高中数学 2.2.1 双曲线及其标准方程课后知能检测 新人教A版选修11

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.1 双曲线
及其标准方程课后知能检测 新人教A 版选修1-1
一、选择题
1．(2013·台州高二检测)设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )
A.x 29－y 216＝1
B.y 29－x 216＝1
C.x 29－y 216＝1(x ≤－3)
D.x 2
9－y 2
16
＝1(x ≥3) 【解析】 由题意动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，b ＝4，故应选D.
【答案】 D
2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2
2
＝1有相同的焦点，则a 的值是( )
A.1
2 B ．1或－2 C ．1或1
2
D ．1
【解析】 由于a ＞0,0＜a 2
＜4且4－a 2
＝a ＋2，∴a ＝1. 【答案】 D
3．(2013·泰安高二检测)已知双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，点A 、B 在双曲线的右支上，线
段AB 经过右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为左焦点，则△ABF 1的周长为
( )
A ．2a ＋2m
B ．4a ＋2m
C ．a ＋m
D ．2a ＋4m
【解析】 根据双曲线的定义：|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，而三角形的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝(|AF 1|－|AF 2|)＋(|BF 1|－|BF 2|)＋2|AB |＝4a ＋2m .
【答案】 B
4．已知平面内有一线段AB ，其长度为4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|PO |的最小值是( )
A ．1 B.32 C ．2
D ．4
【解析】 ∵|PA |－|PB |＝3＜|AB |＝4， ∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的一支上， 其中2a ＝3,2c ＝4， ∴|PO |min ＝a ＝3
2.
【答案】 B
5．(2013·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此
双曲线上的一点，且MF 1→
·MF 2→
＝0，|MF 1→
|·|MF 2→
|＝2，则该双曲线的方程是( )
A.x 2
9－y 2
＝1 B ．x 2
－y 2
9＝1
C.x 23－y 27
＝1 D.x 27－y 2
3
＝1 【解析】 由双曲线定义||MF 1|－|MF 2||＝2a ，两边平方得：|MF 1|2
＋|MF 2|2
－2|MF 1||MF 2|
＝4a 2
，因为MF 1→
·MF 2→
＝0，故△MF 1F 2为直角三角形，有|MF 1|2
＋|MF 2|2
＝(2c )2
＝40，而|MF 1|·|MF 2|＝2，∴40－2×2＝4a 2
，∴a 2
＝9，∴b 2
＝1，所以双曲线的方程为x 2
9
－y 2
＝1.
【答案】 A 二、填空题
6．设m 为常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 2
9
＝1的一个焦点，则m ＝_____.
【解析】 由题意c ＝5，且m ＋9＝25，∴m ＝16. 【答案】 16
7．(2013·莱芜高二检测)若方程x 2k ＋2
－
y 2
5－k
＝1表示双曲线，则k 的取值范围是
________．
【解析】 方程表示双曲线需满足(5－k )(k ＋2)＞0，解得：－2＜k ＜5，即k 的取值范围为(－2,5)．
【答案】 (－2,5)
8．已知F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋
|PA |的最小值为______．
【解析】 设右焦点为F ′，由题意知F ′(4,0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF ′|＋|PA |，∴要使|PF |＋|PA |最小，只需|PF ′|＋|PA |最小即可，即需满足P 、F ′、A 三点共线，最小值为4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝9.
【答案】 9 三、解答题
9．求与椭圆x 29＋y 2
4＝1有相同焦点，并且经过点(2，－3)的双曲线的标准方程．
【解】 由x 29＋y 2
4
＝1知焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)．
依题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)．
∴a 2
＋b 2
＝5，
①
又点(2，－3)在双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1上，
∴4a 2－3
b
2＝1.
②
联立①②得a 2
＝2，b 2
＝3， 因此所求双曲线的方程为x 22－y 2
3
＝1.
10．(2013·杭州高二检测)已知A (－7,0)，B (7,0)，C (2，－12)，椭圆过A 、B 两点且以C 为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．
【解】 设椭圆的另一个焦点为P (x ，y )， 则由题意知|AC |＋|AP |＝|BC |＋|BP |， ∴|BP |－|AP |＝|AC |－|BC | ＝2＜|AB |＝14，
所以点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c ＝7，a ＝1， ∴b 2
＝c 2
－a 2
＝48.
∴所求的轨迹方程为x 2
－y 2
48
＝1.
11．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东，相距6 km ，C 在B 的北偏西30°方向上，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4秒后，B 、C 才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1 km)．A 若炮击P 地，求炮击的方位角．
【解】 以AB 的中点为原点，BA 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．
∵|PB |－|PA |＝4，∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是
x 24
－y 2
5
＝1(x ≥2)． ①
又∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上，该直线的方程为x －3y ＋7＝0.②
将②代入①得11x 2
－56x －256＝0，得x ＝8或x ＝－3211(舍)．于是可得P (8,53)．
设α为PA 所在直线的倾斜角，
又k PA ＝tan α＝3，∴α＝60°，故点P 在点A 的北偏东30°方向上，即A 炮击P 地的方位角是北偏东30°.。