泳，有12名参加了自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这3个项目都参加，这17名游泳运动员中，只参加1个项目的人有多少？（） A.5名 B.6名 C.7名 D.4名【答案】B 【解析】本题问题中出现了“只”，故只能采用作图法。于是有仰 1 2 2 2 3 4 3 蛙自由只参加1个项目的人数为1+2+3=6。因此，本题答案为B选项。【例3】（2012年河北）某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保持期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种？（） A.14 B.21 C.23 D.32 【答案】C 【解析】 a d b c 其中d为三项同时不合格的部分，a+b+c为两项同时不合格的部分。设三项全部合格的食品有x种。根据题意有：36-x=7+9+6-5-2×2，解得x=23。因此，本题答案为C选项。【注】该题注意，由于7+6+9这部分把三项同时不合格的部分共加了3次，减去5的

容斥原理习题加答案

1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( ) A、27人 B、25人 C、19人 D、10人【答案】B 【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B 得A∩B=25，所以答案为B。 2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件（） A、15 B、25 C、35 D、40 【答案】C 【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。 3.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，

不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人（）A．120 B．144 C．177 D．192 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15 ＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15 根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120. 4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）人人人人【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数 100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人。

国考行测暑期每日一练数学运算：容斥原理和抽屉原理精讲

2015国考行测暑期每日一练数学运算：容斥原理和抽屉原理精讲容斥原理和抽屉原理是国家公务员测试行测科目数学运算部分的“常客”，了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算题。中公教育专家在此进行详细解读。一、容斥原理在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 1.容斥原理1——两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示：公式：A∪B=A+B-A∩B 总数=两个圆内的-重合部分的【例1】一次期末测试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 2.容斥原理2——三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C -A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

数量关系之三集合容斥问题解题技巧

2012年备考数量关系之三集合容斥问题解题技巧：公式法2011年08月29日 21:10:58 来源：新华教育【字号大小】【收藏】【打印】【关闭】在国家公务员行测考试中，数量关系模块中的容斥问题必不可少，也是学员觉得最难突破的一大问题。究其原因，一则是容斥问题很复杂，特别是三集合容斥问题涉及的已知量特别多，读完题容易被绕进去；二则是没有好的方法切入，做出来非常消耗时间。其实，掌握好公式法对于解决三集合容斥问题很有帮助。本篇就对三集合容斥问题的解题技巧之公式法进行阐释。一、三集合标准型公式集合A、B、C，满足标准型公式： = =总数-三者都不满足的个数三集合标准型公式适用于题目中各类条件都明确给出的情况。另外，可使用尾数法，判断个位数的相加减快速确定正确答案。【例题1】（浙江-行测-2009-55）某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？（） A.1人 B.2人 C.3人 D.4人【答案】B。各类条件明确给出，直接使用公式法。三者都不满足的个数=总数-=50-（40+36+30-28-26-24+20），可使用尾数法，尾数为2，选B。【例题2】（国家-行测-2009-116）如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问图中阴影部分的面积为多少（）？

行测数学运算技巧：三集合整体重复型公式巧解容斥原理问题

行测数学运算技巧：三集合整体重复型公式巧解容斥原理问题一、介绍三集合整体重复型核心公式在三集合题型中，假设满足三个条件的元素数量分别是A、B和C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中，满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，可以得到以下两个等式： W=x+y+z A+B+C=x×1+y×2+z×3 二、典型的三集合整体重复型的题目讲解例1、某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动。现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组?(2004年浙江公务员考试行测第20题) A. 15人 B.16人 C.17人 D.18人【答案】A 解析：此题有两种解法可以解出：解一：分别设只参加英语和语文、英语和数学、语文和数学小组的人为x、y、z，则只参加英语小组的人为17-5-x-y，只参加语文小组的人有30-5-x-z，只参加数学小组的人有13-5-y-z，则只参加三个小组中的一个小组的人和只参加其中两个小组的人和三个小组都参

加的人的总和为总人数，即17-5-x-y+30-5-x-z+13-5-y-z+x+y+z+5=35。则求x+y+z=15，所以只参加一个小组的人数的和为15。解二：套用三集合整体重复型公式： W=x+y+z A+B+C=x×1+y×2+z×3 35=x+y+5 17+30+13=x×1+y×2+5×3 解得：x= 15，y=15 例2、某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是( )(2009年江苏公务员考试行测A类试卷第19题) A. 69 B.65 C.57 D.46 【答案】D 解析：本题也是一道典型的三集合整体重复型题目，直接套用三集合整体重复型公式： W=x+y+z A+B+C=x×1+y×2+z×3 这里需要注意的是W=105，而非125，

容斥原理之最值问题

集合与容斥原理

第一讲集合与容斥原理数学是一门非常迷人的学科，久远的历史，勃勃的生机使她发展成为一棵枝叶茂盛的参天大树，人们不禁要问：这根大树到底扎根于何处？为了回答这个问题，在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架，他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地，这个学科就叫做集合论。它的概念与方法已经有效地渗透到所有的现代数学。可以认为，数学的所有内容都是在“集合”中讨论、生长的。集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。 1．集合的概念集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：（1）确定性设A是一个给定的集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两者必居其一，即a∈A与a?A仅有一种情况成立。（2）互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素. （3）无序性 2．集合的表示方法主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如：R , ,应熟记。 N, Z Q 3．实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。 4．子集、真子集及相等集（1）A?? B A?B或A＝B；（2）A?B?A?B且A≠B；（3）A＝B?A?B且A?B。 5．一个n阶集合（即由个元素组成的集合）有n2个不同的子集，其中有n2－1个非空子集，也有n2－1个真子集。 6．集合的交、并、补运算 x∈} A B={A |且B x∈ x x∈} A B={A |或B x x∈ x?} A∈ {且A =| I x x 要掌握有关集合的几个运算律：（1）交换律A B＝B A，A B＝B A；（2）结合律A （B C）＝（A B） C， A （ B C）＝(A B) C；

国考：公式法解容斥问题(三集合标准型)

国考：公式法解容斥问题（三集合标准型）河北公务员考试的《行测职业能力测验》包括五大部分内容：言语理解与表达、数量关系、判断推理、常识判断和资料分析，主要考察考生是否具有从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力。河北华图教育精心整理了河北公务员行测真题及其他公务员笔试资料供考生备考学习。在行测考试当中，有一类问题叫做容斥问题。什么题目我们归结为容斥问题呢？一般情况下，有符合A，有符合B，有符合AB，有AB都不符合等这一类题干，我们就把他归结为容斥问题。容斥问题可以分为二集合容斥和三集合容斥。解题思路有画图法和公式法。一般情况下，只要我们能牢牢地背会相关公式，考试的时候就能很快的做出答案，节省考试时间。今天我们一起来看一下三集合容斥标准型公式。三集合容斥标准型公式：A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不符合。下面我们一起来看寄到容斥问题的例题：【例】（2009-国家-81）如图所示，X、Y、Z 分别是面积为64、180、160 的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X 与Y、Y 与Z、Z 与X 重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少？（） A.15 B.16 C.14 D.18 【解析】此题为容斥原理问题，根据三集合容斥标准型公式：A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不符合。根据题意，设阴影部分为x，列方程有：290=64+180+160-24-70-36+x，解得x＝16。选择B。由此可见，如果能够熟练地记住公式，其实这类问题我们完全可以在1分钟以内做出来的。我们再来看一道例题：【例】对39 种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17 种，含乙的有18 种，含丙的有15 种，含甲、乙的有7 种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9 种，三种维生素都不含的有7 种，则三种

容斥原理之最值问题

7-7-5.容斥原理之最值问题教学目标 1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A U B=A+B-A I B(其中符号“U”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积． 1．先包含——A+B 重叠部分A I B计算了2次，多加了1次；包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A U B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B(意思是把A、B的一切元素都“包含” 进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A I B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A U B U C=A+B+C-A I B-B I C-A I C+A I B I C．图示如下：

抽屉原理

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简单 1.在一米长的线段上任意点六个点。试证明：这六个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。 2.在今年入学的一年级新生中有370多人是在同一年出生的。请你证明：他们中至少有两个人是在同一天出生的。 3.夏令营有400个小朋友参加，问：在这些小朋友中， (1)至少有多少人在同一天过生日？ (2)至少有多少人单独过生日？ (3)至少有多少人不单独过生日？ 4.学校举行开学典礼，要沿操场的400米跑道插40面彩旗。试证明：不管怎样插，至少有两面彩旗之间的距离不大于10米。 5.在100米的路段上植树，问：至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵之间的距离小于10米？ 6.在一付扑克牌中，最少要拿多少张，才能保证四种花色都有？ 7.在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球。问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？ 8.口袋中有三种颜色的筷子各10根，问： (1)至少取多少根才能保证三种颜色都取到？ (2)至少取多少根才能保证有两双颜色不同的筷子？ (3)至少取多少根才能保证有两双颜色相同的筷子？ 9.据科学家测算，人类的头发每人不超过20万根。试证明：在一个人口超过20万的城市中，至少有两人的头发根数相同。 10.第四次人口普查表明，我国50岁以下的人口已经超过8亿。试证明：在我国至少有两人的出生时间相差不超过2秒钟。 11.证明：在任意的37人中，至少有四人的属相相同。

公务员考试行测备考：巧解三集合容斥原理问题

公务员考试行测备考：巧解三集合容斥原理问题三集合容斥原理此类题型主要出现在近年来各省的省考中，主要是有三个独立的个体，此类题型主要的做题方法是公式法和作图法。近年来直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，不管容斥原理的题目怎么变化，但我们只要掌握住核心思想--剔除重复，那么做任何一个容斥原理题目都能够得心应手。根据上图，可得三集合容斥原理核心公式：一、直接利用公式型【例1】（2012年4月联考）某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为： A. 7人 B. 8人 C. 5人 D. 6人【答案】A 【解析】设同时报乙、丙职位的人数为x，则根据三集合容斥原理公式有： 22+16+25-8-6-x+0=42-0，解得x=7。因此，本题答案为A选项。二、三集合容斥原理作图型国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|