3.1.2导数的概念导学案

3.1.2导数的概念导学案
3.1.2导数的概念导学案

3.1.2导数的概念导学案(文科)

学习目标

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;

2.从解析式的角度理解导数,知道瞬时变化率就是导数。

3.会求函数在某点的导数.

学习过程

一、合作探究

探究任务一:瞬时速度

问题1:在高台跳水运动中,运动员有不同时刻的速度是 新知:

1.瞬时速度定义:物体在某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度. 探究任务二:导数

问题2: 瞬时速度是平均速度t

s ??当t ?趋近于0时的 导数的定义:函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是

0000()()lim lim x x f x x f x f x

x ?→?→+?-?=??,我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0|x x y ='即000()()

()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 概念理解:导数x

x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率,它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.

二、例题讲解

例 1质点运动规律s=t 2

+3,求质点在t=3的瞬时速度

例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时,原油的温度(单位:0c )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计

算第2h 和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

【总结归纳】求导数的步骤:

①求函数的增量:=?y ②求平均变化率:

=??x

y ③取极限,得导数:=)(0'x f 变式练习

1.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.

2 .(1)求函数23x y =在1=x 处的导数.

(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数.

3.一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是2()s t t =(位移单位:m ,时间单位:s),求小球在5t =

4.一质点按规律s (t )=at 2+1作直线运动(位移单位:m ,时间单位:s),若该

质点在t =2 s 时的瞬时速度为8 m/s ,求常数a 的值.

当堂检测

1. 一直线运动的物体,从时间t 到t t +?时,物体的位移为s ?,那么0lim t s t

?→??为( )

A.从时间t 到t t +?时,物体的平均速度;

B.在t 时刻时该物体的瞬时速度;

C.当时间为t ?时物体的速度;

D.从时间t 到t t +?时物体的平均速度

2. 2y x =在 x =1处的导数为( )

A .2x

B .2

C .2x +?

D .1

3. 在0000()()()lim x f x x f x f x x

?→+?-'=?中,x ?不可能( ) A .大于0 B .小于0

C .等于0

D .大于0或小于0

4.如果质点A 按照规律s =3t 2运动,则在t =3时的瞬时速度为 ( ).

A .6

B .18

C .54

D .81

5. 若0()2f x '=-,则0001[]()2lim k f x k f x k

→--等于 6设4)(+=ax x f ,若2)1('=f ,则a 的值( )

A 2

B . -2

C 3

D -3

7.任一做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=,则物体的初速度是( )

A 0

B 3

C -2

D t 23- 8.13-=x y ,当2=x 时 ,=??→?x

y x lim 0 9.求y =2x 2+4x 在点x =3处的导数.

10 物体作自由落体运动,运动方程为: 其中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求:

(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度;

(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度;

(3) 物体在t =2(s)时的瞬时速度.

11.若一物体的运动方程为

{30,133,)3(32922<≤+≥-+=t t t t s ,求此物体在t=1和t=4时的瞬时速度 221

gt s =

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时,x y ??有极限,我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。 即f (x 0)=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明:

(1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→?x 时,x y ??有极限。如果x y ??不存在极限,就说函数在点x 0处不可导, 或说无导数。 (2)x ?是自变量x 在x 0处的改变量,0≠?x 时,而y ?是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤: (1)求函数的增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0); (2)求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00; (3)取极限,得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。相应地,切线方程为y -y 0=f/(x 0)(x -x 0)。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( .)' ''v u v u ±=± 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数, 即: .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: .)(''Cu Cu = 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方: ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -(v ≠0)。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y '|x = y '|u ·u '|x 五、导数应用 1、单调区间: 一般地,设函数)(x f y =在某个区间可导,

导数的概念导学案

导数的概念导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

预习目标:“导数的概念”了解瞬时速度的定义,能够区分平均速度和瞬时速 度,理解导数(瞬时变化率)的概念 预习内容: 问题1 我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地,若物体的运动规律为 )(t f s =,则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ?+这段时间内,当_________时平均速度的极限,即t s v x ??=→?0lim =___________________ 问题2 函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的______,记作'0()f x 或________,即___________________________________________________________. 提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑? 课内探究学案 一:探究求导数的步骤: (即________变化率) 二:精讲点拨 例1(1)求函数23x y =在1=x 处的导数. (2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 三:有效训练 求22+=x y 在点x=1处的导数. );()()1(00x f x x f y -?+=?求增量;)()()2(00x x f x x f x y ?-?+=??算比值时)(在求0.)3(0→???='=x x y y x x

高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计

《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书( A 版)数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》,《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后,过渡到瞬时变化率,从而得出导数的概念,再从平均变化率的几何意义,迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一,是从生产技术和自然科学的需要中产生的,它深刻揭示了函数变化的本质,其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用,而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中,导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看,导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点,是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具, 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看,导数是函数一章学习的延续和深化,也是对极限知识的发展, 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础, 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度,因此,先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度, 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型, 并将瞬时变化率定义为导数,这是符合学生认知规律的. 而在第一课时平均变化率的学习中,课本给出了一个思考,观察函数 )(x f y 的图像,平均变化x y 表示什么?这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此,在将瞬时变化率定义为导数之后, 立即让学生继续探索导数的几何意义,学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知,解析式抽象三个角度认识导数的含义,应用导数的定义求简单函数在某点处的导数, 掌握求导数的基本步骤,初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力,通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观

导数学案(有答案)

3.1.1平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题. 1.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为____________.习惯上用Δx表示________,即__________,可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”,可用__________代替x2;类似地,Δy=__________,因此,函数f(x)的平均变化率可以表示为________. 2.函数y=f(x)的平均变化率Δy Δx= f(x2)-f(x1) x2-x1 的几何意义是:表示连接函数y=f(x)图象 上两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))的割线的________. 一、填空题 1.当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________.(填序号) ①在[x0,x1]上的平均变化率; ②在x0处的变化率; ③在x1处的变化率; ④以上都不对. 2.设函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数的增量Δy=______________. 3.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,f(1+Δx)),则Δy Δx= ________. 4.某物体做运动规律是s=s(t),则该物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是______________. 5.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是________. 6.已知函数y=f(x)=x2+1,在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为________. 7.过曲线y=2x上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为______. 8.若一质点M按规律s(t)=8+t2运动,则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________. 二、解答题 9.已知函数f(x)=x2-2x,分别计算函数在区间[-3,-1],[2,4]上的平均变化率.10.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率.

《导数的概念》(第1课时)教案1

导数的概念(第1课时) 一、教学目标: 1.了解曲线的切线的概念. 2.在了解瞬时速度的基础上,抽象出变化率的概念. 3.掌握切线的斜率、瞬时速度,它们都是一种特殊的极限,为学习导数的定义奠定基础. 二、教学重点:切线的概念和瞬时速度的概念. 教学难点:在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念. 三、教学用具:多媒体 四、教学过程: 1.曲线的切线 如图,设曲线C 是函数)(x f y =的图像,点),(00y x P 是曲线C 上一点,点),(00y y x x Q ?+?+是曲线C 上与点P 邻近的任一点.作割线PQ ,当点Q 沿着曲线C 无限地趋近于点P ,割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT .我们就把极限位置上的直线PT ,叫做曲线C 在点P 处的切线. 问:怎样确定曲线C 在点P 处的切线呢?因为P 是给定的,根据解析几何中直线的点斜式方程的知识,只要求出切线的斜率就够了.设割线PQ 的倾斜角为β,切线PT 的倾斜角为α,既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线,所以割线PQ 斜率的极限就是切线PT 的斜率αtan ,即.)()(lim lim tan 0000x x f x x f x y x x ?-?+=??=→?→?α 例题 求曲线12+=x y 在点P (1,2)处的切线的斜率k . 解:x x x f x f x f x x f y ?+?=+-+?+=-?+=-?+=?2)11(1)1()1()1()()(2200 222+?=??+?=??x x x x x y ∴2)2(lim lim 0 0=+?=??=→?→?x x y k x x ,即2=k . 2.瞬时速度 我们知道,物体作直线运动时,它的运动规律可用函数)(t s s =描述.

高等数学导数的概念学习教案.docx

教学合班 1:专业班合计人授课 合班 2:专业班合计人日期对象 合班 3:专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划 内容 第一节导数的概念 2学时 (课题) 通过学习,学生能够: 1.理解导数概念,会用定义求函数在一点处的导数; 2.理解导数的几何意义,会求曲线的切线; 3.理解可导与连续的关系。 具体目标如下: 教学 目的 知识目标:技能目标:素养目标: 教学重点难点教学资源 1.理解导数的概念;1.会用定义求函数在一点处 1 .培养学生的数学思维 2.理解导数的几何意义;的导数;能力和解决问题的能 3.把握可导与连续的关系。2.会求曲线的切线。力; 2.培养学生严谨、求实 的作风。 重点:导数的定义。 难点:理解导数的几何意义。 教材、例子(幻灯片)、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任:系主任:教务处:

教学活动流程 教学步骤与内容教学目标教学方法时间 对前面的知 识进行复习 A. 复习内容与巩固,并简述 1.极限的定义为新知识和6mins 2.极限的计算方法新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书 ( 或 PPT展 B. 板书课题,明确学习目标及主要学习内容示)课题简介 明确本次课的辅以2mins (略。详见教案首页)内容重点及目PPT展示 标 C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念,要更好地理解导数 的概念,应从解决实际问题的背景出发,在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动,质点的运行路程s与时间t的 关系为 s s(t ) ,求质点在 t0时刻的瞬时速度. 分析:如果质点做匀速直线运动,给时间一个增量t ,讲解20mins 那么质点在时刻 t0与时刻 t0t 间隔内的平均速度也就是 辅以 PPT展示 引入导数概念 质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 ) t 在匀速直线运动中,这个比值是常数,但是如果质点作 变速直线运动,它的运行速度时刻都在发生变化,为了计算 瞬时速度,首先在时刻 t0任给时间一个增量t ,考虑质点由 t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度:v s(t0t )s(t0 ) t

导数典型例题.doc

导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大 .考点涉及到了导数的所有内容,如导数的定 义,导数的几何意义、物理意义,用导数研究函数的单调性,求函数的最(极)值等等, 考查的题型有客观题(选择题、填空题) 、主观题(解答题)、考查的形式具有综合性和多 样性的特点.并且,导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考 查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)…(x-100)在x= 0处的导数值为 2 A.0 B.100 C.200 D.100 ! 解法一 “(0、_ .. f (° tx) _f(o) .. .-xC-x-DO-2V'^-100)-0 解法 f (0)_叽 L _叽 - _ ||m (A x-1)( △ x-2)…(△ x-100)_ (-1) (-2)-( - 100) =100 ! ???选 D. .x _0 解法二 设 f(x)_a 101x 101 + a 100X 100+ …+ a 1X+a 0,则 f z (0)_ 而 a 1_ (-1)(-2 ) - (- 100) _100 ! . ???选 D. 点评解法一是应用导数的定义直接求解, 函数在某点的导数就是函数在这点平均变化 率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解 111 【例2】已知函数f(x)_ c ; c ^x ? — C ;X 2亠■亠— C ;X k 亠■亠一

3.1 导数的概念及其运算导学案

§3.1 导数的概念及其运算 2014高考会这样考 1.利用导数的几何意义求切线方程;2.考查导数的有关计算,尤其是简单的复合函数求导. 复习备考要这样做 1.理解导数的意义,熟练掌握导数公式和求导法则;2.灵活进行复合函数的求导;3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程. 1. 函数y =f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y =f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)-f (x 1) x 2-x 1,若Δx =x 2-x 1,Δy =f (x 2)-f (x 1),则平 均变化率可表示为Δy Δx . 2. 函数y =f (x )在x =x 0处的导数 学&科& (1)定义 称函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率lim Δx → f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =lim Δx →0 Δy Δx 为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0),即f ′(x 0)=lim Δx → Δy Δx =lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx . (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y =f (x )上点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y -f (x 0)=f ′(x 0)(x -x 0). 3. 函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )=lim Δx → f (x +Δx )-f (x ) Δx 为f (x )的导函数,导函数有时也记作y ′. 4. 基本初等函数的导数公式

5. (1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); (2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ); (3)?? ??f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x ) g 2(x ) (g (x )≠0). 6. 复合函数的导数 复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为y ′x =y ′u ·u ′x ,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. [难点正本 疑点清源] 1. 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数; (2)函数y =f (x )的导函数,是针对某一区间内任意点x 而言的.如果函数y =f (x )在区间(a ,b )内每一点x 都可导,是指对于区间(a ,b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0).这样就在开区间(a ,b )内构成了一个新函数,就是函数f (x )的导函数f ′(x ).在不产生混淆的情况下,导函数也简称导数. 2. 曲线y =f (x )“在点P (x 0,y 0)处的切线”与“过点P (x 0,y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y =f (x )在点P (x 0,y 0)处的切线是指P 为切点,切线斜率为k =f ′(x 0)的切线,是唯一的一条切线. (2)曲线y =f (x )过点P (x 0,y 0)的切线,是指切线经过P 点.点P 可以是切点,也可以不

《导数的概念》说课稿与教学说明

《导数的概念》说课稿 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书(A版)数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》,《导数的概念》是第2课时. 教学内容分析 1.导数的地位、作用 导数是微积分的核心概念之一,它是一种特殊的极限,反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具,同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础.同时,导数在物理学,经济学等领域都有广泛的应用,是开展科学研究必不可少的工具. 2.本课内容剖析 教材安排导数内容时,学生是没有学习极限概念的.教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象,不适合在没有任何极限认识的基础上学习.所以,让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础.另一方面,函数是高中的重要数学概念,而导数是研究函数的有力工具,因此,安排先学习导数方便学生学习和研究函数. 基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度,因此,先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度,再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数,这是符合学生认知规律的. 进行导数概念教学时还应该看到,通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度;从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想.

教学目的 1.使学生认识到:当时间间隔越来越小时,运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数,并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度; 2.使学生通过运动物体瞬时速度的探求,体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率,并由此建构导数的概念; 3.掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤; 4.通过导数概念的构建,使学生体会极限思想,为将来学习极限概念积累学习经验; 5.通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程. 教学重点 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求,抽象概括出函数导数的概念. 教学难点 使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义,由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率,并由此得出导数的概念. 教学准备 1.查找实际测速中测量瞬时速度的方法; 2.为学生每人准备一台Ti-nspire CAS图形计算器,并对学生进行技术培训; 3.制作《数学实验记录单》及上课课件. 教学流程框图 教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律,使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象,再通过表象抽象出导数概念,并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质.教学的主要过程设计如下:

导数的概念与计算练习题带答案

导数的概念与计算练习 题带答案 公司内部编号:(GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

导数概念与计算 1.若函数42()f x ax bx c =++,满足'(1)2f =,则'(1)f -=( ) A .1- B .2- C .2 D .0 2.已知点P 在曲线4()f x x x =-上,曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=,则点 P 的坐标为( ) A .(0,0) B .(1,1) C .(0,1) D .(1,0) 3.已知()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x =( ) A .2e B .e C .ln 22 D .ln 2 4.曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为( ) A .1 B .2 C .e D .1e 5.设0()sin f x x =,10()'()f x f x =,21()'()f x f x =,…,1()'()n n f x f x +=,n N ∈,则2013()f x =等 于( ) A .sin x B .sin x - C .cos x D .cos x - 6.已知函数()f x 的导函数为'()f x ,且满足()2'(1)ln f x xf x =+,则'(1)f =( ) A .e - B .1- C .1 D .e 7.曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________. 8.过原点作曲线x y e =的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为____________. 9.求下列函数的导数,并尽量把导数变形为因式的积或商的形式: (1) 1 ()2ln f x ax x x =-- (2) 2 ()1x e f x ax = + (3)21()ln(1)2 f x x ax x =--+ (4)cos sin y x x x =- (5)1cos x y xe -= (6)1 1 x x e y e +=-

第一章 1.1 1.1.1 1.1.2 导数的概念(优秀经典导学案课时作业及答案详解)

[A组学业达标] 1.已知函数f(x)=-x2+x,则f(x)从-1到-0.9的改变量为() A.-0.29 B.-2.9 C.0.29 D.2.9 解析:f(-1)=-(-1)2+(-1)=-2. f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71. 所以函数值的改变量为 f(-0.9)-f(-1)=-1.71-(-2)=0.29.故选C. 答案:C 2.将半径为R的球加热,若球的半径增量为ΔR,则球的表面积增量ΔS等于() A.8πRΔR B.8πRΔR+4π(ΔR)2 C.4πRΔR+4π(ΔR)2D.4π(ΔR)2 解析:球的表面积S=4πR2,则ΔS=4π(R+ΔR)2-4πR2=8πRΔR+4π(ΔR)2,故选B. 答案:B 3.一质点的运动方程为s=3-5t2,则在时间[1,1+Δt]内相应的平均速度为() A.-2-Δt B.2+Δt C.-10-5Δt D.10+5Δt 解析:v=3-5(1+Δt)2-(3-5×12) Δt =-10-5Δt,故选C. 答案:C 4.给定函数f(x),则lim Δx→0f(x0-Δx)-f(x0) Δx等于() A.f′(x0) B.f′(-x0) C.-f′(x0) D.-f′(-x0) 解析:lim Δx→0f(x0-Δx)-f(x0) Δx =-lim Δx→0 f(x0-Δx)-f(x0) (x0-Δx)-x0 =-lim -Δx→0 f(x0-Δx)-f(x0) -Δx = -f′(x0),故选C.

答案:C 5.若f(x)=x3,f′(x0)=3,则x0的值是() A.1 B.-1 C.±1 D.3 3 解析:因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3-x30=3x20Δx+3x0(Δx2)+(Δx)3, 所以Δy Δx =3x20+3x0Δx+(Δx)2, 所以f′(x0)=lim Δx→0 [3x20+3x0Δx+(Δx)2]=3x20, 由f′(x0)=3得3x20=3,所以x0=±1,故选C. 答案:C 6.甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s=s1(t),s=s2(t),图象如图,则在时间段[0,t0]内甲的平均速度________乙的平均速度(填“大于”“小于”或“等于”). 解析:由图象知s1(t0)=s2(t0),s1(0)>s2(0), 所以 s1(t0)-s1(0) t0 < s2(t0)-s2(0) t0 ,即v甲<v乙. 答案:小于 7.一物体的运动方程为s= 3 t,则当t=2时该物体的瞬时速度为________. 解析:瞬时速度即为s对t的导数, 所以v=s′|t=2=lim Δt→0 3 2+Δt -3 2 Δt =lim Δt→0 -3Δt 2(2+Δt)Δt =lim Δt→0 -3 4+2Δt =-3 4. 答案:- 3 4

高中数学选修2-2教学设计9:1.1.2 导数的概念教案

1.1.2 导数的概念 教学目标:1、会用极限给瞬时速度下精确的定义;并能说出导数的概念. 2、会运用瞬时速度的定义,求物体在某一时刻的瞬时速度. 教学重难点: 重点:1、导数的求解方法和过程;2、导数符号的灵活运用 难点:导数概念的理解. 教学过程: 情境导入: 高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为: 2() 4.9 6.510h t t t =-++.通过上一节的学习,我们可以求在某时间段的平均速度.这节课我们将学到如何求在某一时刻的瞬时速度,例当t =1时的瞬时速度. 合作探究: 探究任务一:瞬时速度 问题1:在高台跳水运动中,运动员在不同时刻的速度是不同的. 新知: 瞬时速度定义:物体在某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度. 探究任务二:导数 问题2: 瞬时速度是平均速度t s ??当t ?趋近于0时的速度. 得导数的定义:函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=??,我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0 |x x y =' 即000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 注意:(1)函数应在点0x 的附近有定义,否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中,x ?趋近于0可正、可负、但不为0,而y ?可以为0 (3)x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲线)(x f y =上点()(,00x f x )及点)(,(00x x f x x ?+?+)的割线斜率 (4)导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率,它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.

导数的概念教学设计

《导数的概念》教学设计 安阳县实验中学申现军一、内容和内容解析 (一)内容 导数的概念 (二)内容解析 导数是微积分的核心概念之一,它是一种特殊的极限,反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具,同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础.同时,导数在物理学,经济学等领域都有广泛的应用,是开展科学研究必不可少的工具. 教材安排导数内容时,学生是没有学习极限概念的.教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象,不适合在没有任何极限认识的基础上学习.所以,让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础.另一方面,函数是高中的重要数学概念,而导数是研究函数的有力工具,因此,安排先学习导数方便学生学习和研究函数. 二、学生学情分析 1. 有利因素:学生在上节课借助高台跳水和气球膨胀率问题学习了平均变化率,本节课继续以高台跳水问题为背景,进行从平均速度到瞬时速度、从瞬时速度到导数的学习,并为即将学习的导数的几何意义、导数的有关计算以及导数的应用等知识做铺垫了大量的关于函数变化率的经验;另外,正一中学学生思维比较活跃,对数学新内容的学习,有相当的兴趣和积极性,这为本课的学习奠定了基础. 2. 不利因素:导数概念建立在极限基础之上,超乎学生的直观经验,抽象度高;再者,本课内容思维量大,对类比归纳,抽象概括,联系与转化的思维能力有较高的要求,学生学习起来有一定难度题基本思想. 三、目标和目标解析 1.使学生认识到:当时间间隔越来越小时,运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数,并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度; 2.使学生通过运动物体瞬时速度的探求,体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率,并由此建构导数的概念;

导数概念 教案

导数的概念 (教案?讲稿?PPT) 一、教案 【教学目标】 (1)、知识与技能目标 1.了解导数的历史背景,体会导数定义的探索过程 2.掌握导数的内容,初步会用它进行有关的计算求解. 3.使学生深刻理解导数的概念,理解导数在几何、物理上的意义,能够根据导数的定义求函数在区间上的导数. (2)、过程与方法目标 1. 在导数定义的过程中,用形象直观的两个实际例子作为引例,培养学生的观察能力、抽象思维能力.体会数形结合的思想. 2.通过探究导数定义的过程,体验数学思维的严谨性。 (3)、情感、态度与价值观目标 1. 了解导数发现的历史,感受数学知识所蕴含的数学文化,培养学生学习数学,探究数学的兴趣与本领。 2. 在探究活动中,体验用极限方法解决平均变化率逼近某点处的变化率的思想,培养学生的探究精神。 【教学重点】导数的概念. 【教学难点】如何引出导数的概念,并根据导数的定义计算导数. 【教学方法】形象直观式教学法、问题探究式教学法. 【背景知识】自由落体物体的瞬时速度问题,曲线切线的斜率问题等. 【特色和创新之处】 用通俗易懂的语言,通过文、理结合的方式,最后以口诀的形式结尾,讲解抽象的内容,体现数学的草根本色。 【教学进程概要】 用两个实际问题阐述函数在一点上导数的定义,由例题1和例题2,来讲述在一点上求导的方法;接着由例题2,引出函数左、右导数的概念;用例题3引出在开区间上的导数,即导函数的定义,在此基础上给出求导函数的例子,例题4;最后以口诀的形式结尾。 【板书内容】 导数的概念

00000 ()()()lim lim t t s t t s t s v t t t ?→?→+?-?==?? 0000 ()()lim lim MT x x f x x f x y k x x ?→?→+?-?==?? 对一般函数: ()y f x = 0000 0()()|lim lim x x x x f x x f x y y x x =?→?→+?-?'==?? x x f x x f x y y x x ?-?+=??='→?→?) ()(lim lim 00

导数经典例题1

经典例题导讲 [例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y . 错因:复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='. 正解:设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'?-?='+=''='x x u x u u y y x u x )2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=?-?=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='. [例2]已知函数???????>+≤+=)1)(1(2 1)1)(1(2 1)(2 x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导? 错解:1)1(,1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim 2 2 ='∴=?+- +?+→?f x x x 。 分析: 分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导 . 解: 1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim lim 2 2 =?+- +?+=??- - →?→?x x x y x x ∴ f(x)在x=1处不可导. 注:+→?0x ,指x ?逐渐减小趋近于0;-→?0x ,指x ?逐渐增大趋近于0。 点评:函数在某一点的导数,是一个极限值,即x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 000 ,△x →0,包括△x →0+,与△x →0- ,因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果都存在且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数. [例3]求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。 错因:直接将P ,Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析:点P 在函数的曲线上,因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值; 点Q 不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线. 解:4.4,3212= ' ∴='∴+==x y x y x y 即过点P 的切线的斜率为4,故切线为:14+=x y .

《导数的概念与几何意义》导学案

第1课时 导数的概念与几何意义 1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数. 2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题. 3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法. 如图,当点P n (x n ,f (x n ))(n=1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近点P (x 0,f (x 0))时,割线PP n 的变化趋势是什么? 问题1:根据创设的情境,割线PP n 的变化趋势是 . 问题2:导数的概念与求法: 我们将函数f (x )在x=x 0处的瞬时变化率称为f (x )在x=x 0处的导数, lim Δx→0 f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx 即有f'(x 0)==,所以求导数的步骤为:lim Δx→0Δy Δx lim Δx→0f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (1)求函数的增量:Δy=f (x 0+Δx )-f (x 0); (2)算比值:=; Δy Δx f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (3)求极限:y'=. | x =x 0lim Δx→0Δy Δx 问题3:函数y=f (x )在x=x 0处的导数,就是曲线y=f (x )在x=x 0处的切线的斜率k=f'(x 0)= 相应的切线方程是: . 问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直

线是曲线的切线吗? 它反映的是函数的 情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想. 不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点 . 1.下列说法正确的是( ). A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点  B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点  C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线  D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在 2.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么( ). A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 3.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标 为 . 4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0). 三,课后反思:

导数的概念教学设计

《导数的概念》教学设计 胡雪东 一、【教材分析】 1. 本节内容: 《导数的概念》这一小节分“曲线的切线”,“瞬时速度与瞬时加速度”,“导数的概念”,“导数的几何意义”四个部分展开,大约需要4个课时.第一、二课时学习“曲线的切线”,“瞬时速度”,今天说的是第三课时的内容导数概念的形成. 2. 导数在高中数学中的地位与作用: “导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构,更重要的是,导数运算是一种高明的数学思维,用导数的运算去处理函数的性质更具一般性,获得更为理想的结果;把运算对象作用于导数上,可使我们扩展知识面,感悟变量,极限等思想,运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题;导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具,在在其它学科中同样具有十分重要的作用;在物理学,经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展. 二、【学情分析】 1. 有利因素:学生已较好地掌握了函数极限的知识,又刚刚学过曲线的切线、瞬时速度,并积累了大量的关于函数变化率的经验;另外,学生思维较活跃,对数学新内容的学习,有相当的兴趣和积极性,这为本课的学习奠定了基础. 2. 不利因素:导数概念建立在极限基础之上,超乎学生的直观经验,抽象度高;再者,本课内容思维量大,对类比归纳,抽象概括,联系与转化的思维能力有较高的要求,学生学习起来有一定难度. 三、【目标分析】 1. 教学目标 (1)知识与技能目标:①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法. (2)过程与方法目标:通过导数概念的形成过程,让学生掌握从具体到抽象,特殊到一般的思维方法;领悟极限思想和函数思想;提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力. (3)情感、态度与价值观目标: ①通过合作与交流,让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦,体会数学的理性与严谨,激发学生对数学知识的热爱,养成实事求是的科学态度. ②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点,形成正确的数学观.

高中导数经典知识点及例题讲解

高中导数经典知识点及 例题讲解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 自学引导 1.通过实例分析,了解平均变化率的实际意义. 2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身 1.函数f (x )在区间[x 1,x 2]上的平均变化率为Δy Δx =________. 2.平均变化率另一种表示形式:设Δx =x -x 0,则Δy Δx =________,表示函数 y =f (x )从x 0到x 的平均变化率. 1.f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1 答 案 2. f (x 0+Δx )-f (x 0) Δx 名师讲解 1.如何理解Δx ,Δy 的含义 Δx 表示自变量x 的改变量,即Δx =x 2-x 1;Δy 表示函数值的改变量,即Δy =f (x 2)-f (x 1). 2.求平均变化率的步骤 求函数y =f (x )在[x 1,x 2]内的平均变化率. (1)先计算函数的增量Δy =f (x 2)-f (x 1). (2)计算自变量的增量Δx =x 2-x 1. (3)得平均变化率Δy Δx =f x 2-f x 1 x 2-x 1 . 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势,且区间长度越小,表现得越精确.如函数y =sin x 在区间[0,π]上的平均变化率为0,而在 [0,π2]上的平均变化率为sin π 2-sin0 π2-0 =2π. 在平均变化率的意义中,f (x 2)-f (x 1)的值可正、可负,也可以为零.但Δx =x 2-x 1≠0.

高中数学复习典型题专题训练20---导数的概念与几何意义

高中数学复习典型题专题训练20 1.函数的平均变化率: 一般地,已知函数()y f x =,0x ,1x 是其定义域内不同的两点,记10x x x ?=-, 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-, 则当0x ?≠时,商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?(或00[,]x x x +?)的平均变化率. 注:这里x ?,y ?可为正值,也可为负值.但0x ?≠,y ?可以为0. 2.函数的瞬时变化率、函数的导数: 设函数()y f x =在0x 附近有定义,当自变量在0x x =附近改变量为x ?时,函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-. 如果当x ?趋近于0时,平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l (也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小,可以小于任意小的正数),那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率. “当x ?趋近于零时,00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作: “当0x ?→时,00()()f x x f x l x +?-→?”,或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”, 符号“→”读作“趋近于”. 函数在0x 的瞬时变化率,通常称为()f x 在0x x =处的导数,并记作0()f x '. 这时又称()f x 在0x x =处是可导的.于是上述变化过程,可以记作 “当0x ?→时,000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”. 3.可导与导函数: 如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的,则称()f x 在区间(,)a b 可导.这样,对开区间(,)a b 内每个值x ,都对应一个确定的导数()f x '.于是,在区间(,)a b 内,()f x '构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数.记为()f x '或y '(或x y '). 导函数通常简称为导数.如果不特别指明求某一点的导数,那么求导数指的就是求导函数. 4.导数的几何意义: 设函数()y f x =的图象如图所示.AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +?+?的一条割线.由此割线的斜率是00()() f x x f x y x x +?-?= ??,可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化知识内容 板块一.导数的概念 与几何意义 y D C B A

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