2015-2016高中数学 1.2.2第1课时 函数的表示法课时作业 新人教A版必修1

2015-2016高中数学 1.2.2第1课时 函数的表示法课时作业 新人教A版必修1
2015-2016高中数学 1.2.2第1课时 函数的表示法课时作业 新人教A版必修1

活页作业(八) 函数的表示法

1.某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合该学生走法的是( )

解析:由题意可知,一开始速度较快,后来速度变慢,所以开始曲线比较陡峭,后来曲线比较平缓,又纵轴表示离校的距离,所以开始时距离最大,最后距离为0.

答案:D 2.已知f ? ??

??1-x 1+x =x ,则f (x )=( )

A.x +1

x -1

B .1-x 1+x C.

1+x

1-x

D ..

2x x +1

解析:设t =1-x 1+x ,则x =1-t 1+t ,f (t )=1-t 1+t ,即f (x )=1-x

1+x .

答案:B

3.已知函数f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5, 2f (0)-f (-1)=1,则f (x )=( ) A .3x +2 B .3x -2 C .2x +3

D .2x -3

解析:设f (x )=kx +b (b ≠0),

则?????

2 2k +b -

3 k +b =5,

2b - -k +b =1.

解得???

??

k =3,

b =-2,

∴f (x )=3x -2. 答案:B

4.已知函数f (2x +1)=3x +2,且f (a )=2,则a 的值等于( ) A .1 B .3 C .5

D .-1

解析:由f (2x +1)=3x +2,令2x +1=t , ∴x =

t -1

2

,∴f (t )=3·

t -1

2

+2,

∴f (x )=3 x -1

2

+2,

∴f (a )=3 a -1

2+2=2,∴a =1.

答案:A

5.如图,函数f (x )的图象是曲线OAB ,其中点O ,A ,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f ?

??

?

?1f 3 的值等于________.

解析:∵f (3)=1,1f 3 =1,∴f ? ??

??1f 3 =f (1)=2.

答案:2

6.已知函数f (x ),g (x )分别由下表给出:

则f (g (1))=______;满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是______. 解析:∵g (1)=3,∴f (g (1))=f (3)=1. 又∵x ,f (g (x )),g (f (x ))的对应值表为

∴f (g (x ))>g (f (x 答案:1 2

7.下表表示函数y =f (x ).

(2)写出满足f (x )≥x 的整数解的集合.

解:(1)从表格中可以看出函数的定义域为(0,5)∪[5,10)∪[10,15)∪[15,20]=(0,20].

函数的值域为{-4,6,8,10}.

(2)由于当5≤x <10时,f (x )=6,因此满足f (x )≥x 的x 的取值范围是5≤x ≤6.

8.已知正方形的周长为x ,它的外接圆的半径为y ,则y 关于x 的解析式为( ) A .y =1

2x

B .y =24x

C .y =

28

x D .y =

216

x 解析:正方形边长为x

4,而(2y )2

=? ????x 42+? ??

??x 42

∴y 2

=x 2

32.∴y =x 42=2

8

x .

答案:C

9.观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题:

解析:由表格可推算出两变量的关系,或由图形观察周长与梯形个数关系为l =3n +2(n ∈N *

).

答案:l =3n +2(n ∈N *

)

10.已知函数f (x )=g (x )+h (x ),g (x )关于x 2

成正比,h (x )关于x 成反比,且g (1)

=2,h (1)=-3,求:

(1)函数f (x )及其定义域; (2)f (4)的值.

解:(1)设g (x )=k 1x 2

(k 1≠0),

h (x )=

k 2

x

(k 2≠0), 由于g (1)=2,h (1)=-3, 所以k 1=2,k 2=-3. 所以f (x )=2x 2

3

x

定义域是(0,+∞). (2)由(1)得f (4)=2×42

34

612

. 11.画出函数f (x )=-x 2+2x +3的图象,并根据图象回答下列问题: (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小; (2)若x 1

解:因为函数f (x )=-x 2

+2x +3的定义域为R ,列表:

(1)根据图象,容易发现f (0)=3,f (1)=4,f (3)=0,所以f (3)<f (0)<f (1). (2)根据图象,容易发现当x 1<x 2<1时,有f (x 1)<f (x 2).

(3)根据图象,可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点,开口向下的抛物线,因此,函数值域为

(-∞,4].

12.已知函数f (x )=

x

ax +b

(a ,b 为常数,且a ≠0)满足f (2)=1,方程f (x )=x 有唯一

解,求函数

f (x )的解析式,并求f (f (-3))的值.

解:由f (x )=x , 得

x

ax +b

=x , 即ax 2

+(b -1)x =0. 因为方程f (x )=x 有唯一解, 所以Δ=(b -1)2

=0,即b =1. 又f (2)=1, 所以22a +1=1,a =12

.

所以f (x )=x 12

x +1=2x x +2.

所以f (f (-3))=f (6)=128=3

2

.

1.如何作函数的图象.

一般地,作函数图象主要有三步:列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,再列表描出图象,画图时要注意一些关键点,如与坐标轴的交点,端点的虚、实问题等.

2.如何求函数的解析式.

求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法,与用什么字母表示无关),应用适当的方法,注意有的函数要注明定义域.主要方法有:代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法).

3.在已知函数的解析式研究函数的性质时,可以先由解析式确定函数的定义域,然后通过取一些有代表性的自变量的值与对应的函数值列表,描点连线作出函数的图象,利用函数图象形象直观的优点,能够帮助我们理解概念和有关性质.

功到自然成课时作业本高中数学必修第章集合

第1章集合 1.1集合的含义及其表示 第1课时集合的含义 创新练习(1~10题每小题7分,11~12题每小题15分,共100分) 1.方程:x2-2x+l=0的解集为. 2.若a是小于9的自然数,且a是集合A={x|x=2n,n是整数}中的一个元素,则a的值可以是, 3.若集合A={x|ax2-2x+l=0,x,a∈R}仅有一个元素,则a= . 4.若x,y是非零实数,则的取值集合为. 5.将集合{(x,y)|x2-y2=5,x,y是整数}用列举法表示为. 6.对于集合:①{(1,2)};②{(2,1)};③{1,2};④{2,1}.其中表示同一集合的两个集合是(用序号表示). 7.对于集合:①{x|x=l};②{y|(y-1)2=0};③x =l};④{1}.其中不同于另外三个集合的是(用序号表示). 8.给出下列集合: ,其中是有限集的是. 9.给出下列语句:①0与{0}表示同一个集合;②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{2,3,1};③方程(x-1)2(x-2)=0的所有解构成的集合可表示为1{l,1,2};④集合{x|y=x2}与集合{(x,y)|y =x2}是同一集合.其中正确的有(用序号表示). *10.若集合A由三个元素2,x,x2-x构成,则实数x的取值范围是. 11.已知集合A={1,2},B={a+2,2a},其中a∈R,我们把集合{x|x=x1·x2,x1是A中元素,x2是B中元素}记为集合A×B.若集合A×B中的最大元素是2a+4,求实数a的取值集合. 12.已知集合A={x|(x-1)(x-a)(x-a2+2)=0,a∈R}. (1)若2∈A,求实数a的值; (2)若集合A中所有元素的和为0,求实数a的值. 第2课时元素与集合的关系 创新练习(1~10题每小题7分,11~12题每小题15分,共100分) 1.已知集合A={1,2,a2},B={1,a+2},若4∈A且4?B,则a= . 2.若集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的 个数为 . 3.给出下列叙述:①集合N中最小的数是1;②若a∈N, b∈N*,则a+b的最小值是2;③方程x2-2x+1=0的解得是{1,1};④{x|x2-x-2=0, x∈N*}={-1,2}.其中正确的个数是 . 4.已知P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x∈P且x?Q}. 若P={1,2,3,4,5},Q={2,4,5},则P-Q= .

高中数学必修一幂函数及其性质

幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 (1)y x = (2)12 y x = (3)2y x = (4)1y x -= (5)3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观察图像,可以看出: 3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)x >0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 三.两类基本函数的归纳比较: ① 定义 对数函数的定义:一般地,我们把函数log a y x =(a >0且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 幂函数的定义:一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数. ②性质 对数函数的性质:定义域:(0,+∞);值域:R ;

过点(1,0),即当x =1,y =0; 在(0,+∞)上是增函数;在(0,+∞)是上减函数 幂函数的性质:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 图象都过点(1,1)x >0时,幂函数的图象都通过原点, 在[0,+∞]上,y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数, 在(0,+∞)上, 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1.已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 简解:(1)2m =或1m =-(2)1m =-(3)45m =- (4)2 5 m =-(5)1m =- 变式训练:已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+,当 m 为何值时,()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解:2 20230 m m m m ?+>??-->??解得:()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2.比较大小: (1)1122 ,1.7 (2)33 ( 1.2),( 1.25)--(3)1125.25,5.26,5.26---(4)30.5 30.5,3,log 0.5 例3.已知幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称,求m 的值. 解:∵幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点, ∴2 230m m --≤,∴13m -≤≤; ∵m Z ∈,∴2 (23)m m Z --∈,又函数图象关于原点对称, ∴2 23m m --是奇数,∴0m =或2m =. 例4、设函数f (x )=x 3, (1)求它的反函数; (2)分别求出f - 1(x )=f (x ),f - 1(x )>f (x ),f - 1(x )<f (x )的实数x 的范围. 解析:(1)由y =x 3两边同时开三次方得x =3y ,∴f - 1(x )=x 3 1 . (2)∵函数f (x )=x 3和f -1 (x )=x 3 1 的图象都经过点(0,0)和(1,1).

高一数学必修一 函数知识点总结

3. 函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式; ②逆求法(反求法):通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出y 的取值范围;常用来解,型 如: ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; 常针对根号,举例: 令 ,原式转化为: ,再利用配方法。 ⑤利用函数有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: )0(>+ =k x k x y ,利用平均值不等式公式来求值域; ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1?<∈对任意的 注:① 函数上的区间I 且x 1,x 2∈I.若2 121)()(x x x f x f -->0(x 1≠x 2),则函数f(x)在区间I 上是增函数; 若2121)()(x x x f x f --<0(x 1≠x 2),则函数f(x)是在区间I 上是减函数。 ② 用定义证明单调性的步骤: <1>设x1,x2∈M ,且21x x <;则 <2> )()(21x f x f -作差整理; <3>判断差的符号; <4>下结论; ③ 增+增=增 减+减=减 ④ 复合函数y=f[g(x)]单调性:同增异减 [](内层) (外层)) (,则)(,)((x f y x u u f y ??===

高中数学课时作业:基本不等式

课时作业38 基本不等式 一、选择题 1.下列不等式一定成立的是( C ) A .lg ? ?? ?? x 2+14>lg x (x >0) B .sin x +1 sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C .x 2+1≥2|x |(x ∈R ) D.1 x 2+1 >1(x ∈R ) 解析:对选项A,当x >0时,x 2 +1 4-x =? ????x -122≥0,所以lg ? ?? ??x 2+14≥lg x ;对选项 B,当sin x <0时显然不成立;对选项C,x 2+1=|x |2+1≥2|x |,一定成立;对选项D,因为x 2+1≥1,所以0<1 x 2+1 ≤1.故选C. 2.若2x +2y =1,则x +y 的取值范围是( D ) A .[0,2] B .[-2,0] C .[-2,+∞) D .(-∞,-2] 解析:∵1=2x +2y ≥22x ·2y =22x +y ? ????当且仅当2x =2y =12,即x =y =-1时等号成立, ∴2x +y ≤12,∴2x +y ≤1 4,得x +y ≤-2. 3.已知a +b =t (a >0,b >0),t 为常数,且ab 的最大值为2,则t =( C ) A .2 B .4 C .2 2 D .2 5 解析:∵a >0,b >0,∴ab ≤(a +b )24=t 24,当且仅当a =b =t 2时取等号.∵ab 的最大值为2,∴t 2 4=2,t 2=8.又t =a +b >0,∴t =8=2 2.

4.已知f (x )=x 2-2x +1x ,则f (x )在? ??? ?? 12,3上的最小值为( D ) A.1 2 B.4 3 C .-1 D .0 解析:f (x )=x 2-2x +1x =x +1x -2≥2-2=0,当且仅当x =1 x ,即x =1时取等 号.又1∈??????12,3,所以f (x )在???? ?? 12,3上的最小值是0. 5.已知x ,y 为正实数,且x +y +1x +1 y =5,则x +y 的最大值是( C ) A .3 B.72 C .4 D.92 解析:∵x +y +1x +1y =5,∴(x +y )[5-(x +y )]=(x +y )·? ?? ??1x +1y =2+y x +x y ≥2+2=4,∴(x +y )2-5(x +y )+4≤0,∴1≤x +y ≤4, ∴x +y 的最大值是4,当且仅当x =y =2时取得. 6.(吉林长春外国语学校质检)已知x >0,y >0,且3x +2y =xy ,若2x +3y >t 2+5t +1恒成立,则实数t 的取值范围是( B ) A .(-∞,-8)∪(3,+∞) B .(-8,3) C .(-∞,-8) D .(3,+∞) 解析:∵x >0,y >0,且3x +2y =xy ,可得3y +2x =1,∴2x +3y =(2x +3y )3y +2 x =13+6x y +6y x ≥13+2 6x y ·6y x =25,当且仅当x =y =5时取等号.∵2x +3y >t 2+5t +1恒成立,∴t 2+5t +1<(2x +3y )min ,∴t 2+5t +1<25,解得-80,不等式x x 2+3x +1≤a 恒成立,则实数a 的取值范围为 ( A ) A .a ≥1 5 B .a >15 C .a <15 D .a ≤1 5

高中数学必修基本初等函数常考题型幂函数

高中数学必修基本初等 函数常考题型幂函数 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

幂函数 【知识梳理】 1.幂函数的概念 一般地,函数y =x 叫做幂函数.其中x是自变量,α是常数.2.常见幂函数的图象与性质 解析式y=x y=x2y=x3y=1 x y= 1 2 x 图象 定义域R R R{x|x≠0}[0,+∞)值域R[0,+∞)R{y|y≠0}[0,+∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函 数 单调性在(-∞, +∞)上单 调递增 在(-∞, 0]上单调递 减,在(0, +∞)上单 调递增 在(-∞, +∞)上单 调递增 在(-∞, 0)上单调递 减,在(0, +∞)上单 调递减 在[0,+ ∞)上单调 递增 定点(1,1) (1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1). (2)α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.

特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸; 当0<α<1时,幂函数的图象上凸. (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴;当x 趋于+∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴. 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数:①y=x 3 ;②y=12x ?? ? ?? ;③y=4x 2;④y=x 5 +1;⑤y=(x -1)2;⑥y=x ;⑦y=a x (a>1).其中幂函数的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 (2)已知幂函数y =()2 2231m m m m x ----,求此幂函数的解析式,并指出定义域. (1)[解析] ②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B. [答案] B (2)[解] ∵y=()2 2231m m m m x ----为幂函数, ∴m 2-m -1=1,解得m =2或m =-1. 当m =2时,m 2-2m -3=-3,则y =x -3,且有x≠0; 当m =-1时,m 2-2m -3=0,则y =x 0,且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y =x -3,{x|x≠0}或y =x 0,{x|x≠0}. 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法

高中数学必修一函数难题

高中函数大题专练 2、对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈,总有()0f x ≥; ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时,总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 (1)试问函数()g x 是否为G 函数?并说明理由; (2)若函数()h x 是G 函数,求实数a 的值; (3)在(2)的条件下,讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. (1)若2)(=x f ,求x 的值; (2)若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立,求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时,11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= (1)求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. (2)请你作出函数)(x f 的大致图像. (3)当0a b <<时,若()()f a f b =,求ab 的取值范围. (4)若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解,求,b c 满足的条件. 5.已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 (1)若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数,求实数b 的取值范围; (2)当2b =时,若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围; (3)对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <,使[,]x m n ∈时,函数()g x 的值域也是 [,]m n ,则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数,试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(,求满足下列条件的实数a 的值:至少有一个正实数b ,使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7.对于函数)(x f ,若存在R x ∈0 ,使00)(x x f =成立,则称点00(,)x x 为函数的不动点。

高中数学课时作业20解析及答案

课后作业(二十) 一、选择题 1.对任意的实数k ,直线y =kx +1与圆x 2+y 2=2的位置关系一定是( ) A .相离 B .相切 C .相交但直线不过圆心 D .相交且直线过圆心 2.已知直线l :y =k (x -1)-3与圆x 2+y 2=1相切,则直线l 的倾斜角为( ) A.π6 B.π2 C.2π3 D.56 π 3.若直线x -y +1=0与圆(x -a )2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是( ) A .[-3,-1] B .[-1,3] C .[-3,1] D .(-∞,-3]∪[1,+∞) 4.过点(-4,0)作直线l 与圆x 2+y 2+2x -4y -20=0交于A 、B 两点,如果|AB |=8,则直线l 的方程为( ) A .5x +12y +20=0 B .5x +12y +20=0或x +4=0 C .5x -12y +20=0 D .5x -12y +20=0或x +4=0 5.设O 为坐标原点,C 为圆(x -2)2+y 2=3的圆心,且圆上有一点M (x ,y )满足OM →·CM →=0,则y x =( ) A.33 B.33或-33 C. 3 D.3或- 3 6.若圆C :x 2+y 2+2x -4y +3=0关于直线2ax +by +6=0对称,则由点M (a ,b )向圆所作的切线长的最小值是( ) A .2 B .3 C .4 D .6 二、填空题 7.已知圆C 1:x 2+y 2-6x -7=0与圆C 2:x 2+y 2-6y -27=0相交于A 、B 两点,则线段AB 的中垂线方程为________.

1.2.2函数的表示法(1)(教学设计)(优秀经典公开课比赛教案)

1.2.2函数的表示法(1)(教学设计) 教学目的: (1)明确函数的三种表示方法; (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数; (3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用; (4)纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识. 教学重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念. 教学难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,什么才算“恰当”?分段函数的表示及其图象. 教学过程: 一、复习回顾,新课引入 复习提问:函数的定义及其三要素是什么? 函数的本质就是建立在自变量x的集合A上对应关系,在研究函数的过程中,我们常用不同的方法表示函数,可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质,是研究函数的重要手段。 请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法? 答:列表法是、图像法、解析法 二、师生互动,新课讲解 这三种表示法各有什么优、缺点? 在学生回答的基础上师生共同总结: 列表法图像法解析法 定义用表格的形式把两个变量间的 函数关系表示出来的方法 用图像把两个变量间的函 数关系表示出来的方法 一个函数的对应关系可以用自变 量的解析式表示出来的方法 优点不必通过计算就能知道两个变 量之间的对应关系,比较直观 可以直观地表示函数的局 部变化规律,进而可以预测 它的整体趋势 能叫便利地通过计算等手段研究 函数性质 缺点只能表示有限个元素的函数关 系 有些函数的图像难以精确 作出 一些实际问题难以找到它的解析 式 函数的三种表示法并不是相互独立的,它们可以相互转化,是有机的一个整体,像我们非常熟悉的一次函数、二次函数,我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它们。 下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。 例题选讲: 例1(课本P19例3)某种笔记本的单价是5元,买x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用三种表示法表示函数y=f(x) . 分析:注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.解:(略) 注意: ○1函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据; ○2解析法:必须注明函数的定义域; ○3图象法:是否连线; ○4列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 例2(课本P20例4)下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表: 第一次第二次第三次第四次第五次第六次

创新设计高中数学必修4课时作业【全套142页】附有详细解析

§3.2 简单的三角恒等变换 课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用,进一步体会三角变换的规律. 1.半角公式 (1)S α2:sin α 2=____________________; (2)C α2:cos α 2=____________________________; (3)T α2:tan α 2=______________(无理形式)=________________=______________(有理 形式). 2.辅助角公式 使a sin x +b cos x =a 2+b 2 sin(x +φ)成立时,cos φ=__________________,sin φ=______,其中φ称为辅助角,它的终边所在象限由__________决定. 一、选择题 1.已知180°<α<360°,则cos α 2的值等于( ) A .-1-cos α 2 B. 1-cos α 2 C .- 1+cos α2 D. 1+cos α 2 2.函数y =sin ? ????x +π3+sin ? ????x -π3的最大值是( ) A .2 B .1 C.1 2 D. 3 3.函数f (x )=sin x -cos x ,x ∈? ?????0,π2的最小值为( ) A .-2 B .- 3 C .- 2 D .-1 4.使函数f (x )=sin(2x +θ)+3cos(2x +θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 5.函数f (x )=sin x -3cos x (x ∈[-π,0])的单调递增区间是( ) A.??????-π,-5π6 B.??????-5π 6 ,-π6 C.??????-π3,0 D.???? ??-π6,0 6.若cos α=-4 5,α是第三象限的角,则1+tan α21-tan α 2 等于( ) A .-12 B.1 2 C .2 D .-2

高中数学必修一幂函数教案

高中数学必修一幂函数 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高中数学必修一幂函数教案 教学目标: 知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行简单的应用. 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法,来研究幂函数的图象和性质. 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.教学重点: 重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律. 教学程序与环节设计: 问题引入. 索一般幂函数的图象规律.

教学过程与操作设计:

环节教学内容设计师生双边互动 组织探究 材料二:幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定 义,并且图象都过点(1,1); (2)0 > α时,幂函数的图象通过原 点,并且在区间) ,0[+∞上是增函数.特别 地,当1 > α时,幂函数的图象下凸;当 1 0< <α时,幂函数的图象上凸; (3)0 < α时,幂函数的图象在区间 ) ,0(+∞上是减函数.在第一象限内,当x从 右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼 近y轴正半轴,当x趋于∞ +时,图象在x轴 上方无限地逼近x轴正半轴. 师:引导学生 观察图象,归纳概 括幂函数的的性质 及图象变化规律. 生:观察图 象,分组讨论,探 究幂函数的性质和 图象的变化规律, 并展示各自的结论 进行交流评析,并 填表.

探究与发现 1.如图所示,曲线 是幂函数αx y=在第一象 限内的图象,已知α分别 取2, 2 1 ,1,1 -四个值,则相 应图象依次 为:. 2.在同一坐标系内,作出下列函数的图 象,你能发现什么规律? (1)3- =x y和3 1 - =x y; (2)4 5 x y=和5 4 x y=. 规律1:在第 一象限,作直线 )1 (> =a a x,它同 各幂函数图象相 交,按交点从下到 上的顺序,幂指数 按从小到大的顺序 排列. 规律2:幂指 数互为倒数的幂函 数在第一象限内的 图象关于直线x y= 对称. 作业回馈 1.在函数 1 , , 2 , 1 2 2 2 = + = = =y x x y x y x y中,幂函数的个数为: A.0 B.1 C.2 D.3 环节呈现教学材料师生互动设计2.已知幂函数) (x f y=的图象过点 )2 ,2(,试求出这个函数的解析式. 3.在固定压力差(压力差为常数)下, 当气体通过圆形管道时,其流量速率R与管 道半径r的四次方成正比. (1)写出函数解析式; (2)若气体在半径为3cm的管道中,流 量速率为400cm3/s,求该气体通过半径为r 的管道时,其流量速率R的表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半 径为5cm,计算该气体的流量速率. 4.1992年底世界人口达到54.8亿, 若人口的平均增长率为x%,2008年底世界人 口数为y(亿),写出: (1)1993年底、1994年底、2000年底 的世界人口数; (2)2008年底的世界人口数y与x的 函数解析式.

人教版高中数学【必修一】[知识点整理及重点题型梳理]_指数函数、对数函数、幂函数综合_提高

人教版高中数学必修一 知识点梳理 重点题型(常考知识点)巩固练习 指数函数、对数函数、幂函数综合 【学习目标】 1.理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算. 2.理解指数函数的概念和意义,理解指数函数的单调性与特殊点. 3.理解对数的概念及其运算性质. 4.重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质,熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理. 5.会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6.知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(a >0,a≠1). 【知识框图】 【要点梳理】 要点一:指数及指数幂的运算 1.根式的概念 a 的n 次方根的定义:一般地,如果n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中*1,n n N >∈ 当n 为奇数时,正数的n 次方根为正数,负数的n n 为偶数时,正数 的n 次方根有两个,这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0. n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质: (1)当n a =;当n ,0, ,0;a a a a a ≥?==? -

)0,,,1m n a a m n N n =>∈>;()10,,,1m n m n a a m n N n a - = >∈> 要点诠释: 0的正分数指数幂等于0,负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质: ()0,0,,a b r s Q >>∈ (1)r s r s a a a += (2)()r s rs a a = (3)()r r r ab a b = 要点二:指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地,函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 2

2017-2018学年高一数学必修1全册同步课时作业含解析【人教A版】

2017-2018学年高一数学必修1 全册同步课时作业 目录

1.1.1-1集合与函数概念 1.1.1-2集合的含义与表示 1.1.1-3集合的含义与表示 1.1.2集合间的包含关系 1.1.3-1集合的基本运算(第1课时)1.1.3-2集合的基本运算(第2课时)1.1习题课 1.2.1函数及其表示 1.2.2-1函数的表示法(第1课时)1.2.2-2函数的表示法(第2课时)1.2.2-3函数的表示法(第3课时)1.2习题课 1.3.1-1单调性与最大(小)值(第1课时) 1.3.1-2单调性与最大(小)值(第2课时) 1.3.1-3单调性与最大(小)值(第3课时) 1.3.1-4单调性与最大(小)值(第4课时) 1.3.2-1函数的奇偶性(第1课时)1.3.2-2函数的奇偶性(第2课时)函数的值域专题研究 第一章单元检测试卷A 第一章单元检测试卷B 2.1.1-1基本初等函数(Ⅰ) 2.1.1-2指数与指数幂的运算(第2课时) 2.1.2-1指数函数及其性质(第1课时)2.1.2-2指数函数及其性质(第2课时)2.1.2-3对数与对数运算(第3课时)2.2.1-1对数与对数运算(第1课时)2.2.1-2对数与对数运算(第2课时)2.2.1-3对数与对数运算(第3课时)2.2.2-1对数函数及其性质(第1课时)2.2.2-2对数函数的图像与性质(第2课时) 2.2.2-3对数函数的图像与性质 2.3 幂函数 图像变换专题研究 第二章单元检测试卷A 第二章单元检测试卷B 3.1.1函数的应用 3.1.2用二分法求方程的近似解 3.2.1函数模型及其应用 3.2.2函数模型的应用实例 第三章单元检测试卷A 第三章单元检测试卷B 全册综合检测试题模块A 全册综合检测试题模块B 1.1.1-1集合与函数概念课时作业 1.下列说法中正确的是() A.联合国所有常任理事国组成一个集合 B.衡水中学年龄较小的学生组成一个集合 C.{1,2,3}与{2,1,3}是不同的集合 D.由1,0,5,1,2,5组成的集合有六个元素 答案 A 解析根据集合中元素的性质判断.

高中数学必修1公开课教案2.3.1 幂函数

2.3 幂函数 整体设计 教学分析 幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究 y =x,y =x 2,y =x 3,y =x -1 ,y =x 2 1 等函数的性质和图象,让学生认识到 幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性:当幂指数α>0时,幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1),且在第一象限内函数单调递增;当幂指数α<0时,幂函数的图象都经过点(1,1),且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习. 将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x 2,y=x -1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数:指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径. 学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析. 三维目标 1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣. 2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望. 3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力. 重点难点 教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1 1.如果张红购买了每千克1元的水果w 千克,那么她需要付的钱数p (元)和购买的水果量w (千克)之间有何关系?根据函数的定义可知,这里p 是w 的函数. 2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a 2,这里S 是a 的函数. 3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a 3,这里V 是a 的函数.

高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质 1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=-f (x ),则称f (x )为奇函数;如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=f (x ),则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质,则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f (x )既是奇函数,又是偶函数。 注意: ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○ 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x ,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ○ 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○ 2 确定f (-x )与f (x )的关系; ○ 3 作出相应结论: 若f (-x ) = f (x ) 或 f (-x )-f (x ) = 0,则f (x )是偶函数; 若f (-x ) =-f (x ) 或 f (-x )+f (x ) = 0,则f (x )是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称; ②设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇?奇=偶,偶+偶=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1f (x 2)),那么就说f (x )在区间D 上是增函数(减函数); 注意: ○ 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1

人教新课标版数学高一-人教A版必修一 函数的表示法(第一课时)

1.2.2函数的表示法第一课时 第一课时函数的表示方法 [读教材·填要点] [小问题·大思维] 1.任何一个函数都能用解析式表示吗? 提示:不一定.如学校安排的月考,某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析式表示. 2.已知函数f(x)如下表所示: x 123 4 f(x)-3-2-4-1 则f(x)的定义域是什么?值域是什么? 提示:由表格可知定义域为{1,2,3,4},值域为{-1,-2,-3,-4}. 3.如何判断一个图形是否可以作为函数图象? 提示:任作垂直于x轴的直线,如果图形与此直线至多有一个交点,则此图形可以作为函数图象;若图形与直线存在两个或两个以上的交点,则此图形不可作为函数的图象.如图,由上述判断方法可得,(1)可作为函数的图象,(2)不可作为函数的图象,因为存在垂直于x轴的直线与图形有两个交点.

待定系数法求函数解析式 [例1] 已知f (x )是二次函数,且f (0)=2,f (x +1)-f (x )=x -1,求f (x ). [自主解答] ∵f (x )为二次函数, ∴可设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). ∵f (0)=c =2. ∴f (x )=ax 2+bx +2. f (x +1)=a (x +1)2+b (x +1)+2 =a (x 2+2x +1)+bx +b +2 f (x +1)-f (x )=2ax +a +b =x -1 ∴????? 2a =1,a +b =-1 得??? a =1 2, b =-3 2 ∴f (x )=12x 2-3 2 x +2. 若将例1中“f (0)=2,f (x +1)-f (x )=x -1”改为“f (1)=2,顶点坐标为(1 2,-3)”,求 f (x ). 解:设二次函数f (x )=a (x -h )2+k (a ≠0) ∵顶点坐标为(1 2,-3) 则h =1 2,k =-3 ∴f (x )=a (x -1 2)2-3 又∵f (1)=2, ∴2=a (1 2 )2-3.

高中数学必修1幂函数测试卷

高中数学学科测试试卷 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一.单选题(共__小题) 1.已知幂函数f(x)过点,则f(4)的值为() A.B.1C.2D.8 答案:A 解析: 解:设幂函数f(x)=x a,x>0, ∵幂函数f(x)过点, ∴,x>0, ∴,∴, ∴f(4)==. 故选A. 2.幂函数y=(m2+2m-2)的图象过(0,0),则m的取值应是()A.-3或1B.1C.-3D.0<m<4 答案:B 解析: 解:由幂函数的定义得:m2+2m-2=1,且-m2+4m>0, 解得:m=1,

3.函数y= 的图象是( ) A . B . C . D . 答案:C 解析: 解:∵函数y=的定义域是[0,+∞), ∴排除选项A 和B , 又∵,∴曲线应该是下凸型递增抛物线. 故选:C . 幂函数y=x -1及直线y=x ,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一 象限分成八个“卦限”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如图所示),那么幂函数的图象经过的“卦限”是( ) A .④⑦ B .④⑧ C .③⑧ D .①⑤ 答案:D 解析: 解:取x=得∈(0,1),故在第⑤卦限; 再取x=2得∈(1,2),故在第①卦限

5.幂函数f(x)=xα的图象经过点,则的值为() A.4B.3C.2D.1 答案:C 解析: 解:幂函数f(x)=xα的图象经过点,所以,∴ ∴ 故选C. 二.填空题(共__小题) 6.若f(x)=x a是幂函数,且满足=3,则f()=______. 答案: 解析: 解析:设f(x)=xα,则有=3,解得2α=3,α=log23, ∴f()= = = = =. 故答案为: 7.设,则使函数y=xα的定义域为R且为偶函数的所有的α值为______.答案:,2

【高考调研】2020高中数学 课时作业2 新人教A版选修2-2

课时作业(二) 一、选择题 1.已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为11,则 lim Δx→0f x0-Δx-f x0 Δx =( ) A.11 B.-11 C.1 11 D.- 1 11 答案 B 2.函数f(x)在x=0可导,则lim h→a f h-f a h-a =( ) A.f(a) B.f′(a) C.f′(h) D.f(h) 答案 B 3.已知函数y=x2+1的图像上一点(1,2)及邻近点(1+Δx,2+Δy),则lim Δx→0Δy Δx = ( ) A.2 B.2x C.2+Δx D.2+Δx2答案 A 4.设f(x)为可导函数,且满足lim x→0f1-f1-2x 2x =-1,则f′(1)的值为( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 答案 B 二、填空题 5.一个物体的运动方程为S=1-t+t2,其中S的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是________. 答案5米/秒 6.函数y=(3x-1)2在x=x0处的导数为0,则x0=________. 答案1 3

解析Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(3x0+3Δx-1)2-(3x0-1)2=18x0Δx+9(Δx)2-6Δx, ∴Δy Δx =18x0+ 9Δx-6. ∴li m Δx→0 Δy Δx =18x0-6=0,∴x0= 1 3 . 7.设f(x)=ax+4,若f′(1)=2,则a=________. 答案 2 解析Δy=f(1+Δx)-f(1) =a(1+Δx)+4-a-4=aΔx. ∴f′(1)=li m Δx→0 Δy Δx =li m Δx→0 a=a. 又f′(1)=2,∴a=2. 8.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),则质点M的瞬时速度等于8 m/s时的时刻t的值为________. 答案 2 解析设时刻t的值为t0,则 Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=2(t0+Δt)2+3-2t20-3 =4t0·Δt+2·(Δt)2, Δs Δt =4t0+2Δt,lim Δt→0 Δs Δt =4t0=8,∴t0=2(s). 9.已知f(x)= 1 x ,则lim Δx→0 f2+Δx-f2 Δx 的值是________. 答案- 1 4 10. 如图,函数f(x)的图像是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),

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