浙江省诸暨市牌头中学2015届高三上学期薄弱生强化训练数学试题(一)

2014.11

牌头中学高三数学薄弱生强化训练（一）

班级： 姓名： ___________ 成绩

一、选择题： 1．

已

知

函

数

??

?><=，

，0,ln 0,)(x x x e x f x 则

=

)]1([e

f f

（ ）

A ．e

1

B ．e

C ．e

1

-

D ．e - 2．设a ∈R ，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的 ( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 3

．

设

函

数()2

x

f x =，则

下

列

结

论

中

正

确

的

是

( )

A. (1)(2)(f f f -<<

B. ((1)(2)f f f <-<

C. (2)((1)f f f <<-

D. (1)((2)f f f -<<

4．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-(m ∈N *,且2m ≥)，则必定有 ( )

A. 0m S >，且10m S +<

B. 0m S <，且10m S +>

C. 0m S >，且10m S +>

D. 0m S <，且10m S +<

5．函数3s i n

(0)y x ωω=>在区间[0,]π恰有2个零点，则ω的取值范围为

K s *5u

（ ） A ．1ω≥

B ．12ω≤<

C ．13ω≤<

D ．3ω<

6．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最

小

值

为

13

,则实数a 的值为

( ) A.

14

B.

14或23

C.

2

3

D.

23或34

7．设点P 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为

21F PF ?的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ???=+，则该椭圆的离心率是

（ ） A.

21 B.22 C. 2

3

D.41 8．已知集合{}

(,)(1)(1)A x y x x y y r =-+-≤，集合{}

222(,)B x y x y r =+≤，若A

B ，

则实数r 可以取的一个值是

( ) A.

1 B. C.

2 D. 1 9．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2

x x f x f x x ?--∈-∞?

=?-∈+∞??，则函数()()1

F x x f x =-的零点的个数为 ( ) A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

10．棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1在空间直角坐标系中移动，但保持点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，则点C 1到原点的最远距离为

（ ）

A 、22

B 、32

C 、5

D 、4 二、填空题：

11．两条直线斜率相等是这两条直线平行的___________________条件． 12．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题：

①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，则BC ⊥AD ；②若AB ＝CD ，AC ＝BD ，则BC ⊥AD ； ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ；④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD. 其中正确的是________．(填序号)

13．已知F 是椭圆22

22:1x y C a b

+= (0)a b >>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆

2

2

2

14x y b +=相切于点Q ，且→→=QF PQ ，则椭圆C 的离心率为 ．

14．已知实数x 、y 满足205040x y x y y -≤??+-≥??-≤?

，若不等式222

()()a x y x y +≥+恒成立，

则实数a 的最小值为________________．

?

15．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别a ,b ,c ,若222

12

a b c +=

.则直线0ax by c -+=被圆2x +29y =所截得的弦长为 ．

16．若整数．．,x y 满足不等式组0700y x x y x -≥??+-≤??≥?

,则2x y +的最大值为 ． 17．如图,在扇形OAB 中,60AOB ?

∠=,C 为弧AB 上的一个动点.若OC -→

x O A y O B -→

-→

=+

，则3x y +的取值范围是 ．

(第17题)

牌头中学高三数学薄弱生强化训练（1）

一、选择题：

1．已知函数???><=，

，0,ln 0,)(x x x e x f x 则=)]1

([e f f

A ．e 1

B ．e

C ．e

1

- D ．e - 【解析】∵f (1e )=1ln e =—1< 0； ∴=)]1([e f f f (—1)=1

1e e

-=

【答案】A

2．设a ∈R ，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【解析】由题意，1

122:4230

4//:240

l x y a l l l x y +-=?=???+-=?，即充分。

又121221//04l l A B A B a ?-=?=，注意到此时12,l l 不重合，即必要。 【答案】C

3．设函数()2x

f x =，则下列结论中正确的是( )

A. (1)(2)(f f f -<<

B. ((1)(2)f f f <-<

C. (2)((1)f f f <<-

D. (1)((2)f f f -<<

【解析】由题意，()22

()x

x

f x f x -===-，即()f x 为偶函数。

故(1)(1)(2)(2)(f f f f f f ?-=?

-=??

=?. 显然0()2x x f x ≥=时，单调递增。

所以(1)(1)((2)(2)f f f f f f -=<=<-= 【答案】D

4．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-(m ∈N *,且2m ≥)，则必定有( )

A. 0m S >，且10m S +<

B. 0m S <，且10m S +>

C. 0m S >，且10m S +>

D. 0m S <，且10m S +<

【解析】由题意，得：11111+0

m m m m a a a a a a a ++>?-<<-??+

显然，易得102m m a a S m +=

?>，11

1(1)02

m m a a S m +++=?+<

【答案】A

5．函数3sin (0)y x ωω=>在区间[0,]π恰有2个零点，则ω的取值范围为K s *5u A ．1ω≥

B ．12ω≤<

C ．13ω≤<

D ．3ω<

【解析】由题知：3sin 0y x ω==在区间[0,]π恰有2个解，即sin 0x ω=在区间[0,]π 恰

有2个解，亦即x k ωπ=，∴,()k x k Z π

ω

=∈，由题将ω=1，2带入排除即可

的ω=1满足，ω=2不满足．

【答案】 B

6．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为1

3

,则实数a 的值为( )

A.

14

B.

14或23 C. 23

D.

23或34

【解析】由题意，分1n =或1m =两种情况：

（1）1n =时，2

3

m =，此时()f x 在[,]m n 上单调递减

故2

()log 13

a f m m a ==?=

（2）1m =时，4

3

n =，此时()f x 在[,]m n 上单调递增

故3

()log 14

a f n n a ==?=

【答案】C 7．

【答案】A

8．已知集合{}

(,)(1)(1)A x y x x y y r =-+-≤，集合{}

222(,)B x y x y r =+≤，若A

B ，则

实数r 可以取的一个值是( ) A.

1 B. C.

2 D. 1 【解析】22111(,)()()22

2A x y x y r ??=-+-≤+???

?

、{}

222(,)B x y x y r =+≤

不难分析，A 、B 分别表示两个圆，要满足A B ，即两圆内切或内含。 故圆心距1212O O r r =≤-，即：

(第5题)

? ?

2

2

11

2

222

10101

210

r r r r

r r r r

r r r

≤?-?+≥

??

?-≥?-≥?+≥

?

?

??

?--≥?≥

.

显然，

1

2

2

r

+

≥>，故只有(A)项满足。

【答案】A

9．设函数

11,(,2)

()1

(2),[2,)

2

x x

f x

f x x

?--∈-∞

?

=?

-∈+∞

?

?

，则函数()()1

F x xf x

=-的零点的个数为( )

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

【解析】由题意，()()1

F x xf x

=-的零点，即

1

()

f x

x

与的交点。

易绘(,2)

x∈-∞的函数图象，且

131

(0)(2)0,(1)1,()()

222

f f f f f

=====当[2,)

x∈+∞时，

11

(4)(2)0,(6)(4)0,

22

f f f f

====

依次类推，易得(4)(6)(8)(2)0

f f f f n

=====

又

11

(3)(1)

22

f f

==, 同理

11

(5)(3)

24

f f

==，

11

(7)(5)

28

f f

==

不难绘出[2,)

x∈+∞的函数图象如右，显然零点共6个，其中左边1个，右边5个。【答案】C

10．D

二、填空题：

11．既不充分也不必要

12．①④

13．3

5

14．已知实数x 、y 满足205040x y x y y -≤??

+-≥??-≤?

，若不等式222()()a x y x y +≥+恒成立，则实数a 的

最小值为________________． 【解析】作出可行域如下所示：

则()()2

2

22

2

2

2

221x y xy x y a x y

x y

x y

y x

+++≥

=

=+

+++．

设

y t x =（表斜率），则[2t ∈，]4，则152

t t ?+∈??，174???， 故max

29

15x y y x ?? ? ?+

= ?+ ???，所以95a ≥． 即min 95a =． 【答案】95

15．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别a ,b ,c ,若222

12

a b c +=

.则直线0ax by c -+=被圆2x + 29y =所截得的弦长为 ．

【解析】由题意：设弦长为l

圆心到直线的距离d =

=

=

由几何关系：22

2

2l r d l ??

=+?= ???

【答案】

16．若整数．．,x y 满足不等式组0700y x x y x -≥??+-≤??≥?

,则2x y +的最大值为 ． 【解析】由题意，绘出可行性区域如下：

设2z x y =+，即求2y x z =-+的截距的最大值。

因为,x y Z ∈，不妨找出77,22??

???

附近的“整点”。

有(3, 3)、(3, 4)满足. 显然过(3, 4)时，10z =最大. 【答案】10

17．如图,在扇形OAB 中,60AOB ?∠=,C 为弧AB

x O A y O B -→

-→

=+

，则3x y +的取值范围是 ．

【解析】方法（一）：特殊点代入法。

C 与A 重合时，1,0x y ==，此时31x y +=； C 与B 重合时，0,1x y ==，此时33x y +=.

注意到，C 从B 点运动至A 点时，x 逐渐变大，y 逐渐变小。 显然，一开始x 趋于0，而y 趋于1， 故3x y +的范围受y 的影响较大。 故猜想，3[1,3]x y +∈

方法（二）：设扇形的半径为r

考虑到C 为弧AB 上的一个动点，OC -→

xOA y OB -→

-→

=+. 显然,[0,1]x y ∈

两边平方：2

2

OC r -→

??= ???2

22222xOA yOB x r xyOA OB y r -→-→-→-→??=+=?+?+? ???

消2r ：2210y x y x +?+-=，显然2430x ?=->

得：0)y y =>，

故132x y x +=- 不妨令1()[0,1])2f x x x =-∈

(第17题)

1'()02f x =-<，

所以()f x 在[0,1]x ∈上单调递减,(0)3,(1)1f f == 得()[1,3]f x ∈,即3[1,3]x y +∈

【答案】[1,3]

18．（本小题满分15分）

如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A 、B ，右焦点为F ，且1AF FB ?=

，1OF = ．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 作直线l 1，l 2，直线l 1与椭圆分别交于点M 、N ，直线l 2

与椭圆分别交于点P 、Q ，且2222

MP NQ NP MQ +=+ ，求四边形MPNQ

的面积S 的最小值．

【解析】

（Ⅰ）设椭圆的方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ，

则由题意知1=c ， 又∵,1=?

即.2,1))((2

22=∴-==-+a c a c a c a ∴12

2

2

=-=c a b ，

故椭圆的方程为：12

22

=+y x ． ………………………………………………4分 （Ⅱ）设),(),,(),,(),,(Q Q P P N N M M y x Q y x P y x N y x M ．

+=+．即：

2

2

2

2

2222)

()()()()()()()(Q M Q M P N P N Q N Q N P M P M y y x x y y x x y y x x y y x x -+-+-+-=-+-+-+-

整理得：0=--++--+Q N P M Q M P N Q N P M Q M P N y y y y y y y y x x x x x x x x 即0))(())((=--+--Q P M N Q P M N y y y y x x x x ． 所以21l l ⊥． (注：证明21l l ⊥，用几何法同样得分)

①若直线21,l l 中有一条斜率不存在，不妨设2l 的斜率不存在，则可得x l ⊥2轴，

∴2,22==PQ MN ，

故四边形MPNQ 的面积22222

1

21=??==

MN PQ S ． ②若直线21,l l 的斜率存在,设直线1l 的方程：)0)(1(≠-=k x k y ，则

由?????-==+)

1(1222

x k y y x 得：0224)12(2222=-+-+k x k x k ． 设),(),,(2211y x N y x M ，则1

22

2,1242

2212221+-=+=+k k x x k k x x ． 1

2)

1(221

2)

22(4)124(14)(1122222222

2

12212212++=

+--++=-++=-+=k k k k k k k

x x x x k x x k MN

同理可求得，2

22)

1(22k

k PQ ++=． 故四边形MPNQ 的面积：

19

16

2

11242)1(2212)1(222121222

22

2±=?≥+++

=++?++?==k k

k k k k k MN PQ S 取“=” ．

综上，四边形MPNQ 的面积S 的最小值为

9

16

． ……………………… 15分