(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)
初一不等式难题,经典题训练(附答案) 1. 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1,2,3,则a 的取值范围是_______ 2. 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解,则a 的取值范围是_________ 3. 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2,则a 的值为( ) A 0 B 2 C 0或2 D -1 4. 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<,则2006()a b +=_________ 5. 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7. 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >,则m 的取值范围是( ) A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时,不等式ax+2<3x+b 的解集是,则b=______ 10.已知a,b 为常数,若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是( ) A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1,2,3,那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有( )对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==,设345x y z ω=++,求的ω最大值与最小值
基本不等式练习题及标准答案
基本不等式练习题及答案
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双基自测 1.(人教A 版教材习题改编)函数y =x +1 x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞) D .(2,+∞) 2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②a +b ab ≤2;③x 2+1 x 2+1≥1,其中正确的个数是 ( ). A .0 B .1 C .2 D .3 3.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ). A.1 2 B .1 C .2 D .4 4.(2011·重庆)若函数f (x )=x + 1 x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a =( ). A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 5.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1 t 的最小值为________. 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x >0,y >0,且2x +y =1,则1x +1 y 的最小值为________; (2)当x >0时,则f (x )= 2x x 2+1 的最大值为________. 【训练1】 (1)已知x >1,则f (x )=x + 1 x -1 的最小值为________. (2)已知0<x <2 5,则y =2x -5x 2的最大值为________. (3)若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0,则x +y 的最小值为________. 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a >0,b >0,c >0,求证:bc a +ca b +ab c ≥a +b +c . .
基本不等式练习题及答案解析
1.若xy>0,则对x y+ y x说法正确的是() A.有最大值-2B.有最小值2 C.无最大值和最小值D.无法确定 答案:B 2.设x,y满足x+y=40且x,y都是正整数,则xy的最大值是() A.400 B.100 C.40 D.20 答案:A 3.已知x≥2,则当x=____时,x+4 x有最小值____. 答案:2 4 4.已知f(x)=12 x+4x. (1)当x>0时,求f(x)的最小值; (2)当x<0 时,求f(x)的最大值. 解:(1)∵x>0,∴12 x,4x>0. ∴12 x+4x≥2 12 x·4x=8 3. 当且仅当12 x=4x,即x=3时取最小值83, ∴当x>0时,f(x)的最小值为8 3. (2)∵x<0,∴-x>0. 则-f(x)=12 -x +(-4x)≥2 12 -x ·?-4x?=83, 当且仅当12 -x =-4x时,即x=-3时取等号. ∴当x<0时,f(x)的最大值为-8 3. 一、选择题 1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是() A.x+1 2x B.x 2-1+ 1 x2-1 C.2x+2-x D.x(1-x) 答案:C 2.函数y=3x2+ 6 x2+1 的最小值是() A.32-3 B.-3 C.6 2 D.62-3
解析:选D.y=3(x2+ 2 x2+1 )=3(x2+1+ 2 x2+1 -1)≥3(22-1)=62-3. 3.已知m、n∈R,mn=100,则m2+n2的最小值是() A.200 B.100 C.50 D.20 解析:选A.m2+n2≥2mn=200,当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程: ①∵a,b∈(0,+∞),∴b a+ a b≥2 b a· a b=2; ②∵x,y∈(0,+∞),∴lg x+lg y≥2lg x·lg y; ③∵a∈R,a≠0,∴4 a+a≥2 4 a·a=4; ④∵x,y∈R,,xy<0,∴x y+ y x=-[(- x y)+(- y x)]≤-2?- x y??- y x?=-2. 其中正确的推导过程为() A.①②B.②③C.③④D.①④解析:选D.从基本不等式成立的条件考虑. ①∵a,b∈(0,+∞),∴b a, a b∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,故①的推导 过程正确; ②虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lg x是负数,y∈(0,1)时,lg y是负数,∴ ②的推导过程是错误的; ③∵a∈R,不符合基本不等式的条件, ∴4 a+a≥24 a·a=4是错误的; ④由xy<0得x y, y x均为负数,但在推导过程中将全体 x y+ y x提出负号后,(- x y)均 变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确. 5.已知a>0,b>0,则1 a+ 1 b+2ab的最小值是() A.2 B.2 2 C.4 D.5 解析:选 C.∵1 a+ 1 b+2ab≥ 2 ab +2ab≥22×2=4.当且仅当 ?? ? ??a=b ab=1 时, 等号成立,即a=b=1时,不等式取得最小值4. 6.已知x、y均为正数,xy=8x+2y,则xy有()
不等式选讲习题(含答案)
不等式选讲习题 1.(2014全国新课标I 卷)若0,0,a b >>且 11a b += (I )求33a b +的最小值; (II )是否存在,,a b 使得236?a b +=并说明理由. 2.(2014全国新课标II 卷)设函数1()(0).f x x x a a a =++-> (I )证明:()2;f x ≥ (II )若(3)5,f <求a 的取值范围. 3.(2013全国新课标I 卷)已知函数()212,() 3.f x x x a g x x =-++=+ (I )当2a =-时,求不等式()()f x g x <的解集; (II )设1,a >-且当1,22a x ??∈-??? ?时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围. 4.(2013全国新课标II 卷)设,,a b c 均为正数,且1,a b c ++=证明: (I )1;3 ab bc ac ++≤ (II )222 1.a b c b c a ++≥. 5.(2012全国新课标卷)已知函数() 2.f x x a x =++- (I )当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集; (II )若()4f x x ≤-的解集包含[]1,2,求a 的取值范围. 6.(2011全国新课标卷)设函数 ()3f x x a x =-+,其中0a >. (I )当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集; (II )若不等式()0f x ≤的解集为{|1},x x ≤-,求a 的值. 7.(2015第一次省统测)已知a 是常数,对任意实数x ,不等式|2||1||2||1|x x a x x -++≤≤--+都成立. (I )求a 的值; (II )设,0>>n m 求证:.22122 2a n n mn m m +≥+-+
含绝对值的不等式解法典型例题
含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8-3x|>0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ...≠.?8 3 分析∵->,∴-≠,即≠. |83x|083x 0x 8 3 答 选C . 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A .3 B .2 C .-2 D .-5 分析 列出不等式. 解 根据题意得2<|x|≤5. 从而-5≤x <-2或2<x ≤5,其中最小整数为-5, 答 选D . 例3 不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形. 解 原不等式可化为4<|3x -1|≤7,即4<3x -1≤7或-7 ≤-<-解之得<≤或-≤<-,即所求不等式解集为 -≤<-或<≤. 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ={x|2<|6-2x|<5,x ∈N},求A . 分析 转化为解绝对值不等式. 解 ∵2<|6-2x|<5可化为 2<|2x -6|<5 即-<-<,->或-<-,52x 652x 622x 62??? 即<<,>或<,12x 112x 82x 4???
解之得<<或<<.4x x 21121 2 因为x ∈N ,所以A ={0,1,5}. 说明:注意元素的限制条件. 例5 实数a ,b 满足ab <0,那么 [ ] A .|a -b|<|a|+|b| B .|a +b|>|a -b| C .|a +b|<|a -b| D .|a -b|<||a|+|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义. 解 ∵a 、b 异号, ∴ |a +b|<|a -b|. 答 选C . 例6 设不等式|x -a|<b 的解集为{x|-1<x <2},则a ,b 的值为 [ ] A .a =1,b =3 B .a =-1,b =3 C .a =-1,b =-3 D a b .=,=123 2 分析 解不等式后比较区间的端点. 解 由题意知,b >0,原不等式的解集为{x|a -b <x <a +b},由于解集又为{x|-1<x <2}所以比较可得. a b 1a b 2 a b -=-+=,解之得=,=.?? ?123 2 答 选D . 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x 的不等式|2x -1|<2m -1(m ∈R) 分析 分类讨论. 解若-≤即≤,则-<-恒不成立,此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为;? 若->即>,则--<-<-,所以-<2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x <m .
(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)
基本不等式 一. 基本不等式 ①公式:(0,0)2 a b a b +≥≥≥,常用a b +≥ ②升级版:22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序:考试中,优先选择原公式,其次是升级版 二.考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则:一正 二定 三相等 一正: 指的是注意,a b 范围为正数。 二定: 指的是ab 是定值为常数 三相等:指的是取到最值时a b = 典型例题: 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析:x 范围为负,提负号(或使用对钩函数图像处理) 解:1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞
例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解:123 y x x =+- (“添项”,可通过减3再加3,利用基本不等式后可出现定值) 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥, 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析:sin x 的范围是(0,1),不能用基本不等式,当y 取到最小值时,sin x 不在范围内 解:令sin (0,1)t x t =∈, 2y t t =+ 是对钩函数,利用图像可知: 在(0,1)上是单减函数,所以23t t + >,(注:3是将1t =代入得到) (3,)y ∴∈+∞ 注意:使用基本不等式时,注意y 取到最值,x 有没有在范围内, 如果不在,就不能用基本不等式,要借助对钩函数图像来求值域。
精选一元一次不等式组练习题及答案
八下2.6一元一次不等式组 一、选择题 1、下列不等式组中,解集是2<x <3的不等式组是( ) A 、???>>23x x B 、???<>23x x C 、? ??><23x x D 、???<<23x x 2、在数轴上从左至右的三个数为a ,1+a ,-a ,则a 的取值范围是( ) A 、a <12 B 、a <0 C 、a >0 D 、a <-12 3、不等式组10235x x +??+ ≤,的解集在数轴上表示为( ) 4、不等式组31025x x +>?? 的整数解的个数是( )A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 5、在平面直角坐标系内,P (2x -6,x -5)在第四象限,则x 的取值范围为( ) A 、3<x <5 B 、-3<x <5 C 、-5<x <3 D 、-5<x <-3 6、已知不等式:①1x >,②4x >,③2x <,④21x ->-,从这四个不等式中取两个,构成正整数解是2的不等式组是( )A 、①与② B 、②与③ C 、③与④ D 、①与④ 7、如果不等式组x a x b >?? B. 109m > C. 1910m > D. 1019 m > 二、填空题 9、若y 同时满足y +1>0与y -2<0,则y 的取值范围是______________. 10、不等式组3010x x -?+?≥的解集是 .11、不等式组20.53 2.52 x x x -??---?≥≥的解集是 . 12、若不等式组? ??->+<121m x m x 无解,则m 的取值范围是 . A B C D
解不等式典型例题答案
解不等式典型例题答案 例1 解:(1)原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,2 5 ,0321=-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分. ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于 ???>-<-≠????>-+≠+?>-++2 450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<--+-+-x x x x
2 12 1 310 2730132027301320 )273)(132(222222><<?????<+-<+-?????>+->+-?>+-+-?x x x x x x x x x x x x x x x 或或或 ∴原不等式解集为),2()1,2 1 ()31,(+∞??-∞。 解法二:原不等式等价于 0) 2)(13() 1)(12(>----x x x x 0)2()13)(1)(12(>-?---?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为),2()1,2 1()31,(+∞??-∞ 例3解法一:原不等式?? ???+<-<-?????+<-≥-?240 424042 222x x x x x x 或 即?? ?>-<<<-?? ?<<--≤≥1 22 2222x x x x x x x 或或或[来源学科网Z|X|X|K] ∴32<≤x 或21<-+<-) 2(42422 x x x x ∴312132<??-<><<-x x x x 故或. 例4解法一:原不等式等价下面两个不等式级的并集: ?????>-+<+-0412,05622x x x x 或?????<-+>+-0 412, 0562 2x x x x ?? ?<-+<--?;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x 或? ??>-+>--;0)6)(2(, 0)5)(1(x x x x ; ???<<-<62,51x x 或???>-<><6 ,2, 5,1x x x x 或或 ,51<x .
不等式典型例题之基本不等式的证明
5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——(6例题) 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法:比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”.其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R + ,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”.其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1.应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法. 2.综合法:利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”.即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B. 3.分析法:是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真.这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法:有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法. 5.换元法:换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新????
最新基本不等式练习题及答案
双基自测 1.(人教A 版教材习题改编)函数y =x +1 x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞) D .(2,+∞) 2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②a +b ab ≤2;③x 2+1 x 2+1≥1,其中正确的个数是 ( ). A .0 B .1 C .2 D .3 3.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ). A.1 2 B .1 C .2 D .4 4.(2011·重庆)若函数f (x )=x + 1 x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a =( ). A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 5.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1 t 的最小值为________. 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x >0,y >0,且2x +y =1,则1x +1 y 的最小值为________; (2)当x >0时,则f (x )= 2x x 2 +1 的最大值为________. 【训练1】 (1)已知x >1,则f (x )=x + 1 x -1 的最小值为________. (2)已知0<x <2 5,则y =2x -5x 2的最大值为________. (3)若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0,则x +y 的最小值为________. 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a >0,b >0,c >0,求证:bc a +ca b +ab c ≥a +b +c . .
【训练2】 已知a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1. 求证:1a +1b +1 c ≥9. 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x >0,x x 2+3x +1≤a 恒成立,则a 的取值范围是 ________. 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x >0,y >0,xy =x +2y ,若xy ≥m -2恒成立,则实数m 的最大值是________. 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x 不得超过5 m .房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m ,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低? 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本.并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )= 80 n +1 .若水晶产品的销售价格不变,第n 次投入后的年利润为f (n )万元. (1)求出f (n )的表达式; (2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 【试一试】 (2010·四川)设a >b >0,则a 2+1 ab +1 a (a - b ) 的最小值是( ). A .1 B .2 C .3 D .4 双基自测 D .(2,+∞) 答案 C 2.解析 ①②不正确,③正确,x 2+ 1x 2+1=(x 2 +1)+1x 2+1 -1≥2-1=1.答案 B 3.解析 ∵a >0,b >0,a +2b =2,∴a +2b =2≥22ab ,即ab ≤1 2.答案 A
不等式的解法·典型例题及详细答案
不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. 【例2】?解下列不等式: 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式: 【例5】?|x 2-4|<x+2. 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x . 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)可用“区间法”求解,但要注意处理好有重根的情况. 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 ∴原不等式解集为{x|x <-5或-5<x <-4或x >2}. 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意: ①各一次项中x 的系数必为正; ②但注意“奇穿偶不穿”.其法如图(5-2). 【例2】?解下列不等式: 解:(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞,-2)∪〔-1,2)∪〔6,+∞). (2) 【例3】?解下列不等式 解:(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为{x|x ≥5}. (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑:一是要使根式有意义,即偶次根号下被开数大于或等于零;二是要注意只有两边都是非负时,两边同时平方后不等号方向才不变. 【例4】?解下列不等式: 解:(1)原不等式等价于 令2x =t(t >0),则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1,2〕∪〔3,6). 【例5】?|x 2-4|<x+2. 解:原不等式等价于-(x+2)<x 2-4<x+2. 故原不等式解集为(1,3). 这是解含绝对值不等式常用方法. 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x . 解:原不等式等价于 (1)当a >1时,①式等价于 ② (2)当0<a <1时,②等价于 ③
必修5--基本不等式几种解题技巧及典型例题
均值不等式应用(技巧)技巧一:凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 (x > 3)的最小值 2、已知x > 3 2 ,求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ,求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二:凑系数 4、当0 < x < 4时,求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时,求y = 4x(3 - 2x)的最大值,并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时,求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时,求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三:分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 (x > -1)的值域; 9、求y = x2 + 3x + 1 x (x > 0)
的值域 10、已知x > 2,求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c,求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1,求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四:应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2,则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2,求1 x + 1 y 的最小值,并求x、y的值。 技巧六:整体代换 16、已知x > 0,y > 0,且1 x + 9 y = 1,求x + y的最小值。
17、若x、y∈R+且2x + y = 1,求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a,b,x,y∈R+ 且a x + b y = 1,求x + y的最小值。 19、已知正实数x,y满足2x + y = 1,求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x,y,z满足x + y + z = 1,求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七:取平方 21、已知x,y为正实数,且x2 + y2 2 = 1,求x 1 + y2的最大值。 22、已知x,y为正实数,3x + 2y = 10,求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x(1 2 < x < 5 2 )的最大值。 技巧八:已知条件既有和又有积,放缩后解不等式 24、已知a,b为正实数,2b + ab + a = 30,求函数y = 1 ab 的最小值。
一元二次不等式练习题含答案
一元二次不等式练习 一、选择题 1.设集合S ={x |-50 B .a ≥13 C .a ≤13 D .02} C .{x |-1≤x ≤2} D .{x |-1≤x <2} 4.若不等式ax 2+bx -2>0的解集为???? ??x |-2a 的解集是{}x |x <-1或x >a ,则( ) A .a ≥1 B .a <-1 C .a >-1 D .a ∈R 6.已知函数f (x )=ax 2+bx +c ,不等式f (x )>0的解集为{}x |-3二、填空题 8.若不等式2x2-3x+a<0的解集为(m,1),则实数m的值为________. 9.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式ax+b x-2 >0的解集是 ________. 10.若关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解,则实数a的取值范围是________. 三、解答题 11.解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0). . 12.设函数f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围; (2)若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.
最新基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)-(1)
基本不等式专题 知识点: 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ (当且仅当 b a =时取“=”) 2. (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ) 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 5.若R b a ∈,,则2 )2(222b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注意: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值 例:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+ 1 2x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2;
基本不等式练习题及答案.doc
双基自测 1 1.( 人教 A 版教材习题改编 ) 函数 y = x + x ( x >0) 的值域为 ( ) . A .( -∞,- 2] ∪[2 ,+∞ ) B .(0 ,+∞) C .[2 ,+∞ ) D .(2 ,+∞) 2 a ;② a +b 2 + 2 1 ≥ ,其中正确的个数是 .下列不等式:① a + > ≤2;③ x 2 1 2 x 1 ab +1 ( ) . A .0 B .1 C .2 D .3 .若 a > ,b > ,且 a + 2 b - = ,则 ab 的最大值为 ( ) . 3 0 0 2 0 B .1 C .2 D . 4 . ·重庆 若函数 f x = x + 1 x > 在 x = a 处取最小值,则 a = . 4 (2011 ) ( ) x -2 ( 2) ( ) A .1+ 2 B .1+3 C .3 D .4 .已知 t > ,则函数 y = t 2- t + 1 5 0 t 的最小值为 ________. 考向一 利用基本不等式求最值 1 1 【例 1】?(1) 已知 x > 0, y > 0,且 2x +y =1,则 x +y 的最小值为 ________; x 2 (2) 当 x >0 时,则 f ( x) =x 2+1的最大值为 ________. 1 【训练 1】 (1) 已知 x >1,则 f ( x) = x + x - 1的最小值为 ________. 已知 <x 2 x - x 2 的最大值为 (2) < ,则 y = ________. 0 5 2 5 (3) 若 x ,y ∈ (0 ,+∞ 且 2 x + y - xy = ,则 x + y 的最小值为 . ) 8 0 ________ 考向二 利用基本不等式证明不等式 bc ca ab 【例 2】?已知 a >0, b > 0, c > 0,求证: a + b + c ≥a +b +c. .