圆系方程及其应用.doc
直线系、圆系方程1、过定点直线系方程在解题中的应用
过定点(x,y0 )的直线系方程:A(x x0) B( y y0) 0(A,B 不同时为0).
例 1 求过点P( 1,4) 圆(x 2)2 ( y 3)2 1的切线的方程.
分析:本题是过定点直线方程问题,可用定点直线系法.
解析:设所求直线的方程为A(x 1) B(y 4) 0(其中A,B不全为零),
则整理有Ax By A 4B 0,
∵直线l 与圆相切,∴圆心 C (2,3) 到直线l 的距离等于半径1,故2A 3B A 4B
2 2
A B
1
,
整理,得A(4 A 3B) 0,即A 0 (这时 B 0 ),或
3
A B 0.
4
故所求直线l 的方程为y 4 或3x 4y13 0 .
点评:对求过定点(x,y0 )的直线方程问题,常用过定点直线法,即设直线方程为: A(x x0) B(y y0) 0,0
注意的此方程表示的是过点P(x,y ) 的所有直线(即直线系),应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素
0 0
的限制,在实际解答问题时可以避免分类讨论,有效地防止解题出现漏解或错解的现象.
练习:过点P( 1,4) 作圆 2 2
(x 2) (y 3) 1的切线l ,求切线l 的方程.
解:设所求直线l 的方程为A(x 1) B(y 4) 0 (其中A,B不全为零),
则整理有Ax By A 4B 0,
∵直线l 与圆相切,∴圆心 C (2,3) 到直线l 的距离等于半径1,故2A 3B A 4B
2 2
A B
1,
整理,得A(4 A 3B) 0,即A 0 (这时 B 0 ),或 3 0
A B .
4
故所求直线l 的方程为y 4 或3x 4y13 0 .
2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用
过直线l :A1x B1 y C1 0(A1, B1 不同时为0)与m:A2 x B2 y C2 0(A2, B2 不同时为0)交点的直线
系方程为:A x B y C A x B y C (R ,为参数).
1 1 1 (
2 2 2 ) 0
例2 求过直线:x 2y 1 0与直线:2x y 1 0 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
分析:本题是过两直线交点的直线系问题,可用过交点直线系求解.
解析:设所求直线方程为:x 2y 1 (2 x y 1) 0 ,
当直线过原点时,则 1 =0,则=-1,
所:
x 2y 0 ;
当所x 令 y =0,解得 x = 1
2
1
,
由题意得,
1
2
=
1 2
1
,所
: 5x 5y 4 0 . 综上所述,所: x 2y 0或 5x 5y 4 0 . 3、系题 例明m x y m 1 0( 是参数且 m ∈
定点并求出定. 分析题,可用恒等和特法 . 解析:(恒等式法方: (x 1)m y 1 0 , ∵ m ∈R, ∴ x y 1 0 1 0 ,解得, x 1, y 1, m x y m 1 0( m 是参数
且 m ∈定点( 1,1). (特法)取 m =0, m =1 得, y 1,
x y 2 0
立解得, x 1, y 1, 将( 1,1)代入
m x y m 1足方程, m x y m 1 0( m 是参数且 m ∈定点( 1,1). 证题,常用方法有恒等式法和特法,恒等式法就是方关于参数的 恒等式形式,利用参数属于 恒等式个0,列出关于 x , y
的解,求出
定;特殊直 线法,去两个特殊,得到两条特接着两条特的交,并代入系验,即得 定点 . 一系方程有如下几种: 1、以 (a,b)为圆心的同心圆系方程: 2 y 2 x + D x + E 2、过直线A x + By +C=0与圆x 2 y 2 + Dx + Ey +F=0交点的圆系方程为: x 2
y 2 + Dx + Ey +F+ ( Ax
+ By +C)=0( R)
3、过两圆C : 1
2 y
2
x + D 1
x E 1
y F 1 = 0
, C 2 : 2
y
2
x
+
D 2 x
E 2
y
D 1 x
E y
2
y
2
x +D2 x E2 y F2 )=0(≠- 1,此圆系不含C2 : F +(
1
1
0)
特别地,当=-1时,上述方程为根轴方程.两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.
注:为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C,可等价转化为过圆C1 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方
2
程: 2 2
x y D1x E1 y F1 [( D1 D2) x (E1 E2 )y (F1 F2)] 0
二、圆系方程在解题中的应用:
1、利用圆系方程求圆的方程:
2 2 2 2
例求经过两圆x +y +6x-4=0 和x +y +6y-28=0 的交点,并且圆心在直线x- y-4=0 上的圆的方程。
例1、求经过两圆 2 y
2
x +3 x -y -2=0和
2 3 2
3x y +2 x +y +1=0交点和坐标原点的圆的方程.
解:方法3:由题可设所求圆的方程为:
( 2 y 2
x +3 x -y -2)+(
2 3 2
3x y +2 x +y +1)=0
∵(0,0)在所求的圆上,∴有-2+=0.从而=2
2 y2 x y x2 y2 x y 故所求的圆的
方程为:(x 3 2) 2(3 3 2 1) 0
即 2 7
2
7x y +7 x +y =0。
2+y2+6x 4=0 和x2+y 2+6y 28=0 的交点,并且圆心在直线x y 4=0 上的圆的方程.
练习:求经过两圆x
2 2 2 2
1 解: 构造方程x +y +6x 4+λ(x +y +6y 28)=0
2+(1+ λ)y2+6x+6 λy (4+28λ)=0
即(1+λ)x
3 3
此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)
( ,
1 1
3 3
当该圆心在直线x y 4=0 上时,即 4 0,7.
得
1 1
2 2
∴所求圆方程为x
+y x+7y 32=0
2 2 切于且过的圆的方程
练习x y x y 20 A B
:求与圆 4 2 0 ( 1,3), ( 2,0)
.
解:过A( 1,3) 3x 4y 15 0。与已知圆构造圆系
的圆的切线为
2 x
2
y 4x 2y 20 (3x 4y 15) 0,
代入( 2,0)
得8
7
,所以所求圆方程为
7 2 x 7 2 y 4x 18y 20 0.
2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程:
例2(1):求过两圆 2 2 5
x y 和
2 2
( x 1) ( y 1) 16的交点且面积最小的圆的方程。
分析:本题若先联立方程求交点,再设所求圆方程,寻求各变量关系,求半径最值,虽然可行,但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论,先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。
解:圆 2 2 5
x y 和
2 2
(x 1) ( y 1) 16的公共弦方程为2x 2y11 0
椭圆的参数方程(教案)
学习好资料欢迎下载 8.2椭圆的几何性质(5) ——椭圆的参数方程(教案) 齐鲁石化五中翟慎佳2002.10.25 一.目的要求: 1?了解椭圆参数方程,了解系数a b、「含义。 2. 进一点完善对椭圆的认识,并使学生熟悉的掌握坐标法。 3. 培养理解能力、知识应用能力。 二.教学目标: 1. 知识目标:学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程,理解它与普通方 程的相互联系;对椭圆有一个较全面的了解。 2. 能力目标:巩固坐标法,能对简单方程进行两种形式的互化;能运用参 数方程解决相关问题。 3. 德育目标:通过对椭圆多角度、多层次的认识,经历从感性认识到理性 认识的上升过程,培养学生辩证唯物主义观点。 三.重点难点: 1. 重点:由方程研究曲线的方法;椭圆参数方程及其应用。 2. 难点:椭圆参数方程的推导及应用。 四.教学方法: 引导启发,计算机辅助,讲练结合。 五.教学过程: (一)引言(意义) 人们对事物的认识是不断加深、层层推进的,对椭圆的认识也遵循这一规律。 本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用,进一步完善对椭圆认识。(二)预备知识(复习相关) 1. 求曲线方程常用哪几种方法? 答:直接法,待定系数法,转换法〈代入法〉,参数法。 2. 举例:含参数的方程与参数方程
2 “ x = 2t 例如:y =kx+1 (k 参数)含参方程'而I 十1 (t 参数) 3 ?直线及圆的参数方程?各系数意义? (三)推导椭圆参数方程 1. 提出问题(教科书例5) 例题.如图,以原点为圆心,分别以 a b (a>b>0)为半径作两个圆。 点B 是大圆半径OA 与小圆的交点,过点 A 作AN _0x ,垂足为N ,过 点B 作BM _AN ,垂足为M 。求当半径0A 绕点0旋转时点M 的轨迹 的参数方程。 2. 分析问题 本题是由给定条件求轨迹的问 题,但动点较多,不易把握。故采用 间接法 --- 参数法。 引导学生阅读题目,回答问题: (1) 动点M 是怎样产生的? M 与A 、B 的坐标有何联系? (2) 如何设出恰当参数? 设/ AOX=:为参数较恰当。 3. 解决问题(板演) 解:设点M 的坐标(x,y ),是以Ox 为始边,OA 为终边的正角, 取为参数,那么 x=ON=|OA|cos 「, y=NM=|OB|sin 「即 4. 更进一步(板演:化普通方程) -=cos? 分别将方程组①的两个方程变形,得t a 两式平方后相加, '=si n? 是参数方程。 J 5 *實 x = a cos? y =bsin ①引为点M 的轨迹参数方程,「为参数。
圆的参数方程及应用
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说,圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数) ,在解决有些问题时,合理的选择圆方程的表达形式,能给解决问题带来方便,本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点(x ,y )在圆221x y +=上,求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为:cos sin x y θθ=??=? 。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-,则38k πθπ=+(k ∈Z )时,2223x xy y ++的最大值为:22+;8 k π θπ=-(k ∈Z ) 时,2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题,可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆224x y +=上有定点A (2,0),及两个动点B 、C ,且A 、B 、C 按逆时针方向排列, ∠BAC=3π ,求△ABC 的重心G (x ,y )的轨迹 方程。 【解】由∠BAC= 3 π,得∠BOC=23π,设∠ABO=θ(403π θ<<),则B(2cos θ,2sin θ),C(2cos(θ+23π),2sin(θ+23 π )),由重心坐标公式并化简,得: 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ,由5333πππθ<+<,知0≤x <1, C x y O A B 图1
圆系方程及其应用.doc
直线系、圆系方程1、过定点直线系方程在解题中的应用 过定点(x,y0 )的直线系方程:A(x x0) B( y y0) 0(A,B 不同时为0). 例 1 求过点P( 1,4) 圆(x 2)2 ( y 3)2 1的切线的方程. 分析:本题是过定点直线方程问题,可用定点直线系法. 解析:设所求直线的方程为A(x 1) B(y 4) 0(其中A,B不全为零), 则整理有Ax By A 4B 0, ∵直线l 与圆相切,∴圆心 C (2,3) 到直线l 的距离等于半径1,故2A 3B A 4B 2 2 A B 1 , 整理,得A(4 A 3B) 0,即A 0 (这时 B 0 ),或 3 A B 0. 4 故所求直线l 的方程为y 4 或3x 4y13 0 . 点评:对求过定点(x,y0 )的直线方程问题,常用过定点直线法,即设直线方程为: A(x x0) B(y y0) 0,0 注意的此方程表示的是过点P(x,y ) 的所有直线(即直线系),应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素 0 0 的限制,在实际解答问题时可以避免分类讨论,有效地防止解题出现漏解或错解的现象. 练习:过点P( 1,4) 作圆 2 2 (x 2) (y 3) 1的切线l ,求切线l 的方程. 解:设所求直线l 的方程为A(x 1) B(y 4) 0 (其中A,B不全为零), 则整理有Ax By A 4B 0, ∵直线l 与圆相切,∴圆心 C (2,3) 到直线l 的距离等于半径1,故2A 3B A 4B 2 2 A B 1, 整理,得A(4 A 3B) 0,即A 0 (这时 B 0 ),或 3 0 A B . 4 故所求直线l 的方程为y 4 或3x 4y13 0 . 2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用 过直线l :A1x B1 y C1 0(A1, B1 不同时为0)与m:A2 x B2 y C2 0(A2, B2 不同时为0)交点的直线 系方程为:A x B y C A x B y C (R ,为参数). 1 1 1 ( 2 2 2 ) 0 例2 求过直线:x 2y 1 0与直线:2x y 1 0 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析:本题是过两直线交点的直线系问题,可用过交点直线系求解. 解析:设所求直线方程为:x 2y 1 (2 x y 1) 0 ,
椭圆的参数方程及其应用
椭圆的参数方程及其应用 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度,如果适当地引进一点简单的参数方程知识,可以起到拓宽视野,简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用,希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的: 椭圆1b )y y (a )x x (2 2 0220=-+-的参数方程是???α +=α+=sin b y y cos a x x 00(α是参数,0b 0a >>,)。 特别地,以点(00y x ,)为圆心,半径是r 的椭圆的参数方程是? ??α+=α +=sin r y y cos r x x 00(α是参数,r>0)。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 y x 2 2(20π <α<), 22b a 4+, 例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动,点B (0,9)、点M 在线段AB 上,且2 1MB AM =,试求动点M 的轨迹方程。 解:由题意知B (0,9),设A (ααsin 6cos 12,),并且设M (x ,y )。 则,α=+ ?+α=++=cos 82110 21cos 12211x 21x x B A 3sin 42 119 21sin 6211y 21y y B A +α=+ ?+α=++=, 动点M 的轨迹的参数方程是? ??+α=α =3sin 4y cos 8x (α是参数), 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 三、求函数的最值
例3 设点P (x ,y )在椭圆19y 16x 2 2=+,试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。 解:点P (x ,y )在椭圆19 y 16x 2 2=+上,设点P (ααsin 3cos 4,)(α是参数且)20[π∈α,), 则55 53arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-??? ? ? +α= +-α+α=。 当5 3 arcsin 2-π=α时,距离d 有最小值0,此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切;当5 3arcsin 23-π=α时,距离d 有最大值2。 P , π),A (a ,0)。 解得1cos =α(舍去),或2 22 b a b cos -=α。 因为1cos 1<α<-,所以1b a b 1222<-<-。可转化为1e e 112 2<-<-,解得21e 2 > ,于是1e 22<<。故离心率e 的取值范围是? ?? ? ??122,。 [截距法]解线性规划问题 由于线性规划的目标函数:z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =- +,则z b 为直线y a b x z b =-+的纵截距,那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论: (1)当b >0时,直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时,便是z 取得最大值的点;反之,使纵截距取得最小值的点,就是z 取得最小值的点。 (2)当b <0时,与b >0时情形正好相反,直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时,是z 取得最小值的点;使纵截距取得最小值的点,便是z 取得最大值的点。
直线的参数方程教案
直线的参数方程 教学目标: 1. 联系数轴、向量等知识,推导出直线的参数方程,并进行简单应用,体会直线参数方程在解决问题中的作用. 2.通过直线参数方程的推导与应用,培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力,进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想. 3. 通过建立直线参数方程的过程,激发求知欲,培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度. 教学重点:联系数轴、向量等知识,写出直线的参数方程. 教学难点:通过向量法,建立参数t(数轴上的点坐标)与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系. 教学方式:启发、探究、交流与讨论. 教学手段:多媒体课件. 教学过程: 一、回忆旧知,做好铺垫 教师提出问题: 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程. 2.直线的方向向量的概念. 0 / 13
3.在平面直角坐标系中,确定一条直线的几何条件是什么? 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点,请写出直线的方程. 5.如何建立直线的参数方程? 这些问题先由学生思考,回答,教师补充完善,问题5不急于让学生回答,先引起学生的思考. 【设计意图】通过回忆所学知识,为学生推导直线的参数方程做好准备. 二、直线参数方程探究 1.回顾数轴,引出向量 数轴是怎样建立的?数轴上点的坐标的几何意义是什么? 教师提问后,让学生思考并回答问题. 教师引导学生明确:如果数轴原点为O ,数1所对应的点为A ,数轴上点M 的坐标为t ,那么: ①OA 为数轴的单位方向向量,OA 方向与数轴的正方向一致,且OM tOA =;②当OM 与OA 方向一致时(即OM 的方向与数轴正方向一致时),0t >; 当OM 与OA 方向相反时(即OM 的方向与数轴正方向相反时),0t <; 当M 与O 重合时,0t =; ③||OM t =.教师用几何画板软件演示上述过程.
高中数学圆的方程含圆系典型题型归纳总结
高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一:巧用圆系求圆的过程 在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种: ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交 点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆,直接应用该圆系方程,必须检验圆是否满足题意,谨防漏解。 当时,得到两圆公共弦所在直线方程 例1:已知圆与直线相交于两点,为坐标原点,若,求实数的值。 分析:此题最易想到设出,由得到,利用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于的方程,最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大地简化运算过程。 解:过直线与圆的交点的圆系方程为: ,即 ………………….① 依题意,在以为直径的圆上,则圆心()显然在直线上,则,解之可得 又满足方程①,则故 例2:求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解:圆和的公共弦方程为 ,即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ,即 依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心必在公共弦所在直线上。即,则 代回圆系方程得所求圆方程
例3:求证:m 为任意实数时,直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5恒过一定点P ,并求P 点坐标。 分析:不论m 为何实数时,直线恒过定点,因此,这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解:由原方程得 m(x +2y -1)-(x +y -5)=0,① 即???-==?? ?=-+=-+4y 9 x 0 5y x 01y 2x 解得, ∴直线过定点P (9,-4) 注:方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0(m ∈R ). (1)证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得. (1)证明:l 的方程(x +y -4)+m (2x +y -7)=0. 2x +y -7=0, x =3, x +y -4=0, y =1, 即l 恒过定点A (3,1). ∵圆心C (1,2),|AC |=5<5(半径), ∴点A 在圆C 内,从而直线l 恒与圆C 相交于两点. (2)解:弦长最小时,l ⊥AC ,由k AC =- 2 1 , ∴l 的方程为2x -y -5=0. 评述:若定点A 在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢? 思考讨论 类型二:直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线2 4x y -=有且只有一个公共点,求实数m 的取值范围. 解:∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ,∴利用数形结合法,可得实数m 的取值范 围是22<≤-m 或22=m . 变式练习:1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点,则k 的取值范围是___________. 解析:利用数形结合. 答案:-1<k ≤1或k=-2 例6 圆9)3()3(2 2=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个? 分析:借助图形直观求解.或先求出直线1l 、2l 的方程,从代数计算中寻找解答. 解法一:圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ,半径3=r . 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324 311 34332 2 <=+-?+?= d . 如图,在圆心1O 同侧,与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点,这两个交点符合题意. 又123=-=-d r . ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ∴符合题意的点共有3个. 解法二:符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ,且与之距离为1的直线和圆的交点.设 所求直线为043=++m y x ,则14 3112 2 =++= m d , ∴511±=+m ,即6-=m ,或16-=m ,也即 06431=-+y x l :,或016432=-+y x l :. 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O : 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ,则 34 36 34332 2 1=+-?+?= d ,14 316 34332 2 2=+-?+?= d . ∴1l 与1O 相切,与圆1O 有一个公共点;2l 与圆1O 相交,与圆1O 有两个公共点.即符合题意的点共3个. 说明:对于本题,若不留心,则易发生以下误解: ∵m ∈R ,∴ 得
参数方程考点
参数方程“考点”面面看 “参数方程”主要内容是直线、圆和椭圆的参数方程,参数方程和普通方程的互化,参数方程的简单应用三块,下面针对这三块内容进行透析: 一、直线、圆和椭圆的参数方程 例1.若直线的参数方程为1223x t y t =+??=-?(t 为参数),则直线的斜率为 . 分析:经过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线的参数方程为x x t y y t t =+=+???00 cos sin αα(为参数) 解:将直线的参数方程为1223x t y t =+??=-? 化为12x y ?=????=?? (t 为参数),则直线的斜率为32 -. 评注:关键是要弄清楚直线的参数方程的形式. 经过定点P(x 0,y 0)的直线的参数方程也可以写成00x x at y y bt =+??=+?(t 为参数),斜率就是b a . 二、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法;化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数t ,先确定一个关系()x f t =(或()y g t =,再代入普通方程(),0F x y =,求得另一关系()y g t =(或()x f t =).一般地,常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标). 例2.方程2222 t t t t x t y --?=-??=+??(为参数)表示的曲线是__________________. 分析:把参数方程化为我们熟悉的普通方程,再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略. 解:注意到2t t 与2t -互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含t 的项,()()22 2222224t t t t x y ---=--+=-,即有224y x -=,又注意到 202222t t t y ->+≥=≥,,即,可见与以上参数方程等价的普通方程为2242y x y -=≥().显然它表示焦点在y 轴上,以原点为中心的双曲线的上支. 评注:这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题,转化的关键是要注意变量范围的一致性. 例3.设P 是椭圆22 2312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值是 ,最小值为 . 分析: 由于研究二元函数x+2y 相对困难,因此有必要消元,但由x ,y 满足的方程2x 2+3y 2=12表出x 或y ,会出现无理式,这对进一步求函数最值依然不够简洁,能否有其他途径把二元函数x+2y 转化为一元函数呢?