解析几何专题含答案

椭圆专题练习

1.【2017浙江，2】椭圆22

194

x y +=的离心率是

A ．

13

B ．

5 C ．

23

D ．

59

2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22

221x y a b

+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，

且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．

6

3

B ．

33

C ．

23

D ．

13

3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n

–y 2

=1(n >0)的焦点重合，

e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）

A ．m >n 且e 1e 2>1

B ．m >n 且e 1e 2<1

C ．m 1

D ．m

4.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左

焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（） （A ）

1

3

（B ）12

（C ）

23

（D ）

34

5.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆

22

1164

x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.

6.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22

221()x y a b a b

+=＞＞0的

右焦点，直线2

b

y =

与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是.

7.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：22

22=1x y a b

+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，

32），P 4（1，32

）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；

（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.

8.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2

212

x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =

。

(1) 求点P 的轨迹方程；

(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ?=。证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

9.【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b

+=()0a b >>的离心率为2

2，

焦距为.

（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线：13

y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且122

k k =

，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线的斜

率.

10.【2017天津，理19】设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为

12.已知A 是抛物线2

2(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线的距离为12

. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II ）设上两点P ，Q 关于轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与轴

相交于点D .若APD △

的面积为2

，求直线AP 的方程.

11.【2017江苏，17】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦

点分别为1F , 2F ,离心率为1

2

,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，

过点1F 作直线1PF 的垂线,过点2F 作直线2PF 的垂线. （1）求椭圆E 的标准方程；

（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.

12.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆2

2

2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；

（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.

13.【2016高考山东理数】（本小题满分14分）

平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b

+=＞＞

抛物线E ：22x y

=的焦点F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；

（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;

(第17题)

（ii ）直线与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S

，求1

2

S S

的最大值及取得最大值时点P 的坐标.

【答案】（Ⅰ）142

2

=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)4

1

,22(

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（i ）由点P 的坐标和斜率设出直线l 的方程和抛物线联立，进而判断点M 在定直线上；（ii ）分别列出1S ，

2

S 面积的表达式，根据

二次函数求最值和此时点P 的坐标.

试题解析：

（Ⅱ）（i ）设)0)(2

,(2

>m m m P ，由y x 22=可得x y =/， 所以直线的斜率为m ，

因此直线的方程为)(22m x m m y -=-，即2

2

m mx y -=.

设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ?=-

???+=?

得014)14(4

3

2

2

=-+-+m x m x m ，

由0>?，得520+<

3

21+=+m m x x ， 因此1

42223

210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)

14(222

0+-=m m y ，

因为

m x y 4100-=，所以直线OD 方程为x m

y 41

-=. 联立方程??

???

=-

=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M 14y =-，

即点M 在定直线4

1

-

=y 上. （ii ）由（i ）知直线方程为22

m mx y -=，

令0=x 得22

m y -=，所以)2,0(2m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))

14(2,142(22

23+-+m m m m ， 所以)1(4

1

||2121+==

m m m GF S ， )14(8)12(||||2122

202++=

-?=m m m x m PM S ， 所以2

22221)

12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122

+=m t ，则

21

1)1)(12(2221++-=+-=t

t t t t S S ，

当

2

1

1

=

t

，即2

=

t时，

2

1

S

S

取得最大值

4

9

，此时

2

2

=

m，满足0

>

?，

所以点P的坐标为)

4

1

,

2

2

(，因此1

2

S

S

的最大值为

4

9

，此时点P的坐标为)

4

1

,

2

2

(.

考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质.

14.【2015江苏高考，18】（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆()

22

22

10

x y

a b

a b

+=>>的离心率为

2

2

，且右焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于

点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

【答案】（1）

2

21

2

x

y

+=（2）1

y x

=-或1

y x

=-+．

【解析】

试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为

2

2

，二是右焦点F 到左准线l的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB过F，所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，

利用PC=2AB 解出直线AB 斜率,写出直线AB 方程

.

（2）当x AB ⊥轴时，2AB =，又C 3P =，不合题意．

当AB 与轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =

-，()11,x y A ，()22,x y B ， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(

)()2

2

22124210k

x

k x k +-+-=，

则()221,2

221k k x

±+=

，C 的坐标为2222,1212k k k k ??

- ?++??

，且

()()

()()()22

2

2

2

21212

12

221112k x x y y k x

x k

+AB =

-+-=

+-=

+．

若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．

从而0k ≠，故直线C P 的方程为222121212k k y x k k k ??+=-- ?++??，

则点的坐标为()22522,12k k k ??

+ ?- ?+?

?，从而()()2222311C 12k k k k ++P =+． 因为C 2P =AB ，所以

()()

()22

22

2

23114211212k k k k

k k

+++=

++，解得1k =±．

此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+． 【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系

15.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）

设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知|

|3||1||1FA e

OA OF =

+，

其中O 为原点，为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点A 的直线与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于的直线与交于点M ，

与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的斜率的取值范围.

【答案】（Ⅰ）

22

143

x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞ 【解析】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由

113||||||c OF OA FA +=，得113()c

c a a a c +=-，

再利用2223a c b -==，可解得21c =，2

4a =（Ⅱ）先化简条件：

MOA MAO ∠=∠?||||MA MO =，即M 再OA 中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置

关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.取值范围

试题解析：（1）解：设(,0)F c ，由

113||||||c OF OA FA +=，即113()

c c a a a c +=-，可得2

2

2

3a c c -=，又2

2

2

3a c b -==，所以2

1c =，因此2

4a =，所以椭圆的方程为22

143

x y +=.

（2）（Ⅱ）解：设直线的斜率为k （0≠k ），则直线的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由

方程组??

???-==+)2(13

42

2x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2

222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346

822+-=k k x B

，从而3

4122+-=k k y B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，

)3412,3449(222++-=k k

k k BF .由HF BF ⊥，得0=?HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H ，解得k k y H 12492

-=.因此直线MH 的方程为

k

k x k y 124912

-+-=.

所以，直线的斜率的取值范围为),4

6[]46,(+∞-

-∞ . 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程

16.【2015高考山东，理20】平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()

22

22:10x y C a b a b

+=>>3

，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设椭圆22

22:144x y E a b

+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E

于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .

( i )求OQ

OP

的值；

（ii ）求ABQ ?面积的最大值.

【答案】（I ）2

214

x y +=；（II ）( i )2；（ii ）63. 【解析】

试题分析：（I ）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定,a b 的值，从而得到椭圆的方程；（II ）

（i ）设()00,P x y ，

OQ

OP

λ=，由题意知()00,Q x y λλ--，然后利用这两点分别在两上椭圆上确定λ的值; （

ii ）设()()1122,,,A x y B x y ，利用方程组221164

y kx m x y =+??

?+

=??结合韦达定理求出弦

长

AB

，选将

OAB ?的面积表示成关于,k m 的表达式

22222

21641

214k m m S m x x k +-=?-=+2222241414m m k k

??=-? ?++??，然后，令2214m t k =+，利用一元二次方程根的判别式确定的范围，从而求出OAB ?的面积的最大值，并结合（i ）的结果求出△

面积的最大值.

试题解析：（I ）由题意知24a =，则2a = ,又

22

23,2

c a c b a =-=可得1b = , 所以椭圆C 的标准方程为2

214x y +=. （II ）由（I ）知椭圆E 的方程为

22

1164

x y +=, （i ）设()00,P x y ，OQ OP

λ=，由题意知()00,Q x y λλ--因为2

2

00

14x y +=, 又

()()2

2

00116

4

x y λλ--+

=，即2

22

144x y λ??

+= ???

,所以2λ=，即

2OQ OP = .

所以22

122

16414k m x x k +--=+

因为直线y kx m =+与轴交点的坐标为()0,m

所以OAB ?的面积22222

21641

214k m m S m x x k

+-=?-=+ 22222

222

2(164)24141414k m m m m k k k

??+-?==-? ?+++?? 令2

2

14m t k

=+ ,将y kx m =+代入椭圆C 的方程可得()222148440k x kmx m +++-= 由0?≥，可得2

2

14m k ≤+ …………………………………………② 由①②可知01t <≤ 因此()22

42

4S t t t t =-=-+ ,故23S ≤

当且仅当1t =，即22

14m k =+时取得最大值23

由（i ）知，ABQ ?面积为3S ,所以ABQ ?面积的最大值为63 .

17.【2015高考陕西，理20】（本小题满分12分）已知椭圆:E 22

221x y a b

+=（0a b >>）的半

焦距为，原点O 到经过两点(),0c ，

()

0,b 的直线的距离为1

2

c ． （I ）求椭圆E 的离心率；

（II ）如图，AB 是圆:M ()()2

2

5

212

x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的 方程．

【答案】（I 3（II ）

22

1123

x y +=． 【解析】

试题分析：（I ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而可得

椭圆E 的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立()2222144y k x x y b

?=++??+=??，消

去y ，可得12x x +和12x x

的值，进而可得，再利用AB =可得2

b 的值，进而可得椭圆E 的方程．

试题解析：（I ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc ，

则原点O

到直线的距离bc

d a

=

=

， 由1

2

d

c ，得2222a b a c ，解得离心率

3c a . (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为2

2

244x

y b . (1)

依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且|AB |10.

易知，AB 不与轴垂直，设其直线方程为(2)1y

k x ，代入(1)得 2222

(14)8(21)4(21)40k x k k x k b

设1122(,y ),B(,y ),A x x 则22

12

122

2

8(21)

4(21)4,.1414k k k b x x x x k

k

由1

2

4x x ，得2

8(21)4,14k k

k 解得12

k

. 从而212

82x x b

.

于是12|AB ||x x =-=

=由|AB |

10，得2)10，解得2

3b .

故椭圆E 的方程为

2

21123

x y .

解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为2

2244x

y b .

因此AB 直线方程为1

(2)12y x ，代入(2)得224820.x x b

所以1

24x x ，212

82x x b .

于是()

2

2

212121215|AB |1||410(2)22x x x x x x b ??

=+-=

+-=- ???

. 由|AB |

10，得210(2)10b ，解得2

3b .

故椭圆E 的方程为

2

21123

x y .

考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.

18.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆22

21x y a

+=（a ＞1）.

（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；

（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.

【答案】（I ）22

22211a k k a k ++（II ）20e <≤

【解析】

试题分析：（I ）先联立1y kx =+和22

21x y a

+=，可得1x ，2x ，再利用弦长公式可得直线

1y kx =+被椭圆截得的线段长；（II ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知

条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．

试题解析：（I ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22

21

1y kx x y a

=+??

?+=??得 ()22

2

2120a k x

a kx ++=，

故

10x =，2222

21a k

x a k =-+．

因此

22

2

1222

2111a k k x k a k

AP =+-=++． （II ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足

Q AP =A ．

记直线AP ，Q A 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠． 由（I ）知，

22

111

21a k k +AP =

，22

22

2

21Q a k k +A =

，

故

因此

()22

221211

1112a a k k ????++=+- ???????

，① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是

()22121a a +->，所以2a >．

因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为

12a <≤， 由21

c a e a

-==

得，所求离心率的取值范围为202e <≤．

考点：1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率．

19.【2015高考新课标2，理20】（本题满分12分）

已知椭圆2

2

2

:9(0)C x y m m +=>,直线不过原点O 且不平行于坐标轴，与C 有两个交点A ，

B ，线段AB 的中点为M ．

(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若过点(

,)3

m

m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．

【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，4747+