2008年四川高考理科数学(非延考区)试题及答案详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

理科数学(非延考卷)

说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷． 一、选择题：（5'1260'?=）

1．若集合{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =2,，{234}B =，，，则()U C A B = （ ）

A ．{2,3}

B ．{1,4,5}

C ．{4,5}

D ．{1,5} 2．复数22(1)i i +=（ ）

A ．-4

B ．4

C ．-4i

D ．4i 3．2(tan cot )cos x x x +=（ ）

A ．tan x

B ．sin x

C ．cos x

D ．cot x

4．直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位后所得的直线为（ ）

A ．1133y x =-+

B ．113y x =-+

C ．33y x =-

D ．1

13

y x =+

5．若02απ≤<，sin 3cos αα>，则α的取值范围是（ ）

A ．(,)32ππ

B ．(,)3ππ

C ．4(,)33ππ

D ．3(,)32

ππ

6．从包括甲、乙共10人中选4人去参加公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的选法有（ ）

A ．70

B ．112

C ．140

D ．168 7．已知等比数列{}n a 中，21a =，则该数列前三项和3S 的取值范围是（ ）

A ．(,1]-∞-

B ．(,0)(1,)-∞+∞

C ．[3,)+∞

D ．

(,1][3,)-∞-+∞ 8．设M 、N 是球O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过N 、M 、

O 作垂直于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ）

A ．3：5：6

B ．3：6：8

C ．5：7：9

D ．5：8：9

9．设直线l ?平面α，过平面α外一点A 且与l 、α都成30?角的直线有且只有（ ）

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条 10．设()sin()f x x ω?=+，其中0?>，则函数()f x 是偶函数的充分必要条件是（ ）

A ．(0)0f =

B ．(0)1f =

C ．'(0)1f =

D ．'(0)0f =

11．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)13f x f x ?+=，(1)2f =，则(9)f =（ ）

A ．13

B ．2

C ．

132 D ．2

13

12．设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴相交于点K ，点A 在C 上且

2AK AF =，则AFK ?的面积为（ ）

A ．4

B ．8

C ．16

D ．32

二、填空题：（4'416'?=）

13．34(12)(1)x x +-的展开式中2x 项的系数是

14．已知直线:60l x y -+=，圆22:(1)(1)2C x y -+-=，则圆C 上各点到直线l 的距离的最小值是

15．已知正四棱柱的一条对角线长为6，且与底面所成的角的余弦值为33

，则该正四棱柱的体积是 ．

16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值是 .

三、解答题：（12'12'12'12'12'14'76'+++++=）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值和最小值．

18．设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为

0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立．

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）设ξ是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求ξ的分布列及期望．

19．如图，面ABEF ⊥面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，

90BAD BAF ∠=∠=?，BC //=12AD ，BE //=1

2AF ． （Ⅰ）求证：C 、D 、E 、F 四点共面；

（Ⅱ）若BA BC BE ==，求二面角A ED B --的大小．

20．设数列{}n a 满足：2(1)n n n ba b S -=-．

B

A C

D

E

F

（Ⅰ）当2b =时，求证：1{2}n n a n --?是等比数列； （Ⅱ）求n a 通项公式．

21．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，离心率2

2

e =，

右准线l 上的两动点M 、N ，且1

20FM F N ?=

． （Ⅰ）若1225F M F N ==

，求a 、b 的值； （Ⅱ）当MN 最小时，求证1

2FM F N + 与12F F

共线．

N

M O

x

y

1F 2F

22．已知3

x=是函数2

=++-的一个极值点．

()ln(1)10

f x a x x x

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求函数()

f x的单调区间；

（Ⅲ）当直线y b

=与函数()

=的图像有3个交点，求b的取值范围．

y f x

2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

理科数学

说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷． 一、选择题：（5'1260'?=）

1、解析：选B ．离散型集合的交并补，送分题．难度为三年来最低，究其原因，盖汶川地震之故．

2、解析：选A ．计算题，无任何陷阱，徒送分耳．2008四川考生因祸得福．

3、解析： 原式

32sin cos cos ()cos sin cos cos sin sin x x x x x x x x x =+=+ 23sin cos cos sin x x x x +=22cos (sin cos )sin x x x x +=

cos sin x

x =

cot x =，

选D ．同角三角函数基本关系式，切化弦技巧等，属三角恒等变换范畴，辅以常规的代数变形．中等生无忧．

4、解析：本题有新意，审题是关键．

旋转90?则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-

．再右移1得1

(1)

3y x =--．选A ．

本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．

5、解析：sin 3cos αα>，即s i n

3c o s 0αα->

，

即2s i n ()

3

π

α-

>，即

s i n ()

03

π

α-

>；

又由02απ≤<，得53

3

3π

π

πα-

≤-

<

；

综上，

03

π

απ

≤-

<，即43

3ππ

α≤<

．选C ．本题考到了正弦函数的正负

区间．

除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间．

3，4，5题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方．

6、解析：审题后针对题目中的至少二字，首选排除法．4410821070140C C -=-=．选

C ．本题应注意解题策略． 7、解析：

311S x x =++

(0)x ≠．由双勾函数1y x x =+的图象知，12

x x +≥或

1

2x x +

≤-，故本题选D ．本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象

和性质．以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多．

8、解析：由题知，M 、N 是OP 的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比．在球的轴载面图中易求得：

22

28()39R R R -=，22225()39R R R -=

，故三个圆的半径的平方之比为：

222

85::99R R R ，故本题选D ．本题着意考查空间想象能力．

9、解析：所求直线在平面α内的射影必与直线l 平行，这样的直线只有两条，选B ．本题考查空间角的概念和空间想象能力．

10、解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数()f x 是偶函数，则

2

k π

?π

=

+，

(0)1f =±，故排除A ，B ．

又'()cos()f x x ωω?=+，

2

k π

?π

=

+，'

(0)0f =．选D ．此为一般化思路．也可

走特殊化思路，取1ω=，

2π

?=±

验证．

11、解析：由()(2)13f x f x ?+=，知(2)(4)13f x f x +?+=

，所以(4)()f x f x +=，

即()f x 是周期函数，

周期为4．所以

1313

(99)(3424)(3)(1)2f f f f =+?==

=

．选C ．题着意考查抽象函

数的性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了．

12、解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图．28y x =的焦点(2,0)F ，准

线

2

x =-，

(2,0)K -．设

(,

A x y ，由

2

A K A F

=，得

2

2

2

2

(2)2(2)x y x

y +

+=

-+，即2222(2)2[(2)]x y x y ++=-+．化简得：

22124y x x =-+-，与

28y x =联立求解，解得：

2

x =，

4y =±．

11

44822AFK A S FK y ?=

??=??=，选B ．

本题的难度仅体现在对运算的准确性和快捷性上．

二、填空题：（4'416'?=） 13、答案：6-．

解析：二项式定理再现，难度高于文科。

．

34122122

3344(12)(1)(124)(1)x x C x C x C x C x +-=+?+?+-++ 2

x 项的系数是2112

434324624126C C C C -+=-+=-．这是中档略偏难的常规题．中差生在准确性和快捷性上有缺陷． 14、答案：22．

解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心(1,1)到直

线60x y -+=的距离6

322d =

=．故最小值为32222-=．

15、答案：2．

解析：由题意，2226

23cos 36a a h a θ?++=??==??，12a h =???=?，22V a h ?==

16、答案：4．

解析：由题意，11

434102545152a d a d ??+≥?????+≤??，即11

461051015a d a d +≥??+≤?，11235

23a d a d +≥??

+≤?，413a a d =+．

这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系1a od ，画出可行

域11235

23a d a d +≥??

+≤?（图略），画出目标函数即直线413a a d =+，由图知，当直线413a a d =+过可行域内(1,1)点时截距最大，此时目标函数取最大值44a =．本题

明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本题的命题意图．

因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设

111213(23)(2)a d a d a d λλ+=+++，由

121221323

λλλλ+=??

+=?解得12

13λλ=-??

=?，∴1113(23)3(2)a d a d a d +=-+++，由不等式的性质得：1123523a d a d +≥??

+≤?

11(23)53(2)9a d a d -+≤-???

+≤? 11(23)3(2)4a d a d ?-+++≤，即4134a a d =+≤，4a 的最大值是4．

从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本题解题策略的选择至关重要．

三、解答题：（12'12'12'12'12'14'76'+++++=）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17、解析：

24

74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+- 2484sin cos 14cos 4cos x x x x =--+-

2284sin cos (12cos )x x x =---

282sin 2cos 2x x =--

282sin 2(1sin 2)x x =---

272sin 2sin 2x x =-+

26(1sin 2)x =+- max 10y =，min 6y =．

解析：

24

74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+- 2272sin 24cos (1cos )x x x =-+-

2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+

26(1sin 2)x =+-

max 10y =，min 6y =．

18、解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了． （Ⅰ）0.5(10.6)(10.5)0.6P =?-+-?0.20.30.5=+= （Ⅱ）1(10.5)(10.6)0.8P =---= （Ⅲ）ξ可取0，1，2，3．

33(0)(10.8)0.008P C ξ==?-=

1

23(1)(10.8)0.80.096P C ξ==?-?=

223(2)(10.8)0.80.384P C ξ==?-?= 3

33(3)0.80.512P C ξ==?=

ξ的分布列为

ξ

0 1 2 3 P

0.00

8

0.096

0.384

0.512

~(3,0.8)B ξ

30.8 2.4E ξ=?=．

19、解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题． （Ⅰ）∵面ABEF ⊥面ABCD ，90AF AB ⊥=? ∴AF ⊥面ABCD ．

∴以A 为原点，以AB ，AD ，AF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，

建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． 不妨设AB a =，2AD b =，2AF c =，则

(0,0,A ，

(,0,0)B a ，(,,0)C a b ，(0,2,0)D b ，(,0,)E a c ，(0,0,2)F c ． ∴(0,2,2)DF b c =- ，(0,,)CE b c =- ，∴2DF CE = ， ∴//DF CE ，

∵E DF ?，∴//DF CE ， ∴C 、D 、E 、F 四点共面．

（Ⅱ）设1AB =，则1BC BE ==，∴(1,0,0)B ，(0,2,0)D ，(1,0,1)E ．

设平面AED 的法向量为1111(,,)n x y z =

，

由1100n AE n AD ??=???=?

? ，得1110

20x z y +=??

=?，1(1,0,1)n =- 设平面BED 的法向量为2222(,,)n x y z =

由2100n BE n BD ??=???=?

? ，得222020z x y =??

-+=?，2(2,1,0)n =

12cos ,n n <> 12

12n n n n ?=? 225=?105= 由图知，二面角A ED B --为锐角，∴其大小为10

arccos

5．

20、解析：由题意，在2(1)n

n n ba b S -=-中，令1n =，得112(1)ba b a -=-，12a =． 由2(1)n

n

n ba b S -=- 得

1112(1)n n n ba b S ----=-(2,*)n n N ≥∈ 两式相减得：

1

1()2(1)n n n n b a a b a ----=- 即1

12n n

n a ba --=+(2,*)n n N ≥∈ …………① （Ⅰ）当2b =时，由①知，1

122n n n a a --=+

于是11

122(1)2n n n n a n a n ----?=--?

212[(1)2]n n a n --=--?(2,*)n n N ≥∈

又1111210a --?=≠，所以1{2}n n a n --?是首项为1，公比为2的等比数列．

（Ⅰ）变：当2b =时，求n a 的通项公式．解法如下：

解：当2b =时，由①知，1

122n n n a a --=+

两边同时除以2n

得

111222n n n n a a --=+(2,*)n n N ≥∈ 111222n n n

n a a ---=(2,*)n n N ≥∈

∴{

}2n n

a 是等差数列，公差为12，首项为112a =

∴11

1(1)(1)222n n a n n =+-=+

∴1(1)2n n a n -=+（∴1122n n n a n ---?=，∴1{2}n n

a n --?是等比数列，首项为1，公比为2）

（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知，1

12

2n n n a n ---?=，即1(1)2n n a n -=+?

当2b ≠时，由①：1

12n n n a ba --=+

两边同时除以2n

得1112

222n n n n a a b --=?+ 可设11()222n n n n a a b λλ--+=?+ …………②

展开②得1122222n n n n a a b b λ---=?+?，与1112

222n n n

n a a b --=?+比较， 得212

2b λ-?=，∴12b λ=

-． ∴11

11()2222

2n n n n a a b b b --+=?+-- ∴1

{

}22n n

a b +-是等比数列，公比为2b ，首项为11

122b b b -+

=

--

∴1

11()2222n n n

a b b b b --+=?-- ∴111()2

222n n n

a b b b b --=?---

∴11

112(1)22()2222n n n

n n b b b b a b b b -----??=?-=??---??

21、解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．

（Ⅰ）由已知，1(,0)F c -，2(,0)F c ．由2

2e =，

2212c a =，∴222a c =． 又222a b c =+，∴22b c =，22

2a b =．

∴l ：2222a c x c c c ===，1(2,)M c y ，2(2,)N c y ．

延长2NF 交1MF 于P ，记右准线l 交x 轴于Q ． ∵120FM

F N ?= ，∴12FM F N ⊥

．12F M F N ⊥ 由平几知识易证1Rt MQF ?≌2Rt F QN ? ∴13QN FQ c ==，

2QM F Q c

==

即

1y c

=，23y c =． ∵1225F M F N ==

，

∴22920c c +=，22c =，22b =，2

4a =．

∴2a =，2b =．

（Ⅰ）另解：∵120FM F N ?= ，∴12(3,)(,)0c y c y ?=，

2

1230y y c =-<． 又1225F M F N ==

联立

2

1222

1222392020y y c c y c y ?=-?+=??+=?

，消去1y 、2y 得：222

(209)(20)9c c c --=，

整理得：42

92094000c c -+=，

22(2)(9200)0c c --=．解得22c =．但解此方程组要考倒不少人．

（Ⅱ）∵1212(3,)(,)0FM F N c y c y ?=?= ，∴

2

1230y y c =-<．

22

222121212121212222412MN y y y y y y y y y y y y c =-=+-≥--=-= ．

当且仅当123y y c =-=或213y y c =-=时，取等号．此时

MN

取最小值

23c ．

此时1212(3,3)(,3)(4,0)2FM

F N c c c c c F F +=±+==

． ∴12FM

F N + 与12F F

共线． （Ⅱ）另解：∵120FM F N ?= ，∴12(3,)(,)0c y c y ?=，2

123y y c =-．

设1MF ，2NF 的斜率分别为k ，1

k -

．

由1()32y k x c y kc x c =+??=?=?，由21()2y x c c y k k x c ?=--?

?=-??=?

121323MN y y c k c k =-=?+≥ ．当且仅当

13k k =即213k =，33k =±

时取等号．

即当MN

最小时，

33k =±

，

此

时

1

2

(

3

c F M k

+

=

． ∴12FM

F N + 与12F F

共线．

22、解析：似曾相识．通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得分．本卷后三难中，压轴题最熟最易入手．

（Ⅰ）

2

()ln(1)10f x a x x x =++- '()2101a

f x x x =

+-+

3x =是函数2

()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．

'(3)404a

f =-=

16a =

（Ⅱ）由（Ⅰ）

2

()16ln(1)10f x x x x =++-，(1,)x ∈-+∞．

2

16

286

2(1)(3)

'()210

11

1x x x x f x x x x x -+--=+

-

==

+++

令'()0f x =，得1x =，3x =．

'()f x 和()f x 随x 的变化情况如下：

x

(1,1)-

1

(1,3) 3 (3,)+∞

'()f x + 0

-

+ ()f x

增

极大值 减

极小值

增

()f x 的增区间是(1,1)-，(3,)+∞；减区间是(1,3)．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在(1,1)-上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减． ∴

()(1)16ln 29

f x f ==-极大，

()(3)32ln 221

f x f ==-极小．

又1x +

→-时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞；

可据此画出函数()y f x =的草图（图略），由图可知，

当直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点时，b 的取值范围为

(32ln 221,16ln 29)--．