2018年成都市一诊考试数学试题及答案word(理科)

理科数学

第I卷（选择题，共60分）

、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分?在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1?设全集U R，集合A x x 2 ,B x x 1 ,则O J(AUB)

A. 2,1

B.( 2, 1)

C.,2 U 1,

D.( 2,1)

在复平面内对应的点位于

2.复数z ----------

1 i

A.第一象限

B. 第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3?空气质量指数AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空

气污染状况越严重，空气质量越差?某地环保部门统计了该地区12月

1日至12月24日连续24天空气质量指数AQI，根据得到的数据绘制出如

图所示的折线图?则下列说法错误.的是

A. 该地区在12月2日空气质量最好

B. 该地区在12月24日空气质量最差

C. 该地区从12月7日到12月12日AQI持续增大

D. 该地区的空气质量指数AQI与日期成负相关

4.已知锐角ABC的三个内角分别为代B,C,则“ sinA>sinB”是“ tanA>tanB ”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5. “更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k的值分别为4, 6, 1,则输出的k的值为

A.2

B.3

C.4

6.若关于

x的不等式x2ax 1 0在

围为

A.(0,)

B.1,

C. 1,1

D. 0,

D.5

0,+ 上恒成立，则实数a的取值范

6若关于x 的不等式x 2 2ax 1 0在0, 上恒成立，则实数a 的取值范围为

8?已知sin(

\ 3 (。2)，则

)

5, cos 的值为

4.3 3

4 3 3

4 3.3

3、3 4

B.-

c.-

D.F

10 10

9 .在三棱锥P

ABC 中，已知PA

底面 ABC , BAC

120 ,PA AB AC 2.若该三棱锥的顶点都在同

一个球面上，则该球的表面积为

A.10,3

B.18

C.20

D.9,3

正确的是

(A)(0,)

(B) 1,

(D) 0,

7.如图，已知双曲线 E :飞

1( a 0,b 0)，长方形 ABCD 的顶点A ，

B 分别为双曲线E 的左，右焦点，且点C,D 在双曲线E 上?若AB 6,B

C 二，则此双曲线的离心率为

8.如图已知双曲线

b 7 1(

a b

0,b

0),长方形ABCD 的顶点A, B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且

点C, D 在双曲线 E 上,若AB 6, BC

,则双曲线的离心率为 2

10.已知定义在 R 上的奇函数

f (x)满足 f (x 2) f (x) 0,且当 x

0,1时，f(x) Iog 2(x 1).则下列不等式

A. f log 2 7

f lo

g 2 7 f 6 f 5 C. f 5 f log 2 7

f 6 D.

f 5 f 6 f lo

g 2 7

11.设函数 f (x) sin(2x

)，若 x 1x 2

,且f(xj f(X 2) 0,则x 2 X 」的取值范围为

第II 卷（非选择题，共90 分）

、填空题：本大题共 4道小题，每小题5分，共20分.

13.（x+2y ）的展开式中的第三项系数为 _________________________

x y 1

14.若实数x, y 满足线性约束条件

y x ，则x 2y 的最大值为 ___________________ 2x y 4

ABD EDB 90 , C 是 BD 上一点， 60, EAC 45，则线段DE 的长度为

16.在长方体ABCD A 1B1GD 1中，已知底面 ABCD 为正方形，P 为A^ 的中点，AD 2, AA 1 43，点Q 是正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且QC J2QP ，则线段BQ 的长度的最大值为 ___________________ .

三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

D .

e x 12.已知关于x 的方程—

e x e

m= 0有三个不相等的实数根

x j ,X 2,X 3,且人 0 X 2 < X 3，其中 m R ,

e 2.71828为自然对数的底数?则（j 1）2

（*

e 1 e 2

畤

1）

的值为

A.e

B. 1

C. 1 m

D. 1 m

15.如图，在直角梯形 ABDE 中，已知

AB 3

-3, ACB 15 , ECD

17. （本小题满分12分）

已知等差数列a n的前n项和为S n，a2 3,S4 16, n N

（1）求数列a n的通项公式;

（2）设b n 2n a n，求数列b n的前n项和T n.

18. （本小题满分12分）

某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对每天的用水量作了记录，得到了大量的该企业的日用水量的统计数据?从这些统计数据中随机抽取12天的

数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：吨）.若用水量不低于95 （吨），

则称这一天的用水量超标.

（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天是用水量超标的概率；

（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来 3 天中用水量超标的天数?记随机变量X为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列和数学期望?

(2)

证明直线l过定点，并求出该定点的坐标3 1

3 5 6 7 ^9 5 7 S 9

19. （本小题满分12分）

如图①，在边长为5的菱形ABCD中，AC 6 ?现沿对角线AC把ADC翻折到APC的位置得到四面体ABC，如图②所示?已知PB 4,2.

（1）求证：平面PAC 平面ABC ；

（2）若Q是线段AP上的点，且uuur 1 uuu

AQ= — AP，求二面角Q BC A的余弦值.

图①图②20. （本小题满分12分）

2 2 已知

椭圆C :务—a

1(a b0）的右焦点F（.3,0），长半轴与短半轴之比等于 2.

(1)求椭圆C的标准方程;

21. (本小题满分12 分)

已知函数f(x) e x ，其中e 2.71828 为自然对数的底数

(1)若曲线y f(x)在点P(X o ，e Xo )处的切线方程为y kx b ，求k b 的最小值;

(2)当常数m 2,+

时，已知函数g(x) (x 1) f (x) mx 2 2在(0,)上有两个零点为恥捲 x ?

证明：

In 4 x 2 x m . e

请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分?作答时，用 2B 铅笔在

答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22. (本小题满分10分)选修4-4 :极坐标与参数方程

23. (本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲

已知函数 f (x) x 2 k x 1, k R .

(1) 当k 1时，若不等式f(x) 4的解集为 x | x 1 < x < x ,，求x 1 x 2的值; (2) 若关于x 的不等式f(x) k 当x R 时恒成立，求k 的最大值.

数学（理科）参考答案及评分意见

第I 卷(选择题，共60分)

一.选择题：(每小题5分，共60分)

1.B ；

2.D ；

3.D ；

4.C ;

5.C ；

6.B ；

7.B ；

8.A ；

9.C ; 10.C ; 11.B ； 12.B.

在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为

半轴为极轴的极坐标系中，曲线

C 的极坐标方程为

2 （t 为参

数）仝t

4sin

.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正

sin

(1) 写出直线l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；

(2) 已知点M 的直角坐标为(2,2).若直线I 与曲线C 相交于不同的两点

A,B ，求MA MB 的值.

第II卷(非选择题，共90分)

二?填空题：(每小题5分，共20分)

13.40 ；14.12 ；15.6 ；16.6.

三?解答题：(共70分)

17. 解：(1)设数列a n的公差为d .

Q a2 3, S4 16，a d 3,4a1 6d 16.

解得d 2,a1 1. .......... 4分

a n 2 n 1. .......... 6 分

(2)由题意，b n (2n 1) 2n.

T n 1 21 3 22(2n 3) 2n 1(2n 1) 2n.

2T n 1 22(2n 3) 2n(2n 1) 2n 1.

由-，可得

T n 1 212 (22232n) (2n 1) 2n 1. ........ 9 分

T n 2 23(2n 11) (2n 1) 2n 1 6 ( 2n 3) 2n 1. ........ 1 1 分

T n 6 (2n 3) 2n 1. ........ 12分

18. 解：（1）记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天是用水量超标”为事件A.

（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知其概率为

随机变量X 表示未来三天用水量超标的天数，? X 的取值分别为：0,1,2,3. 易知 X ：B

（3,3），P （X k ）C 3k （3）k （3）3k ,k 0,1,2,3.

,P(X 2) -,P(X 3)—

9 9 27

X 0

3 P 8

1 27 9

19. 解：（1）取AC 的中点O ,连接PO,BO 得到PBO .

则 P(A) CC 2 C 3

168 42

C ；2 220 55

???随机变量 X 的分布列为

则 P(X 0)

27，P(X 1)

数学期望 1

E(X) 3 3

1. 12分

Q DC 5,AC

6, OC 3, PO OB 4,

Q PB 4 2,

P O 2

OB 2 PB 2

PO OB.

Q BO I AC O, PO 平面ABC

Q PO

平面1

PAC

，

平面ABC 平面PAC

(2)

! AB BC ， BO AC.

uuu imr uuu

以O 为坐标原点，OB,OC,OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的

向建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示.

则 B(4,0,0),C(0,3,0), P(0,0,4), A(0, 3,0).

易知OB,OC,OP 两两相互垂直.

Q ABCD 是菱形， PA PC ，PO AC.

正方

设点 Q(x,y,z).

uur 由AQ

1 JJJ —AP,得 Q(0, 2,4

). ......... 6分

3 3

UJU JJJ 4

BC (4,3,0), BQ (

4, 2,—).

设n i 化，％,弓)为平面BCQ 的一个法向量.

umr

n i BC 0 由 uur n 1 BQ 0

取乙= 15,则 n 1

(3,4,15).

取平面ABC 的一个法向量n 2 (0,0,1).

Qcos( n^n ?)

n 1 n 2

15 3^0 ......... 11分

nj n 2 J 3 42 152

10 ，

二面角Q BC A 的余弦值为 3^0

10 .

......... 12分

.解：(1) Qc 代

2, a 2 b 2 c 2,

a 2,

b 1.

椭圆的标准方程为

匸y

......... 4分

(2)易知当直线I 的斜率不存在时，不合题意.

设直线l 的方程为y kx m(m 1)，点M (为，yj N(x 2, y 2).

y kx m

2 2

联立 2

，消去 y 可得(4k 2 1)x 2 8kmx 4m 2 4

x 4y 4

4k 2 1 m 2 0

0 %

二 4

.解得

4 z 1=0

4 3 Y 1 =

8km

4 k 2 1 x 1x

4 m 2 4 4k 2 1

4x 1 3y 1

4x i 2y i

由MN = 2 BH ，可知点B 在以MN 为直径的圆上

UUUT UUT

Q BM BN (x 1, kx 1 m 1) (x 2, kx 2 m 1) (k 2 1)x 1x 2 k(m 1)( x 1 x 2) (m 1)2 0,

???直线I

的方程为y kx 5.

故直线1经过定点，且该定点的坐标为（0,）.

…

21.解：（1）曲线在点P （x 0,e x °

）处的切线为y e'x x 0e" e x .

k e^b

x 0e x0 e x0. k b x 0e x0.

设 H(x) xe x .

由 H (x) (x 1)e x 0,解得 x 1. 当x 时，H (x) 0 H(x)单调递增; 当x

时，H (x) 0 ,??? H (x)单调递减.

H （x ）的极小值（也是最小值）为 H （ 1）

? k b 的最小值为 -.

(2)当 x 0 时，由 g (x) x(e x 2m) 0,解得 x In 2m.

当 x In2m 时，g (x) 0 , ? g(x)在(In2m,)上单调递增；当 0 x In2m 时，g (x)

0 , ? g(x)在(0,ln 2m)上单调递减.

? g(x)的极小值为g(ln 2m).

BM BN.

uuur UULT BM BN 0.

(k 2

k(m 1)

8 km 4k 2

(m 1)2

整理，得5m 2m 3

0.解得m

1 （舍去）

12分

■/ g(1) 2 m 0 ,x In 2m In 4 1, g(ln2m) 0. 又Q g(0) 1

0,g(i) 2

0, X i (0,1),使得 g(xj 0.

Q x 2 In 2m

In 4, X 2 X i

In 4

1 In-.

m 3

1)e m

g (m)

me 3m 2 m(e m 1 3m).

设 G(m) e m 3m, m 2.

Q G (m)

e 3 0, G(m)在(2,

）上单调递增.

G(m) G(2) 2 e 6 0. g(m) 0恒成立.

g(m) g(2) 2

e 6 0.

X 2 (In 2m,m),使得 g(X 2) m x 2

故In 4 x 2 % m 成立.

x 2 1t

解：由

2 _ ，消去参数 t 可得

y ,

3(x 2) 2

,3 +

y 2 t

???直线I 的普通方程为 ,3x y 2

2.3 0.

亠 ? 2

2 .2

■ 2

Q sin

4si n

sin

4 sin .

2 2

Q sin y ,

x y ,

g(m) (m

2, m 2.

22. 当x m 时,

故曲线C 的直角坐标方程为 x 2

4y.

12分

x 2 (2)将

丄t

2 2

-代入抛物线方程X 2

4y ，可得（2

1t)2 4(2

于"

16 0.

设点A, B 对应的参数分别为t 1,t 2.

x 则

0,t i +t 2 8 3 8,讥 16,

二 MAgMB

|址2| 16.

......... 10 分

23.解：(1)由题意，得x 2 x 1

(i) 当x 2时，原不等式即2x 5.二2 x

3 (ii) 当x

时，原不等式即 2x 3.

3 x

(iii) 当 x 2时，原不等式即3 二1 x 2.

3 5 综上，原不等式的解集为

x | x ，即x 1 2

x 1 x 2

(2)由题意，得x 2 k x 1 k.

当x 2时,即不等式3k k 成立.k 0.

(i) 当x 2或x 0时,

Q x 1

1，不等式|x

2| k |x 1 | k 恒成立.

(ii )当2 x

1时,

原不等式可化为

2 x kx

2 x 4 k .可得k

x 2 x 2

k 3.

(iii )当1 x

0时,

原不等式可化为

2 x kx

k.可得k 1 —.

k 3.

2,x2

10分综上，可得0 k 3，即k的最大值为3.

设不经过点B（0,1）的直线I与椭圆C相交于不同的两点M ,N若线段MN的中点H 满足MN = 2 BH，