互素多项式在矩阵秩中的应用
【方案】矩阵的秩及其应用.doc
山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用姓名杨敏娜院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级11510102学号1151010240指导教师王栋答辩日期成绩矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。
通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。
论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。
第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。
第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。
在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。
最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。
本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。
【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何The Rank of Matrix and the Application of the Rank ofMatrixAbstractThe matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations.First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space.This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples.【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry目录一、引言 (01)二、矩阵的秩 (01)(一)矩阵的秩的定义 (01)(二)矩阵的秩的一般性质及求法 (01)（三）求抽象矩阵的秩 (02)三、矩阵的秩的应用 (03)(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用 (03)(二)矩阵的秩在线性方程组方面的应用 (04)(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用 (07)(四)矩阵的秩在特征值方面的应用 (07)(五)矩阵的秩在其他方面的应用 (08)四、小结 (09)参考文献 (10)致谢 (11)矩阵的秩及其应用学生姓名：杨敏娜 指导老师：王栋一、引言矩阵概念在代数的学习中是一个关键的分支，是研究线性代数的基石,矩阵的秩作为矩阵的核心内容，更是研究它的一个纽带。
矩阵多项式秩的若干新结果 高等代数毕业论文
编号莆田学院毕业论文课题名称：矩阵多项式秩的若干新结果系别数学系学生姓名学号专业数学与应用数学年级 2003级指导教师2007 年 6 月目录0 引言 (1)记号与定义 (1)研究现状 (1)1 预备知识 (3)2 主要结论及其证明 (5)3 关于猜想1和猜想2的解决 (9)4 结论的一些应用 (11)参考文献 (14)致谢 (15)矩阵多项式秩的若干新结果摘要本文证明了矩阵多项式秩的一个新结果：两个矩阵多项式秩的和等于它们最大公因式矩阵的秩与最小公倍式矩阵秩的和。
利用这个结果可以推导出诸多文献的重要结果及其一些新结论。
2004年，文献[1]提出矩阵A的一次多项式秩的恒等式的两个猜想，作为本文所得结果的应用，可以在更一般的情况下证明这个两个猜想是正确的。
【关键词】矩阵多项式互素多项式猜想Some New Results of Rank of Matrix PolynomialAbstractA new result of rank of matrix polynomial is proved in this paper:The sum of ranks of two matrix polynomials is equal to the sum of ranks of the greatest common factor matrix and the minimal common multiple matrix.We can prove lots of important results and some new conclusions from this result.In 2004,the paper [1] gives two conjectures about the identity of rank of simple polynomial .As the application of the results in this paper ,we can prove that the two conjectures are right in more common situation.【Key Words】Matrix Polynomial; Coprime Polynomial; Conjecture莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
多项式的互素在线性空间直和分解中的应用
收稿日期：2019-04-12 基金项目：国家自然科学基金项目（11601121）；河南工业大学高等教育研究资助项ห้องสมุดไป่ตู้（26510045）；河南工业大学教改与实践招标项目 （GJYJ-ZB11） 作者简介：王玉雷（1979-），男，河南南阳人，副教授，博士，主要从事代数学研究。
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2020 年 1 月 第4期
嗓 瑟 其中Vi= ξ（| A-λiE）riξ=0，ξ∈V .
证：首先，对s进行归纳证明： ker（f A）=ker（A-λ1E）r1茌ke（r A-λ2E）r2茌…茌ker （A-λsE）rs 当s=2时，则（f A）可以写成（f A）=（A-λ1E）（r1 A-λ2 E）r2。注意到（λ-λ1）r1和（λ-λ1）r1是互素的，根据线性 变换形式可得：线性变换（f A），（A-λ1E）r1，（A-λ2E）r2 的核满足 ker（f A）=ke（r A-λ1E）r1茌ke（r A-λ2E）r2 结论成立。
变换形式如下： 线性变换形式：设A、B、C、D都是数域P上n维线性
空间V上的线性变换，它们关于线性变换乘法两两可 交换，且AC+BC=E
其中E是恒等变换，则kerAB=kerA茌kerB 矩阵的推广形式：设A，B，C，D1，D2，D3，D4都是数 域P上的n阶方阵，它们关于矩阵乘法两两可交换，且
AD1+BD2=E，ABD3+CD4=E 则W=W1茌W2茌W3 其中W，W1，W2，W3分别是齐次线性方程组
α=ACα+BDα 由A（BDα）=D（BAα）=0和B（ACα）=C（ABα）=0 可得BDα∈W1，ACα∈W2 因此W哿W1+W2。显然W勐W1+W2，由此可得W=
W1+W2 如果β∈W1IW2，那么Aβ=0和Bβ=0，从而 β=ACβ+BDβ=C（Aβ）+D（Bβ）=0 由此可得W1IW2=0. 综上所述，可以得到W=W1茌W2，即结论成立。 根据代数同构的观点，那么矩阵形式对应的线性
矩阵多项式秩的几个恒等式及其应用
矩阵多项式秩的几个恒等式及其应用
矩阵多项式秩是研究矩阵的几何结构的一个重要的参数。
它的值有助于表示矩阵的结构，
并且用于分析矩阵特征。
矩阵多项式秩是研究矩阵结构的重要概念，下面给出一些恒等式，并对这些恒等式及其应用进行介绍。
首先，如果一个 $n\times n$ 矩阵A的rank(A)等于n，则它具有一个恒等式：
rank(A$^{-1}$)=$n$ 。
另外，如果是一个$N\times N$矩阵A，rank(A)=N-1，则有
rank(A)=$N-1$ 。
其次，如果$A$ 是一个n阶方阵，rank(A)=$n-1$时，具有一个恒等性：一列对应
rank(A)=$n-1$ 的恒等式。
再次，当$A$ 是n阶方阵，rank(A)=$n-1$时，满足下列恒等式：rank(A$^{+}$)=$N-1$，
其中A$^{+}$ 是A的Moore-Penrose逆矩阵。
最后，如果$A$ 是一个$N\times N$ 矩阵，rank(A)<$N$时，有恒等式：
rank(A$^{T}$A)=$N$ 。
综上所述，矩阵多项式秩的恒等式对研究矩阵的几何结构非常重要，可以用来分析矩阵的
特征和行列式。
此外，还可以用来获得非方阵的逆矩阵和Moore-Penrose逆矩阵，以及矩
阵乘积的值。
此外，矩阵多项式秩的恒等式还可以帮助我们解决线性方程组的解，以及唯
一可解性和矩阵特征的求解。
多项式理论及其应用
多项式理论及其应用许洋巢湖学院 数学系 安徽 巢湖 238000摘 要多项式是代数学中最基本的对象之一。
它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也会碰到。
本文将介绍一些有关多项式的基本理论以及多项式在矩阵问题，行列式问题和初等数学中的运用。
关键词：多项式；矩阵；行列式AbstractAbstract:polymial is the most basic object of algebra one.It does not but with high times equation,and discussion about the further study algebra and other branches of mathematic may encounter.This paper will intraduce the basic theory of some relevant polynomial in matrix,determinants and polynomial in the application,elementary algebraKeywords:polynomial;matrix;determinants引言：多项式理论是古典代数的主要内容。
多项式的研究源于“代数方程求解”，是最古老的数学问题之一。
16世纪以前，人们对一般的一元二次方程已经有了公式解法，但对于一般的一元二次方程，数学家却束手无策。
16世纪的欧洲数学家们都致力于寻求一般的一元三次方程的求根公式。
1799年，高斯（Garss,1777-1855）在他的博士论文中第一次严格证明了代数基本定理：在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式至少有一个根。
经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般解法。
终于在1824年阿贝尔（Galois,1811-1832）引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，这理论被引申为伽罗华理论。
矩阵和多项式的关系
矩阵和多项式的关系矩阵和多项式是数学中两个重要的概念，它们之间有着密切的关系。
在本文中，我们将探讨矩阵和多项式之间的关系。
首先，我们来介绍一下矩阵。
矩阵是由数个数排成的矩形阵列，通常用大写字母表示。
矩阵可以进行加、减、乘、转置等运算，是线性代数中的重要概念。
矩阵可以表示线性方程组，也可以用于解决线性变换的问题。
而多项式则是由一系列项组成的代数式，通常用小写字母表示。
多项式可以进行加、减、乘、除、求导等运算，是代数学中的重要概念。
多项式可以表示函数，也可以用于解决插值、逼近等问题。
那么，矩阵和多项式之间有什么关系呢？其实，矩阵和多项式之间有着密切的联系。
我们可以将一个多项式表示成一个矩阵，这个矩阵被称为伴随矩阵。
伴随矩阵的定义如下：设$f(x)$是一个$n$次多项式，$A$是一个$n\times n$的矩阵，$A$的第$i$行第$j$列元素为$a_{ij}$，则$f(x)$的伴随矩阵$A_f$为：$$A_f=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n-1} & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n-1} & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{n,n} \\\end{bmatrix}$$其中，$a_{ij}$表示$f(x)$中$x^i$的系数的第$j$个系数。
伴随矩阵的作用是将多项式转化为矩阵，从而可以利用矩阵的性质解决一些多项式问题。
多项式理论在矩阵问题中的应用分析
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关键 词 ： 素 ；逆 矩 阵 ； 征 多 项 式 ； 阵 的秩 ；相 似 互 特 矩
中 图 分 类 号 ： １ １２ ０ ５ ．１
文 献 标 识 码 ： Ａ
文章 编 号 ：０ ７— ８４ ２ １ ） ｌ ０ ５— ３ １０ ０ ３ （０ ０ Ｏ 一００ ０
在 文献 ［ ］ ， 者讨 论 了矩 阵理论 在 多项式 中 的一些 应用 ． 文将 根 据 多项 式 理 论建 立解 决 某 些矩 阵 １中 作 本 问题 的方 法 ， 通过 具 体例 子展示 其方 法 的优越 性． 并
１ 利用 多项 式互素 理 论求抽 象 矩阵 的逆 矩阵
命题 １ 设 ， Ａ） 复 系数多 项式 ， 阶方 阵 Ａ的特 征值 不是 ｆ Ａ） （ 为 ／ １ ， （ 的零 点 ， ｆ Ａ 可 逆 ， 则 （） 且 （ 的逆 矩 Ａ）
阵可 表示 为 Ａ的多项 式．
证明
设 Ａ ， … ， 为 Ａ的特征 值 ， ， Ａ ） 。Ａ ， Ａ 则 （ ｉ ≠０，＝１ ２ … ， ， ｉ ， ， ｎ 于是
第 １ ９卷 第 １ 期
２１ ０ ０年 ３月
河 南教 育 学 院 学报 （ 自然 科 学 版 ）
浅谈矩阵的秩及其应用定稿
山西师范大学本科毕业论文浅谈矩阵的秩及其应用李欢姓名院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学07510101班级学号**********指导教师张富荣答辩日期2010.12.20成绩浅谈矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵理论，在线性代数中占有十分重要的地位。
而在矩阵理论中，矩阵的秩又是一个十分重要的概念，它是矩阵的一个数量特征，而且初等变换不改变矩阵的秩，是初等变换下的不变量。
矩阵的秩与矩阵是否可逆，线性方程组的解得情况等都有密切的关系。
论文开头介绍了矩阵的秩，矩阵的行秩和列秩以及与矩阵有关的常见的命题和定理，部分定理并给出证明。
第二部分介绍了计算矩阵的两种计算方法，求非零子式的最高级数法和初等变换法，并对其优劣进行比较。
在矩阵的运算过程中，矩阵的秩存在某些关系，熟练地掌握这些关系对解有关矩阵的习题很有帮助。
最后详细地介绍了矩阵的秩与线性方程组解的个数之间的关系，并将其应用到解析几何中,判断空间两直线位置关系。
本论文主要将矩阵的秩这一重要概念的相关内容及其相关定理的证明详细给出，并在一些具体题目中加以应用。
【关键词】矩阵矩阵的秩线性方程组非零子式的最高级数初等变换A Brief Introduction on the rank of Matrix and theApplication of the rank of MatrixAbstractIn matrix theory, rank of matrix is an important concept. It is a matrix of number of characteristics, and it is invariant under elementary transformations. Rank of matrix may have a close relationship with the solution of linear equations.At the beginning, the paper presents the concept of rank of matrix, the matrix row rank and column rank, and the common matrix-related theorems. And some theorems are given proof. The second section of the paper describes two methods for calculating the rank of matrix, one is seeking the highest grade of the non-zero minor, and the other is elementary transformation. And it compares their advantages and disadvantages. In the process of matrix computation, there are some important relations about the matrix rank .If we have a good understanding about these relations, it will be very helpful. Finally, it has a detail description on the application of the rank of matrix, especially the relationship between the rank of matrix and the solution of linear equations.In this paper, it contains some important concepts related to the rank of matrix, the proof and some specific application.【Key Words】matrix rank of matrix linear equations the highest grade of the non-zero minor elementary transformation目录一、引言 (01)二、矩阵的秩的有关概念 (01)三、矩阵中的相关定理及命题 (02)四、矩阵的秩的两种计算方法及其优劣的比较 (03)(一)矩阵的秩两种计算方法 (03)(二)两种计算方法的优劣比较 (04)五、矩阵运算中矩阵的秩的关系 (05)六、矩阵秩的应用 (08)(一)矩阵的秩在线性方程组中的应用 (08)(二)矩阵的秩在解析几何中的应用 (10)(三)矩阵的秩在其它方面的应用 (10)参考文献 (12)致谢 (12)浅谈矩阵的秩及其应用学生姓名：李欢 指导老师：张富荣一、引言矩阵理论，在线性代数中占有十分重要的地位。
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!! 结果应用
根据上述定理 # 问题 @ 和 ! 就可以很方便地得到证明 $ 问题 @ 的证 ! 令 C! 则 C! # 互素# 且由 0! &0# 有 C! 由定 %" &%# %" &%8@# %" %" 0" 0" &## 5! 5! 5! 理 @ 即可得
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关于矩阵秩的研究是线性代数的一个基本内容 # 在一 般的 高等代 数 或 线 性 代 数 教 材 中 都 有 以 下 两 个关于矩阵秩的问题 ! 本文中用 ,< ! 表示数域 + 上全体< 阶方阵作成的矩阵环 # 用L! 表 示矩 阵 0 +" 0" 的秩 " $ 问题 @! 设 0",< ! # 若 0! &0! 称 0 为幂等矩阵 " # 则 +"
第"期
蒋永泉 % 互素多项式在矩阵秩中的应用
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互素多项式在矩阵秩中的应用
蒋永泉
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问题 "! 设 0 是< 阶方阵 # 是矩阵 0 的特征多项式或最小多项式 # 而6 $# 6" 6 6 C! @# !# R 是矩阵 0 的
: : : @ ! R 则 所有的互不相同的特征值 # &! 6" 68 6 68 6 68 6 C! @" ! ! " $! R" #
@ : : : @A ! A$A R " R <$ L! 08 [" L! 08 [" L! 08 [" R 8@ <$ 6 6 6 $! @ ! R ! 问题 " 的证明可由定理 " 直接得到 $ 作为问题 " 的一个特殊情况 # 当R 有 &! 时 # 问题 $! 设 0 是< 阶方阵 # 是矩阵 0 的特征多 项式 或最小多 项式 # 且 0 只有两个不同的特征 6" C!
而 $# & ; &@# !# =# 6" 68 6 C ;! ;# 其中6 $# 的 = 个 = 次单位根 # 则有 C # # $# 两两互素 # 且 6 6 6" 6" 6" 6" C C= ! @# !# = 是C! @! !! $C= ! 0" 0" 0" &C! 0" &## C C @! !! 由定理 " 得 " " " " L! 0" A L! 0" A$A L! 0" =8@ <# $! C C C= ! @! !! 即有 " L! [80" A L! [80" A$A L! [ 80" =8@ <# 6 6 6 $! @ ! = 于是矩阵 0 的线性无关的特征向量个数为 ! " " " <8 L! [80" A! <8 L! [80" A$A ! <8 L! [ 80" 6 6 6 @ ! = " &= <8 ! L! [80" A L! [80" A$A L! [ 80" 6 6 6 @ ! = " <8 ! =8@ <& <$ 3= 所以 # 矩阵 0 相似于对角阵 $ 问题 $ 的证明方法 # 可以用来证明高等代数或线性代数中更为一般的结论 % 定理 E! 设 0 是< 阶复方阵 # 是 0 的 一 个 零 化 多 项 式# 若 C! 无 重 根# 则矩阵 0 相似于对角 6" 6" C! 阵$ 以上例子说明 # 文中的定理结论是有意义的 # 并且可以很方便地应用到线性变换的有关问题中去 $ 万方数据
收稿日期 $ ! # # $ ? # $ ? ! A 作者简介 $蒋永泉 ! # 男# 江苏宜兴人 # 副教授 # 主要从事矩阵理论的研究 ’ @ % C !D "
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第! !卷
" " L! 0" ?! 0" A L! 0" \! 0" $ C! 5! " " L! 0" A L! 0" $ $ C! 5! 另一方面 # 由 C! 有 0" 0" &# 及引理 @# 5! " " L! 0" A L! 0" <# $ C! 5! 所以有 " " L! 0" A L! 0" & <$ C! 5! 定理 !! 设 C # &# 若C # # &# 互素 # 且 %" %% ; &@# !# =# 0",< ! +" $ %" %" %" "+$ C C= ! ;! @! !! &C= ! 0" 0" 0" &## C C @! !! 则 " " " " <$ L! 0" A L! 0" A&A L! 0" =8@ <$ $! C C C= ! @! !! 证!若C ! " # ! " # &# ! " 互素 # 则存在 ! " # ! " # &# ! " # 使得 ? ? +$ %% C= % @ % C ! % @ % ? ! % = % "