共点旋转类全等
专题01 旋转中的三种全等模型(手拉手、半角、对角互补模型)(解析版)
专题01 旋转中的三种全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。
其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型条件：△ABC 和△DCE 均为等腰三角形，C 为公共点；连接BE ，AD 交于点F 。
结论：①△ACD ≌△BCE ；②BE =AD ；③∠ACM =∠BFM ；④CF 平分∠AFD 。
4）双正方形形型条件：△ABCFD 和△CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接BG ，ED 交于点N 。
结论：①△△BCG ≌△DCE ；②BG =DE ；③∠BCM =∠DNM=90°；④CN 平分∠BNE 。
例1．（2022·黑龙江·中考真题）ABC V 和ADE V 都是等边三角形．(1)将ADE V 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立；请证明．(2)将ADE V 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE V 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：PB PA PC =+，证明见解析 (3)图③结论：PA PB PC+=【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；（2）在BP 上截取BF CP =，连接AF ，证明BAD CAE V V ≌（SAS ），得ABD ACE Ð=Ð，再证明CAP BAF ≌△△（SAS ），得CAP BAF Ð=Ð，AF AP =，然后证明AFP V 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论；（3）在CP 上截取CF BP =，连接AF ，证明BAD CAE V V ≌（SAS ），得ABD ACE Ð=Ð，再证明BAP CAF ≌△△（SAS ），得出CAF BAP Ð=Ð，AP AF =，然后证明AFP V 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论：PA PB PF CF PC +=+=．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合，∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0，∴PA PB PC +=或PA PC PB +=；(2)解：图②结论：PB PA PC=+证明：在BP 上截取BF CP =，连接AF ，∵ABC V 和ADE V 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE Ð=Ð=°∴BAC CAD DAE CAD Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，∴BAD CAE V V ≌（SAS ），∴ABD ACE Ð=Ð，∵AC =AB ，CP =BF ， ∴CAP BAF ≌△△（SAS ），∴CAP BAF Ð=Ð，AF AP =，∴CAP CAF BAF CAF Ð+Ð=Ð+Ð，∴60FAP BAC Ð=Ð=°，∴AFP V 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PC PF BF PB +=+=；(3)解：图③结论：PA PB PC +=，理由：在CP 上截取CF BP =，连接AF ，∵ABC V 和ADE V 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE Ð=Ð=°∴BAC BAE DAE BAE Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，∴BAD CAE V V ≌（SAS ），∴ABD ACE Ð=Ð，∵AB =AC ，BP =CF ，∴BAP CAF ≌△△（SAS ），∴CAF BAP Ð=Ð，AP AF =，∴BAF BAP BAF CAF Ð+Ð=Ð+Ð，∴60FAP BAC Ð=Ð=°，∴AFP V 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PB PF CF PC +=+=，即PA PB PC +=．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．例2．（2023·湖南·长沙市八年级阶段练习）如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4，点D ，E 分别为边AB ，BC 上的中点，且BD ＝BE ．(1)如图2，将△BDE 绕点B 逆时针旋转任意角度α，连接AD ，EC ，则线段EC 与AD 的关系是 ；(2)如图3，DE ∥BC ，连接AE ，判断△EAC 的形状，并求出EC 的长；(3)继续旋转△BDE ，当∠AEC ＝90°时，请直接写出EC 的长．例3．（2023·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB ＝90°，F 为AB 边的中点，且DF =EF ，∠DFE ＝90°，D 是BC 上一个动点．如图1，当D 与C 重合时，易证：CD 2＋DB 2＝2DF 2；（1）当D 不与C 、B 重合时，如图2，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D 在BC 的延长线上时，如图3，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）CD 2+DB 2=2DF 2 ；（2）CD 2+DB 2=2DF 2，证明见解析【分析】（1）由已知得222DE DF =，连接CF ，BE ，证明CDF BEF D @D 得CD =BE ，再证明BDE D 为直角三角形，由勾股定理可得结论；（2）连接CF ，BE ，证明CDF BEF D @D 得CD =BE ，再证明BDE D 为直角三角形，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）CD 2+DB 2=2DF 2证明：∵DF =EF ，∠DFE ＝90°，∴222DF EF DE += ∴222DE DF = 连接CF ，BE ，如图∵△ABC 是等腰直角三角形，F 为斜边AB 的中点∴CF BF =，CF AB ^，即90CFB Ð=° ∴45FCB FBC Ð=Ð=°，90CFD DFB Ð+Ð=°又90DFB EFB Ð+Ð=° ∴CFD EFB Ð=Ð在CFD D 和BFE D 中CF BF CFD BFE DF EF =ìïÐ=Ðíï=î∴CFD D @BFED ∴CD BE =，45EBF FCB Ð=Ð=° ∴454590DBF EBF Ð+Ð=°+°=° ∴222DB BE DE +=∵CD BE =，222DE DF =∴CD 2+DB 2=2DF 2 ；（2）CD 2+DB 2=2DF 2 证明：连接CF 、BE∵CF =BF ，DF =EF 又∵∠DFC +∠CFE =∠EFB +∠CFB=90°∴∠DFC =∠EFB ∴△DFC ≌△EFB ∴CD =BE ，∠DCF =∠EBF =135°∵∠EBD =∠EBF －∠FBD =135°－45°=90° 在Rt △DBE 中，BE 2+DB 2=DE 2∵ DE 2=2DF 2 ∴ CD 2+DB 2=2DF 2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例4．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若ABC V 和ADE V 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边.求证：BD CE =；(2)解决问题：如图2，若ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，点A ，D ，E 在同一条直线上，CM 为DCE V 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系并说明理由.图1 图2【答案】(1)见解析 (2)90DCE Ð=°；2AE AD DE BE CM=+=+【分析】（1）先判断出∠BAD =∠CAE ，进而利用SAS 判断出△BAD ≌△CAE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△BAD ≌△CAE ，得出AD =BE ，∠ADC =∠BEC ，最后用角的差，即可得出结论．【解析】(1)证明：∵ABC V 和ADE V 是顶角相等的等腰三角形，∴AB AC =，AD AE =，BAC DAE Ð=Ð，∴BAC CAD DAE CAD Ð-Ð=Ð-Ð，∴BAD CAE Ð=Ð．在BAD V 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BAD CAE SAS ≌△△，∴BD CE =．(2)解：90AEB =°∠，2AE BE CM =+，理由如下：由（1）的方法得，≌ACD BCE V V ，∴AD BE =，ADC BEC ÐÐ=，∵CDE △是等腰直角三角形，∴45CDE CED Ð=Ð=°，∴180135ADC CDE Ð=°-Ð=°，∴135BEC ADC Ð=Ð=°，∴1354590AEB BEC CED Ð=Ð-Ð=°-°=°．∵CD CE =，CM DE ^，∴DM ME =．∵90DCE Ð=°，∴DM ME CM ==，∴2DE CM =．∴2AE AD DE BE CM =+=+．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD ≌△BCE 是解本题的关键．3）15°模型2.半角模型【模型解读】半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④D AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案) 初中数学几何模型大全及经典题型（含答案）全等变换平移：平行线段平移形成平行四边形。
对称：以角平分线、垂线或半角作轴进行对称，形成对称全等。
旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转形成旋转全等。
对称半角模型通过翻折将直角三角形对称成正方形、等腰直角三角形或等边三角形。
旋转全等模型半角：相邻等线段所成角含1/2角及相邻线段。
自旋转：通过旋转构造相邻等线段的旋转全等。
共旋转：通过寻找两对相邻等线段构造旋转全等。
中点旋转：将倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。
模型变形当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
几何最值模型对称最值：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
旋转最值：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。
剪拼模型通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状，例如将三角形剪拼成四边形或将矩形剪拼成正方形。
正方形的边长可以通过射影定理来求解。
假设正方形的边长为x，那么正方形的对角线长为x√2.将正方形分成两个等腰直角三角形，可以得到等腰直角三角形的斜边长为x√2/2.因此，根据射影定理，可以得到等腰直角三角形的高为x/2，进而得到正方形的边长为x=x√2/2.通过平移和旋转，可以将一个正方形变成另一个正方形。
这可以通过旋转相似模型来实现。
例如，两个等腰直角三角形可以通过旋转全等来实现形状的改变，而两个有一个角为300度的直角三角形可以通过旋转相似来实现形状的改变。
更一般地，两个任意相似的三角形可以通过旋转成一定角度来实现旋转相似，其中第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。
在相似证明中，需要注意边和角的对应关系。
相等的线段或比值在证明相似时可以通过等量代换来构造相似三角形。
另外，从三垂线到射影定理的演变，再到内外角平分线定理，需要注意它们之间的相同和不同之处。
与等边三角形有关的全等三角形题目
与等边三角形有关的证明三角形全等的问题等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，两个大小不等的等边三角形通常有一个公共点经过旋转得到一些全等三角形，证明时思路具有相同之处，下面进行简单的总结一下.一． 证明相应线段相等的题目如图所示是城市的部分街道示意图，AB=BC=AC ，CD=CE=DE ，A,B,C,D,E,F 为公共汽车停靠点，“公共汽车甲”从A 站出发，按照A H G D E C F 的顺序到达F 站，“公共汽车乙”从B 站出发，按照B F H E D C G 的顺序到达G 站，如果甲，乙两车分别从A,B 两站同时出发，在各站耽误的时间相同，两车速度也一样，试问哪一辆公共汽车先到达指定站？为什么？ 【分析】要想知道哪一辆公共汽车先到达指定地点，因为两车的速度一样，在每个站点停的时间也一样，所以只要比较两车行驶的路程即可.根据题意可知甲公共汽车行驶的路线为：AH+HG+GD+DE+EC+CF=AD+DE+EC+CF 乙公共汽车行驶路线为：BF+FH+HE+ED+DC+CG=BE+ED+DC+CG 因为AB=BC=AC ，CD=CE=DE ，只要比较线段AD 与BE;CF 与CG 的大小即可.很容易正△ACD ≌△BCE ，△BCF ≌ACG 可得AD=BE ， CF=CGG FH BDCE A所以两辆车同时到达.3.如图，点C 是线段AE 上一动点（不与A,E 重合），在AE 的同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ,有以下五个结论：①AD=BE;②PQ ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°，其中一定成立的结论有 .（把你认为正确的序号都填上） 【分析】△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴BC=AC,DC=EC ∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ∴∠ACD=∠BCE在△ACD 与△BCE 中=AC BCACD BCE DC EC =⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∴△ACD ≌△BCE （SAS ） ∴AD=BE ∠DAC=∠EBC∴∠BOD=∠DAB+∠ABO=∠DAB+∠ABP+∠EBC=∠DAB+∠DAC+∠ABP=∠BAC+∠ABC=120°∴∠AOB=180°-∠BOD=60°，∴①AD=BE ，⑤∠AOB=60°正确 ∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCQ=180°-∠ACB-∠DCE=60° ∴∠ACP=∠BCQ=60°在△ACP 与△BCQ 中=PAC QBC AC BC ACP BCQ =⎧⎪=⎨⎪⎩∠∠∠∠O Q PBD CEA△ACP≌△BCQ（ASA）∴CP=CQ AP=BQ又∵∠PCQ=60°，∴△PCQ是等边三角形∴∠QPC=∠ACB=60°，∴PQ∥AE；∴②PQ∥AE，③AP=BQ正确. 在△PCD中∠PDC≠∠PCD，∴DP≠DC，又因为DC=DE，∴DP≠DE，∴④DE=DP是错误的.综上所述，正确答案是①②③⑤试一试：1.如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法中正确的个数有()①MN∥AB；②∠DPM＝60°；③∠DAP＝∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE＝30°，则∠AEB＝80°.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5NMFE CBA2.如图，点C 在线段AB 上，△ACM 、△CBN 是等边三角形，AN 、MC 交于点E ，BM 、CN 交于点F. （1）求证：AN=BM. （2）试判断△CEF 的形状.2.△ABD ，△AEC 都是等边三角形，求证BE=DC例1.D 为等边三角形ABC 的边BC 上一点，且点E 在线段AD 上（端点A 除外），△BEF 为等边三角形，当点E 在AD 上由点D 向A 运动时，AE 与FC 的比值是否变化？若变化说明怎样变化；若不变化，说明理由.【答】AE 与FC 的比值不会变化.理由如下 ∵△ABC 和△BEF 都是等边三角形 ∴AB=CB,EB=FBB∠ABC=∠EBF=60°∴∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC 即∠ABE=∠CBF在△ABE 与△CBF 中BA BC =⎧⎪⎨⎪⎩∠ABE=∠CBF BE=BF∴△ABE ≌△CBF （SAS ） ∴AE=CF ∴1AECF= 就是说AE 与FC 的比值不会变化 例2.△ABC 是等边三角形，AD 是中线，△ADE 是等边三角形，BE 等于BD 吗？为什么？【解答】BE=BD 理由如下： △ABC 是等边三角形，AD 是中线，∴AB=AC BD=CD ∠BAC=60° ∠BAD=∠CAD=30° ∵△ADE 是等边三角形，∴AE=AD ∠EAD=60° ∴∠EAB=∠EAD-∠BAD=30° ∴∠EAB=∠DAB=30°在△ABE 与△ABD 中EA DA=⎧⎪⎨⎪⎩∠BAE=∠BAD BA=BA∴△ABE ≌△ABD （SAS ）∴BD=BE 二．判断三角形的形状 例3.△ABC 是等边三角形，D 是BC 上一点，在△ABC 的外C角平分线CE上取一点E，使CE=BD，连接AE,DE,AD，请判断△ADE的形状，并说明理由。
2022年中考数学总复习微专题 第四章 全等三角形的常见模型
全等三角形的常见模型模型一平移模型典例1(2021·湖南衡阳)如图,点A,B,D,E在同一条直线上,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.求证:△ABC≌△DEF.【答案】∵AC∥DF,∴∠CAB=∠FDE,∵BC∥EF,∴∠ABC=∠DEF,在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(ASA).平移模型的本质是两个全等的三角形,其中一个可以通过另一个平移得到,所以这种模型往往与平行相联系.常见的平移模型的图形有:模型二对称模型典例2(2021·云南)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于点E.求证:∠DAC=∠CBD.【答案】在△ACD和△BCD中,∴△ACD≌△BDC(SSS),∴∠DAC=∠CBD.对称模型的本质是两个全等的三角形能关于某条直线对称.常见的对称模型的图形有:模型三旋转模型类型1不共顶点的旋转模型典例3如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,AF=CD.求证:BC∥EF.【答案】∵AB∥DE,∴∠A=∠D.∵AF=CD,∴AF+CF=CD+CF,∴AC=DF.在△ABC与△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠ACB=∠DFE,∴BC∥EF.类型2共顶点的旋转模型(手拉手模型)典例4(2021·湖南湘西州)如图,在△ABC中,点D在AB边上,CB=CD,将边CA绕点C旋转到CE的位置,使得∠ECA=∠BCD,连接DE与AC交于点F,且∠B=70°,∠A=10°.(1)求证:AB=ED;(2)求∠AFE的度数.【答案】(1)∵∠ECA=∠BCD,∴∠ECA+∠ACD=∠BCD+∠ACD,即∠DCE=∠ACB.由旋转可得AC=EC,在△BCA和△DCE中,∴△BCA≌△DCE(SAS),∴AB=ED.(2)由(1)中结论可得∠CDE=∠B=70°,又∵BC=CD,∴∠B=∠BDC=70°,∴∠ADE=180°－∠BDE=180°－70°×2=40°,∴∠AFE=∠ADE+∠A=40°+10°=50°.无论哪种类型,图中两个全等三角形都满足其中一个可以通过另一个旋转得到.其常见图形有:典例5如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D,E在边AB上,且∠DCE=45°.试说明:AD2+BE2=DE2.【答案】如图所示,将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△ACF,连接DF.∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠CAB=∠B=45°.由旋转可知∠FCE=90°,CF=CE,AF=BE,∠FAC=∠B=45°,∴∠FAD=90°.∵∠DCE=45°,∴∠DCF=45°,∴∠DCF=∠DCE,∴△CDF≌△CDE(SAS),∴DF=DE.∵AD2+AF2=DF2,∴AD2+BE2=DE2.半角模型也是旋转模型的特殊情况.等边三角形含半角(∠BDC=120°)等腰直角三角形含半角正方形含半角模型四一线三等角模型典例6如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是D,E,AD=3,BE=1,求DE的长.【答案】∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E=∠ADC=90°,∴∠EBC+∠BCE=90°.∵∠ACB=∠BCE+∠DCA=90°,∴∠EBC=∠DCA.在△CEB和△ADC中,∴△CEB≌△ADC(AAS),∴DC=BE=1,CE=AD=3,∴DE=CE－DC=3－1=2.一线三等角模型是以一条直线构造三个相等的角构造全等三角形.常见图形有:提分训练1.如图,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,AE=3,∠CAE=45°,求AD的长.解:连接BE.∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD.在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.∵AC=BC=6,∴AB =6.∵∠BAC=∠CAE=45°,∴∠BAE=90°.在Rt△BAE中,BE ==9,∴AD=9.2.(2021·陕西改编)如图,AB,BC,CD,DE是四根长度均为5 cm的火柴棒,点A,C,E共线.若AC=6 cm,CD⊥BC,求线段CE的长度.解:过点B作BM⊥AC于点M,过点D作DN⊥CE于点N.∵BA=BC,DC=DE,∴AM=CM=3,CN=EN.∵CD⊥BC,∴∠BCD=90°,∴∠BCM+∠CBM=∠BCM+∠DCN=90°,∴∠CBM=∠DCN.在△BCM和△CDN中,∴△BCM≌△CDN(AAS),∴BM=CN.在Rt△BCM中,∵BC=5,CM=3,∴CN=BM==4,∴CE=2CN=2×4=8(cm).3.(2021·贵州黔东南州)在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD.【探究发现】(1)如图1,若∠BAD=120°,∠ABC=∠ADC=90°.求证:AD+AB=AC; 【拓展迁移】(2)如图2,若∠BAD=120°,∠ABC+∠ADC=180°.猜想AB,AD,AC三条线段的数量关系,并说明理由.解:(1)∵AC平分∠BAD,∠BAD=120°,∴∠DAC=∠BAC=60°.∵∠ADC=∠ABC=90°,∴∠ACD=∠ACB=30°,∴AD=AC,∴AD+AB=AC.(2)AD+AB=AC.理由:过点C分别作CE⊥AD于点E,CF⊥AB于点F.∵AC平分∠BAD,∴CF=CE.∵∠ABC+∠ADC=180°,∠EDC+∠ADC=180°,∴∠FBC=∠EDC.在△CED和△CFB中,∴△CED≌△CFB(AAS),∴FB=DE,∴AD+AB=AD+DE+AF=AE+AF.在四边形AFCE中,由(1)知AE+AF=AC,∴AD+AB=AC.。
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破八 几何综合题 类型六：旋转在几何综合题中的应用
(2)证明：BE＝AH＋DF.
(2)证明：将△ABH绕着点B顺时针旋转90° 得到△BCM，∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，∴∠ADF＝∠C， ∵AF∥BE，∴∠F＝∠BEC，∴△ADF≌△BCE(AAS)， ∴DF＝CE.又由旋转可知AH＝CM，∠AHB＝∠M，∠BAH＝∠BCM＝90°， ∵∠BCD＝90°，∴∠BCD＋∠BCM＝180°， ∴点E，C，M在同一直线．∴AH＋DF＝EC＋CM＝EM.
类型六：旋转在几何综合 题中的应用
模型一：旋转构造基本图形 【解题方法模型构建】 若题干中出现“共顶点、等线段(相邻等线段)”这一特征．常考虑构造 旋转，通过旋转可以将线段转移，将已知条件集中，从而解决问题．
1．遇60°旋转60°，构造等边三角形(等边三角形旋转模型)．
通过旋转可将线段AP，BP，CP转移在同一个三角形中(△CPP′)． 注：根据“旋转的相互性”也可绕A点旋转△APC，或绕B，C点旋转相应 三角形(还有5种构造方法)．
模型二：旋转构造模型 【解题方法模型构建】 1．如图，在△OAB中，OA＝OB，在△OCD中，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝
α，将△OCD绕点O旋转一定角度后，连接AC，BD，相交于点E.简记 为：双等腰，共顶点，顶角相等，旋转得全等．
【结论】(1)△AOC≌△BOD(SAS)； (2)AC＝BD； (3)两条拉手线AC，BD所在直线的夹角与∠AOB相等或互补．
【结论】△ABD≌△AEC；△ABE∽△ADC.
2．请阅读下列材料： 问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝ 3 ，PC＝ 1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长． 李明同学的思路：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形 (如图②)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角 三角形(由勾股定理的逆定理可证)，∴∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠ AP′B＝150°，进而求出等边角形ABC的边长为 7，问题得到解决．
专题四 妙用公共顶点旋转构造全等三角形(提升) 2020年中考数冲刺几何题型 专项突破
2020年中考数冲刺几何题型 专项突破专题四 妙用公共顶点旋转构造全等三角形【提升训练】1、如图，△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形，A 为公共直角顶点，过A 作AF 垂直CB 交CB 的延长线于点F.求证：△ABC△△ADE;若AC=10，求四边形ABCD 的面积.【解析】（1）手拉手模型，通过SAS 证明即可.（2）S 四边形ABCD=S△ACE=502、如图所示，已知AE 垂直AB,AE=AB,AF=AC,试猜想CE 、BF 的关系，并说明理由.【解析】手拉手模型结论2，CE△BF先证结论1，△AEC△△ABF （SAS ）再通过8字型证得△EAB=△BME=90°3、已知等腰△ABC,△A=100°，△ABC 的平分线交AC 于D ，求证：BD+AD=BC.FE D C BA【解析】以BC为边构造等边三角形BCM在CM上取点N使得CN=BD可得△ABD△ACN（SAS），△△NAC=100°，△NAM=30°连接MA可知MA平分△NMB，△△NMA=30°△NM=NA△BD+AD=CN+MN=CM=BC4、如图，已知，等腰Rt△OAB中，△AOB=90°，等腰Rt△EOF中，△EOF=90°，连结AE,BF.（1）AE=BF,（2）AE△BF.【解析】（1）手拉手一次全等△AOE△△BDF（SAS）（2）8字导角即可5、已知，如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，CG、CH分别是△CAN、△MCB 的高，求证CG=CH.【解析】手拉手模型结论△证CAN△△CMB（SAS）再证△CGN△△CHB（AAS）6、已知，如图，在△ABC、△ADE中，△BAC=△DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上，连接BD.（1）求证：△BAD△△CAE；（2）试猜想BD,CE有何特殊位置关系，并证明.【解析】等腰直角三角形为载体的手拉手模型（1）SAS证全等（2）垂直，8字模型倒角即可证得△CDB=△CAB7、如图，等边△ABC中，D是AB边上的一动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.（1）求证：△ACE△△BCD（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由.【解析】（1）手拉手模型一次全等（2）平行，△EAC=△BCA=60°，内错角相等，两直线平行8、以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC、△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE.（1）说明BD=CE;（2）延长BD,交CE于点F，求△BFC的度数.（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由.【解析】（1）手拉手模型证△EAC△△DAB（SAS）（2）手拉手模型结论2，红线夹角等于顶角度数，所以△BFC=90°（3）成立9、在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B,C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,△DAE=△BAC，连接CE.（1）如图1，当点D在线段上，如果△BAC=90°，则△BCE=____（2）设△BAC=α，△BCE=β，如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β有怎样的数量关系？请说明理由.【解析】（1）手拉手模型，先证△ABD△△ACE，所以△ACE=△B=45°，所以△BCE=90°（2）互补，红线夹角等于等腰三角形顶角度数10、等边△ABC中，AO是BC边上的高，D为AO上一点，以CD为一边，在CD下方作等边△CDE，连接BE.（1）求证：△ACD△△BCE（2）过点C作CH△BE，交BE的延长线于H，若BC=8，求CH的长.【解析】（1）SAS可证（2）延长AO与BH相交，根据手拉手结论三可知CH=CO=4（3）F为BC中点时，AC△EF，当F时BC中点时，△CAF=30°，△AFE=60°11、已知，在△ABC中，△BAC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边做正方形ADEF，连接CF.（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证CF+CD=BC（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，若BC=17，CF=7，求DF的长.【解析】（1）手拉手模型，△ABD△△ACF（SAS）导边即可（2）同上，CF=BC+CD（3）过A作BC的垂线交BC于点M，可求DM的长为15.5，根据勾股定理可求DF=2512、以△ABC的AB、AC为边向三角形外作等边△ABD、△ACE，连结CD、BE相交于点O.求证：OA平分△DOE.【解析】（1）手拉手模型结论3，作垂证全等13、如图1所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,△BAC=△DAE=90°，点E在AC上，连结BE、CD.（1）求证：BE=CD（2）在图1的基础上，将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），然后将BE、CD分别延长至M、N，使EM=DN，得到图2，在图2中，猜想AM与AN的数量关系与位置关系，并证明你的猜想.【解析】（1）△ABE△△ACD（SAS）（2）根据手拉手证明△ABE△△ACD（SAS）再根据EM=DN证△ABM△△CAN（SAS）即可。
2020年九年级初中必会几何模型-共点旋转模型
共点旋转模型模型概述：两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。
基本模型：一、等边三角形手拉手-出全等图1 图2图3 图41.解读：⑴图1中，等边△CDE和等边△CBA构成“A”字型相似；⑵将△CDE绕点C顺时针旋转一定角度，分别至图2、图3、和图4（B、C、E共线）⑶两三角形的“头部”C始终重合，“大手”A对应于“小手”E，“大手”B对应于“小手”D，旋转过程中，“大手”始终拉着（连接）“小手”；⑷“大手臂”CB、“小手臂”CD及其连线BD构成的△CBD与“大手臂”CA、“小手臂”CE及其连线AE构成的△CAE始终全等；⑸两连线BD和AE所在直线的夹角始终为60°。
2.结论：⑴图2、图3和图4中都有：①△CBD≌△CAE；②直线BD和直线AE的夹角为60°。
⑵图3中的其他结论：①FC平分∠BFE；②FB=FA+FC；③FE=FD+FC；⑶图3中结论在图4中成立，此外，在图4中还有：①△BCM≌△CAN；②△DCM≌△ECM；③MN∥BE；④△CMN为等边三角形；典型例题1-1如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，连接BD、AE。
⑴求证：BD=AE；⑵直线BD和直线AE的夹角是多少？说明理由。
典型例题1-2如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，连接BD，AE交于点F，连接FC。
求证：⑴FC平分∠BFE；⑵FB=FA+FC；⑶FE=FD+FC；典型例题1-3如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，且B、C、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接AE交CD于N，连接MN，点F为AE与BD的交点。
求证：⑴△BCM≌△ACN；⑵△DCM≌△ECN；⑶MN∥BE；⑷△CMN为等边三角形。
变式训练1-1如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，连接BD，AE交于点F，连接FC，则有以下结论：①BD=AE；②∠AFC=∠DFC③∠BFC=60°④变式训练1-2如图,点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AE为边作一个菱形AEFG,且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD.(1)求证：EB=GD；(2)若∠DAB=60∘,AB=2,AG=，求GD的长。
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(四) 全等三角形之六大模型
得对应边相等
2．(2021·泸州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求
证：BD＝CE. 证明：在△ABE与△ACD中，
∠A＝∠A，
AB＝AM，
在△ABN 和△AMC 中，∠BAN＝∠MAC， AN＝AC，
∴△ABN≌△AMC(SAS)，∴BN＝MC.
6．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE 与 BD 交于点 F.
(1)求证：AE＝BD； 证明：∵AC⊥BC， DC⊥EC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE， 即∠ACE＝∠BCD.在△ACE 和△BCD 中， AC＝BC，
证明：∵ BF＝EC，
∴EF＝ BC，
在△BCA与△EFD中，
AB＝DE，
∠B＝∠E， BC＝EF， ∴△BCA≌△FED（SAS）， ∴∠A＝∠D，
模型二：轴对称型 【模型归纳】
有公 模型 共边 展示 有公共
顶点Leabharlann 模型 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线 特点 折叠，两个三角形能完全重合
5．如图，在△ABC 中，分别以 AB，AC 为边向外作等边三角形 ABM 与等边 三角形 ACN，连接 MC，BN.求证：BN＝MC.
证明：∵△ABM 和△ACN 是等边三角形， ∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠NAC＝60°， 又∵∠BAN＝∠BAC＋∠NAC， ∠CAM＝∠BAC＋∠BAM， ∴∠BAN＝∠MAC，
＝ 43BD2
解题 常过顶点作角两边的垂线，构造全等三角形，或旋转一定的角
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1:如图，点B 、C 、D 三点共线，ABC ∆与ADE ∆均为等边三角形，求证：ACE ∆≌ABD ∆.
2：如图，在ABC ∆中，AC AB =， 90=∠BAC ，AE AD =， 90=∠DAE ，点D 在BC 上.
○
1求证：EC BD = ○2求证：BC EC ⊥.
3：已知，如图，BD AD =，ED CD =，21∠=∠.
求证：○1ADE ∆≌BDC ∆；○213∠=∠
4：如图，等边ABC ∆，点P 在ABC ∆中，点Q 在ABC ∆外，分别联结AP 、BP 、AQ 、CQ ，ACQ ABP ∠=∠，CQ BP =.
○
1说明ABP ∆≌ACQ ∆；○2联结PQ ，说明APQ ∆是等边三角形.
5：如图，在ABC ∆中，已知AC AB =，
90=∠BAC ，D 是BC 上的一点，BC EC ⊥，BD EC =，FE DF =.说明：（1）ABD ∆≌ACE ∆；（2）DE AF ⊥.
6：如图,等边△ACM 与等边△BCN 在AB
的同侧，求证：○1BM AN =； ○
2DE ∥AB
7：如图，已知点C 为线段AB 上一点，CA CB >，分别以线段AC 、BC 为边在线段AB 同侧作ACD ∆和BCE ∆，且CD CA =，CE CB =，BCE ACD ∠=∠，直线AE 与BD 交于点F .
○
1说明BD AE =的理由. ○
2如果 60=∠ACD ，求AFB ∠的度数. ○
3将图1中的ACD ∆绕着点C 顺时针旋转某个角度，到如图2的位置，果然α=∠ACD ，那么AFB ∠与α有何数量关系？
A B
E
C
8:已知，如图，在ABC ∆中，AC AB >，AD 是BAC ∠的平分线，将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转，点B 落在AD 上的点1B 处得到C B A 11∆.点E 是1AB 的中点，联结E A 1；
○1求证： 601
=∠CB B ○2E A 1
∥BC .
1
1、 如图（1）所示：△ABC 和△ADE 都是顶角为120°的等腰三角形，其中∠BAC=∠
DAE=120°，点D 在BC 上，求证：（1）BD=EC
（2）如图（2），当点E 在BA 的延长线上，△EDC 为等边三角形。
图2图1
D B C A B C
D。