基于单层小波变换的压缩感知图像处理

2010年8月Journal on Communications August 2010 第31卷第8A期通信学报V ol.31No.8A 基于单层小波变换的压缩感知图像处理

岑翼刚1，陈晓方2，岑丽辉2，陈世明3

(1.北京交通大学信息科学研究所，北京 100044；2.中南大学信息科学与工程学院，湖南长沙 410083；

3. 华东交通大学电气与电子工程学院，江西南昌 330013)

摘 要：根据图像小波变换系数层的特点，提出了基于单层小波变换的压缩感知算法，保留图像低频系数，只对高频系数进行测量。重构时，利用正交匹配追踪算法（OMP）对高频系数进行恢复，再进行小波反变换重构图像。

仿真结果表明，与原有压缩感知算法相比，重构图像质量得到极大提升，在相同的测量点数下，PSNR平均提高2～4dB。

关键词：压缩感知；图像处理；单层小波变换；图像编码

中图分类号：TN911.72 文献标识码：A 文章编号：1000-436X(2010)8A-0052-04

Compressed sensing based on the single layer

wavelet transform for image processing

CEN Yi-gang1, CHEN Xiao-fang2,CEN Li-hui2, CHEN Shi-ming3

(1. Institute of Information Science, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China;

2. Institute of Information Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;

3. School of Electrical & Electronic Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China)

Abstract: According to the properties of wavelet transform sub-bands, an improved compressed sensing algorithm based on the single layer wavelet transform was proposed, which only measured the high-pass wavelet coefficients of the image but preserving the low-pass wavelet coefficients. For the reconstruction, by using the orthogonal matching pursuit (OMP) algorithm, high-pass wavelet coefficients could be recovered by the measurements. Then the image could be recon-structed by the inverse wavelet transform. Compared with the original compressed sensing algorithm, simulation results demonstrated that the proposed algorithm improved the quality of the recovered image significantly. For the same meas-urement number, the PSNR of the proposed algorithm was improved about 2~4dB.

Key words: compressed sensing; image processing; single layer wavelet transform; image coding

1引言

信息技术的飞速发展使得人们对信息的需求量剧增，信号从模拟到数字的转换一直都严格遵守着奈奎斯特采样定理，它指出，采样速率必须达到信号带宽的2倍以上才能精确重构信号。随着传感系统获取数据能力不断增强，需要处理的数据量也不断增多，这给信号处理的能力提出了更高的要

收稿日期：2010-06-02

基金项目：国家自然科学基金资助项目(60802045, 60804066, 60903066)；教育部留学回国人员基金资助项目([2009] 1001)；中央高校基本科研业务费专项资金资助(2009JBM028)

Foundation Items: The National Natural Science Foundation of China (60802045, 60804066, 60903066); The Scientific Research Foundation for Returned Overseas Chinese Scholars ([2009] 1001); The Fundamental Research Funds for the Central Universities of China (2009JBM028)

第8A 期 岑翼刚等：基于单层小波变换的压缩感知图像处理 ·53·

求，也给相应的硬件设备带来极大的挑战。而在实际中，为了降低存储、处理和传输成本，人们常采用高速采样再压缩的方法，这浪费了大量的采样资源。近年来，出现了一种新的理论——compressed sensing(或CS, compressive sampling)[1,2]，即压缩感知，或者叫压缩采样。其利用其他变换空间描述信号，使得在保证信息不损失的情况下，用远低于采样定理要求的速率采样信号的同时，又可完全恢复信号，即将对信号的采样转变为对信息的采样。这极大的降低了信号的采样频率、信号处理的时间和计算成本以及数据存储和传输的代价，带领信号处理进入一个新的革命时代。压缩感知理论出现时间不长，其理论还存在很多问题需要解决，目前国内也陆续出现这方面的研究工作[3~5]，但主要集中在对已有理论的介绍，更深入的研究还有待进一步开展。

2 压缩感知理论简介

设1N x R ×∈为一维信号，则其可以由一组正交基展开（例如小波基）1{,,}N ψψ="Ψ，即

1N

k k k x y y ψ===∑Ψ (1) 其中，,k k y x ψ=<>，反变换为H x y =Ψ，此处，

H H ==I ΨΨΨΨ，N N ×∈C Ψ，I 为单位矩阵。当信号x 在某个基Ψ上仅有k N ?个非零系数k y 时，

称Ψ为信号x 的稀疏基。

一般来说，信号本身并不是稀疏的，但是经过某种变换（如小波变换）之后，其系数可以认为是稀疏的，例如，对信号进行小波变换之后，可以通过保留其系数中的K 个较大的分量，而把其他N ?k 个分量置零（因为这N ?K 个变换域系数对信号重构的贡献很小），然后进行小波反变换得到重构的近似信号。这样，即可以认为信号x 在小波基Ψ下是K 稀疏的。

对于信号x ，可将其投影到一组测量向量1{,,}M φφ="Φ上，得到x 的M 个线性测量，即

s x =Φ (2)

M N R ×∈Φ，这里，Φ的每一行可以看作一个传

感器，它与信号相乘，拾取了信号的一部分信息，

根据这M 个测量和Φ，就可以重构原始信号了，

将式(1)代入式(2)得到

s y y ==ΦΨΦ (3) 其中=ΘΦΨ为M N ×矩阵。由此看到，压缩感知将信号x 从N 维降为M 维观测信号s ，由于式(2)中未知数个数N 大于方程个数M ，若直接求解式(2)来重构信号不能得到确切解。而式(3)中的y 是K 稀疏的，即仅有K 个非零系数，且K M N <≤，则可通过已有的稀疏分解算法求解式(3)的逆问题得

到稀疏系数y ，再通过式(1)得到重构信号x 。

文献[6]指出，为保证算法收敛性，式(3)中的Φ必须满足(RIP, restricted isometry property)准则，即对任意具有严格K 稀疏的矢量v ，Φ满足

2

2

||||11||||εε?+v v ≤≤Φ (4) 其中0ε>，RIP 准则的一种等价情况是测量矩阵Φ和稀疏矩阵Ψ满足不相关性的要求[6,7]。对于CS 理论，其逆变换重构过程为求解如下的l 0范数下的最优化(Optimization)问题：

0min ||||l y ，且满足等式约束H y s =ΦΨ (5)

而0l 范数的求解是个NP-hard 问题，因此可以将问题转换为[8]：

1min ||||l y ，且满足等式约束H y s =ΦΨ (6) 对于上式中1l 最小范数下的最优化问题，目前的求解算法有匹配追踪法[9]、正交匹配追踪法(OMP)[7]，

梯度投影法(GP)[10]、链式追踪法[11]等。

3 基于单层小波变换的压缩感知算法

在原有CS 算法的图像处理中，将N ×N 的图像首先进行某种变换，如DCT 变换、小波变换等，然后构造测量矩阵Φ（测量矩阵可以使用服从(0,1/N )分布的随机高斯矩阵、或者贝努里分布的1±矩阵，也称Noiselet 等），利用Φ对全部的小波变换系数进行测量，得到M ×N 大小的测量系数。恢复图像的时候，根据Φ和M ×N 大小的测量系数，通过OMP 算法等恢复出原图像。

研究中发现，原有的CS 算法中，小波分解层次对重构结果有着重大影响，分解层次太少重构效果太差，随着分解层数增多重构效果增强，这是因

为小波分解将原图像分为高频子带和低频子带，高

频子带可以认为是稀疏的，但低频子带是原图像在

不同尺度下的逼近信号，不能认为是稀疏的，而将

低频与高频系数一起与测量矩阵Φ相乘则会破坏

了低频逼近分量系数之间的相关性，导致重构效果

·54· 通 信 学 报 第31卷

变差。当小波分解层次只有1层时，重构的图像已经几乎看不出原貌。因此，小波变换层次应该尽可能的大，一般对256×256的图像分解层次应该在4层以上。即便如此，如图1中带星号的曲线所示，恢复的图像质量也不尽人意。因此，在本文中对CS 算法进行了改进，提出了基于单层小波变换的CS 改进算法。

改进的CS 算法思想为：由于小波变换后图像低频子带对图像重构起到了很重要的作用，因此只对原图像进行单层小波变换，然后只对第一层高频子带进行测量，对低频逼近子带则保留小波分解的系数，这样一方面可以有效减少重构图像所需的数据量，另一方面可以十分有效的提高重构图像质量，具体实现算法如下。

步骤1 对N ×N 的图像进行1层小波分解，得到{LH 1, HL 1, HH 1, LL 1} 4个小波子带系数。

步骤2 选择合适的M 值，

构造/2M N ×大小的服从(0,1/)N 高斯分布的测量矩阵Φ分别对LH 1, HL 1, HH 1进行测量，得到3个子带的测量系数值矩阵，而低频LL 1子带系数则保持不变。

步骤3 利用OMP 算法分别对测量后的3个

高频系数矩阵进行重构得到

，并与LL 1子带一起进行小波反变换得到恢复的图像。

4 仿真结果

根据上述步骤，对256×256的Lena 图像进

行实验，选取近似对称的小波函数sym8对图像进行4层分解，测量矩阵为服从(0,1/N )分布的随机高斯矩阵，重构时使用OMP 算法进行恢复。在本文的改进算法中，只对高频子带测量，而256×256的图像一层小波分解后3个高频子带均为128×128，所以测量矩阵Φ的行数M 必须满足1128M ≤≤，若M ＝0，则相当于将小波分解的3个高频子带全部置零，只用低频系数恢复原图像，分别取30,40,,120M ="进行仿真。同样对Lena 图像利用原有的CS 算法进行仿真比较，分别取100M =，110,,250"，实验结果如图1所示。其中，横轴为经过测量后的系数点个数，纵轴为恢复图像的PSNR ，可以看到，本文提出的改进算法比原有CS 算法有较大的提高，平均PSNR 提高2～4dB 。

由于CS 算法中采用的测量矩阵为随机矩阵，因此在仿真实验时，每次生成的测量矩阵均不相同，这会影响到图像重构效果，经过大量实验，发现在同样的M 值下，重构图像的PSNR 相差会在0.2±dB 左右。因此每次改变M 值之后，均将程序运行3次取其平均值绘制得到图1。

图1 Lena 图像本文算法与原有CS 算法重构图像PSNR 比较

同样，对256×256的Barbara 和Cameraman 图像也分别用CS 算法和改进的CS 算法进行了实验，结果分别如图2和图3所示。可以看到，

Barbara

图2 Barbara 图像（文算法与原有CS 算法重构图像PSNR 比较）

图3 Cameraman 图像（算法与原有CS 算法重构图像PSNR 比较）

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岑翼刚（1978-），男，布依族，博士，北京交通大学信息科学研究所讲师，主要研究方向为小波分析、数字图像处理、数字信号处理。

陈晓方（1975-），男，博士，中南大学信息科学与工程学院讲师，主要研究方向为复杂系统建模与优化控制、遗传算法、原料供需链优化等。

岑丽辉（1977-），女，布依族，博士，中南大学信息科学与工程学院讲师，主要研究方向为预测控制，小波分析等。

图像无论是原始的CS 算法还是本文提出的改进CS 算法，其PSNR 值均没有Lena 图像和Cameraman 图像的高，这是因为Barbara 图像中高频成分较多，因此高频子带系数会比较大，经过随机矩阵Φ测量后损失较多，而Lena 和Cameraman 图像低频成分较多，因此恢复图像质量较高。

5 结束语

本文首先简要介绍了压缩感知算法的原理及其实现方法，在原有CS 算法的基础上，根据图像小波分解系数中低频子带的特点，提出了基于单层小波变换的压缩感知改进算法，与原有CS 算法相比较，本文算法取得了较好的效果，PSNR 平均有2～4dB 的大幅提高。 参考文献：

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作者简介：

陈世明（1977-），男，博士，华东交通大学电子与电气工程学院副教授，主要研究方向为复杂群体系统的建模及控制、复杂网络理论及应用、多机器人系统等。