北师大版初二(上)数学第18讲：整式乘法(教师版)
整式乘法
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1、掌握单项式与单项式相乘的算理。
2、掌握积的乘方、幂的乘方等单项式乘法公式。
3、灵活运用公式，简化计算。
1、单项式乘以单项式法则：
单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式.
注：单项式乘以单项式，实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。
2、单项式乘以多项式的运算法则
单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.
3、多项式乘以多项式
法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
方法总结：在探究多项式乘以多项式时，是把某一个多项式看成一个整体，利用分配律进行计算，这里再一次说明了整体性思想在数学中的应用。
4、幂的运算法则：
①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
即：n m n m a a a +=? （m 、n 为正整数）
②幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即：n m n m a a ?=）（ （m 、n 为正整数）
③积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即：n n n b a )b a (?=? （n 为正整数）
④同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
n -m n m a a a =÷（m>n ，m 、n 为正整数）
5、乘法的运算律：
①乘法的结合律：（a×b）×c=a×（b×c） ②乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac
1、单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式.
注：单项式乘以单项式，实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。 【例1】计算：
（1）（2xy 2）·（31xy ）; （2）（－2a 2b 3）·（－3a ）; （3）（4×105）·（5×104
）; 解：（1）（2xy 2）·（31xy ） = （2×31）·（x ·x ）（y 2·y ） = 32
x 2 y 3
;
（2）（－2a 2b 3）·（－3a ） =［（－2）·（－3）］（a 2a ）·b 3=6a 3b 3
; （3）（4×105
）·（5×104
） = （4×5）·（105
×104
）=20×109
=2×1010
;
注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误是，将系数相乘与指数相加混淆，如2a 3
·3a 2
=6a 5
，而不要认为是6a 6
或5a 5
.
②相同字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法运算性质.
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式. ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用. ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 练1、（－3a 2b 3
）2
·（－a 3b 2
）5; 答案：（－3a 2b 3
）2
·（－a 3b 2
）5
=［（－3）2
·
（a 2
）2
·（b 3
）2
］·［（－1）5
· （a 3
）5
·（b 2
）5
］ = （9a 4b 6
）·（－a 15b 10
） = －9·（a 4
·a 15
）·（b 6
·b 10
） = －9a 19b 16
;
练2、（－32a 2bc 3）·（－43c 5）·（31ab 2
c ）. 答案：（－32a 2bc 3）·（－43c 5）·（31ab 2
c ）
=［（－32）×（－43
）×（31）］·（a 2·a ）（b ·b 2）（c 3·c 5
·c ） =61
a 3
b 3
c 9
【例2】一种电子计算机每秒可做4×109次运算，它工作5×102
秒，可做多少次运算？ 解： （4×109
）×（5×102
）
= （4×5）×（109
×102
） = 20×1011
= 2×1012（次） 答：工作5×102
秒，可做2×1012
次运算.
练4、下列计算正确的是（ ） A ．3a 2
·2a 2
=5a 2
B ．2a 2·3a 2=6a 2
C ．3a 2
·4b 2
=12a 2b
2
D ．3a 3·4a 4=12a 12
练5、下列计算正确的是（ ） A ．5y ·4yx 2
＝9x 3y 3
B ．（-2x 3y n
z ）（-4x n+1y n-3
）=8x n+4y 2n-3
C ．（-x n-2y 2
）（-xy m
）2
=-x n y
2m+2
D ．（-7a 2b 3
）（5ab 2
c ）＝-2a 2b 6
c
练6、若（a n
bab m
）5
=a 10b 15
则3m （n+1）的值为（ ） A ．15
B ．8
C ．12
D ．10
答案： C D C 2、单项式乘以多项式 【例3】计算：
（1） 2ab （5ab 2+3a 2b ）; （2） （3
2ab 2－2ab ）·2
1ab;
（3） －6x （x －3y ）; （4） －2a 2
（2
1ab+b 2
）.
解：（1） 2ab （5ab 2+3a 2
b ） = 2ab ·（5ab 2
）+2ab ·（3a 2
b ）——乘法分配律 = 10a 2b 3
+6a 3b 2
——单项式与单项式相乘
（2） （32ab 2
－2ab ）·21
ab
= （32ab 2
）·21ab+（－2ab ）·21
ab ——乘法分配律 =31
a 2
b 3－a 2b 2
——单项式与单项式相乘
（3） －6x （x －3y ）
= （－6x ）·x+（－6x ）·（－3y ）——乘法分配律 = －6x 2
+18xy ——单项式与单项式相乘
（4） －2a 2
（21
ab+b 2
）
= －2a 2
·（21
ab ）+（－2a 2）·b 2
——乘法分配律
= －a 3b －2a 2b 2
——单项式与单项式相乘
练7、计算：(
)2213266x x xy ??-+--
???
． 练8、计算：()
223412a b ab ab -?
答案：
3222
21123
x y x y xy -+ 32233648a b a b - 【例4】计算：6mn 2
（2－3
1mn 4
）+（－2
1mn 3
）2
.
分析：在混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项. 解：原式=6mn 2
×2+6mn 2
·（－31mn 4
）+4
1m 2n 6
=12mn 2
－2m 2n 6
+4
1m 2n 6
=12mn 2－4
7m 2n 6
练9、计算()
222++3m m m a a a a -+?
练10、计算()
()3
225+-x
x x x ?
答案： 2+4m m a a + 3x
【例5】（2015年雅礼中学期中）已知ab 2
=－6，求－ab （a 2b 5
－ab 3
－b ）的值.
分析：求－ab （a 2b 5
－ab 3
－b ）的值，根据题的已知条件需将ab 2
的值整体代入.因此需灵活运用幂的运算性质及单项式与多项式的乘法.
解：－ab （a 2b 5
－ab 3－b ）
= （－ab ）·（a 2b 5
）+（－ab ）（－ab 3
）+（－ab ）（－b ）
= －a 3b 6
+a 2b 4
+ab 2
= （－ab 2
）3
+（ab 2
）2
+ab 2
当ab 2
=－6时
原式=（－ab 2
）3
+（ab 2
）2
+ab 2
=［－（－6）］3
+（－6）2
+（－6） =216+36－6 =246
练11、（2015年南京金陵汇文中学期中）若（a m+1b n+2
）·（a
2n-1
·b 2m ）＝a 5·b 3
则m+n 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．-3
分析：先算等式的左边，再根据题意得m ，n 的方程组，将方程组整理后相加得出m+n 的值． 解：由（a m+1b n+2）·（a 2n-1
·b 2m
）=a 5
·b 3
得
a
m+2n b 2m+n+2
=a 5b 3
所以?
?
?=++=+ ② ①
32252n m n m ①+②得3m+3n=6 即m+n=2 故选B
3、多项式乘以多项式 【例6】计算：
（1）（1－x ）（0.6－x ） （2）（2x+y ）（x －y ） （3）（x －y ）2
（4）（－2x+3）2
（5）（x+2）（y+3）－（x+1）（y －2）.
分析：在做题的过程中，要明白每一步算理.因此，不要求直接利用法则进行运算，而要利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘.
解：（1）（1－x ）（0.6－x ） （2）（2x+y ）（x －y ） =（0.6－x ）－x （0.6－x ） = 2x （x －y ）+y （x －y ） =0.6－x －0.6x+x 2 = 2x 2－2xy+xy －y 2
=0.6－1.6x+x
2
= 2x 2
－xy －y 2
或（1－x）（0.6－x）或（2x+y）（x－y）
=1×0.6－1×x－0.6x+x·x = 2x·x－2x·y+xy－y2
=0.6－x－0.6x+x2 = 2x2－xy－y2
=0.6－1.6x+x2
（3）（x－y）2=（x－y）（x－y）或（x－y）2=（x－y）（x－y）
=x（x－y）－y（x－y） =x·x－x·y－x·y+y·y
=x2－xy－xy+y2 =x2－2xy+y2
=x2－2xy+y2
（4）（－2x+3）2 （5）（x+2）（y+3）－（x+1）（y－2）
= （－2x+3）（－2x+3） = （xy+3x+2y+6）－（xy－2x+y－2）= －2x（－2x+3）+3（－2x+3） = xy+3x+2y+6－xy+2x－y+2
= 4x2－6x－6x+9 = 5x+y+8
= 4x2－12x+9
评注：（3）（4）题利用乘方运算的意义化成多项式与多项式的乘法运算.
（5）整式的混合运算，一定要注意运算顺序.
练12、计算：（1）（m+2n）（m－2n）; （2）（2n+5）（n－3）;
（3）（x+2y）2（4）（ax+b）（cx+d）.
解：（1）（m+2n）（m－2n）（2）（2n+5）（n－3）
=m·m－m·2n+2n·m－2n·2n = 2n·n－3·2n+5n－5×3
=m2－2mn+2mn－4n2 = 2n2－6n+5n－15
=m2－4n2 = 2n2－n－15
（3）（x+2y）2 （4）（ax+b）（cx+d）
= （x+2y）（x+2y） = ax·cx+ax·d+b·cx+bd
= x2+2xy+2xy+4y2 = acx2+adx+bcx+bd
= x2+4xy+4y2
想一想：由计算得到27×23=621，发现积的末两位上的数21=7×3，前面的数6=2×（2+1）.换两个数84×86=7224同样具有这一特点，于是我们猜想：十位数字相同，个位数字之和为10的两位数的积是否也有这样的规律？
分析：根据题意，可以发现这样的两位数除了十位数字相同外，个位数字是补数，即个位数字的和是10.因此，我们设这样的两位数分别为10a+b和10a+c（a，b，c都是正整数，并且b+c=10）.根据多项式与多项式的乘法，通过对结果变形，就可说明.
解：设这样的两位数分别为10a+b和10a+c（a、b、c都是正整数，并且b+c=10）.根据多项式与多项式相乘的运算法则可知，这两个数的乘积为
（10a+b）（10a+c）
=100a2+10a（b+c）+bc
=100a2+100a+bc
=100a（a+1）+bc
结论：这个式子告诉我们：求十位数相同，个位数字之和等于10的两个两位数的积，可以用十位上的数a去乘比它大1的数（a+1），然后在乘积的后面添上两位数，在这两个数位上写上个位数字的乘积，所得的结果就是原来这两位数的乘积.
【例7】计算：（1）32×38 （2）54×56 （3）73×77
解：（1）3×（3+1）=12，2×8=16 （2）5×（5+1）=30，4×6=24
∴32×38=1216 ∴54×56=3024
（3）7×（7+1）=56，3×7=21
∴73×77=5621
4、综合应用
【例8】（2015年上海闵行二中期中）规律探索题
（1）研究下列等式：
①1×3+1=4=22;
②2×4+1=9=32
; ③3×5+1=16=42; ④4×6+1=25=52…
你发现有什么规律？根据你的发现，找出表示第n 个等式的公式并证明. （2）计算下列各式，你能发现什么规律吗？ （x －1）（x+1）= . （x －1）（x 2
+x+1）= . （x －1）（x 3
+x 2+x+1）= . （x －1）（x 4
+x 3
+x 2
+x+1）= . …
（x －1）（x n
+x n －1+…+x+1）= . 答案：（1）n （n+2）+1=（n+1）2
，证明略 （2）x 2
－1，x 3
－1，x 4
－1，x 5
－1，…x n+1
－1
（3）已知A =987654321×123456789， B =987654322×123456788. 试比较A 、B 的大小.
分析：这么复杂的数字通过计算比较它们的大小，非常繁杂.我们观察就可发现A 和B 的因数是有关系的，如果借助于这种关系，用字母表示数的方法，会给解决问题带来方便.
解：设a=987654321，则a+1=987654322; b=123456788， b+1=123456789，则A=a （b+1）=ab+a; B=（a+1）b=ab+b.
而根据假设可知a>b 所以A>B.
1. 下列各式计算正确的是（ ）
（A ）()()2322623b a ab b a =-- （B ）()()
5321021106102?-=???-.
（C ）223222212b a b a b ab a --=??
?
??-- （D ）()
633
2b a ab -=-
2. 若992213y x y x y x n n m m =?++-，则n m 43-的值为（ ） （A ）3
（B ）4
（C ）5
（D ）6
3. 若()()1532-+=++kx x m x x ，则m k +的值为（ ） （A ）7- （B ）5
（C ）2-
（D ）2
4. 化简()()()
233232+---x x x 的结果是（ ）
（A ）x 11 （B ）x 11- （C ）12862+-x x （D ）12-x
5. （2015重庆巴蜀中学期中）如图是长10cm ，宽6cm 的长方形，在四个角剪去4个边长为x cm 的小正方形，按折痕做一个有底无盖的长方体盒子，这个盒子的容积是（ ）
（A ）()()x x 21026--
（B ）()()x x x --106
（C ）()()x x x 21026-- （D ）()()x x x --1026
6. 若72)43)((2++=+-cx bx x b ax ，则()c b a -?+)(的值为（ ） （A ）36
（B ）72
（C ）108
（D ）720
7. 已知032=-+a a ，那么()42+a a 的值是（ ） （A ）9 （B ）12- （C ）15- （D ）18-
8. 将（1）中的梯形沿虚线剪开，拼成一个缺角的正方形，如图（2）所示.根据这两个图形的面积关系，下列式子成立的是（ ）
（A ）()()22b a b a b a -=-+
（B ）()2222b a b ab a +=++
（C ）()2222b a b ab a -=+- （D ）()222b a b a -=-
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9. 若单项式m y x 26-与
313
1y x n -是同类项，那么这两个单项式的积是 . 10. 已知32-=ab ，则()
=---b ab b a ab 352 .
11. 若212=++a a ，则()()=+-a a 65 .
12. （2015年河师大附中学期中） 观察下列等式：()1212112?+=+?，()2222222?+=+?，
()3232332?+=+?，…… ，则第n 个等式可以表示为 ．
13. 一个多项式除以122-x ，商式为2-x ，余式为1-x 则这个多项式是 .
14. 已知()()
q x x px x +-++3822展开后不含2x 与3x 的项，则=p ，=q .
15. 数学家发明了一个魔术盒，当任意数对()b a ,进入其中时，会得到一个新的数：()()21--b a .现将数对()1,m 放入其中得到数n ，再将数对()m n ,放入其中后，得到的数是 .
16. 已知1km 2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×108 km 2煤所产生的能量，那么我国9.6×106km 2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤 千克
.
17. 计算：（1）3
4233
32435??
? ??-???? ??-?c ab b a ab （2）()()()131312-++-+-x x x x x x
18. 先化简下面的代数式，再求值： )4()2)(2(a a a a -+-+，其中1+=πa .
19. 解方程组：??
?-=-=-+1
23)4)(5(y x xy
y x
20. 下面是小明和小红的一段对话：
小明说：“我发现，对于代数式()()()x x x x x 1033231++-+-，当2008=x 和2009=x 时，值居然是相等的.”
小红说：“不可能，对于不同的值，应该有不同的结果.” 在此问题中，你认为谁说的对呢？说明你的理由.
21. 已知()()()y x x x A 31112---+=，12-+-=xy x B ，且B A 63+的值与x 无关，求y 的值.
参考答案 当堂检测
1. D
2. B
3. A
4. B
5. C
6. D
7. A 8. A
家庭作业
9. 642y x - 10. 21-
11. 29
12. ()n n n n 222+=+
13. 14223+-x x 14. 3=p ，1=q
15. 22m m -+
16.1510248.1?
17. （1）
3177910c b a （2）12
-x 18. 44a -，π4 19. ??
?==8
5y x 20. 原式化简的结果是2-，因此小明说的对. 21. 96363--=+x xy B A 9)615(--=x y
当15y-6=0，即5
2=
y 时，其值与x
无关.
课程顾问签字： 教学主管签字：
数学北师大版二年级上册《乘法的初步认识》教学设计
《乘法的初步认识》教学设计 教学内容：北师大版数学二年级上册第三单元“乘法的初步认识” 教学目标： 1、让学生能初步理解乘法的意义；认识乘号，会写、会读乘法算式。 2、通过看一看、说一说等一系列数学活动，使学生经历建构乘法意义的过程。 3、感受相同数相加和乘法之间的联系，感受用乘法表示的简洁性，体会所学内容的价值。 教学重点：理解乘法的意义，认识乘号，会读写乘法算式，知道乘法算式各部分的名称。 教学难点：理解乘法的意义。 教学过程： 一、创设情境 （出示动物王国的图），现在是春暖花开的季节，动物王国要召开一年一度的运动会,让我们一起到比赛现场去看一看吧。 二、认识“几个几” 1.结合情境图，呈现生活情境中有每份数量相同的情况 （1）小兔子
师:让我们到比赛现场去看一看吧,(出示小兔子的比赛图片)，你看到了什么？ 生：我看到6只小兔子在参加跑步比赛。 师：你是怎么知道的：（一只一只数的，三只三只数的，课件出示：3、3）你们都是用数的方法，还有别的办法吗？（我用加法算式3+3＝6得出的）还可以用加法算式，板书：3+3，就是2个3相加，板书：2个3. 师：这是兔子的参加情况，你还看到了什么？ 生：我还看到12只燕子在天上飞。 师：12只燕子在参加飞行比赛，你怎么知道是12只的。 生：一只一只数的，4只4只数的，(课件出示：4、4、4)还可以用加法算式 4+4+4算的。板书：4+4+4、3个4相加 师：刚才这几位同学观察得很仔细，也得到了老师的奖章，其实这些奖章是动物王国为表现好的动物准备的，当然也奖给我们班表现好的小朋友，请大家看动物王国准备了多少奖章（出示奖章课件） 生：有30个奖章 师：你是怎么知道的？（一个一个数的，5个5个数的，用加法算式列的5 +5+5+5+5+5也就是6个5相加。6个6个数的，用加法算式列的6 +6+6+6+6也就是5个6相加，板书划横线的。) 师：观察这些算式，你发现这些加法算式有什么共同特点，每个加数都相同，这样的加数称为相同加数，指每个加法算式说说哪个是相同加数，分别有几个，板书：相同加数，个数。这种加数都相同的算式都可以改写成一个很简单的算式，这种算式只要两秒钟就能写完，你知道吗？ 三、认识乘法 1、引入：数学家想出了用乘法来表示。 2、板书课题：乘法的初步认识
北师大版八年级数学上册知识点总结
北师大版八年级上册数学整理总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根
最新北师大版初二下册数学知识点
最新北师大版初二下册数学知识点 1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零. 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时， 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：； （2）幂的乘方：; （3）积的乘方：； （4）同底数的幂的除法：(a≠0)； （5）商的乘方：；(b≠0) 7.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。 解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程；(4)验根． 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答． 应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：
北师大版八年级下册数学各章知识点总结
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。 3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac
八年级数学上册知识点总结(北师大版)
《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版） 第一章 勾股定理 1、勾股定理-----已知直角三角形，得边的关系 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理-----由边的关系，判断直角三角形 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的 平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果2 b c a +=，那么a,b,c 就是一组勾股数. 如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2 2 2,1,1n n n -+ 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面 积…… （3）判定三角形形状： 222a b c +> 锐角三角形，222a b c +=直角三角形，222a b c +<钝角三角形 判定直角三角形 a..找最长边； b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系； c.确定形状 第二章 实数 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。
北师大版二年级数学上册乘除法练习题--姓名
二年级上册除法有关练习 3姓名： 一、把乘法口诀补充完整。 六（）三十六二五（）三八（）（）得八三三 （）一（）得四五六（）一（）（）二十 五三五（）（）五二十一五（）一（）得二二七 （）（）得三二四（）（）八十一一六 （） 二、口算： 7×8= 9×4= 8×8= 9+4= 8+8= 7+8= 8×6= 7×4= 6×5= 4×4= 8 +6= 7 +4= 8×9+9= 25+4×6= 9×9-30= 2×8+44= 6×9-45= 50-9×4= 7×7+11= 54+3×2= 6×9－9= 一、填空。 6×7=( ) 9×4=( ) 4×7=( ) ( )×( )=24 ( ) ×7=14 4×8=( ) 8×4=( ) ( ) × ( )=81 7×9=( ) 5×( )=35 ( )×7=63 ( ) ×7=21 4×6=( ) 2×8= ( ) 6×6=( ) 二、接力赛 4× 8 □ -25 □× 3 □ -17 □ 9 ×4 □ -28 □× 7 □ -39 □ 三、把正确答案的序号填在（）里。 1、得数不是24的算式是（）。 A、8×3 B、6×4 c、4×6 D、3×9 2、得数最大算式是（）。 A、9+9×9 B、8×8 ×9 C、8×9+9 D、89+2 3、下面算式正确的是（）。 A、2×8＜17 Ｂ、5×7＞7×5 C、9×7＜60 四、你能写出几个得数是24的乘法法算式 五、你知道吗 1、一共有（）辆小汽车。□○□＝□（辆） 2、如果又开来39辆，现在停车场一共有（）辆。 □○□＝□（辆） 3、学校买来9本科技书，故事书的本数是科技书的9倍，故事书有多少本 4、一只要5元，淘气有14元，可以买3个吗 5、小朋友在河两边种树，每边都种9棵杨树和8棵柳树，一共种了多少棵杨树
北师大版八年级数学下册全套教案(精华版)
1.1 不等关系 教学目的和要求： 理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点： 对不等式概念的理解 难点： 怎样建立量与量之间的不等关系。 从问题中来，到问题中去。 1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。 （1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？ （4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2 )4 (l ，圆的面积可以表示 为2 2?? ? ??ππl 。 （1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是 25)4 (2 ≤l ，即25162≤l 。 （2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是 2 2?? ? ??ππl ＞100， 即 π 42 l ＞100 （3） 当l =8时，正方形的面积为)(41682 2cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π ，
4＜5.1，此时圆的面积大。 当l =12时，正方形的面积为)(916122 2cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π ， 9＜11.5，此时还是圆的面积大。 （4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想， 用长度增色为l ㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 π42l ＞16 2 l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干 离地面1.5m 的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式） （2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240。 （2）人离开10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全： 410＜2 .0x 分析巩固练习： 用不等式表示： （1） a 的相反数是正数； （2） m 与2的差小于3 2； （3） x 的 3 1 与4的和不是正数； （4） y 的一半与x 的2倍的和不小于3。 解答：（1）a 的相反数是-a ，正数是比零大的数，所以“a 的相反数是正数”就是-a ＞0； （2）“m 与2的差”就是m-2，“ 差小于 32”即是m-2＜3 2 ； （3）“x 的31”就是31x ，“x 的31与4的和不是正数”就是3 1 x+4≤0； （4）“y 的一半”不是2 1 y,“x 的2倍”就是2x ，“不小于3”即指大于或等于3，故 “y 的一半与x 的2倍的和不小于”就是2 1 y+2x ≥3。
北师大版初二数学知识点总结(2018最新教材版)
初二数学 知 识 点
初二数学（上册）知识点总结 第一章勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a 2 b2 c2 2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定条件） 如果三角形的三边长a，b，c 有关系 2 b2 c 2 a ，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是 直角。 2 b c 2 2 3、勾股数：满足 a 的三个正整数，称为勾股数。 第二章实数 一、实数的概念及分 类 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来 有四 类 ： （1）开方开不尽的数，如7,3 2 等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如（3）有特定结构的数，如0.1010010001?等； （4）某些三角函数值，如sin60 o 等 o 等π 3 +8 等； 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a≥0；若|a|=-a，则 a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则 有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵 活运 用 。 5、估算 三、平方根、算术平方根和立方根 2 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即x =a，那么这个正数x 就叫做 a 的算术平方根。 特别地，0 的算术平方根是0。
北师大版数学初二上册知识点总结教学内容
初二上册知识点总结 勾股定理 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和 直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高， 三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三 角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R=1：2+1． （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平 方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2． （4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中 的每一条直角边． （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就 是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合 其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两 条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如： 2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它 们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；5，12，13；8，15，16；7，24， 25 ①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为
初二数学上册北师大版知识点总结
北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+， 那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一 组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ()()341009161002510042 2 2 2 2 2 x x x x x x +=+===，，， ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶 端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ A A E C B D （1） （2） 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 在中，Rt ECD EC ED CD ?22222252225=-=-=.. ∴EC=1.5 ∴=-=-=AE AC EC 215 05.. 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°， AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分
(完整)北师大版数学八年级上册数学试题和答案
数学试题 一、选择题： 1．4的平方根是（ A ） A ．2± B ．2 C ． D 2.在平面直角坐标系中，点P （3，-2）在（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.下列实数2 1 - , 0, π , 4 , 31 , 5中是无理数的有（ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列四组数中，不是勾股数的是（ B ） A ．7,24,25 B ．3,5,7 C ．8,15, 17 D ．9,40,41 5．下列计算正确的是（ A ） A ．632= ? B ．532=+ C ．5315= D ．235=- 6．如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以 数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时 针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的 点A 处，则点A 表示的数是（ B ） A ．3 2 B C D .4.1 7．点（2，6）关于x 轴的对称点坐标为（ A ） A .（2，－6） B . （－2，－6） C . （－2，6） D . （6，2） 8．已知直角三角形中一条直角边长为12cm ，周长为30cm ，则这个三角形的面积是（B ）A ．2 20cm B ．2 30cm C ．2 60cm D ．2 75cm 9 -（ D ） A B ．2 C ． D ． 10．已知平面内的一点P ，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则点 P 的坐标是（ C ） A ．（-1，1）或（1，-1） B ．（1，-1） C ．（ ， ） D ）
11．实数b a ,在数轴上的位置如图所示， 则 ()a b a ++2 的化简结果为（ B ） A ．2a b + B ．b - C ．b D ．2a b - 12．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中' ' ' 9,5,6AB BB B C ===，在线段AB 的 三等分点E （靠近点A ）处有一只蚂蚁，'' B C 中点F 处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ A ） A ．10 B ．106 C ．5+35 D ．6+34 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将答案填 在题后的横线上. 13．在平面直角坐标系中，点(),2P a a -在x 轴上，则a = 2 14．比较大小：23 < 52 （填“＞”或“＜”或“=” ） 15．x 为无理数21的小数部分，则x = 214- （结果保留根号） 16．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪， 拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 5 17．在平面直角坐标系中，等边ABC ?的顶点(6,0)A -，(2,0)B ，则顶点C 的坐标 为 (2,43),(2,43)--- 第12题图 第16题图 第11题图
北师大二年级上册乘法口算题
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北师大版八年级数学下册各章知识点汇总
第一章三角形的证明 一、全等三角形判定定理： 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 二、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法
四、直角三角形 1、直角三角形的性质 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 3、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 五、线段的垂直平分线角平分线 1、线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心） 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法
北师大二年级上册乘法口算题
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新北师大版八年级数学下册知识点总结
北师大版八年级数学下册各章知识要点总结 第一章三角形的证明 一、全等三角形判定、性质： 1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形） 2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。 二、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。（三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 四、直角三角形 1、直角三角形的性质 直角三角形的两锐角互余 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 3、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 五、线段的垂直平分线、角平分线 1、线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心） 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 第二章一元一次不等式和一元一次不等式组 1.定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 2.基本性质：性质1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变.如果a>b,那么
北师大版初二数学知识点总结(2020最新教材版)
北师大版初二数学知识点总结(2020最新教材版) 知 识 点 初二数学（上册）知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ；b 的平方和等于斜边c 的平方；即2 2 2 c b a =+
如果三角形的三边长a ；b ；c 有关系222c b a =+；那么这个三角形是直角三角形；且最长边所对的角是直角. 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数；称为勾股数. 第二章 实 数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数. 在理解无理数时；要抓住“无限不循环”这一时之；归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数；如32,7等； （2）有特定意义的数；如圆周率π；或化简后含有π的数；如 3 π +8等； （3）有特定结构的数；如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值；如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零）；从数轴上看；互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称；如果a 与b 互为相反数；则有a+b=0；a=—b ；反之亦成立. 2、绝对值 在数轴上；一个数所对应的点与原点的距离；叫做该数的绝对值.（|a|≥0）.零的绝对值是它本身；也可看成它的相反数；若|a|=a ；则a ≥0；若|a|=-a ；则a ≤0. 3、倒数 如果a 与b 互为倒数；则有ab=1；反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1.零没有倒数. 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时；要注意上述规定的三要素缺一不可）. 解题时要真正掌握数形结合的思想；理解实数与数轴的点是一一对应的；并能灵活运用. 5、估算 三、平方根、算术平方根和立方根 1、算术平方根：一般地；如果一个正数x 的平方等于a ；即x 2=a ；那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根.特别地；0的算术平方根是0. 表示方法：记作“a ”；读作根号a. 性质：正数和零的算术平方根都只有一个；零的算术平方根是零. 2、平方根：一般地；如果一个数x 的平方等于a ；即x 2=a ；那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）. 表示方法：正数a 的平方根记做“a ± ”；读作“正、负根号a ”. 性质：一个正数有两个平方根；它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. 开平方：求一个数a 的平方根的运算；叫做开平方.
北师大版数学八年级上册知识点总结
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。