初中数学全等三角形精讲

七年级数学三角形精讲

［知识点归纳总结］

1. 三角形的三边之间的关系

三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。

2. 三角形的内角和

三角形三个内角的和等于180°。

3. 三角形全等的条件

（1）三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”。

4. 全等三角形的性质

全等三角形的对应角相等，对应边相等。

5. 三角形的外角性质

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

专题总复习（一）全等三角形、轴对称

一、复习目标：

1、理解全等三角形概念及全等多边形的概念.

2、掌握并会运用三角形全等的判定和性质，能应用三角形的全等解决一些实际问题.

3、通过复习，能够应用所学知识解决一些实际问题，提高学生对空间构造的思考能力.

二、重难点分析：

1、全等三角形的性质与判定；

2、全等三角形的性质、判定与解决实际生活问题.

三、知识点梳理：

知识点一：全等三角形的概念——能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

知识点二：全等三角形的性质.

（1）全等三角形的对应边相等. （2）全等三角形的对应角相等.

知识点三：判定两个三角形全等的方法.

（1）SSS （2）SAS （3）ASA （4）AAS （5）HL（只对直角三形来说）

知识点四：寻找全等三形对应边、对应角的规律.

①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.

②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角.

③有公共边的，公共边一定是对应边.

④有公共角的，公共角一定是对应角.

⑤有对顶角的，对顶角是对应角.

⑥全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）.

知识点五：找全等三角形的方法.

（1）一般来说，要证明相等的两条线段（或两个角），可以从结论出发，看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中.（常用的办法）

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等.

（3）可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等.

（4）如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形.

知识点六：角平分线的性质及判定.

（1）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.

（2）角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上.

（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三角形三边距离相等.

知识点七：证明线段相等的方法.（重点）

（1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线）

（2）证明两个三角形全等，则对应边相等

（3）借助中间线段相等.

知识点八：证明角相等的方法.（重点）

（1）对顶角相等；

（2）同角或等角的余角（或补角）相等；

（3）两直线平行，内错角相等、同位角相等；

（4）角平分线的定义；

（5）垂直的定义；

（6）全等三角形的对应角相等；

（7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和.

知识点九：全等三角形中几个重要的结论.

（1）全等三角形对应角的平分线相等；

（2）全等三角形对应边上的中线相等；

（3）全等三角形对应边上的高相等.

知识点十：三角形中常见辅助线的作法.（重难点）

（1）延长中线构造全等三角形（倍长线段法）；

（2）引平行线构造全等三角形；

（3）作垂直线段（或高）；

（4）取长补短法（截取法）.

【典型例题】

例1. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别在AB、BC、CA上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B，图中是否存在和△BDE全等的三角形？说明理由。

A

D

F

B E C

解：△CEF≌△BDE

理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C

又∵∠DEC＝∠B＋∠BDE

∴∠DEF＋∠CEF＝∠B＋∠BDE

∵∠DEF＝∠B，∴∠CEF＝∠BDE

∴

=

=

=

?

?

?

?

?

∠∠（已证）

（已知）

∠∠（已证）

BDE CEF

BD CE

B C

∴△CEF≌△BDE（ASA）

例2. 已知：AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，BF＝DE，则AB∥CD，为什么？

D C

E F

解：理由：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ∴∠DEC ＝∠BFA ＝90° 在Rt △DEC 和Rt △BFA 中

C D A B B F D E ==???

（已知）（已知）

∴Rt △DEC ≌Rt △BFA （HL ） ∴∠DCE ＝∠BAF ∴CD ∥AB

例3. 用两个全等的等边△ABC 和△ACD 拼成一个四边形ABCD ，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转，问：当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 相交于E 、F 时，通过观察或测量BE 、CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论。

A D

B C

F

E 1 2

解：结论：BE ＝CF

理由：∵△ABC 、△ACD 为等边三角形

∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF ＝60°，∠BAC ＝60° 又∵∠1＋∠EAC ＝60°，∠2＋∠EAC ＝60° ∴∠1＝∠2

∴∠∠（已证）（已证）∠∠

（已证）12===?????A

B A

C B A C F ∴△ABE ≌△ACF （ASA ）

∴BE ＝CF

例4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，AE 是BC 边上的高，∠B ＝20°，∠C ＝40°，求∠DAE 的度数。

A

解：∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180° 又∵∠B ＝20°，∠C ＝40°

∴∠BAC ＝180°－20°－40°＝120° ∵AD 平分∠BAC

∴∠∠×D A C B A C o o

===1212

12060

∵AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90° 又∵∠C ＝40°

∴∠EAC ＝90°－40°＝50°

∴∠DAE ＝∠DAC －∠EAC ＝60°－50°＝10°

例5. 如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，且AC ＝3cm ，BD ＝5cm ，你能利用全等三角形有关知识测出AB 的长吗？

D

C

A B

E

解：如图所示，在AB 上截取AF ＝AC ，连结EF

D

∵AE 是∠CAB 平分线 ∴∠CAE ＝∠BAE ∵AC ＝AF ，AE ＝AE ∴△ACE ≌△AFE ∴∠C ＝∠EFA

∵AC ∥BD ，∴∠C ＋∠D ＝180° ∵∠AFE ＋∠EFB ＝180° ∴∠D ＝∠EFB

∵BE 平分∠DBA ，∴∠DBE ＝∠FBE ∵BE ＝BE ，∴△DBE ≌△FBE ∴BF ＝BD

∴AB ＝AC ＋BD

∵AC ＝3cm ，BD ＝5cm

∴AB ＝8cm

全等三角形的有关证明（提高篇）

关键：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）

所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。

要说明两边相等，两角相等，最常用的方法就是说明三角形全等

直角三角形的全等问题：直角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点！

直角三角形有关的全等问题中，除了特用的HL 定理之外，在条件的寻找上首先就有了一组直角相等；而多个直角，多个垂直的图形组合在一块时，就很容易利用“同（等）角的余角相等”来得到其他的角相等。

例一：图1，已知D O ⊥BC ，O C =O A ，O B =O D ，问CD =AB 吗？

[分析]：此图形可看作绕O 点旋转得到，由垂直得到一组直角，

把结合其他两组边，很容易找到他们所在的三角形。

[变形1]：请说明△BCE 是直角三角形。

（利用全等三角形的对应角相等，以及直角三角形的两个锐角互余这两个性质进行代换和转换）

解：易得△AOB ≌△COD （此过程较简单，略过不描述）

∴ ∠B=∠D （全等三角形的对应角相等） 又 ∠OAB=∠DAE （对顶角相等）

而在Rt △AOB 中，∠OAB+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余） ∴ ∠DAE+∠D=90°（等量代换）

∴ 在△ADE 中，∠DEA=180° （∠DAE+∠D ）=90

∴ ∠BEC=90°（补角性质） 故△BCE 是直角三角形

[变形2]：把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D 在BC 上， 连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．求证：AF ⊥BE ．

[分析]：此图中要说明AF ⊥BE ，与上题中△BCE 是直角三角形是一样的意思，

C

图1

只需要说明∠BFD=90°即可

[变形3]：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结CD ． （彩图为提示）

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：CD ⊥BE

[变形4]、如图2，在△ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD=BD ，

问△BHD ≌△ACD ，为什么？

[分析]：此题实际上就是[变形1]的反问，已经存在一组直角（由垂直得到），

一组相等的边（已知），再利用“同（等）角的余角相等”来得到第二组角相等！

[变形5]：如图3， 已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，问BM =ME 吗？说明理由。

[变形6]：如图4，AD 是一段斜坡，AB 是水平线，现为了测斜坡上一点D 的竖直高度DB 的长度，欢欢在D 处立

上一竹竿CD ，并保证CD ⊥AD ，然后在竿顶C 处垂下一根绳CE ，与斜坡的交点为点E ，他调整好绳子CE 的长度，使得CE=AD ，此时他测得DE=2米，于是他认定DB 的高度也为2米，你觉得对吗?请说明理由。

图2

A

B

C

E H D

图3

A

C M E

F

B

D

图4

E

B

A

D C

图2

A B

图1

A

B

例二：如图1，已知，AC ⊥CE ，AC=CE ， ∠ABC=∠CDE=90°，

问BD=AB+ED 吗?

[分析] ：

（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角，得到一组等量关系；

（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系； （3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：

如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BD 。

解答过程：得到△ABC ≌CDE 之后，可得到BC=DE ，AB=CD ∴ BC+CD=DE+AB （等式性质） 即：BD=AB+DE

[变形1]：如图7， 如果△ABC ≌△CDE ，请说明AC 与CE 的关系。 [注意]：两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）

位置关系（垂直，平行之类）

[变形2]：如图，E 是正方形ABCD 的边DC 上的一点，过点A 作FA ⊥AE 交CB 的延长线于点F ， 求证：DE=BF

[分析]：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。

[变形3]：如图8，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是过点A 的直线，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，

图6

C

图

5

C

图7

F

E

如果CE=3，BD=7，请你求出DE 的长度。

[分析] ：说明相等的边所在的三角形全等，

题中“AB=AC ”，发现：AB 在Rt △ABD 中，AC 在Rt △CAE 中， 所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt △全等（如图9） 于是：已经存在了两组等量关系：AB=AC ，直角=直角， 再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。

解：由题意可得：在Rt △ABD 中，∠1+∠ABD=90°（直角三角形的两个锐角互余） 又∵ ∠BAC=90°（已知）， 即∠1+∠CAE=90° ∴ ∠ABD=∠CAE （等角的余角相等） 故在△ABD 与△CAE 中，

∠BDA=∠AEC=90°（垂直定义）

∠ABD=∠CAE （已求）

AB=AC （已知）

∴ △ABD ≌△CAE （AAS ）

∴ AE=BD=7，AD=EC=3 （全等三角形的对应边相等） ∴

DE=AE -AD =7-3=4

[变形4]：在△ABC 中，∠ACB= 900，AC=BC ，直线MN

经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E 。 （1）当直线MN 绕点C 旋转到图9的位置时，△ADC ≌△CEB ，且 DE=AD+BE 。你能说出其中的道理吗？ （2）当直线MN 绕点C 旋转到图10的位置时， DE =AD-BE 。说说你的理由。

（3）当直线MN 绕点C 旋转到图11

C

B

A

B

A

A N

图10

等腰三角形、等边三角形的全等问题：

[必备知识]：

如右图，由∠1=∠2，可得∠CBE=∠DBA ；反之，也成立。

例三：已知在△ABC 中，AB=AC ，在△ADE 中，AD=AE ，且∠1=∠2，请问BD=CE 吗？

[分析]这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边， 分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边，

∴ 题目中所给的△ABC 与△ADE 是用来干扰你的思路的，应该去想如何把两组相等的边联系到一起， 加上所求的“BD=CE ”，你会发现BD 在△ABD 中，CE 在△ACE 中，

这样一来，“AB=AC ”可以理解为：AB 在△ABD 中，AC 在△ACE 中，它们是一组对应边；

“AD=AE ”可以理解为：AD 在△ABD 中，AE 在△ACE 中，它们是一组对应边；

所以只需要说明它们的夹角相等即可。

关键还是在于：说明“相等的边（角）所在的三角形全等” 解： ∵ ∠1=∠2（已知）

∴ ∠1+∠CAD=∠2+∠CAD （等式性质）

即： ∠BAD=∠CAE ∴ 在△ABD 与△ACE 中，

AB=AC （已知） ∠BAD=∠CAE （已求） AD=AE

∴ △ABD ≌△ACE （SAS ）

∴ BD=CE （全等三角形的对应边相等）

[变形1]：如图13，已知∠BAC=∠DAE ，∠1=∠2，BD=CE ， 请说明△ABD ≌△ACE.吗？为什么？

[分析]：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用SAS 说明全等， 此题是两组角相等，那么该如何做呢?

[变形2]：过点A 分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD ，CE ，请说明它们相等。

B

E

图14

A

B

E

图13

D

[分析]：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，只要你根据所求问题，把BD 看成在△ABD 的一边，CE 看成△ACE 的一边，自然就得到了证明的方向。 解：∵△ABC 与△ADE 是等边三角形，

∴ AB=AC ， AD=AE ∠BAC=∠DAE=60° ∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD （等式性质） 即： ∠BAD=∠CAE

[变形3]：如图16—18，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，，连接BD ，CE ，请说明它们相等

这里仅以图17进行说明

解：∵ △ABC 与△ADE 是等边三角形，

∴ AB=AC ， AD=AE

∠BAC=∠DAE=60°

∴∠BAC -∠CAD=∠DAE -∠CAD 即：∠BAD=∠BAD=∠CAE

∴ 在△ABD 与△ACE 中，

AB=AC （已知） ∠BAD=∠CAE （已求） AD=AE

∴ △ABD ≌△ACE （SAS ）

∴ BD=CE （全等三角形的对应边相等）

图16，图18的类型，请同学们自己去完成

[变形4]：如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ，AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求

证：CG AE =；

B

图15

B

A

B

A

B

A

B

B

B

A

图17

[分析]：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60°换成直角了，思路一样

例四： 如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，M 是AB 的中点，点N 在BC 上，MN ⊥AB.

求证：AN 平分∠BAC.

[分析]：要说明AN 平分∠BAC ，必须说明两角相等，∴可以说明△AMN ≌△CAN

而题中已有了一组直角相等，一组公共边（斜边）

结合题目中条件，比较容易找到一边直角边相等，从而利用HL 定理得到全等。

[变形1]：在Rt △ABC 中，已知∠A=90°，DE ⊥BC 于E 点，如果AD=DE ，BD=CD ，求∠C 的度数

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

一. 选择题。

1. 已知等腰三角形的两边长是4cm 和9cm ，则此三角形的周长是（ ） A. 17cm B. 13cm C. 22cm D. 17cm 或22cm

2. 两根木条的长分别是20cm 和30cm ，要钉成一个三角形的木架，则在下面4根长度的木条中应选取（ ） A. 10cm B. 20cm C. 50cm D. 60cm

3. 如图所示，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，则∠1与∠A 的关系是（ ）

D

B

B

A

D C B

1

A. 互余

B. 互补

C. 相等

D. 不确定

4. 如图所示，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的和为（ ）

A. 180°

B. 360°

C. 540°

D. 720°

5. 在两个三角形中，下列条件能判定两个三角形全等的是（ ） A. 有两条边对应相等

B. 有两角及其中一个角的对边对应相等

C. 有三个角对应相等

D. 有两边及一角对应相等

6. 在具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ） A. ∠A －∠B ＝∠C

B. ∠A ＝3∠C ，∠B ＝2∠C

C. ∠A ＝∠B ＝2∠C

D. ∠∠∠A B C

==12

二. 已知：如图所示，△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ∥BC ，交AB 于E ，∠A ＝60°，∠BDC ＝95°，求△BDE 各内角的度数。

三. 已知：如图所示，AC ＝BC ，AD ＝BD ，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则DM ＝DN ，为什么？

四. 已知：如图所示，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别是B、D，要想得到AB＝AD的结论，你认为需要补充什么条件？请说明你的理由。