湖南省长沙市雨花区2021-2022高一数学下学期期末考试试题

湖南省长沙市雨花区2021-2022高一数学下学期期末考试试题注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本试卷共22个小题,考试时量120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．若0cos >α,0tan >α，则角α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．下列命题正确的是A ．若0=a ，则0 =aB ．若b a =，则b a =C ．若b a =，则a ∥bD ．若a ∥b，则b a =3. 函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 的最小正周期为 A ．π4 B ．π2 C ．πD ．2π4．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，如果S 10=120，那么a 1+a 10 的值是A ．12B ．24C ．36D ．485．下列结论正确的是A ．若ac bc >，则a b >B ．若88a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D a b <a b >6．已知点D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列等式中错误的是A ．FD DA FA +=B ．0FD DE EF ++=C ．DE DA EC +=D ．+=DA DE FD7．若1tan 2α=，1tan 3β=-，则tan()αβ+=A ．57- B ．57C ．17D ．17-8．已知向量a=（0，5），向量b =（3，-1），若a b μ-与a b +垂直，则μ=A ．1-B ．1C ．12D ．149．在△ABC 中，已知A ，B ，C 成等差数列，且b =3，则CB A c b a sin sin sin ++++= A ．3 B ．23C ．3D ．610．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 图象，则函数的解析式是 A ．()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．()sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了 A ．60里 B ．48里 C ．36里D ．24里12．在△ABC 中，,,a b c 分别为A ，B ，C 的对边，A =60︒，b =1，这个三角形的面积为3，则a =A ．2B 10C ．D二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．cos15︒cos75︒+sin15︒sin75︒的值为 ______.14．等比数列{}n a 中，23=a ，87=a 则5a =________.15．已知1=a ，2=b ，向量a ，b 的夹角为3π，则()b a a +⋅=_________.16．设1>x ，则函数511+-+=x x y 的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）已知平面向量a ，b ，a =（1，2）.（1）若b =（0，1），求2a b +的值；（2）若b =（2，m ），a 与a b -共线，求实数m 的值.18.（本题满分12分）已知1cos 7α=-，()0,απ∈. （1）求22cosα的值；（2）若()1cos 2αβ+=-，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值.19. （本题满分12分）已知()()()2f x x a x =--.（1）当1a =时，求不等式()0f x >的解集； （2）解关于x 的不等式()0f x <.20．（本题满分12分）高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B 、E 、F 为山脚两侧共线的三点，在山顶A 处测得这三点的俯角分别为30︒、60︒、45︒，计划沿直线BF 开通穿山隧道，现已测得BC 、DE 、EF 三段线段的长度分别为3、1、2.（1）求出线段AE 的长度；（2）求出隧道CD 的长度.21.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且545S =，660S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{} n b 满足n n n a b b =-+1（n ∈N *）且13b =.设数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：34n T <.22. （本题满分12分）已知0ϕπ≤<，函数2())sin f x x x ϕ=++． （1）若6π=ϕ，求()f x 的单调递增区间； （2）若()f x 的最大值是32，求ϕ的值．2021上高一年级数学参考答案与评分标准二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13、21 14、4 15、2 16、 8三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17、（1）2(1,2)(0,2)(1,4)+=+=a b ， 所以2214+=+=a b （5分）（2）(1,2)m -=--a b ， 因为a 与a b -共线，所以1212m --=，解得4m =.（10分）18、（1）（1）由2cos 2cos12αα=-得：21cos 3cos .227αα+== （6分）（2）1cos 7α=-，()0,απ∈，,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭.sin 7α∴==（8分）又,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(),2αβππ∴+∈，()sin αβ∴+==10分）()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα∴=+-=+++⎡⎤⎣⎦11112714⎛⎛⎫⎛⎫=--+=- ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12分）19、（1）1a =时，不等式()0f x >化为()()120x x -->，解得1x <或2x >，∴不等式的解集为()(),12,-∞⋃+∞.（6分）（2）关于x 的不等式()0f x <，即()()20x a x --<；当2a =时，不等式化为()220x -<，不等式无解，解集为Ф；（8分）当2a >时，解不等式()()20x a x --<，得2x a <<，解集为(2，a )；（10分） 当2a <时，解不等式()()20x a x --<，得2a x <<，解集为(a ，2)。

（12分） 20、（1）由已知可得EF ＝2，∠F ＝45°，∠EAF ＝60°－45°＝15°，在△AEF 中，由正弦定理得：AE EF sin F sin EAF =∠∠，即24515AE sin sin =︒︒，解得)21AE =；（6分）（2）由已知可得∠BAE ＝180°﹣30°﹣60°＝90°，（8分）在Rt △ABE 中，)241BE AE ==，（10分）所以隧道长度CD BE BC DE =--=（12分）.21、（1）1515504S a d =+=，1661560a d S ==+， 解得15a =，2d =，（4分） 故23n a n =+.（6分） （2）123n n n b b a n +-==+，故()()()112211...n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+()()221512121 (53322)n n n n n n ++-=++-+++=+=+，（8分）故211111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，（10分） 故111111111131 (12324222124)n T n n n n ⎡⎤⎛⎫=-+-++-=+--< ⎪⎢⎥+++⎣⎦⎝⎭.（12分）22、（1）由题意()11cos242f x x x =-+ 11cos 2232x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ （4分） 由2223k x k ππππ-≤+≤，得236k x k ππππ-≤≤-． 所以单调()f x 的单调递增区间为2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （6分）（2）由题意()11cos2sin22222f x x x ϕϕ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，（8分）由于函数()f x 的最大值为32，即22112ϕϕ⎫⎫-+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，（10分） 从而cos 0ϕ=，又0ϕπ≤<，故2πϕ=．（12分）。