《材料力学》第7章应力状态和强度理论习题解.

第七章应力状态和强度理论习题解

[习题7-1] 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。

[习题7-1（a）]

解：A点处于单向压应力状态。

Aπ

σ-

[习题7-1（b）]

解：A点处于纯剪切应力状态。

Aπ

τ-

MPa

618

[习题7-1（b）]

解：A点处于纯剪切应力状态。

∑A M

4.0

8.0

2.1=

)

(

333

.1kN

)(333.1kN R Q B A -=-=

MPa mm

N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=?

=τ

B 点处于平面应力状态

MPa

mm mm mm N I y M z

B B 083.21204012

130103.0333.1436=??????==σMPa mm mm mm

N b I QS z z

B 312.0401204012

145)3040(13334

*-=??????-==

[习题7-1（d ）]

解：A 点处于平面应力状态

MPa mm mm N W M z

A A 064.502014.332

1103.39333=????==σ

MPa mm mm N W T P

A 064.502014.316

1106.78333

=????==

τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540?的矩形。在与轴线成0

45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F 。解：A

x =σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2

0x y

x τσστ+-=

A F 20

45=

τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时，

15020

45≤=

τ kN N mm mm N A F 6060000540/3003002

==??==

[习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于

060~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切

应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3

，

A τ

B τ

σA

τA σ

且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F ，试问α角的值应取多大？解：A

x =σ；0=y σ；0=x τ ατασσσσσα2sin 2cos 2

x y

x --+

][22cos 12cos 22σαασα≤+=+=

A F A F A F ][22cos 1σα

≤+A F

][cos 2σα≤A

σ2cos ][A

F ≤

σ2

max,cos ][A

F N = ατασστα2cos 2sin 2

x y

x +-=

][43

][2sin 2στατα=≤=

A F ασ2sin ][5.1A

F ≤

σ2sin ][5.1max,A

F T =

α（0）

0.9 10 20 30 36.8833 40 50 60 N F m ax,（A ][σ） 1.000 1.031 1.132 1.333 1.563 1.704 2.420 4.000

T F m ax,（A ][σ） 47.754 4.386 2.334 1.732 1.562

1.523 1.523 1.732

最大荷载随角度变化曲线

0.000

1.000

2.000

3.000

4.000

5.0000

304050

斜面倾角(度)

Fmax,N,Fmax,T

Fmax,N

Fmax,T

最大荷载随角度变化曲线

0.000

1.000

2.000

3.000

4.000

5.0000

304050

斜面倾角(度)

Fmax,N,Fmax,T

Fmax,N

Fmax,T

由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当0

60=α时，杆能承受最大荷载，该荷载为：

A F ][732.1max σ=

[习题7-4] 若上题中拉杆胶合缝的许用应力][5.0][στ=，而MPa 7][=τ，

MPa 14][=σ，则α值应取多大？若杆的横截面面积为21000mm ，试确定其最大许可荷

载。

解：由上题计算得：α

σ2

max,cos ][A

F N = ατασστα2cos 2sin 2

x y

x +-=

][5.0][2sin 2στατα=≤=

A F

σ2sin ][A

F ≤

σ2sin ][max,A

F T =

α（0）

0.9 10 20 26.565051 30 40 50 60 N

F m ax,（A ][σ）

1.000 1.031 1.132 1.250

1.333 1.704

2.420

4.000

F m ax,（A ][σ）

31.836 2.924 1.556 1.250 1.155 1.015 1.015 1.155

由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当0

565051.26=α时，杆能承受最大荷

载，该荷载为： kN N mm mm N A F 5.17175001000/1425.1][25.12

2max ==??==σ

[习题7-5] 试根据相应的应力圆上的关系，写出图示单元体任一斜面n m -上正应力及切应力的计算公式。设截面n m -的法线与x 轴成α角如图所示（作图时可设

||||x y σσ>）。

解：坐标面应力：X （x σ，0）；Y （y σ，0）

设n m -斜面的应力为M （ασ，ατ）。X 、Y 点作出如图所示的应力圆。由图中的几何关系可知：

)(11N O O O NO --=-=ασ

)2cos 2

|(|ασσσσσy

x y

x x --

)2cos 22

(ασσσσσy

x y

x x --

--=

)2cos 2

22(

ασσσσσy

x y

x x --

-+--=

ασσσσ2cos 2

x y

x -+

ασσατα2sin 2

2sin y

x OM -=

[习题7-6] 某建筑物地基中的一单元体如图所示，MPa y 2.0-=σ（压应力），

MPa x 05.0-=σ（压应力）。试用应力圆求法线与x 轴成顺时针060夹角且垂直于纸面

的斜面上的正应力及切应力，并利用习题7-5中得到的公式进行校核。解：坐标面应力：X （-0.05，0）；Y （-0.2，0）

060-=α。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 05.0。按比例尺量得斜面的应力为：

MPa 1625.00

60-=-σ

MPa 065.00

60-=-τ

按习题7-5得到的公式计算如下：

σσσσσα2cos 2

x y

x -+

MPa 1625.0)120cos(2

.005.022.005.00600

-=-+-+--=

-σ

ασστα2sin 2

x -=

MPa 065.0)120sin(2

.005.00600

-=-+-=

-τ

作图法（应力圆法）与解析法（公式法）的结果一致。

[习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为m 72.0的截面上，在顶面以下mm 40的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x 轴之间的夹角。

解：（1）求计算点的正应力与切应力

MPa mm

mm N bh My I My z 55.1016080401072.01012124

363=??????===σ MPa mm mm mm N b I QS z z 88.0801608012

160)4080(10104

3*-=???????-==

τ （2）写出坐标面应力 X （10.55，-0.88）

Y （0，0.88）

(3) 作应力圆求最大与最小主应力，

并求最大主应力与x 轴的夹角作应力圆如图所示。从图中按

比例尺量得：

MPa 66.101=σ

MPa 06.03-=σ 0075.4=α

[习题7-8] 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求：（1）指定截面上的应力；（2）主应力的数值；

（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

[习题7-8（a ）]

解：坐标面应力：X （20，0）；Y （-40，0）0

60=α。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 10。按比例尺量得斜面的应力为：

MPa 250

120-=σ， MPa 260

120=τ；MPa 201=σ，MPa 403-=σ；

000=α。

[习题7-8（b ）]

解：坐标面应力：X （0，30）；Y （0，-30）0

30=α。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 10。按比例尺量得斜面的应力为：

MPa 260

60-=σ ，MPa 150

60=τ；MPa 301=σ，MPa 303-=σ；

0045-=α。

单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图

单元体图

应力圆（O.Mohr 圆）

主单元体图

σ3

[习题7-8（c ）]

解：坐标面应力：X （-50，0）；Y （-50，0）0

30=α。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 20。按比例尺量得斜面的应力为：

MPa 500

60-=σ ，00

60=τ；MPa 502-=σ，MPa 503-=σ。

[习题7-8（d ）]

解：坐标面应力：X （0，-50）；Y （-20，50）0

0=α。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 20。按比例尺量得斜面的应力为：

MPa 400

45=σ ，100

45=τ；MPa 411=σ,MPa 02=σ，MPa 613-=σ；

'003539=α。

[习题7-9] 各单元体如图所示。试利用应力圆的几何关系求：（1）主应力的数值；

（2）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。 [习题7-9（a ）]

解：坐标面应力：X （130，70）；Y （0，-70）。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 20。按比例尺量得斜面的应力为：

MPa 5.1601=σ,MPa 02=σ，MPa 5.303-=σ；'005623-=α。

单元体图

应力圆（O.Mohr 圆）

主单元体图

单元体图

应力圆（O.Mohr 圆）

主单元体图

2σ

[习题7-9（b ）]

解：坐标面应力：X （-140，-80）；Y （0，80）。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 40。按比例尺量得斜面的应力为：

MPa 0.361=σ,MPa 02=σ，MPa 1763-=σ；006.65=α。

[习题7-9（c ）]

解：坐标面应力：X （-20，-10）；Y （-50，10）。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 10。按比例尺量得斜面的应力为：

MPa 01=σ,MPa 25.162-=σ，MPa 75.533-=σ；001.16=α。

[习题7-9（d ）]

解：坐标面应力：X （80，30）；Y （160，-30）。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 20。按比例尺量得斜面的应力为：

MPa 1701=σ,MPa 702=σ，MPa 03=σ；006.71-=α。

单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图

单元体图

应力圆（O.Mohr 圆）

主单元体图

单元体图

应力圆（O.Mohr 圆）

主单元体图

[习题7-10] 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角α值。

平面应力状态下的两斜面应力

应力圆

解：两斜面上的坐标面应力为：

A （38，28），

B （114，-48）

由以上上两点作出的直线AB 是应力圆上的一条弦，如图所示。作AB 的垂直平分线交水平坐标轴于C

点，则C 为应力圆的圆心。设圆心坐标为C （0,x ）则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等性质，可列以下方程：

222

)48

0()114()280()38(++-=-+-x x

解以上方程得：86=x 。即圆心坐标为C （86，0）应力圆的半径：

570.55)280()3886(22=-+-=r

主应力为：

MPa r x 57.14157.55861=+=+=σ

MPa r x 43.3057.55862=-=-=σ

单元体图

应力圆（O.Mohr 圆）

主单元体图

03=σ

（2）主方向角

（上斜面A 与中间主应力平面之间的夹角）

（上斜面A 与最大主应力平面之间的夹角）

（3）两截面间夹角：

[习题7-11] 某点处的应力如图所示，设αατσ,及y σ值为已知，试考虑如何根据已知数据直接作出应力圆。解：

0=∑X

0sin cos =+-ατασσααx (1)

0=∑Y

0cos sin =--ατασσααy (2)

(1)、（2）联立，可解得x σ和α。

至此，三个面的应力均为已知：X （x σ，0），Y （y σ，0）（x σ，y σ均为负值）；

α（αατσ,）。由X ，Y 面的应力就可以作出应力圆。

[习题7-12] 一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示，梁的自重略去不计。试示m m -上c b a ,,三点处的主应力。

解：（1）求a 点的主应力

)(7.3314666620011012

2201201211214333mm bh I z =??-??==∑

)(3336.301333110

7.331466663max mm y I W z z ===

MPa mm

N W M z a 390.2123336.301333104.01603

6=???==σ 因a 点处于单向拉伸状态，故MPa 39.2121==ασσ，032==σσ。（2）求b 点的主应力

MPa mm mm

mm N I My z b 081.1937.33146666100104.01603

6=????==σ

在m m -的左邻截面上，kN

Q 160=

MPa mm

mm mm N d I QS z z b 821.60107.33146666105)10120(1016043

3*=?????==τ

即坐标面应力为X （193.081,60.821）,Y(0,-60.821). 2

214)(2

x y x y

z τσσσσσ+-+

MPa 64.210821.604081.1932

2081.19322=?++=

02=σ

234)(2

x y x y

z τσσσσσ+--

MPa 56.17821.604081.1932

2081.19322-=?+-=

（3）求c 点的主应力

0=c σ

MPa mm

mm mm N d I QS z z c 956.84107.33146666)501001*********(1016043

3*=???+????==τ

即坐标面应力为X （0,84.956）,Y(0,-84.956). 2

214)(2

x y x y

z τσσσσσ+-+

MPa 956.84956.8442

2=?=

02=σ

234)(2

x y x y

z τσσσσσ+--

MPa 956.84956.8442

2-=?-

= [习题7-13] 在一块钢板上先画上直径mm d 300=的圆，然后在板上加上应力，如图所示。试问所画的圆将变成何种图形？并计算其尺寸。已知钢板的弹性模量GPa E 206=，28.0=ν。

解：坐标面应力X （70，21），Y （14，-21）

所画的圆变成椭圆，其中

（长轴）

（短轴）

[习题7-14] 已知一受力构件表面上某点处的MPa

σ，MPa

160

σ，0

σ，单元体的三个面上都没有切应力。试求该点处的最大正应力和最大切应力。

解：最大正应力为MPa

=σ

σ。最小正应力是MPa

160

=σ

σ。

最大切应力是)

(

120

)

160

(

max

MPa

[习题7-15] 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。

[习题7-15（a）]

解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，-40），Z（50，0）

由XY平面内应力值作a、b点，连接a、b交轴得圆心C（50，0）

单元体图应力圆

应力圆半径：

[习题7-15（b ）]

解：坐标面应力：X （60，40），Y （50，0），Z （0，-40）

由XZ 平面内应力作a 、b 点，连接a 、b 交轴于C 点，OC =30，故应力圆圆心C （30，

0）

应力圆半径：

[习题7-15（c ）

]

单元体图

应力圆

解：坐标面应力：X （-80，0），Y （0，-50），Z （0，50）

由YZ 平面内应力值作a 、b 点，圆心为O ，半径为50，作应力圆得

[习题7-16] 已知一点处应力状态的应力圆如图所示。试用单元体示出该点处的应力状态，并在该单元体上绘出应力圆上A 点所代表的截面。

[习题7-16(a)]

解：该点处于三向应力状态：MPa 701=σ，MPa 502=σ，MPa 103=σ。A 点所代表的截面平行于1σ的方向。据此，可画出如图所示的单元体图和A 截的位置。

单元体图

应力圆

[习题7-16(b)]

解：该点处于三向应力状态：MPa 501=σ，MPa 102=σ，MPa 103-=σ。A 点所代表的截面平行于3σ的方向。据此，可画出如图所示的单元体图和A 截的位置。

[习题7-17] 有一厚度为mm 6的钢板，在两个垂直方向受拉，拉应力分别为150MPa 及55MPa 。钢材的弹性常数为GPa E 210=，25.0=ν。试求钢板厚度的减小值。解：4

1044.2)55150(1021025.0)(-?-=+?=

=MPa MPa MPa

y x z σσν

ε 钢板厚度的减小值为：

)(10464.11044.26||34mm z --?=??==?εδδ

[习题7-18] 边长为mm 20的钢立方体置于钢模中，在顶面上均匀地受力kN F 14=作用。已知3.0=ν，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可略去不计。试求立方体各个面上的正应力。

解：

应力圆

主单元体图与A 截面的位置

应力圆

主单元体图与A 截面的位置

1σ

2σ

3σ

030

1σ

2σ

3σ

（1）

（2）

联解式（1），（2）得

[习题7-19] 在矩形截面钢拉伸试样的轴向拉力kN F 20=时，测得试样中段B 点处与其轴线成0

30方向的线应变为

4301025.30

-?=ε。已知材料的弹性模量

GPa E 210=，试求泊松比ν。

解：平面应力状态下的广义虎克定律)(1

y x x E

νσσε-=

适用于任意两互相垂直的y x ,方向，故有：)(1

0006030

30--=

νσσεE 。钢杆处于单向拉应力状态：拉杆横截面上的正应力 MPa 10010

2010203

=??=σ

斜截面上的应力 ()

MPa 7530cos 2

30=σ=σ

(

)()

MPa 2560cos 2

60=-=-

σσ

由广义虎克定律 []

6030

301

-νσ-σ=

εE []25751021011025.33

4?ν-?=

解得： 27.0=ν

[习题7-20] D =120mm ，d =80mm 的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩，如图所示。

在轴的中部表面A 点处，测得与其母线成方向的线应变为

。已知材

料的弹性常数

，

，试求扭转力偶矩

。

解：

方向如图

[习题7-21] 在受集中力偶e M 作用矩形截面简支梁中，测得中性层上 k 点处沿0

45方向的线应变为045ε。已知材料的弹性常数ν,E 和梁的横截面及长度尺寸l d a h b ,,,,。试求集中力偶矩e M 。

解：支座反力：

l M R e A =

（↑）；l

M R e

B = （↓） K 截面的弯矩与剪力： l aM a R M e A k =

=；l

M R Q e

A k == K 点的正应力与切应力： 0=σ；Al

M A Q e

k 235.1=

=τ 故坐标面应力为：X （τ，0），Y （0，-τ）

M e x y x y

z 234)(212

221==+-+

ττσσσσσ 02=σ

M e x y x y

z 234)(212

23-=-=+--

ττσσσσσ ∞=--=

x x

σστα22tan 0

0045=α （最大正应力1σ的方向与x 正向的夹角），故

)(1

311450

νσσεε-=

)1(23)]23(23[(10

45ννε+=--=

EAl M Al M Al M E e e e

0045

45)1(32)

1(32εννε+=

Ebhl

EAl M e

[习题7-22] 一直径为mm 25的实心钢球承受静水压力，压强为MPa 14。设钢球的GPa E 210=，3.0=ν。试问其体积减小多少？

解：体积应变