北京十五中2016届九年级(上)期中数学试卷(解析版)

北京市第十三中学2016-2017学年度九年级数学期中测试 2016年11月第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）.2．在平面直角坐标系中，将抛物线24y x =-先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ）.A ．2(2)2y x =++ B ．2(2)2y x =-- C ．2(2)2y x =-+ D ．2(2)2y x =+- 3．如果45a b =（ab ≠0），那么下列比例式变形正确的是（ ） A ．54a b = B ．45a b = C ．45a b = D ．45ba = 4．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且 DE ∥BC ，如果 AD ∶DB=3∶2，那么AE ∶AC 等于（ ）A ．3∶2B ．3∶1C ．2∶3D ．3∶55．在平面直角坐标系xoy 中，如果⊙O 是以原点O （0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A （-3，-4）与⊙O 的位置关系是（ ） A. 在⊙O 内B.在⊙O 上C. 在⊙O 外D. 不能确定 6．如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°， B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若B A AC ''⊥， 则BAC ∠的度数是（ ）．A. B. C. D.A ．50° B．60° C． 70° D．40°7．如右图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB=20°，则∠AOD 等于（ ）A ．120°B ． 140°C ．150°D ． 160°8．二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A. 5 B. 0 C. -3 D. -49．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 的延长线交⊙O 于C 点， 连接BC ，如果30A ∠=，AB =AC 的长等于( ) ．A. 6B. 4C.D.10．如图1，AD 、BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发沿图中某一个扇形顺时针．．．匀速运动，设∠APB=y （单位：度），如果y 与点P 运动的时间x （单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P 的运动路线可能为( ).A ．O →B →A →O B ．O →A →C →O C ．O →C →D →O D ．O →B →D →O二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．写出一个抛物线开口向下，与y 轴交于（0，2）点的函数表达式 .12. 把二次函数的表达式y = x 2－6x+5化为()2y a x h k =-+的形式，那么h k +=_____.13．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是 米2． 14．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”AB图2图1yx90BA O CO 4515.弦AB 的长等于⊙O 的半径，那么弦AB 所对的圆周角的度数是____________. 16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 小涵的主要作法如下：老师说：“小涵的作法正确．”请回答：小涵的作图依据是 ．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．解方程：2610x x --=．18．如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断弧EF 和弧FG 是否相等，并说明理由.19．已知抛物线y = (m -2)x 2 + 2mx + m +3与x 轴有两个交点． (1) 求m 的取值范围；(2) 当m 取满足条件的最大整数时，求抛物线与x 轴两个交点的坐标．20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AB 1C 1． (1) 在网格中画出△AB 1C 1；(2) 计算点B 旋转到B 1的过程中所经过的路径长．（结果保留π21．下表是二次函数2(a 0)y ax bx c =++≠图象上部分点的横坐标（x ）和纵坐标（y ）.（1（2）其中A （1，1）、B （2，2）在函数的图象上，且-1< x 1 <0， 2< x 2 <3，则1y _____2y （用“>”或“<”填空）； （3）求这个二次函数的表达式．第20题图22. “母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y （件）与销售单价x （元）满足一次函数关系：()31082036y x x =-+<<．如果义卖这种文化衫每天的利润为p （元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？23．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，直线l 与⊙O 相切与点P ，且l ∥BC ．(1) 请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．，在⊙O 中画出一条弦．，使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)；(2) 请写出证明△ABC 被所作弦分成的两部分面积相等．24. 密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．25. 如图，已知△ABC 是等边三角形，以AB 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，交AC 边于点F ，作DE ⊥AC 于点E ． lOBC（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若△ABC 的边长为4，求EF 的长度．26．阅读下面解题过程，解答相关问题.求一元二次不等式224x x --＞0的解集的过程.① 构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数x x y 422--=；并在坐 标系中画出二次函数x x y 422--=的图象(如图1). ② 求得界点，标示所需：当y=0时，求得方程0422=--x x 的解为12x =-，20x =；并用锯齿线标示出函数x x y 422--=图象中y ＞0的部分(如图2). ③ 助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式224x x --＞0的解集为2-<请你利用上面求一元二次不等式解集的过程，求不等式221x x -+≥4的解集.27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1222+-+-=m mx x y 的对称轴是直线1=x ． （1）求抛物线的表达式；（2）点()1,y n D ，()2,3y E 在抛物线上，若21y y <，请直接写出n 的取值范围；（3）设点()q p M ,为抛物线上的一个动点，当12p -<<点M 关于y 轴的对称点都在直线4-=kx y 的上方，求k28. 已知，点O 是等边△ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，（1） 如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC ADC.①∠DAO 的度数是 ；②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明； （2） 设∠AOB=α，∠BOC=β.①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC 有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC 的边长为1，直接写出OA+OB+OC 的最小值.ABCDABCO 图1图229．在平面直角坐标系xOy 中，定义点P （x,y ）的变换点为P ′(x+y, x-y) ． (1) 如图1，如果⊙O 的半径为①请你判断 M (2,0)，N (-2,-1)两个点的变换点与⊙O 的位置关系；②若点P 在直线y=x+2上，点P 的变换点P ′在⊙O 的内，求点P 横坐标的取值范围.(2)如图2，如果⊙O的半径为1,且P的变换点P’在直线y=-2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．草稿纸北京市第十三中学2016-2017学年度九年级数学期中测试评分标准2016年11月一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每题3分）6；14．26； 15．30°和150°； 16．直11．不唯一； 12．-1； 13．3径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.解方程：x2-6x-1=0.解：x2-6x=1. …………1分x 2-6x +9=1+9 . …………2分 (x -3)2=10 . …………3分x =3±∴x 1=3x 2=3分18. 如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA的延长线于G ，判断»EF和»FG 是否相等，并说明理由. 结论：»»EFFG =. ………………… 1分； 证法一：连接AE . ∴AB AE =，∴B AEB ∠=∠，………………… 2分； ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴B GAF ∠=∠，FAE AEB ∠=∠，………………… 3分； ∴GAF FAE ∠=∠， ………………… 4分；在⊙A 中，∴»»EFFG =. ………………… 5分. 结论：»»EFFG =. ………………… 1分； 证法二：连接GE . ∵BG 是⊙A 的直径，∴90BEG ∠=o. ∴GE BE ⊥.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ………………… 3分； ∴AD GE ⊥ ………………… 4分；G FE ADBC∴»»EFFG =. ………………… 5分. 证法三：参考上面给分19．（1）解：在 y = (m -2)x 2+ 2mx + m +3 中，令y =0由题意得2(2)4(2)(3)020m m m m ⎧∆=--+>⎨-≠⎩------------------------------------------2分 整理，得 42402m m -+>⎧⎨≠⎩解得 62m m <≠且-----------------------------------3分（2）满足条件的m 的最大整数为5．-------------------------4分∴y =3x 2+10x +8令y =0，3x 2+10x +8=0，解得423x x =-=-或∴抛物线与x 轴有两个交点的坐标分别为（-2,0）、（43-，0）-------5分 20．解：(1)画出△AB 1C 1，如图． ………………………………2分(2)由图可知△ABC 是直角三角形，AC ＝4，BC ＝3，所以AB ＝5． ………………3分 点B 旋转到B 1的过程中所经过的路径是一段弧， 且它的圆心角为90°，半径为5． …………4分∴＝πππ25521241=⨯=⨯⨯AB ． …………5分所以点B 旋转到B 1的过程中所经过的路径长为π25． 21．解（1）3； --------------------------------------------------1分 （2）>； -----------------------------2分（3）观察表格可知抛物线顶点坐标为（2，-1）且过（0，3）点，设抛物线表达式为2(2)1y a x =----------------3分把（0，3）点代入，4a -1=3，解得a =1--------------------------------------------------4分 ∴2(2)1y x =--243y x x =-+∴-----------------------------------5分22．解：每天获得的利润为：(3108)(20)p x x =-+- …… ……………………… 1分231682160x x =-+-23(28)192x =--+ ……………………………… 3分∵202836<<∴当销售价定为28元时，每天获得的利润最大，…… 4分 最大利润是192元. . ……5分23. （1）解：如图所示.-----2分（2）思路：a ．由切线性质可得PO ⊥l ；b ．由l ∥BC 可得PD ⊥BC ；c ．由垂径定理知，点E 是BC 的中点；d ．由三角形面积公式可证S △ABE = S △AEC . -----5分24. 解法一：如图所示建立平面直角坐标系．--------------------------- 1分 此时，抛物线与x 轴的交点为C(-100,0), D(100,0)．l设这条抛物线的解析式为)100x )(100x (a y +-=．-------------------- 2分∵抛物线经过点B (50,150)，可得 )10050)(10050(a 150+-= ．解得501a -=． ------------------------- 3分 ∴200x 501)100x )(100x (501y 2+-=+--=．-------4分 顶点坐标是（0，200）∴ 拱门的最大高度为200米．-------------------------------------- 5分 解法二：如图所示建立平面直角坐标系．-------------------------------- 1分 设这条抛物线的解析式为2ax y =．--------------------------------- 2分 设拱门的最大高度为h 米，则抛物线经过点B(50,-h+150), D(100,-h) 可得解得． ----------------------- 4分∴ 拱门的最大高度为200米．--------------------- 5分25.（1）证明：连接OD ，∵ABC ∆是等边三角形， ∴︒=∠=∠60C B ． ∵OD OB =，∴︒=∠=∠60B ODB ．…………………………………………………………1分∵AC DE ⊥， ∴︒=∠90DEC ． ∴︒=∠30EDC ． ∴︒=∠90ODE ． ∴OD DE ⊥于点D ．∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线． 2分 （2）连接AD ，BF ， ∵AB 为⊙O 直径，∴︒=∠=∠90ADB AFB ． ∴BF AF ⊥，BD AD ⊥． ∵ABC ∆是等边三角形，∴221==BC DC ，221==AC FC ． …………………………………………3分 ∵︒=∠30EDC ，∴121==DC EC ．……………………………………………………………4分∴1=-=EC FC FE ． ………………………………………………5分26. 解：①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数221y x x =-+或223y x x =--；并在坐标系中画出二次函数221y x x =-+或223y x x =--；的图象(如图). ………………… 2分；②求得界点，标示所需：当y =4时，求得方程2214x x -+=的解为11x =-，23x =；并用锯齿线标示出函数221y x x =-+图象中y ≥4的部分(如图).或当y =0时，求得方程2230x x --=的解为11x =-，23x =；并用锯齿线标示出函数223y x x =--图象中y ≥0的部分(如图). …………… 4分；③借助图象，写出解集：∴不等式221x x -+≥4的解集为x ≤-1或x ≥3. ………………… 5分； 27． 解：（1）∵抛物线的对称轴是1=x∴1222=--=-m a b ∴1=m …………. ………...1分∴x x y22+-=． ………. ………...2分 （2）3>n 或1-<n ． ………. ………...4分 （3） 由题意得抛物线22(12)y x x x =-+-<<关于y 轴对称的抛物线为22(2y x x =---<当13x y ==-时，；当直线4-=kx y 经过点()3,1-时，可得1=k ………5分 当20x y =-=时，；当直线4-=kx y 经过点()0,2-时，可得2-=k ……6分 综上所述，k 的取值范围是12≤≤-k ． ………7分 28．解：（1）①90°. …………………………………………… 1分②线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系是222OA OB OC +=.如图1，连接OD .∵△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴△ADC ≌△BOC ，∠OCD=60°.∴CD = OC ,∠ADC =∠BOC =120°, AD= OB . ∴△OCD 是等边三角形.∴OC =OD =CD ，∠COD =∠CDO =60°.DA∵∠AOB =150°，∠BOC =120°， ∴∠AOC =90°.∴∠AOD =30°，∠ADO =60°. ∴∠DAO =90°.在Rt △ADO 中，∠DAO =90°， ∴222OA AD OD +=.∴222OA OB OC +=. ………………… 3分（2）①如图2，当α=β=120°时，OA +OB +OC 有最小值. 作图如图2的实线部分. …………………… 4分如图2，将△AOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△A’O’C ，连接OO’. ∴△A’O’C ≌△AOC ，∠OCO’=∠ACA’=60°. ∴O’C = OC , O’A’ = OA ，A’C = BC, ∠A’O’C =∠AOC . ∴△OC O’是等边三角形.∴OC = O’C = OO’，∠COO’=∠CO’O =60°. ∵∠AOB =∠BOC =120°， ∴∠AOC =∠A’O’C =120°. ∴∠BOO’=∠OO’A’=180°. ∴四点B ，O ，O ’，A ’共线.∴OA +OB +OC = O’A’ +OB +OO’ =BA’ 时值最小. …………… 6分②当等边△ABC 的边长为1时，OA +OB +OC 的最小值A ’B … 7分 29.解：（1）①由题意得，'(2,2),'(3,1).M N -- ∴''OM ON =>∴'M 在⊙O 上，'N 在⊙O 外. ----2 ②设点(,2)P x x +,则'(22,2)P x +-. ∵点'P 在⊙O 内，∴2<2+2<2-x ,解得0<<2-x .∴点P 横坐标的取值范围是0<<2-x O O /A /4321ABC图2-----5分（2）设点(,)P a b ,则'(,)P a b a b +-. 由题意，得2()6.a b a b -++=- 整理，得3 6.b a =-+ ∴36P y x =-+点在直线上. ∴点O 到直线y = -3x +6的距离是1053∴点P 1-. -----8分。