第十章时间序列分析

第十章 时间序列分析

Ⅰ．学习目的

本章阐述常规的时间序列分析方法，通过学习，要求：1.理解时间序列的概念和种类，掌握时间序列的编制方法；2.掌握时间序列分析中水平指标和速度指标的计算及应用；3.掌握时间序列中长期趋势、季节变动、循环变动及不规则变动等因素的基本测定方法；4.掌握基本的时间序列预测方法。

Ⅱ．课程内容要点 第一节 时间序列分析概述

一、时间序列的概念

将统计指标的数值按时间先后顺序排列起来就形成了时间序列。

二、时间序列的种类

反映现象发展变化过程的时间序列按其统计指标的形式不同，可分为总量指标时间序列、相对指标时间序列和平均指标时间序列三种类型。其中总量指标时间序列是基础序列，相对指标和平均指标时间序列是派生序列。

根据总量指标反映现象的时间状况不同，总量指标时间序列又可分为时期指标时间序列和时点指标时间序列。 三、时间序列的编制方法：（一）时间长短应一致；（二）经济内容应一致；（三）总体范围应一致；（四）计算方法与计量单位要一致。

第二节 时间序列的分析指标

一、时间序列分析的水平指标

（一）发展水平。发展水平是时间序列中与其所属时间相对应的反映某种现象发展变化所达到的规模、程度和水平的指标数值。

（二）平均发展水平。将一个时间序列各期发展水平加以平均而得的平均数，叫平均发展水平，又称为动态平均数或序时平均数。

1．总量指标时间序列序时平均数的计算

（1）时期序列：n

y n y y y y i

n ∑=

+++=Λ21 （2）时点序列

①连续时点情况下，又分为两种情形：

a ．若掌握的资料是间隔相等的连续时点 (如每日的时点) 序列，则n

y n y y y y i

n ∑=

+++=Λ21 b ．若掌握的资料是间隔不等的连续时点序列，则

∑∑=++++++=i

i i n n n f f y f f f f y f y f y y ΛΛ212211

②间断时点情况下。间断时点也分两种情况：

a ．若掌握的资料是间隔相等的间断时点，则采用首末折半法：

1

22

1222121

13221-++++=-++++++=--n y y y y n y y y y y y y n

n n n ΛΛ b ．若掌握的资料是间隔不等的间断时点序列，计算公式为： ∑∑=i

i i f f y y 1211

1232121)(21

)(21)(2

1---+++++++++=n n n n f f f f y y f y y f y y ΛΛ 2．相对指标和平均指标时间序列序时平均数的计算。若相对指标或平均指标表示为b a

y =，则有b

a y = 式中：y 为相对指标或平均指标时间序列的序时平均数；

a 代表作为分子的时间序列序时平均数；

b 代表作为分母的时间序列序时平均数。

（三）增长量指标

增长量是表明某种现象在一段时期内增长的绝对量，它等于报告期水平减其基期水平。 1．逐期增长量

逐期增长量是报告期水平与前一期水平之差：1--i i y y 。 2．累计增长量

累计增长量是报告期水平与某一固定时期水平（通常是时间序列最初水平）之差：1y y i -。 3．年距增长量。它等于本期发展水平比上年同期发展水平增加（减少）的数量。 （四）平均增长量指标

平均增长量是时间序列中逐期增长量的序时平均数，其计算公式为：

平均增长量 =1)

(1-∑--n y y i i 或平均增长量 =11--n y y i 。

二、时间序列分析的速度指标 （一）基期水平

报告期水平

发展速度=

1．固定基期水平报告期水平

定基发展速度=

1y y i =

2．前一期水平

报告期水平

环比发展速度= 1-=i i y y

3．上年同期水平

报告期水平

年距发展速度=

（二）基期水平报告期增长量

增长速度=

基期水平

基期水平

报告期水平-=

%100-=发展速度

由于增长量有逐期增长量和累计增长量之分，增长速度因所采用基期不同，分为环比增长速度和定基增长速度。

100%1?=环比增长速度逐期增长量的绝对值增长100前一期水平

=

100

10011

11----=?--=

i i i i i i y y y y y y

（三）平均发展速度和平均增长速度

平均发展速度是一定时期内各期环比发展速度的序时平均数，常用的计算方法有几何平均法和高次方程法。

1． 几何平均法：1

1-=n n y y x 或 11

2312--??=n n n y y y y y y

x Λ 2． 高次方程法：解高次方程1

2

1

2y y x x x n

i i n ∑=

++=-Λ 所得到的正根就是平均发展速度x 。

平均增长速度＝平均发展速度－1。

第三节 长期趋势的测定

一、时间序列的构成与分解

（一）时间序列的构成：1．趋势变动，指现象在发展变化过程中由于受到某种固定的、起根本性作用的因素的影响而在较长时间内展现出来的总态势；2．季节变动，指现象在一年内由于受社会、政治、经济、自然等因素的影响，形成的以一定时期为周期的有规律的重复变动；3．循环波动，指现象围绕长期趋势出现的，以若干年为周期的有涨有落的周期性运动；4．随机变动。指现象由于各种偶然因素的影响而呈现的不规则运动。

（二）时间序列的分解：时间序列分解的主要任务就是将各种变动对时间序列指标值的影响状况分别测定出来，通常以长期趋势值（T ）为绝对量基础，再根据各类变动对时间序列的影响是否独立，建立两种组合模型，即加法模型和乘法模型。

1．加法模型：I C S T Y +++=。此模型假定四类变动是相互独立的，对时间序列的影响程度以绝对数表示； 2．乘法模型：I C S T Y ???=。此模型假定四类变动之间存在着交互作用，则其它各类变动对时间序列各期指标值的影响程度是以相对数的形式表示出来。

二、长期趋势的测定方法

（一）移动平均法。其基本思想是：随机因素的影响是相互独立的，因此，短期数据由于随机因素而形成的差异，在加总平均的过程中会相互抵消，其平均数就显示了现象由于其本质因素所决定的趋势值。

1．奇数项移动平均法。若所平均的项数是奇数，则其中间项的趋势测定值经过一次移动平均就可得到，用)1(t M 表示一次移动平均数，计算公式为：

)(1

2

1112

1)1(-++---++++++=

N t t t t N t t y y y y y N M ΛΛ

2．偶数项移动平均数法

若所移动平均的项数为偶数，则计算出来的移动平均数对应的中间项是在两个时期之间，不能代表任一时期的趋势值，则需对一次移动平均数再做一次项数为2的移动平均， 即计算二次移动平均数来作为长期趋势值，用)2(t M 表示，

如： )(2

1)

2(5.3)1(5.2)

2(3M M M +=

，作为第3期的趋势值。 （二）趋势模型法

趋势模型法也称曲线配合法，它根据时间序列长期趋势的表现形态，建立一个合适的趋势方程来描述现象各期指标值随时间变动的趋势规律性，并据此进行各期趋势值的测定。常见的趋势模型有：线性模型bt a y t +=?；二次曲线模型221?t b t b a y

t ++=；指数曲线模型t t ab y =?；修正的指数曲线模型t

t ab k y +=?；逻辑曲线模型t

t ab

k y +=1

? 和龚珀资曲线模型t

b t ka y

=?等。将各期时间t 的取值代入已估计出参数的趋势模型，得出的因变量数值就是相应时期的趋势变动测定值。

第四节 季节变动和循环波动测定

一、季节变动的测定方法

季节变动测定的基本思路是：设各种变动因素是以乘法模型进行组合形成时间序列，则以时间序列中不含季节变动的长期趋势值为衡量基准，计算加入季节变动后各期的指标值与原趋势值的比率，以此衡量各期指标值受季节变动影响的程度。具体步骤：

第一步，取移动平均的项数为周期的长度，对时间序列进行移动平均，消除随机变动和季节变动的影响，所得的中心化移动平均数就是趋势变动和循环变动综合作用的结果即C T ?。

第二步，剔除趋势变动和循环变动对时间序列的影响，得出仅包含季节变动和随机变动的时间序列资料，即：I S C T Y

?=?。 第三步，对各年内同期的季节比率求平均，可以在相当程度上消除随机变动的影响，所得的结果即各期的季节指数Ｓ。

二、循环变动的测定方法

第一步，先求季节指数S ，以剔除季节变动的影响，得

I C T S

I C S T S Y ??=???=。 第二步，对剔除季节变动后的时间序列求趋势值T ，以剔除趋势变动的影响，得

I C T

I

C T ?=??。 第三步，对第二步的结果进行移动平均，以消除随机变动的影响，就可得到各期相应的循环指数C 。

三、随机变动的测定方法

随机变动是趋势变动、季节变动和循环变动不能解释的部分。在乘法模型中，不规则变动同样可用“剩余法”来测定，即利用已经计算得到的仅包含循环变动C 和不规则变动I 的数据资料（I C ?），除以循环变动指数C ，即可得到随机变动指数I 。

第五节 时间序列预测方法

一、趋势外推法

趋势外推法就是运用趋势模型对现象在未来的变动趋势进行测算。只需把预测期相对应的时间自变量t 的取值代入趋势模型，即可得出未来趋势值的估计。趋势外推法适用于具有明显上升或下降趋势的时间序列的预测。

二、自回归预测法

当各期指标值之间呈线性相关关系时，相应的自回归模型的一般形式为： n t n t t t y b y b y b b y

---++=Λ22110? 三、移动平均和指数平均滑法

（一）移动平均预测法。相应的预测公式是：

)(1

?11)1(1+--+++==N t t t t t y y y N

M y

Λ 式中，)

1(t M 是第t 期的一次移动平均数，用它作为第t +1期的预测值。一般来说，近期值比远期值更重要，因而在移动平均时应给予更大的权重，相应的移动平均法称加权移动平均法，其预测公式为：

1

101

1110)

1(1?-+---+++++=

=N N t N t t wt t w w w y w y w y w M y ΛΛ 。

（二）指数平滑法

1．一次指数平均滑法。指数平滑法的一般公式为：

)

1(1)1()1(1)1()1()1(---+=?=--t t t t t t S αy αS y αS αS

式中，1)1(?+=t t y S ，是t +1期的预测值；t t y S ?)1(1=-，是t 期的预测值，因此，上式等价于：)?(??1t t t t y y αy y -+=+。一般情况

下，可以取1)

1(0

y S =作为近似值进行计算。在确定平滑系数α的取值时，若时间序列平稳度较高，则各期权数i αα)1(-的衰减速度就应小些，那么平滑系数α就要取较小值；若时间序列的波动幅度较大，则各期权数i αα)1(-的衰减速度应大些，远期值对预测值的影响就越小，相应的平滑系数α就要取较大值。

2．二次指数平均滑法。主要用于变参数线性趋势时间序列的预测，它是对一次指数平滑值)1(t S 计算的平滑值，即)2(1)1()

2()1(--+=t t

t

S

αS

αS

。变参数线性趋势预测模型的表达式为：T b a y t t T t +=+^

。式中t a 、t b 是参数变量，随着时间自

变量t 的变化而变化；T 是从t 期开始的预测期数。运用二次指数平滑法，可得参数变量的求解表达式，即

)

(12)

2()1()

2()1(t t t t t t S S α

αb S S a --=-= 求出各期参数变量的取值，代入T b a y t t T t +=+^

，则具有无限期的预测能力。

Ⅲ.考核知识点与考核要求

一、时间序列的概念和种类

（一）识记：时间序列的概念和基本分类。 （二）领会：各种时间序列的性质特点。

（三）应用：根据研究目的编制相应的时间序列。

二、时间序列的水平、速度指标的计算与应用

（一）识记：时间序列各种水平、速度指标的计算公式。 （二）领会：时间序列各分析指标之间的联系及换算。

（三）应用：能结合使用水平、速度指标研究现象发展的规律性。

三、长期趋势、季节变动、循环变动、不规则变动等因素的基本测定方法

（一）识记：时间序列的构成要素、组合模型、移动平均法的计算公式、利用“剩余法”进行各变动因素测定的基本步骤。

（二）领会：趋势模型法的应用，季节变动、循环变动等因素测定的基本思路。

（三）应用：利用移动平均法和选用合适的模型进行趋势测定；利用“剩余法”进行季节变动和循环变动的测定。

四、时间序列的基本预测方法

（一）识记：移动平均预测法和指数平滑法的预测公式。

（二）领会：趋势外推法、自回归预测法、移动平均法和指数平滑法的适用场合及需要注意的问题。 （三）应用：根据现象的发展变化特点选用合适的预测方法。

Ⅳ. 习题详解

一、选择题

1．ABD 2.ABCE 3.ABCD 4.BCD 5.BDE 二、计算题：

1

②第一季度平均职工人数 =

3

275

265265++= 268. 33（人）

③第一季度工业总产值 = 27.825 + 26.500 + 29.150 = 83.475（万元） 第一季度平均每月工业总产值 =3

475

.83=27.825（万元） ④第一季度劳动生产率 =

33

.268834750

=3110.91（元/人）

第一季度平均月劳动生产率 =33

.26891

.3110=1036.97（元/人）

或 =

33

.268278250

=1036.97（元/人）

2．解：每年应递增：535.2=118.64%

以后3年中平均每年应递增：355

.135

.2=114.88% 3． 解：

第一步：计算十二个月的移动平均修匀值，由于移动项数为偶数项，需进行二次移动平均，结果见下表。十二个移动平均的结果消除了季节变动和随机变动的影响，所得各月的二次移动平均值为趋势变动和循环变动综合作用的结果，即C T ?。

第二步：剔除趋势变动与循环变动的影响。用各月的实际值分别除以各月的移动平均修匀值，则得到季节变动与随机变动共同作用的结果，即

Y T S C I

S I T C T C

???==???。 第三步，对第二步的计算结果进行各年同月平均，则消除随机变动的影响，所得结果为各月的季节指数S 。

二次移动平均值结果表

第二步、第三步的相应计算结果见下表。如1月份的季节指数：

S=（205.7%+209.75%+192.49%+208.3%）/4=204.24%；7月份的季节指数：S=（12.55%+11.9%+22.16%+23.72%）/4=17.59%。

通过各月季节指数的比较可以看出，1、2、11、12四个寒冷月份的季节指数远高于其它月份，其毛线销量是正常水平的2-3倍，而春、夏季的季节指数非常低，这说明毛线这种产品的需求量季节性非常明显，符合该产品的特性。

4．解：由于数据的波动幅度较大，因而先分别采用三项加权移动平均和平滑系数为0.9的指数平滑法对各期数据进行预测。

①取N =3，1,2,3210===w w w ，根据公式

6

123?2

111011110)

1(1---+---+?+?+?=

++++=

=t t t N N t N t t wt t y y y w w w y w y w y w M y ΛΛ 可计算各期的加权移动平均预测值见表中第4栏斜体部分。 则2002年的加权移动平均预测值为

83.1042956

100164

105073210515536123?1999200020012002=+?+?=?+?+?=y y y y

②用指数平滑法计算各期的

预测值，取9.0=α，则

)

1(1)1(1)1(11.09.0)1(?--+?+?=-+==t t t t t t S y S αy αS y

取平滑初始值1060441)

1(0

==y S ，则可计算各期的平滑预测值， 1984年的预测值：

1060441060441.01060449.01.09.0?)

1(01)1(12=?+?=?+?==S y S y

1985年的预测值：

1.1126221060441.01133539.01.09.0?)1(12)1(23=?+?=?+?==S y S y

同理可得1986-2001年各年的指数平滑预测值，见表中最后一栏斜体部分。则2002年的指数平滑预测值：

48.1050928.1045291.01051559.01.09.0?)1(1819)1(1920=?+?=?+?==S y S y

实际上2002年全社会铁路客运量为105606万人，用指数平滑法预测的相对误差仅为0.49%，预测效果优于加权移动平均预测法.