大学物理习题册答案(2)
、选择题
练习十三
(简谐振动、旋转矢量、简谐振动的合成)
1. 一弹簧振子，水平放置时，它作简谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列情况正确的是
(A) 竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动;
(B) 竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动;
(C) 两种情况都作简谐振动；
(D)两种情况都不作简谐振动。
d2x
解：(C)竖直弹簧振子：m—2k(x I) mg kx( kl
dt
弹簧置于光滑斜面上：m吟
dt2k(x I) mg sin kx (
)d
2x mg),
勞dt2
d2x kl mg),可
dt2
2 . 两个简谐振动的振动曲线如图所示，则有(A)
n n
(A) A超前一；(B) A落后一；(C) A超前n;
2 2
(D) A落后It
。
2
x
3. 一个质点作简谐振动，周期为T，当质点由平衡位置向x轴正方向运动时，由
之一最大位移这段路程所需要的最短时间为
(B)
/、T/、T T /、T
(A) (B) ; (C) (D) 。
41268
解：(A)X A A cos t, X B Acos( t /2)
解：(B)振幅矢量转过的角度/6 ,所需时间t
平衡位置到二分
4.分振动表式分别为x13cos(50 n 0.25 n 和x2
为:
(A) x 2cos(50 n t 0.25 u);(B)
(C) x 5cos(50 n
1
arcta n —)；
2 7
(D
解：(C)作旋转矢量图或根据下面公式计算5
.
/6 T
2 /T 12
4cos(50 n 0.75 n (SI 制)则它们的合振动表达式x 5cos(50 n);
A A 2AA COS(20 10) . 32 42 2 3 4cos(0.75 0.25 丄1 Asin 10 A2sin 20丄1 3sin(0.25 ) 4sin(0.75 ) tg - _ -
— tg
3cos(0.25 )
cos 10 A? cos 20
4cos(0.75 ) 2 tg
两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端, 弹簧的伸长分别为5;
l2，且h 2 l2，则
两弹簧振子的周期之比T1 :T2为(B)
(A) 2 ; ( B) 2 ; ( C) 1/2 ; ( D) 1/、2。
解:(B)弹簧振子的周期T 2
m 飞
m
g . mg T 1 K 2
I 1
l
2 T 2 I 12
6. 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为 m 的重物，其自由振动的周期为 T.今已知振子离开平衡位置为 x 时，其振动速度为 v ,加速度为a . 则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是: (B ) 2 2 (A) k mv max / X max ； (B) k mg/x ； (C) k 4 2m/T 2 ； (D) k ma/x 。 解：B
7.两个质点各自作简谐振动,
它们的振幅相同、周期相同. 第一个质点的振动表式为 X 1 = A cos( t + ) ?当 第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时, 占 八、、 第二个质点正在最大正位 A 为
O
移处.则 (B ) (A) X 2 Acos( (C) X 2 Acos( 8. 一质点沿 X 轴作简谐振动,
2 n )； 2n )
； 振动表式为 (B) (D) X 2 X 2 Acos(
Acos( 2 4 10 cos(2 位置在x = -2cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 / A 、1 1 (A ) - s ;
( B ) s ;
8
6 解：(C)作旋转矢量图t min
1 (C ) 一 s ； 2
/ /2
1
(D ) —
s 。 4
1/2s
二、填空题 1. 一简谐振动用余弦函数表示, 其振动曲线如图所示, 则此简谐 振动的三个特征量为 A =
0= 解：由图可知A 10cm 0.1m , T 12s , 2 /T /6s 作旋转矢量得 0 /3 2 ?单摆悬线长|，在悬点的铅直下方 周期之比T 1 :T 2为
。解: 3. —质点沿x 轴作简谐振动, (1)若t = 0时质点过x = 0
(2)若t = 0时质点处于x ￡ n)；
(B)作旋转矢量图
解: )
。 t
O 1/2处有一小钉，如图所示。则单摆的左右两方振动 单摆周期T 2 1 2
振动范围的中心点为 x 轴的原点。已知周期为T ,振幅为 处且朝X 轴正方向运动，则振动方程为 X = 丄A 处且向x 轴负方向运动，则振动方程为 2
解：作旋转矢量图，由图可知(1) x Acos(—t -);(2) x Acos(— t T 2 T
3)
A(0)
4.有两个相同的弹簧，其劲度系数均为 k , (1)把它们串联起来，下面挂一个质量为 m 的重物，此系统作 简谐振动的周期为
;(2)把它们并联起来，下面挂一质量为 m 的重物，此系统作简谐振动的周 期为
解：两个相同弹簧串联，劲度系数为k ，T 2 2m ；两个相同弹簧并联,劲度系数为2k ,T 2 ' m .
2 \ k \ 2k
动频率为
2
1
1Hz
7 ?两个同方向的简谐振动曲线如图所示。合振动的振幅为 解：作旋
转矢量图A 2 A ； x (A 2 A )cos 令- 二、计算题
3. 一水平放置的弹簧振子，振动物体质量为，弹簧的劲度系数 (1)
求振动的周期 T 和角频率
；(2)以平衡位置为坐标原点。如果振幅
A =15 cm , t = 0时物体
位于x = cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求振动的表达式; 式。
5?质量为m 的物体和一轻质弹簧组成弹簧振子，其固有振动周期为 时，其振动能量E = 。解：弹簧振子振动周期 T ,当它作振幅为 A 的自由简谐振动 4
2
m 2
T
2
,振动能量E 尹2下曲
6.若两个同方向、不同频率的谐振动的表达式分别为
x
i
AcoslO n 和 x 2
Acos12 n ，则它们的合振
1
5 ,
2
6 ,合振动频率
H HZ ,拍频
2
h 。，今用手指沿竖直方向将其慢慢
压
下，使其浸入水中部分的深度为
h ，然后放手任其运动。若不计水对木块的粘滞阻力 ,试证明木块作简谐
运动，并求振动的周期 T 和振幅 A 。(水和木块的密度分别为
解：木块平衡时：mg ■ . 2
1h 0
|
g ,取液面为坐标原点，向下为
x 轴正向，当木块浸入水中深度增加 x 时
d 2x
m —2 dt 2 F 浮 mg , 2
I
3
d^x
dt 2
2
1
I (x h °)g
2
I
2
1
I xg
d 2x dt 2
2
1
g
d x x , 2 2I
dt 2
0X
0, 2I 1
g
A ,.x 0 Vo/ 2 h
h °
，拍频为
,合振动的振动方程为
1.质量m = 10 g 的小球按如下规律沿 x 轴作简谐振动：x 0.1cos(8 t )(SI) ?求此振动的周期、
振幅、初相、速度最大值和加速度最大值以及振动的能量。 解：圆频率 8 (1/s),周期T
1/4(s),振幅 A
0.1m ,初相
2 /3
振动速度最大值V max A 2
0.1
加速度最大值a max A 1 振动的能量E
丄kA 2
2
0.1 1 mv 2 2 max (8 2 0.8
2.5(m/s),
)2 6.4 2
63(m/s 2) 0.01 2.52 3.125 10 2 J
k 25N m -1。
(3)求振动速度的表达
O
O
/3
x
解：⑴角频率.k/m .25/0.25 10(1/s),T 2 / 0.2 (s)
(2) 作旋转矢量图，由图可知0/3
x 0.15cos 10t —(SI 制)，(3) v 1.5sin 10t —(SI 制)
3 3
4. 一个弹簧振子作简谐振动，振幅 A 0.2m，如弹簧的劲度系数k 2.0N/m，所系物体的质量
m 0.50kg，试求：(1)当系统动能是势能的三倍时，物体的位移是多少？( 2)物体从正的最大位移处
运动到动能等于势能的三倍处所需的最短时间是多少？
1 1
解⑴由题意，E k 3E p, E E k E p4E p 4 kx2kA2,得4x2
p p p 2 2
⑵由题意知,k / m , 2.0/0.5 2(1/s)，
作旋转矢量图知：/3，最短时间为t / /6(s)
5?有两个同方向、同频率的简谐振动，它们的振动表达式为:
3 1 …
x! 0.05cos 10t n , x20.06cos 10t n (SI 制)
4 4
A2, x - A 0.1m
(1)求它们合成振动的振幅和初相。(2)另有一个振动x30.07 cos(10t 0)，问0为何值时, X1 X3的振幅最大；0为何值时，X2 X3的振幅最小。
解：⑴由图可知A ￥A2A 0.078m, 0 — tg 15848°
4 6
一3
⑵X1 X3的振幅最大时0 10 —；
4
5 3
x2 X3的振幅最小时0 20 , 0,(或)
4 4
练习十四
、选择题
1?一个平面简谐波沿x轴负方向传播，波速u10m/s。x 0处，质点振动曲线如图所示，则该波的表达式(SI (B )
(A) y 2co呻
n
x
20
—)；(B)y 2cos(n t
2 2
(C) y
n
2si%t
n
x
20
—)；(D y 2sin(-t
2 2
解：(B) 由图可知T4s, X 0处质点振动方程y。
n n
X )
20 2
2
PT y
『2
A(0)
x=0处质点在t=0 Acos T t2cos 2t ?
波的表达式y
|x|
2cos — t 一t —2cos
2 u 2
2cos — t
2
X _
20 2
2?一个平面简谐波沿X轴正方向传播，波速为u 160m/s, t 0时刻的波形图如图所示，则该波的表达