相似三角形判定(3)
相似三角形判定复习(三)
⇒△ABC∽△A'B'C'
直角三角形相似的判定: 直角边和斜边的比相等，两直角 三角形相似。
C' ∠C=∠C' =90 ⇒ Rt△ABC∽Rt△A'B'C' AB AC = A A'C' A' B '
o
A'
B'
C
B
二、探索题
1、条件探索型 、
维 要 严 密
如图， ABCD中 BC延长 7.如图，在□ABCD中，G是BC延长 线上一点，AG与BD交于点E,与 交于点E, 线上一点，AG与BD交于点E,与DC 交于点F 交于点 F ， 则图中相似三角形共 有（ ）
A． B． C． D． 3对 4对 5对 6对
A
D
E B
F C G
8.【04宁波】如图，已知点P是边长为 宁波】如图，已知点P 宁波 4的正方形 的正方形ABCD内一点，且PB=3 内一点， 的正方形 内一点 BF⊥BP垂足是 请在射线 上找一点 垂足是B请在射线 ⊥ 垂足是 请在射线BF上找一点 M，使以点 、M、C为顶点的三角形 ，使以点B、 、 ．为顶点的三角形 与△ABP相似 相似 D A 则BM= P
M F
2 C
2.如图， 2.如图，D是△ABC的AB边上的一点，已知 如图 ABC的AB边上的一点， 边上的一点 2 AB=12 AC=15， =12， AB， AC上取一点 上取一点E AB=12，AC=15，AD= 3 AB，在AC上取一点E， ADE与 ABC相似 相似， AE的长 的长。 使△ADE与△ABC相似，求AE的长。
08相似三角形的判定(3)
期中考试复习讲义(7)
相似三角形的判定（3）
一、填空题 1. 是三角形的重心,它具有如下性
质:
2.AD 是△ABC 的中线,G 是重心,且AG=3,则AD= .
3.如图,O 是△ABC 的重心,29cm S ABC =∆,则
BCO S ∆= .
4.已知AB 与DE,AC 与DF 对应,且AB=4cm,BC=5cm,AC=8cm,DE=321
cm, DF=3
13cm 则EF= 时,△ABC∽△DEF. 二、选择题
5.如图正方形网格上有6个斜三角形,①△ABC,②△BCD,③△BDE,④△BFG,
⑤△FGH,⑥△EFK 其中与△ABC 相似的有………( )
(A) ②③④ (B) ③④⑤ (C) ④⑤⑥ (D) ②③⑥
三、解答题
6.如图,D 为△ABC 内一点,E 为△ABC 外一点,且满足
AE AC DE BC AD AB ==,求证:①△ABD∽△ACE；②∠ABD=∠ACE.
7.如图,Rt△ABC中,∠ACB=︒
90,AB=6，BC与AC上的两条中线AF与BE交于点G,求CG的长.
8.如图,并列三个边长相同的正方形ABCD,CDEF,EFGH,求证:∠1+∠2+∠3=︒
90.
9.如图，在△ABC中，DF经过△ABC的重心G
，且DF∥AB，DE∥AC，连接EF，如果BC=5，
AC=2AB.求证:△DEF∽△ABC。
相似三角形的判定3(三边对应成比例)
AB=14千米，AD=28千米， BD=21千米，
BC=42千米,DC=31.5千米，公路AB与CD平
行吗？说出你的理由。
解：公路AB与CD平行。
∵
AB 14 2
BD 21 3
AD 28 2 BC 42 3
28 D
A
31.5 21
14
42
B
C
BD 21 2 DC 31.5 3
AB AD BD
例2、已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线 .求证：△ABC∽△FED
A
证明：∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线
∴ DE= 1 BC,DF= 1 AC,EF= 1 AB
D
E
2
2
2B
F
C
∴ DE
BC
DF AC
EF
AB
1 2
∴ △ABC∽△FED
例3：如图，某地四个乡镇建有公路，已知
B 12
C
E
F
3:如图,在6×6的正方形方格中,△ABC与△DEF的 顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，
(1)填空: BC=___2___, AC=___1_0____ EF=_2___2__, DF=__2__1_0____.
(2)△ABC与△DEF相似 A 吗?若相似,请给出证明, 若不相似,请说明理由.
三角对应相等， 三边对应成比例 两边对
应成比 例，且 夹角相 等（SAS）
类似全等三角形的判定，除上述外，还有 其他情况吗？继续探索三角形相似的条件。
三边对应成比例
A
A’
B’
C’
B
C
A'B' B'C' A'C'
相似三角形的判定三
相似三角形的判定（三）知识点回顾：1.关于三角形的判定方法(1)定义法：对应角相等、对应边成比例(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形和原三角形相似.(3)判定定理1.两角对应相等两三角形相似(4)判定定理2.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(5)判定定理3.三边对应成比例的两三角形相似(6)直角三角形判定的方法①以上各种判定方法均适用②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似2、判定定理的适用范围(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2.(2)有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3.(3)直角三角形判定先考虑判定直角三角形相似的方法.还可以考虑一般三角形相似的方法说明：一般不用定义来判定三角形的相似.3、三角形相似的基本图形：①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；②相交线型：如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.例题讲解 课前练习1.在图3中，若DE ∥BC ，DB ∶DA=9∶4，则ΔABC 与ΔADE 的相似比是______.2.如图4, 在梯形ABCD 中，EF 交DB 、DC 于E 、F,则图中的相似三角形共有_____对；若AE ∶EF=4∶3则ΔAFD 与ΔGFC 的相似比是______.3.如图5，当∠ADC=∠____时，ΔABC ∽ΔACD ；当AD 2=_________时，ΔABC ∽ΔACD.4. ΔABC 的三边长为3、4、5,ΔA /B /C /的最短边为5,若ΔABC ∽ΔA /B /C /,则ΔA /B /C /的面积为____.例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
相似三角形的判定(三)
已知： 如图， 已知 ： 如图 ， 在 △ ABC中 ， ∠ ACB=90° ， 中 ° CD⊥AB于D. ⊥ 于 求证： 求证：△ABC∽△CBD∽△ACD. C
A
D
B
结论： 结论：
直角三角形被斜边上的高分成的两个直 角三角形和原三角形相似. 角三角形和原三角形相似.
C
A
D
B
C
A
D
B
∵在△ABC中，∠ACB=90°， 中 ° CD⊥AB于D, ⊥ 于 ∴△ABC∽△CBD∽△ACD. ∽ ∽
0
B
C
3.如图， △ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB于 如图， 如图 中 ° ⊥ 于
于点E, 点D, DE⊥AC于点 ⊥ 于点
C
AD CE 求证： 求证： = AC BD
A
E
D
B
4.在Rt△ABC中，CD是斜边 上的高，点F是 △ 是斜边AB上的高 中 是斜边 上的高， 是 CD上一点，BE⊥AF交AF的延长线于点 ， 上一点， ⊥ 交 的延长线于点 的延长线于点E， 上一点 C 2 E 求证： 求证： AD = CDi AC
相似三角形的判定（ 相似三角形的判定（三）
猜想：两个角对应相等的两个三角形相似. 猜想：两个角对应相等的两个三角形相似.
已知：如图， 已知：如图，在△ABC和△A´B´C ´ 和 中，∠A=∠A´ ，∠B=∠B´ . ∠ ∠ 求证：△ABC∽△A´B´C´. 求证： ∽
A A'
B
C B'
C'
相似三角形判定定理3 相似三角形判定定理3： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 两个角与另一个三角形的 对应相等，那么这两个三角形相似 相似. 角对应相等，那么这两个三角形相似. 简单说成：两角对应相等 两三角形相似 相似. 简单说成：两角对应相等，两三角形相似. 对应相等，
相似三角形的判定(3)
自主学习
如图，观察两副三角尺，其中有同样两个
同学们可以根据勾股定理和三边成比例两个三 角形相似来证明.
课堂检测
1、已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB. 2、已知：弦AB和CD相交于⊙O内一点P. 求证:PA·PB=PC·PD.
A O
D P
B
C
3、教材P28页1、2、3题。
课堂小结
本节课你有哪些收获？还有哪些疑惑？ 相似三角形的判定方法： 通过定义 （三边对应成比例，三角相等） 平行于三角形一边的直线 三边对应成比例 （SSS） 两边对应成比例且夹角相等 （SAS） 两角对应相等 （AA） 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 （HL）
解：∵ ED⊥AB， ∴ ∠EDA=90°. 又 ∠C=90°,∠A=∠A,
∴ △AED∽△ABC. AD AE . AC AB
AD AC AE 8 5 4. AB 10
反思拓展
由三角形相似的条件可知，如果两个直角三 角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例， 那么这两个三角形相似. 思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL” 来判定，那么，满足斜边和一条直角边成比例的 两个直角三角形相似吗？ 事实上，这两个直角三角形相似，可以得到判 定两个直角三角形的定理： 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺
2016相似三角形判定(3)
针对训练1:如图，AB•AE=AD•AC， 且∠1=∠2， 求证：△ABC∽△AED．
A 1 D B 2 E C
例2：如果有一点E在边AC上，那么点E应该在 什么位置才能使△ADE∽△ABC 呢？ 此时， AE 1 C AD 1 =？ =？ AB 3 AC 3
B D A
E
A A
c Q P A B
简称 两边对应成比例,夹角相等，两三角形相似.
△ABC∽△A’B’C’ 如果两个三角形的两组对应边的比 相等且夹角相等,那么这两个三角 形相似.
？
画看.
思考
′ ′ ′
对于△ABC和△A B C , 如果,
∠B=∠B′,这两个三角形一定相似吗?试着画
A
4
B
50°
3.2
3.2 D G
2
50°
C
1.6 F
E
B
C
已知:如图△ABC和△A`B`C`中 A`B`:AB=A`C`:AC， ∠A＝∠A` 求证:△ABC∽△A`B`C` 证明:在△ABC的边AB(或延长线) 上截取AD=A`B`, 过点D作DE∥BC交AC于 点E.
D B` A
A`
C`
E
B
C
A
A’
B’
C’
B
C
∠A＝∠A` , A`B`:AB=A`C`:AC
变式：如果有一点E在边AC上，那么点E应该 在什么位置才能使△ADE和△ABC 相似呢？
C B D A
针对训练2：如图，AB⊥BC，DC⊥BC， 垂足分别为B、C，且AB=8，DC=6， BC=14，BC上是否存在点P使△ABP与 △DCP相似？若有，有几个？并求出此 时BP的长，若没有，请说明理由。
相似三角形的判定
相似三角形的判定在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但可能不同尺寸的三角形。
判定两个三角形是否相似是几何学中的基本问题之一。
本文将介绍相似三角形的定义以及常用的判定方法。
一、相似三角形的定义两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等且对应边的比例相等。
根据这个定义，我们可以得出相似三角形的三个基本判定定理。
1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。
3. SAS相似定理：如果两个三角形中有两个对应边的比例相等，并且这两个对应边夹角相等，则这两个三角形相似。
二、相似三角形的判定方法1. 角角判定法：使用AA相似定理，当我们知道两个三角形的两个角分别相等时，就可以判定它们相似。
具体判定方法是测量三角形的两个角，并将其与另一个三角形对应的两个角进行比较。
如果它们相等，则两个三角形相似。
2. 边边判定法：使用SSS相似定理，当我们知道两个三角形的三条边的比例相等时，可以判定它们相似。
具体判定方法是测量两个三角形的三条边，并将其比较。
如果它们的比例相等，则两个三角形相似。
3. 边角边判定法：使用SAS相似定理，当我们知道两个三角形有两个对应边的比例相等，并且这两个对应边夹角相等时，可以判定它们相似。
具体判定方法是测量两个三角形的两个对应边的比例，并测量它们对应的夹角，将其与另一个三角形对应的两个对应边的比例和夹角进行比较。
如果它们相等，则两个三角形相似。
三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用。
一些常见的应用包括：1. 测量高度：通过测量阴影的长度和实物的长度，我们可以利用相似三角形的性质计算出物体的高度。
2. 估算距离：在实际测量中，通过相似三角形的比例关系，我们可以利用已知的距离来估算其他无法直接测量的距离。
3. 图像变换：相似三角形的性质在图像变换中也有应用。
例如，图像的缩放、旋转和翻转等操作都可以通过相似三角形来实现。
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探索三角形相似的条件（3）
班级 姓名 【学习目标】
1.探索三角形相似的条件，会运用三角形相似的条件解决问题。
2.经历“操作—观察—探索—说理”的数学过程，发展合情推理和有条理的表达能力
【重点难点】判定3的应用．
【课前预习】
1．如图，DE ∥BC,写出图中的相似三角形，并说明理由
2
3．（1）画△A ′B ′C ′，使∠A ′＝∠A ，
B A AB ''=A
C CA ''=3
1
，
（2）请比较∠B ′与∠B 的大小，由此你能得出什么结论？
【课堂助学】 一、实践与探索：
C A
F E
D B A A
B 1．在课前预习3中，设B A AB ''=A
C CA
'
'=k ，改变k 值的大小，再试一试，上述结论是否改变？
2．如图，在△ABC 与△A ′B ′C 中，∠A =∠A ′，
AB
A /
B / ＝'
'A C CA （A B ＞A ′B ′），请说明这两个三角形相似的理由。
定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 几何语言：在△ABC 与△A ′B ′C ′中： ∵___________________________
∴△ABC ∽△A ′B ′C ′ 二、思考与探索
1．如图，在△ABC 与△A’B’C’中，∠B =∠B ′，能判断△ABC 与△A’B’C’相似吗？要使△ABC ∽△A’B’C’，需要添加什么条件？
2．如图，在△ABC 中，AB =4cm ，AC =2cm ，
（1）在AB 上取一点D ，当AD = cm 时，△ACD ∽△ABC （2）在AC 的延长线上取一点E ，当CE = cm 时，△AEB ∽△ABC ，此时，BE 与DC 有怎样的位置关系？为什么？
B
三、例题分析：
例1：如图，∠1=∠2，要使△ADE ∽△ABC 需要添加什么条件？选择一个
加以证明
例2：如图，已知AE 2
=AD ·AB,且∠ABE ＝∠ACB ， 试说明：（1）△ADE 与△AEB 相似；（2）DE ∥BC ；（3）△BCE ∽△EBD 。
【课堂检测】
1．已知：∠A ＝1200，AB ＝7cm ，AC ＝14cm ；∠A ′＝1200
，A ′B ′＝4cm ，当A ′C ′＝ cm ，△ABC ∽△A ′B ′C ′；当A ′C ′＝ cm ，△ABC ∽△A ′C ′B ′。
2.如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形有 。
3．如图已知AB=2AD ，AC=2AE ， 则下列结论错误的是（ ）
A 、△ABD ∽△ACE
B 、∠B=∠
C C 、BD=2CE
D 、AB·EC=AC·
【课后作业】
１．如图，在△ABC 中，P 是AB 上一点，在下列条件：①∠ACP ＝∠B ，
②∠APC ＝∠ACB ，③AC 2
＝AP ·AB ，④AB ·CP ＝AP ·CB 中，
能使△APC ∽△ACB 的条件是（ ）
A ①②④
B ①③④
C ②③④
D ①②③
２．如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ， BC ＝b ，当BD ＝ 时，以C 、 B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似. b a D
C B
３．如图，在直角坐标系中有两点A （4，0），B （0，2），如果点C 在坐标轴上（C 与A 、B 不重合），且由点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB 相似。
请写出所有符合条件的点C 的坐标。
.
5.已知：PB 与⊙O 相切于B ，BH ⊥OP 于H,点A 是⊙O 上任意一点， 求证：∠OAH ＝∠OPA
6．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E 。
试说明： （1）△ABD ∽△CBE ；（2）△BDE ∽△BAC 。
思考：在△ABC 与△A ′B ′C ：AB A /B / =BC B /C / =13
，∠C=∠C /=450
，这两个三角形是
否一定相似吗？。