数学必修5高二年上(数列和解三角形)

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高二数学人教A版必修5(浙江专用)课件：第一章解三角形本章整合

2
解三角形
已知三边:用余弦定理求出两角,用三角形内角和定理求出第三个角已知两边和它们的夹角:用余弦定理求出另一边和一角,再求出第三个角
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、正切公式
专题三Leabharlann 知识网络专题归纳高考真题
专题一
专题二
专题一
判断三角形的形状
根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式) 判断三角形的形状时,需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系.判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型,此类题目要求准确地把握三角形的分类,三角形按边的关系分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. 判断三角形的形状,一般有以下两种途径 :将已知条件统一化成边的关系,用代数方法求解;将已知条件统一化成角的关系,用三角知识求解,在解三角形时常用的结论有 :
�� 2
2
2
2
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、正切公式
专题三
知识网络
专题归纳
高考真题
专题一
专题二
应用 1 在△ABC 中,2acos B=c,则△ABC 是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
)
提示:思路一,转化为三角形的边的关系,利用代数运算获得三角形的边之间的关系式 ;思路二,转化为三角形的角的关系,利用三角函数知识获得三角形的角之间的关系式.由于受三角函数知识的限制,提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、正切公式
专题三
知识网络
专题归纳
高考真题

(人教新课标)高二数学必修5第一章解三角形《正、余弦定理》精品课件

正弦定理的应用举例一、已知两个角和一边
变式训练一
二、已知两个边和其中一边的一个对角
变式训练二
已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答． (1)a＝7，b＝8，∠A＝105°； (2)a＝10，b＝20，∠A＝80°； (3)b＝10，c＝5，∠C＝60°； (4)a＝2，b＝6，∠A＝30°.
余弦定理的由来 /edu/ppt/ppt_playVideo.action?medi aVo.resId=55c96ff1af508f0099b1c5b6
高铁隧道招标，利用三角形确定隧道长度 /edu/ppt/ppt_playVideo.action? mediaVo.resId=55c97049af508f0099b1c5bc
A 5620
a 2 c 2 b 2 134.6 2 161.7 2 87.82 cosB 0.8398 , 2ac 2 134.6 161.7
B 3253
C 180 A B 180 5620 3253 9047
解三角形:
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形素的过程叫做解三角形. 说明：根据初中学习的三角形全等，我们知道确定一个三角需要
三个条件，所以在利用正弦定理时要求已知两边和其中一边的对角或者两角和一边，才可以进一步确定三角形其它的边和角.
回忆一下直角三角形的边角关系? b a sin B sin A c c
两等式间有联系吗？
B
A c a b
a b c sin A sin B
sin C 1
C
a b c sin A sin B sin C

最新人教版高中数学必修5第一章《解三角形》

数学人教B 必修5第一章解三角形知识建构综合应用专题一判断三角形的形状正弦定理、余弦定理是反映三角形中边角关系的重要定理，是处理有关三角形问题的有力工具，要注意两定理的变形运用及实际应用．判断三角形的形状，其常用方法是：将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断．通常利用正弦定理的变形如a ＝2R ·sin A 将边化角，b 2＋c 2－a 2a 利用余弦定理的推论如cos A ＝把角的余弦化边，或利用sin A ＝把角的正弦化2bc 2R边，然后利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．常见结论有：设a ，b ，c 是△ABC 的角∠A ，∠B ，∠C 的对边，①若a 2＋b 2＝c 2，则∠C ＝90°；②若a 2＋b 2＞c 2，则∠C ＜90°；③若a 2＋b 2＜c 2，则∠C ＞90°；π④若sin 2A ＝sin 2B ，则∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝.2应用1在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则该三角形是__________三角形．提示：考虑到已知条件是三个角正弦的比值，可用正弦定理得出三边的关系，再利用余弦定理判断最大角的大小即可．应用2在△ABC 中，若∠B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．提示：已知条件中等式只有边，故结合其特点，可选择利用正弦定理化边为角，再结合三角函数关系化简求解；本题也可利用∠B ＝60°这一条件，用余弦定理，找出边之间的关系来判断．专题二恒等式的证明证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决．应用1在△ABC 中，求证：a 2＋b 2sin 2A ＋sin 2B (1)2＝；c sin 2C(2)a 2＋b 2＋c 2＝2(bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C )．提示：本题(1)可从左边证到右边，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；本题(2)可从右边证到左边，利用余弦定理将角的关系转化为边的关系．应用2已知在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S .a 2＋b 2＋c 2求证：cot A ＋cot B ＋cot C ＝.4S提示：解本题的关键是化切为弦，再结合余弦定理变形．专题三三角形的面积问题求三角形面积与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起，是高考中的常见题型．常用三角形面积公式：111(1)S △ABC ＝ah a ＝bh b ＝ch c .222111(2)S △ABC ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ac sin B ．222a ＋b ＋c (3)S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )(其中p ＝)．2应用在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值和△ABC 的面积．2提示：由已知可把角A 算出来，再求tan A ，并求出sin A ，直接代入面积公式即可求面积．专题四正、余弦定理的综合应用以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型．在具体解题中，除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外，也要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化解题的目的．cos C 2a －c 应用1在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且＝.cos B b(1)求cos B 的值；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．提示：(1)先利用正弦定理化简，再用三角变换整理即得．(2)利用余弦定理及面积公式，再注意整体求ac 的技巧．应用2在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ．(1)确定角C 的大小；33(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为，求a ＋b 的值．2提示：(1)利用正弦定理将边转化为角即可；(2)利用余弦定理和面积公式列出关于a ，b 的方程求解，注意整体技巧．专题五正、余弦定理在实际问题中的应用解决有关三角形的应用问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正弦定理、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题，这一程序可用框图表示为：实际问题――→解三角形问题――→三角形问题的解――→实际问题的解概括演算应用1如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧抽象推理还原远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD ．提示：要测出高CD ，只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可．根据已知条件，可以计算出BC 的长．应用2如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东45°相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？提示：在求解三角形中，可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．真题放送1．(2011·天津高考)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为()．A ．3366B ．C ．D ．36362．(2011·福建高考)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，∠C ＝60°，则边AB 的长度等于__________．→→3．(2011·上海高考)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB ·AD＝______.4．(2011·湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C ．(1)求角C 的大小；π(2)求3sin A －cos(B ＋)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．45．(2011·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b1＝2，cos C ＝.4(1)求△ABC 的周长；(2)求cos(A －C )的值．6．(2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .b (1)求；a(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求∠B ．7．(2011·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C1＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝b 2.45(1)当p ＝，b ＝1时，求a ，c 的值；4(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．答案：综合应用专题一应用1：钝角∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，根据正弦定理，得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4.设a ＝2m ，b ＝3m ，c ＝4m (m ＞0),∵c ＞b ＞a ，∴∠C ＞∠B ＞∠A .a 2＋b 2－c 24m 2＋9m 2－16m 21∴cos C ＝＝＝－＜0.2ab 42×2m ×3m∴∠C 是钝角.∴△ABC 是钝角三角形．应用2：解：解法一：由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C .∵∠B ＝60°，∴∠A ＋∠C ＝120°.∴∠A ＝120°－∠C ，代入上式，得2sin 60°＝sin (120°－C )＋sin C ，31展开，整理得sin C ＋cos C ＝1.22∴sin(C ＋30°)＝1.∴∠C ＋30°＝90°.∴∠C ＝60°.故∠A ＝60°.∴△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .a ＋c ∵∠B ＝60°，b ＝，2a ＋c 2∴()＝a 2＋c 2－2ac cos 60°.2整理，得(a －c )2＝0，∴a ＝c .从而a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形．专题二a b c 应用1：证明：(1)由正弦定理，设＝＝＝k ，sin A sin B sin Ck 2sin 2A ＋k 2sin 2B sin 2A ＋sin 2B 显然k ≠0，所以，左边＝＝＝右边，即原等式成立．k 2sin 2C sin 2Cb 2＋c 2－a 2c 2＋a 2－b 2a 2＋b 2－c 2(2)根据余弦定理，右边＝2(bc ·＋ca ·＋ab ·)＝(b 2＋c 2－a 2)2bc 2ca 2ab222222222＋(c ＋a －b )＋(a ＋b －c )＝a ＋b ＋c ＝左边，即原等式成立．222b 2＋c 2－a 2cos A b ＋c －a 应用2：证明：由余弦定理，得cos A ＝，所以cot A ＝＝＝2bc sin A 2bc sin Ab 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－b 2a 2＋b 2－c 2，同理可得cot B ＝，cot C ＝，所以cot A ＋cot B ＋cot C ＝4S 4S 4Sb 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－b 2a 2＋b 2－c 2a 2＋b 2＋c 2＋＋＝.4S 4S 4S 4S专题三2应用：解：∵sin A ＋cos A ＝2cos (A －45°)＝，21∴cos (A －45°)＝.2又∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝105°.tan 45°＋tan 60°∴tan A ＝tan (45°＋60°)＝＝－2－3，1－tan 45°tan 60°2＋6sin A ＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝.4又∵AC ＝2，AB ＝3，2＋6311∴S △ABC ＝AC ·AB ·sin A ＝×2×3×＝(2＋6)．2244专题四cos C 2a －c 2sin A －sin C 应用1：解：(1)由＝＝，得cos B b sin Bcos C ·sin B ＝2sin A ·cos B －cos B ·sin C .∴2sin A ·cos B ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C＝sin (B ＋C )＝sin (π－A )＝sin A .1∵sin A ≠0，∴cos B ＝.2(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝7，又a ＋c ＝4，∴(a ＋c )2－3ac ＝7.∴ac ＝3.11333∴S △ABC ＝ac sin B ＝×3×＝.2224应用2：解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理，得a 2sin A sin A ＝＝.c sin C 33∵sin A ≠0，∴sin C ＝.2∵△ABC 是锐角三角形，π∴∠C ＝.3π(2)∵c ＝7，∠C ＝.由面积公式，得31π33ab sin ＝，∴ab ＝6.①232π由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②3由①②，得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.专题五应用1：解：在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠ACB ＝25°－15°＝10°.根据正弦定理，AB sin ∠BAC 5sin 15°得BC ＝＝≈7.452 4(km)，sin 10°sin ∠ACBCD ＝BC tan ∠DBC ＝BC ×tan 8°≈1.047 (km)．答：山的高度约为1.047 km.应用2：解：设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB ＝10x ，AB ＝14x ，AC ＝9，∠ACB ＝75°＋45°＝120°，222∴(14x )＝9＋(10x )－2×9×10x cos 120°，2化简，得32x －30x －27＝0.39解得x ＝或x ＝－(舍去)．216∴BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21.BC sin 120°15353又∵sin ∠BAC ＝＝×＝，AB 21214∴∠BAC ＝38°13′或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)．∴38°13′＋45°＝83°13′.答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5小时才能追赶上该走私船．真题放送31．D 设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝a .2在△ABD 中，由余弦定理，得33(a )2＋(a )2－a 222222AB ＋AD －BD 1cos A ＝＝＝.2AB ·AD 3332×a ·a 2222又∵∠A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝.3BC AB 在△ABC 中，由正弦定理，得＝.sin A sin C3a 222AB 6∴sin C ＝·sin A ＝·＝.BC 2a 361132．2在△ABC 中，由面积公式得S ＝BC ·CA ·sin C ＝×2·AC ·sin60°＝AC ＝3，∴AC 2221＝2.再由余弦定理，得AB 2＝BC 2＋AC 2－2·AC ·BC ·cos C ＝22＋22－2×2×2×＝4.∴AB ＝2.23．15如图，在△ABD 中，由余弦定理得2AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60°＝9＋1－2×3×cos 60°＝7，∴AD ＝7，AB 2＋AD 2－BD 29＋7－15∴cos ∠BAD ＝＝＝.2AB ·AD 2×3×727515于是，AB ·AD ＝|AB ||AD |cos ∠BAD ＝3×7×＝.2724．解：(1)因为c sin A ＝a cos C ，由正弦定理，得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0.从而sin C ＝cos C .π又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则∠C ＝.43π(2)由(1)知，B ＝－A .于是4π3sin A －cos(B ＋)4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos Aπ＝2sin(A ＋)．63πππ11π因为0＜A ＜，所以＜A ＋＜.46612ππππ从而当A ＋＝，即A ＝时，2sin(A ＋)取最大值2.6236ππ5π综上所述，3sin A －cos(B ＋)的最大值为2，此时∠A ＝，∠B ＝.431215．解：(1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×＝4，4∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.1(2)∵cos C ＝，4115∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－()2＝.44154a sin C 15∴sin A ＝＝＝.c 28∵a ＜c ，∴∠A ＜∠C .故∠A 为锐角．1527)＝.88∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C71151511＝×＋×＝.8484166．解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .b 故sin B ＝2sin A ，所以＝ 2.a(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，(1＋3)a 得cos B ＝.2c由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.12可得cos 2B ＝，又cos B ＞0，故cos B ＝，22所以∠B ＝45°.5a ＋c ＝，47．解：(1)由题设和正弦定理，得1ac ＝，4∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－(⎧⎨⎩1a ＝1，⎧⎧⎪⎪a ＝4，解得⎨1或⎨c ＝，⎪⎪⎩4⎩c ＝1.11(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－b 2－b 2cos B ，2231即p2＝＋cos B，223因为0＜cos B＜1，得p2∈(，2)．2由题设知p＞0，所以6＜p＜ 2. 2。

高中数学必修5第一章：解三角形

外接圆法
A
BOb CFra bibliotekB`B a
c
O
C
b
A
C′
A
ObC B` B
A O bC
B
一.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦
的比相等，即
注意：
(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.
2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形(角度精确到1o, 边长精确到1cm): (1) a＝20cm，b＝11cm，B＝30o； (2) c＝54cm，b＝39cm，C＝115o.
3.判断满足下列条件的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o 两解
(2)c=54, b=39, C=120o 一解
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.
余弦定理及其推论的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其他角.
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）. 解：方法一：根据余弦定理，
用正弦定理试求，发现因A、B均
A
未知，所以较难求边c.
由于涉及边长问题，从而可以
考虑用向量来研究这个问题.
C
B
.
，
A
，
,
C
B
,
.
一、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减
去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角形的第三条边.

高中数学必修5《解三角形》PPT课件

别是 a，b，c.已知 a＝3，cos A＝ 36，B＝A＋π2 . (1)求 b 的值； (2)求△ABC 的面积．
解 (1)在△ABC 中，由题意知，sin A＝ 1－cos2A
＝
33，因为
π B＝A＋ 2 ，
所以
sin
B＝sinA＋π2 ＝cos
A＝
6 3.
由正弦定理，得 b＝assiinnAB＝3×336＝3 2. 3
(1)a＝2Rsin A，b＝_2_R__s_in__B_，c
常
＝__2_R_s_in__C_； (2)sin A＝2aR，sin
b B＝__2_R__，
见变
sin C＝2cR；
b2＋c2－a2 cos A＝____2_b_c___；
c2＋a2－b2 cos B＝____2_a_c___；
形 (3)a∶b∶c＝____s_in__A_∶__s_in__B_∶___ _s_i_n_C__； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin
又 A＋B＋C＝π，所以原等式可化为 sinC＝2sinA，
因此ssiinn CA ＝2.
(2)由sinC＝2 得 c＝2a. sinA
由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB 及 cosB＝1，b＝2， 4
得 4＝a2＋4a2－4a2×1，解得 a＝1，从而 c＝2. 4
又因为 cosB＝1，且 0<B<π.所以 sinB＝ 15.
(2)由
π B＝A＋ 2 ，得
cos
B＝cosA＋π2 ＝－sin
A＝－
33.
由 A＋B＋C＝π，得 C＝π－(A＋B)．
所以 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)

必修5解三角形知识点归纳

知识点归纳：1．.正弦定理：a b c2R（R 为△ABC 外接圆的半径）s i n A si n B si n C变形：a : b : c sin A : sin B : sin C .另：三角形的内切圆半径r2SABCa bc.2．余弦定理：2 2 2a b c 2bc cos A；变形：（1）cos Ab2 2c2bca2；2 2 2b ac 2ac cosB2 2 2c a b 2ab cosC22 2c bacosB；；2ac2 2 2a b ccosC.2ab2 2 2变形：（2）sin A sin B sin C 2 sin B sinC cos Asin 2 2 2B sin A sinC 2 sin Asin C cos Bsin 2 2 2C sin A sin B 2 sin A sin B cosC3．三角形中的边角关系和性质：（1）A B C A2B2C22在Rt△中， 2 b2 c2a ，C=A+B=900.（2）sin( A B) sin C cos( A B) cos n C t a A n( B) t aCn（3）sin A B2cosC2Acos 2BtanC2At a n 2B Cc o t2（4）tanA+tanB+tanC= tan A·tanB·tanC（5）a b A B sin A sin B . cos cos B（6）1 1S ab sin C ×底×高2 2a bc4Rr. (a b c)2（三角形的内切圆半径r，外接圆半径R）（7）ma+nb=kc msinA+nsinB=ksinC（8）ma=nb msinA=nsinB(9)a:b:c=sinA:sinB:sinC(10)若A、B、C 成等差数列，则 B 060 .2．在△ABC 中，cos(A－B)＋sin( A＋B)＝2，则△ABC 的形状是（）A. 等边三角形B.等腰钝角三角形C.等腰直角三角形D.锐角三角形3．在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A. b＝20，A＝45°，C＝80°B.a＝14，b＝16，A＝45°C. a＝30，c＝28，B＝60°D.a＝12，c＝15，A＝120°6．在△ABC 中，tanA＋tanB＋tanC＞0，则△ABC 是（）A. 锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.任意三角形→·A→C>0，B→A·B→C >0，C→A·C→B>0 中能够成立的个数为（）7．在△ABC 中，下列三式：ABA. 至多1 个B.有且仅有 1 个C.至多2 个D.至少2 个8．在△ABC 中，若(a＋b＋c)( b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinB c osC，那么△ABC 是（）A. 直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形9．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定10．已知△ABC 中，AB＝1，BC＝2，则角 C 的取值范围是（）A. 0＜C≤ππ6B. 0＜C＜2C. π6π＜C＜2D.π6＜C≤π312．在△ABC 中，若aAcos2＝bBcos2＝cCcos2，则△ABC 的形状是_____________.13．在△ABC 中，A、B、C 相对应的边分别是a、b、c，则a c osB＋b c osA＝______.14．在△ABC 中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，求a＝__________.15．在△ABC 中，a、b、c 分别是角A、B、C 所对的边长，若(a＋b－c) ·(sinA＋sinB－sinC) ＝3asinB，则C＝________.2＜b2＋c2，则 A 的范围是_____________. 16．在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果 a2＋c2＝ 18．(本小题满分14 分)在△ABC 中，a、b、c 分别是角A、B、C 所对的边长，若 a2＋ac 且a bc ＝3＋12，求角 C 的大小.19．(本小题满分14 分)在△ABC 中，已知t anA－tanBtanA＋tanB＝c－bc，求∠A.21．（本小题满分15 分）如图，有两条相交成60°角的直线x x′，yy′，交点是O，甲、乙分别在Ox，Oy 上，起初甲离O 点3 km，乙离O 点1 km，后来两人同时用每小时 4 km 的速度，甲沿xx′方向，乙沿y′y 方向步行，问：（1）起初两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t（3）什么时候两人的距离最短？5、在△ABC 中，a 7,b 4 3,c 13 ，则最小角为A、B、C、D、3 64 128、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是A、b 10, A 45 ,C 70B、a 60,c 48, B 60C、a 7,b 5,A 80D、a 14,b 16, A 452 10．在△ABC 中，已知sin Bsin C＝cos A2，则此三角形是__________三角形．11. 在△ABC 中，∠A 最大，∠ C 最小，且∠A＝2∠C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比为．13．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 米后到达点B，又从点 B 测得斜度为45°，建筑物的高CD 为50 米．求此山对于地平面的倾斜角．( 第13 题)14．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，若bcos C＝( 2a－c) cos B，( Ⅰ) 求∠B 的大小；( Ⅱ) 若b＝7 ，a＋c＝4，求△ABC 的面积．2．在ABC 中，若s inaA cosbB，则B 的值为（）A．30 B．45 C．60 D．903．在ABC 中，若b 2a sin B ，则这个三角形中角 A 的值是（）A．30 或60 B．45 或60 C．60 或120 D．30 或150 6．在ABC 中，如果(a b c)( b c a) 3bc ，那么角 A 等于（）A．30 B．60 C．120 D．1509．在ABC 中，若b c 2 1，C 45 ，B 30 ，则（）A ． b 1,c 2B ． b 2,c 1C ． b22, c 122D．b21 ,c22210．如果满足ABC 60 ，AC 12 ，BC k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（）A．k 8 3 B．0 k 12 C．k 12 D．0 k 12 或k 8 3 16．在△ABC 中，已知角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判断△ABC 的形状．17. 如图，海中有一小岛，周围 3.8 海里内有暗礁。

2012年西安市西光中学高二必修5解三角形数列月考题

西安市西光中学高二年级月考试题数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 不解三角形，下列判断中正确的是（）A ．a=7，b=14，A=300有两解B ．a=9，c=10，B=600无解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=30，b=25，A=1500有一解 2. 在正整数100至500之间能被11整除的个数为（） A ．34B ．35C ．36D ．373. {a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9的值是（）A ．24B ．27C ．30D ．334．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ． 5．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不能确定 6．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 27．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．不能确定D ．等腰三角形 8．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )A ．090 B ．060 C ．0135 D ．01509．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81-10．在△ABC 中，若tan 2A B a ba b--=+，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形西安市西光中学高二年级第一次月考试卷数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11. 已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是___ ____ 12．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若n n T S =132+n n ，则1111b a =___ ______．13．数列}{n a 满足12 (01),1 (1).n n n n n a a a a a +≤≤⎧=⎨->⎩且167a =,则2010a =_____ _____14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若,,a b c 成等差数列,30,B = ABC ∆的面积为32，则b =____. 三、解答题（本大题共6小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分6分）已知数列}{n a 满足：111,2n n a a a n -=-=且. （1）求432,a a a ，（2）求数列}{n a 的通项n a16．（本小题满分6分）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知3151612,0,0,a S S =>< （1）求公差d 的取值范围；（2）指出n S S S ,,,21 中哪一个最大？说明理由17．（本小题满分8分）甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m ．（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇．（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？18．（本小题满分8分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，已知向量33(cos ,sin ),22A A m = (cos ,sin ),22A A n =且满足m n += ，（1）求角A 的大小；（2）若,b c +=试判断ABC ∆的形状。

必修五数学解三角形知识点

必修五数学解三角形知识点想要学好数学，确定要多看例题，在看例题的过程中，大脑会将已有概念具体化，使对学问的理解更深刻，更透彻。

下面是我整理的必修五数学解三角形学问点，仅供参考希望能够关怀到大家。

必修五数学解三角形学问点推断解法已知条件：一边和两角一般解法：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时，有一解。

已知条件：两边和夹角一般解法：由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180°求出另一角，在有解时有一解。

已知条件：三边一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C在有解时只有一解。

已知条件：两边和其中一边的对角一般解法：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。

(或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C)①若ab，则AB有唯一解;②若ba，且babsinA有两解;③若absina则无解。

p=常用定理正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径)。

变形公式(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c(3)asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB(4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R面积公式(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h(原始公式)余弦定理a²=b²+c²-2bccosAb²=a²+c²-2accosBc²=a²+b²-2abcosC注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊状况。

变形公式cosC=(a²+b²-c²)/2abcosB=(a²+c²-b²)/2accosA=(c²+b²-a²)/2bc数学二元一次方程组学问点1.定义：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。

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数学必修5
高二年级月考
数学试卷（解三角形和数列）
（说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分，共50分）
1、
2、
3、

4、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为
A 12nan B )12()1(nann
C )21()1(nann D )12()1(nann

5、在⊿ABC中，边AB=22，它所对的角为150 ，则此三角形的外接圆直径为
A 缺条件，不能求出 B 13 C 213 D 13
6、等比数列2，4，8，16，…的前n项和为
A 121n B 22n C n2 D 221n

7、在⊿ABC中，已知bacba2222，则C=
A 300 B 1500 C 450 D 1350
8、一个数加上20、50、100后得到的三数成等比数列，其公比为

A 35 B 34 C 1.5 D 0.5

9、

109143132121

1


A 0.1 B 0.3 C 0.6 D 0.9
10、⊿ABC为钝角三角形，a=3,b=4,c=x,C为钝角，则x的取值范围为
A 5

11、等比数列}{na的462aa，则4a=
A 2 B -4 C 4，-4 D 2，-2
12、在⊿ABC中，已知A=300,a=5,113b,解此三角形，得到三角形的个数为
A 0 B 1 C 2 D 3
13、已知等差数列}{na中，,295aa则13S=
A 11 B 12 C 13 D 不确定
14、已知：在⊿ABC中，BCbccoscos，则此三角形为
A 直角三角形 B 等腰直角三角形
C 等腰三角形 D 等腰或直角三角形

15、某企业今年产值为27万元，产值年平均增长率为31，那么，经过3年，年产值达到
A 64万元 B 48万元 C 29万元 D 385万元
16、
17、

18、若一个等差数列的前n项和等于3n2+2n，其第k项是

A 3k 2+2k B 6k-1 C 5k+5 D 6k+2
19、已知数列}{na满足),(12,1*11Nnaaann则5a=
A 29 B 30 C 31 D 32
20、递减等差数列}{na的前n项和nS满足：105SS，则欲nS最大，必n=
A 10 B 7 C 9 D 7，8

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
21、1-3+5-7+9-11+ … -19=
22、在⊿ABC中，已知a=1， b=2，C=600，则c=
23、
24、
三、解答题
（本大题共4个小题，每小题7分,共28分）

25、在⊿ABC中，已知030,1,3Bbc.
（1）求出角C和A ；
（2）求⊿ABC的面积S；
（3）将以上结果填入右下表.

26、和为114的三个数是一个等比数列的连续三项，也分别是一个等差数列nb的第一项、第四项、第二十五项.
（1）证明：142578bbb；
（2）求这三个数.

C A S
情况①
情况②
红岭中学2005-2006学年度第一学期高二年级期中考试
《数学试卷》答案及评分标准

一、（每小题3分）
CD，DCADA，DACCA，BCD

二、（每小题3分）
21、-10. 22、3
三、（每小题7分）

25、（1）bcBCsinsin，23sinC………………………………………………2分
0000
30,120,90,60,,ACACBCbc此时或者此时
………2分
（2）S=0.5bcsinA=43,23……………………………………………………2分
26、（1）dbbdbbbdbb247)3(878,2411114125
∴命题成立…………………………………………………………………2分
（2）设这三个数分别为2,,aqaqa

则 aaqaqaqaqa7811422 …………………………………………………………2分

解之得：27381aqaq，或
∴这三个数分别为38，38，38；或2，14，98……………………………………3分

12、设na是公比为q的等比数列，nS是它的前n项和。若nS是等差数列，则q＝
12、1
15、四数中，前三数成等差数列，后三数成等比数列，二、三数之和为8，一、四数之和为16，求四数。

15、解：由条件可设四数分别为da，a，da，ada2

由8162daaadada 解得24ad 或88ad（因 0da，舍去）

四数分别是－2，2，6，18

18、经过市场调查分析得知，某地区明年从年初开始的前n个月内，对某种商品的需求总量nf（万件）近似地满足

下列关系：nnnnf23511501,。、、、12321n
（1）写出明年第n个月这种商品得需求量ng（万件）与月份n得函数关系式，并求出哪几个月份得需求量超过1.4
万件；
（2）若将该商品都在每月都投放市场p万件，要保证每月都满足供应，则p至少为多少万件？

18、解：（1）1121nfnnfnfng12,3,2,1122512，＝nnn
由75035124.11225122nnnnn

6n
（2）max2351150123511501nnpnnpnfnp







35833433215012351150122nnn

8n时，14.1505723511501maxnn 
14.1p
答：每月至少投放1.14万件。
18、（14分）已知数列na的前项和)(,22NnnnSn

（1）求通项na

（2）求和：
14332211111nn
aaaaaaaa


18．（1）∵a1=S1=3,
∴ n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1,
n=1代入上式得an=3，
∴ an= 2n+1, n∈N*, （6分）

（2）∵321121213212111nnnnaann （9分）

∴原式






3211217151513121nn

（12分）

=3213121n=323nn （14分）
19、（12分）如图，半圆O的半径为2，A为直径延长线上的一点，且OA=4，B为半圆周上任意一点，从AB向外作
等边ABC，设AOB，问当为何值时，四边形OACB的面积最大？最大面积是多少？

19. ∵ AB2=22+42-2×2×4cosθ=20-16cosθ, （4分）
∴SOACB=cos162043sin4221

=4sinθ-43cosθ+ 53
=8 sin(θ-3)+53 （9分）
∴当65时Smax=8+53 （12分）