静电场I
静电场和恒定电场
22
4高斯定理的应用
☆
对于具有某种对称性的电场， 用高斯定理求场强简便。
• 点对称
点电荷、均匀带电球面或球体、均匀带电同心球面 。
• 轴对称
无限长均匀带电直线、无限长均匀带电圆柱体或圆柱面、
无限长均匀带电同轴圆柱面。
• 面对称
div
E
E
1
0
静电场是有源场，源头是电荷密度不为 零的那些点。
25
证明：
S V
Si Pi Vi
阅读
(divE )i
lim
Vi 0
E dS
Si
Vi
lim
Vi 0
i
(divE)i Vi
lim
Vi 0
i
E dS
Si
V
象征文明社会进步程度的磁卡、 磁盘等正在被越来越多的人接受。
如果说，电磁理论曾经为人类进入信息时代奠定了基础， 那么，未来科学技术的发展仍然无法离开电与磁。
2
§1 静电场高斯定理
☆
一 电荷 1、电荷只有正、负两种
电荷有两种，一种是正电荷，一种是负电荷。 而且，同种电荷相斥；异种电荷相吸。
阴极射线是电子流，电子带有负电荷； 原子核带有正电并且集中了原子的绝大部分质量。
1
电磁学是研究有关电和磁现象的科学。
☆
电磁学与生产技术的关系十分密切。 电能可以通过某些传感器很方便地转化为其他形式的能量； 电能便于远距离传输，而且效率很高； 电磁波的传播速度就是光速，用来远距离传递信息。
静电场
静电场：静止电荷在其周围所激发的“特殊”物质. 静止电荷
三、电场强度(electric field strength) 场源电荷:产生电场的点电荷、点电荷系或带电体. 试验电荷:电量足够小的点电荷 实验及结果： 1) 在电场的不同点上放同样的正试验电荷q0 结论：电场中各处的电场性质不同. 2) 在电场的同一点上放不同的试验电荷
P.5
电荷的基本性质：电荷与电荷之间存在相互作用力， 同性相斥，异性相吸。 2. 电荷量子化：电荷量出现的最小单位为e, 任何带电 电荷量子化： 体所带的电量只能是e的整数倍.
q = ne
n=1,2,3,… 单位为库仑(C)
基本电荷量： e = 1.602 × 10 −19 C
1909年美国物理学密立根通过油滴实验 证明了电荷的量子性，： ① 反映电场本身的性质，与试验电荷无关；
v v ② 电场中电荷受力： = qE F
③ 均匀电场：电场强度在某一区域内，大小、方向 都相同； v v v v vv ④ 电场强度是点函数 E = E(r , t) 静电场 E = E(r ) 静电场为空间矢量函数
r 研究静电场即对各种场源电荷求其 E 分布
q2
k = 8.99 × 109 (N·m2·C-2)
表述: 真空中两个静止点电荷相互作用力F的大小与这两个
点电荷所带电量q1和q2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的平方成反比。作用力F的方向沿它们的连线方向，同号相 斥，异号相吸.
P.8
3. 几点说明 （1）在国际单位制中，通常采用 k =
1 4πε 0
对不同电荷分布的带电体可分别写作 体分布带电体： = ρdV（ρ为电荷体密度） dq 面分布带电体： = σdS（σ 为电荷面密度） dq
1静电场
i n 或 E
4 0 ri
qi
ri
习题：在点电荷系的电场中，任一点电 场强度等于点电荷系中每一电荷在该点产生的 电强强度矢量和。
若带电体可看作是电荷连续分布的，如图示
把带电体看作是由许多个电荷元组成，然后利 用场强叠加原理。
dq
Q
dV
r
dE
P
三种带电形式：
电荷元： d q 线电荷 面电荷
0 0 0
若 r >> l ql 1 E= 4 ( r 2+ l 2 4 ) 3 2 ε π
0
~ 4ε r3 = 4ε r3 π π
0 0
ql
pe
pe E=4 ε π r3
0
电偶极子 E
1 4
0
r
3
p 3 r pr
电偶极子在电场中所受的力
M = f l sin θ l = q E l sinθ = pe E sinθ
0
2ε a 4ε a π π 无限长均匀带电 λ E = 2 直线的场强： πε a
0 0 0
Ex =0 Ey = E = 2 ×
8
λ
=
λ
习题： 一根很长的绝缘棒，均匀带电（如图）， 单位长度上的电荷量为l 。试求距棒的一端垂直 距离为d 的P点处的电场强度。 + + + + + + + + + +
F
F
pe
答案：（Ｂ）
例： 一电偶极子原来与一均匀电场平行，将它转到与 电场反平行时，外力作功0.1 J。问当此电偶极子与场 强成45°时，作用于它的力偶矩有多大？ 解：
大学物理静电场理论及习题
qn
电场强度的计算 点电荷电场的场强
F
v v v F qq0 F= r E= 2 q0 4πε0r
v E=
q 4πε0r
r 2
q
r
qo
电场具有球对称性. 电场具有球对称性
NIZQ
第11页
大学物理学 静电场
点电荷系电场中的场强 由场强叠加原理: 由场强叠加原理 点电荷系的场强: 点电荷系的场强
电场 ─ 早期 电磁理论是超距作用理论 早期: 电磁理论是超距作用理论. 超距作用理论 ─ 后来: 法拉第提出场的概念. 后来 法拉第提出场的概念 电场的特点 1. 对位于其中的带电体有力的作用 对位于其中的带电体有力的作用——力学性质 力学性质. 力学性质 2. 带电体在电场中运动 电场力要作功 带电体在电场中运动, 电场力要作功——能量性质 能量性质. 能量性质 电荷 电场 电荷 场的物质性 电场具有做功本领, 表明电场具有能量; 电场具有做功本领 表明电场具有能量 变化的电场以 光速在空间传播, 表明电场具有动量. 光速在空间传播 表明电场具有动量 电场与实物之间的不同在于它具有叠加性. 电场与实物之间的不同在于它具有叠加性
NIZQ
第8页
大学物理学 静电场
电场强度 1. 在电场的不同点上放同样的正试验电荷 0 在电场的不同点上放同样的正试验电荷q 结论: 电场中各处的力学性质 结论 不同. 不同 2. 在电场的同一点上放不同的试 验电荷
F3 F1
q3
q1
v v v Q F0 F F2 1 Q 1 = =L= = r q2 2 q1 q2 q0 4πε0 r v F 结论: 结论 定义为电场 = 恒矢量 q0
//
大学物理学 静电场
⊥
静电场学习要点“1、2、3、4”
一
定该点 的 电场 强度
个 标 量
，
#
，
所 以多个场源对 某 点 引起 的 电势要 用 代 数求
．
和 的方法进 行求 解
，
刚
i石
。
例
q
1
，
真空 中有 两 个 等量 异 号 的点 电荷
相 距
r ／ r ／
r ／ r ／ 。
，
，
电荷
量 均 为
r
，
在 它 们 连 线 的 中点 处
)
．
，
电场 强 度 的
大 小 和 方 向是 (
￣１ ｃ 在 公 式 Ｆ— ｋ￣ Ｑ
－
一 一
不 做 功 ， 电 场 线 方 向 移 动 单 位 正 电 荷 时 ， 场 力 做 沿 电
正 功 ， ｗ ＂ ＞ ０． 以 Ｕ 一 Ｕ — Ｕ ０， Ｕ Ｕ ｎ 即 所 ＞ 即 ＞
２ 南 是点电 Ｑ 产生 中，粤 荷
是 点 电 荷
即 ： 电场 线方 向 ， 势越 来越 低 ； 沿 电 的电场在点 电荷 Ｑ 处 的 场 强 大 小 ； 是 而 Ｑ 产 生 的 电 场 在 点 电 荷 Ｑ 处 场 强 的 大 小
E
一
至是 电场 强 度 的定 义 式 适 用 于 任何 电场
，
q
；
人 生 大病
，
只 是
“
一
傲
”
字
—
—
．
王 阳
明
鲰急
三
专题 突破
Ｅ— ｋ 是 真 空 巾 点 电 荷 所 形 成 的 电 场 的 决 定 ② 电 场 力 对 电 荷 做 正 功 ． 势 能 减 少 ； 场 力 对 电 电 电荷做 负功 ， 势 能增船 ； 电 式 ， 用 于 真 空 中 的 点 电 荷 适 ③ 电 场 力 做 功 的 过 程 是 电 势 能 和 其 他 彤 的 能 相 互 转 化 的 过 程 ， 场 匀做 ｒ多 少 功 ． 码 多 少 电 势 电 就 能 和其他 形式 的能发生 相互转 化 ； ④ 电 荷 在 电 场 中 某 点 所 具 有 的 电 势 能 与 电 荷 所 带 电 荷 量 和 该 点 电 势 有 关 Ｆ ｑ ． 一 【 『
高考物理 模型系列之对象模型 专题07 静电场模型学案-人教版高三全册物理学案
专题07 静电场模型模型界定本模型主要归纳电场的产生、描述以及一种特殊电场＿＿匀强电场的性质，不涉及点电荷的电场．模型破解1.静电场的产生静电场产生于带电体的周围．2.静电场的基本性质对放入其中的电荷产生力的作用3.静电场的描述(i)电场的力的性质(I)电场强度放入电场中某点的电荷所受的电场力与所带电荷量的比值，E=F/q．电场强度是矢量，方向与放在该处的正电荷受力方向相同．当空间几个带电体同时存在时，他们的电场互相叠加形成合电场．合电场的电场强度等于各个带电体单独存在时所产生的电场强度的适量和．电场强度是绝对的，在场源电荷确定的情况下，空间每点场强的大小与方向都是唯一确定的．④与电场力的关系：F=qE(II)电场线为了形象地描述电场，人为地在电场中画出一系列从正电荷（无限远）出发到无限远（负电荷）终止的曲线（或直线），使曲线上每一点的切线方向都跟该点的电场强度方向一致．①电场线是起始于正电荷，终止于负电荷（或终止于无穷远处），或者电场线是起始于无穷远处，终止于负电荷.电场线不闭合.②电场线上任一点的切线方向都跟该点的电场强度方向一致.③电场线分布的疏密反映了电场的强弱，电场线分布密的地方电场强，电场线分布疏的地方电场弱.④电场线永远不相交，因为电场中某一点的电场强度只有惟一确定的方向，只能有一条电场线通过该点.⑤电场线不是客观存在的，它是为了形象地描述电场而假想的.６电场线不是带电粒子的运动轨迹．一般情况下，带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只○受电场力的带电粒子，只有同时满足以下两个条件时，两者才会重合：一是电场线为直线；二是电荷初速度为零，或速度方向与电场线平行．(III)计算电场强度的四种方法(a)计算电场强度的常用方法——公式法E=F/q是电场强度的定义式：适用于任何电场，电场中某点的场强是确定值，其大小和方向与试探电荷无关，试探电荷q充当“测量工具”的作用.E=kQ/r2是真空中点电荷电场场强的计算式，E由场源电荷Q和某点到场源电荷的距离r决定.E=U/d是场强与电势差的关系式，只适用于匀强电场，注意式中的d为两点间的距离在场强方向的投影.(b)计算多个电荷形成的电场场强的方法——叠加法当空间的电场由几个点电荷共同激发的时候，空间某点的电场强度等于每个点电荷单独存在时所激发的电场在该点的场强的矢量和，其合成遵守矢量合成的平行四边形定则.(c)计算特殊带电体产生场强的方法补偿法对于某些物理问题，当待求的A直接去解很困难或没有条件求解时，可设法补上一个B，补偿的原则是使A+B成为一个完整的模型，从而使A+B变得易于求解，而且，补上去的B也必须容易求解.那样，待求的A 便可从两者的差值中获得，问题就迎刃而解了，这就是解物理题时常用的补偿法.用这个方法可算出一些特殊的带电体所产生的电场强度.微元法在某些问题中，场源带电体的形状特殊，不能直接求解场源在空间某点所产生的总电场.可将场源带电体分割，在高中阶段，这类问题中分割后的微元常有部分微元关于待求点对称，就可以利用场的叠加及对称性来解题.(d)计算感应电荷产生场强的有效方法——静电平衡法根据静电平衡时导体内部场强处处为零的特点，外部场强与感应电荷产生的场强（附加电场）的合场强为零，可知E感=-E外，这样就可以把复杂问题变简单了.(IV)E-x图象在给定了电场的E-x 图象后，可以由图线确定场强的变化情况，电势的变化情况，图中E-x 图线与x 轴所围图形面积表示电势差.在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况.在这类题目中，还可以由E-x 图象假设某一种符合E-x 图线的电场，利用这种已知电场的电场线分布、等势面分布或场源电荷来处理相关问题.(ii)电场的能的性质(I)电势电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，q /εϕ=. 电势是标量，无方向，但有正负.当空间存在多个场源或存在多种电场时，空间某一点的电势等于各场单独存在时在该点产生的电势的代数和.电场中两点间电势的差值叫做电势差，也叫电压.B A AB U ϕϕ-=，A B BA U ϕϕ-=，AB BA U U -=.④电势是相对的，与零电势点位置的选取有关．电势差是绝对的，只取决于电场本身与两点在电场中的位置．⑤电势能与电势的关系：ϕεq =电场力做功与电势差的关系：AB ABqU W =(II)等势面电场中电势相等的点组成的面 等势面一定与电场线垂直，即跟场强的方向垂直.在同一等势面上移动电荷时电场力不做功.电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面.④任意两个等势面都不会相交.⑤等差等势面越密的地方电场强度越大，即等势面分布的疏密可以描述电场的强弱. (III)比较电势高低的几种方法利用电场线沿电场线方向，电势越来越低.利用电势差判断出U AB 的正负，再由B A AB U ϕϕ-=比较A ϕ、B ϕ的大小．利用点电荷电场中电势分布取无穷远处为零电势点，正电荷周围电势为正值，且离正电荷近处电势高；负电荷周围电势为负值，且离负电荷近处电势低.④利用电势叠加若有多个场源时，每个场源产生的电场中的电势已知或易于判定，可先将每个电场的电势先判定后叠加从而得到总电势.⑤利用电场力做功情况正电荷在电场力作用下移动时，电场力做正功，电荷由高电势处移向低电势处；正电荷克服电场力做功，电荷由低电势处移向高电势处.对于负电荷，情况正好相反.⑥利用电势能正电荷在电势高处电势能较大；负电荷在电势低处电势能较大.(IV)x -ϕ图象在电场的x -ϕ图象中，除了可以直接从图中了解各点电势大小及变化情况，还可以从图线的斜率上了解各点场强的大小及方向.当x -ϕ图象与粒子运动相结合时，可以涉及到的方面有粒子电性、电势能、电场力做功、动能、速度、加速度等.与E-x 图象类似，也可以由φ-x 图线的特征先假设是某一具有相同x -ϕ变化规律的电场，进而解决问题.(iii)场强与电势的关系场强是描述电场的力的性质的物理量，数值上等于单位正电荷在该处受到的电场力.它是一个矢量.电势是描述电场的能的性质的物理量，数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能，它是一个标量.二者的大小之间无直接的联系，在一个确定的电场中，某一点的场强是确定的，但该点的电势却与零势面的选取有关系：在场强为零的位置电势可以不为零，如两等量同性点电荷连线的中点处，静电平衡状态下的导体内部等；在电势为零的位置场强也可以不为零.如等量异种点电荷连线的中垂面上各点. 严格说来，由x d d U E ∆∆=-==ϕϕϕ12知场强是电势随空间的最大变化率，类似于加速度与速度的关系.当场强为零时，该点电势的变化率为零，若在某一区域内场强处处为零，则该区域内电势的变化率处处为零，即各点电势都相等；若空间某区域场强处处相同，则该区域内各点电势变化率相同，即沿任一方向上电势随距离都是均匀变化的，即同一方向上相同距离的点间电势差相同，只是在不同方向上电势变化率不同，沿场强所在方向上电势变化率最大.电势变化最快.例1.关于静电场，下列结论普遍成立的是（）A电场强度大的地方电势高，电场强度小的地方电势低 B电场中任意两点之间的电势差只与这两点的场强有关 C在正电荷或负电荷产生的静电场中，场强方向都指向电势降低最快的方向 D 将正点电荷从场强为零的一点移动到场强为零的另一点，电场力做功为零【答案】C例２.图为静电除尘器除尘机理的示意图。
静电场
麦克斯韦《电磁通论》A TREATISE ON ELECTRICITYAND MAGNETISM=⋅∇BtD j B ∂∂+=⨯∇t B E ∂∂-=⨯∇ρ=⋅∇D麦克斯韦方程组：)(cos 0u xt E E -=ω)(cos 0uxt H H -=ω00/1με=u 8100.3⨯=麦克斯韦方程组：电磁波函数：静电场（一）STATIC ELECTRIC FIELD点电荷的电场：(electric field due to a point charge)re rQq F⋅⋅=2041πεq F E /=电场强度：库仑定律：re rQ ⋅⋅=2041πε1201085.8-⨯=ε电场叠加原理：nE E E E+⋅⋅⋅++=21(electric field )(Coulomb’s law )(superposition principle of electric field )⎰=Ed E orx O q -q +0r Ax -E +E 电矩：0r q p=(electric dipole moment )i r x q E 200)2/(41-=+πεi r x qE 200)2/(41+-=-πε-++=E E E i r x q xr 220200)4/(241-=πεi x qr 300241πε≈30241x pE πε=q -q +0r xO By E-E +E 4/412020r y qE E +==-+πε4/2020r y r E E +=-2/3202002020)4/(414/r y qr r y r E E +=+=-πε3041ypE πε-=3041y qr πε-≈例1:求均匀带电圆环轴线上的场强。
圆环半径为R ，带电量为Q 。
ORxxdE⊥dE xdE θr P dl2041r dq dE πε=dlR Q dq π2=2028rdlR Q επ=2028cos r dl R Q dE x επθ=dl Rr Qx 3028επ=⎰⎰==dl Rr QxdE E x 3028επ2/3220)(4R x Qx+=πε⎪⎩⎪⎨⎧=>>≈0420x R x x Q πε带电体在外场中所受的作用力：点电荷：E q F =带电体：⎰=dqE F 电偶极子：qEF +=+qEF -=-q +Eq-θo θθθsin sin 2sin 2qlE lF l F M =+=-+E p M ⨯=可见：力矩最大；力矩最小。
静电场知识点
上夸克（ｕ）： e
夸克
3 1 下夸克（ｄ）： − e 3 1 − e 奇异夸克： 3 2 粲夸克（ｃ）： e 31 底夸克（ｂ）： − e 3 2 顶夸克（ｔ）： e 3
物体带电的内因
电量的定义： 物体所带电荷的多少叫作电量。单位：库仑(C)
3、电荷的相对论不变性：
在不同的参照系内观察，同一个带电粒子的电量不变。 电荷的这一性质叫做电荷的相对论不变性。
４、点电荷： 当带电体的几何线度比起它到其它带电体的距
离小得多，可抽象成一个几何点．
▲带电体的形状和电荷分布对其它带电体已无关紧要 ▲点电荷是理想模型，并非客观存在．
5、电荷的对称性——反粒子
电四极子:两个电偶极子反平行放置,称为电四极子
−q
+q
2、电偶极子轴线延长线上一点的电场强度 � E+ = � 1 q i 2 4πε 0 ( x − l / 2 )
−q O +q
� E−
A
� E+
� � 1 q E− = − i 2 4πε 0 ( x + l / 2) � � � ⎤� 1 ⎡ q q E＝E+＋E－ = － i ⎢ 2 2⎥ 4πε 0 ⎣ ( x − l / 2 ) (x＋l / 2) ⎦
库仑定律内容
在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力，其大小 与点电荷电量的乘积成正比，与两点电荷之间距离的平方 成反比，作用力在两点电荷之间的连线上，同号电荷互相 排斥，异号电荷互相吸引。
� q1q2 ˆ12 F12 = k 2 r r12 � � � r12 = r2 − r1 O � ˆ r 12 = r 12 / r 12 表示单位矢量
静电场的描述原理
静电场的描述原理一、静电场描述原理物理上常说的静电是指物体带电，在日常生活中，我们也经常见到许多事例：摩擦起电、接触起电等。
下面介绍几种有关静电现象的基本概念和规律。
1、电荷：物质都是由大量的分子组成的，它们之间存在着引力和斥力；同时还存在着化学键力。
当物体受外界作用而使得这些力达到平衡状态时就不再吸引或排斥其他物体了，此时该物体称为“电中性”。
实际情况并非如此简单，因为对于极小的粒子来讲，即便是两个相距很近的点电荷，它们所产生的电场强度仍然可以忽略不计。
只要将它们视为整体考虑，那么必须假设每个电荷具有确定的方向和符号，否则无法进行讨论。
这样一来，各个电荷周围的电场强度就应满足如下公式： E=-q/r2、平衡条件：在电场中某处取一任意点P，若该点的电场强度为E，且有： E=E0+E，则称P点位于电场内部，反之称为电场外部。
3、电势能：电荷在电场中移动时会发生电势能的改变，即电势能增加或减少。
4、电容器：凡是电容器都可看做是电容器的特殊形式，它们的共同点是：在电场中某点P， Q两点的电势差为零，电压为零，但Q点却是一个带正电荷的点电荷，即该点的电场强度为E。
5、电场线：沿电场强度的方向画出的曲线叫做电场线。
6、电通量：在电场中，电场强度的变化率等于单位时间内穿过导体横截面的电量，记为： Q=kJ/s。
7、电流密度：单位时间内通过导体横截面的电量，等于单位面积上的电荷量乘以电场强度的变化率，即： I=Q/r8、电势差：电场中两点的电势之差，等于电势能之差。
9、电阻：导体对电流的阻碍作用叫做电阻。
10、自感系数：自感现象就是一根导体棒的长度L发生变化时，另一端附近的磁通量发生变化。
11、互感系数：一根导体棒的长度L发生变化时，其内部的磁通量发生变化，从而在其表面产生感应电动势，称为互感现象。
12、磁场：客观存在的物质，它的基本属性是对放入其中的磁体产生磁力的作用。
13、磁通量：磁场中的磁感应线或磁通量的大小或方向叫做磁场的“强弱”。
(完整版)大学物理静电场知识点总结
大学物理静电场知识点总结1.电荷的基本特点：（1）分类：正电荷（同质子所带电荷），负电荷（同电子所带电荷）（2）量子化特征（3）是相对论性不变量（4）微观粒子所带电荷老是存在一种对称性2．电荷守恒定律：一个与外界没有电荷互换的孤立系统，不论发生什么变化，整个系统的电荷总量必然保持不变。
3．点电荷：点电荷是一个宏观范围的理想模型，在可忽视带电体自身的线度时才建立。
4．库仑定律：表示了两个电荷之间的静电互相作用，是电磁学的基本定律之一，是表示真空中两个静止的点电荷之间互相作用的规律r1 q1q2 rF1240 r123r 125．电场强度：是描绘电场状况的最基本的物理量之一，反应了电rr F场的基Eq0 6．电场强度的计算：（1）单个点电荷产生的电场强度，可直接利用库仑定律和电场强度的定义来求得（2）带电体产生的电场强度，能够依据电场的叠加原理来求解r1nq i r r1dq rE r i E r40 i 1 r i3r 340（3）拥有必定对称性的带电体所产生的电场强度，能够依据高斯定理来求解（4）依据电荷的散布求电势，而后经过电势与电场强度的关系求得电场强度7．电场线：是一些虚假线，引入其目的是为了直观形象地表示电场强度的散布（1）电场线是这样的线： a．曲线上每点的切线方向与该点的电场强度方向一致b．曲线散布的疏密对应着电场强度的强弱，即越密越强，越疏越弱。
（2）电场线的性质： a．起于正电荷（或无量远），止于负电荷（或无量远）。
b．不闭合，也不在没电荷的地方中止。
c．两条电场线在没有电荷的地方不会订交8．电通量：e s r r E dS（1）电通量是一个抽象的观点，假如把它与电场线联系起来，能够把曲面 S 的电通量理解为穿过曲面的电场线的条数。
（2）电通量是标量，有正负之分。
9．高斯定理：òs r r1E dS q i0（ S里）r（1）定理中的E是由空间全部的电荷（包含高斯面内和面外的电荷）共同产生。
静电场的唯一性定理
U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k
（或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ (a=1, b=-1) 对应
图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题 的正确解释至关重要
论证分三步：引理——叠加原理——证明
极大
几个引理
极小
引理一：在无电荷的空间里电势不可能 有极大值和极小值
证明（反证）若有极大，则
若有极小，同样证明
引理二：若所有导体的电势 即意味着空间
为0，则导体以外空间的电
电势有极大值， 违背引理一
若不相等，必有一个最高， 如图设U1>U2、U3，——导 体1是电场线的起点——其 表面只有正电荷——导体1 上的总电量不为0——与前 提矛盾
引理二 ( ＋)引理三可推论：所有导体都不带电的 情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常 量
叠加原理
在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予 两组边界条件：
静电场边值问题的 唯一性定理
典型的静电问题
给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置（统称边界条件），求空间 电场分布，即在一定边界条件下求解。该类问 题称为称为静电场的边值问题。
唯一性定理
对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！
边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来
第7章静电场
合力
f fi
i
如果带电体Q可以看作电荷连续分布
可将带电体分解成无穷多的点电荷（dq）
再利用电场叠加原理计算场强。 dq在场点P贡献场强分量为： 场点P
r
dq
带电体Q
1 dq r 3 4 π 0 r 1 dq r 场点P处实际场强为：E dE 3 4π 0 r (Q ) (Q )
fi
q
q1
ri
fi
qi
q2
q实际所受的库仑力
f
i
1 qqi r 3 i i 4 π 0 ri
——叠加原理是静电学理论的重要基础。
§7.3 电场
电场强度
一、电场（Electric Field）
1、电场的概念
19世纪以前人们认为：电荷之间为“超距作用” 即：这种相互作用的发生不需媒介、不需时间。
r
点电荷的场强方向沿矢径：若q>0，同向；若q<0，反向；
点电荷的场强大小与r2成反比； 点电荷的场强分布是球对称的。
（当q<0） E （当q>0） r q
E
2、电荷系的场强 如果带电体由多个点电荷组成: 试验电荷q0所受库仑力=？
场点P
q0
ri
q1
qi
由库仑定律：q0受任一电荷qi的分力为：
dq dS 2πrdr 由例2已算得圆环dq的电场： xdq xrdr dE 沿x轴方向 2 2 32 2 2 32 4π 0 x r 2 0 x r
dE E
R
4π 0 x r
2
xdq
2 32
静电场
)
1 e 3
2 强子的夸克模型具有分数电荷： e 3
二
库仑定律
1 点电荷模型：没有形状和大小，只带电荷的物体 （带电的点）
2 库仑定律：在真空中，两个静止的点电荷之间的相互 作用力的大小与它们电荷量的乘积成正比，与它们之间 的距离的平方成反比；作用力的方向沿着两点电荷的连 线方向，并且同号电荷相互排斥，异号电荷相互吸引。
q
2
4π 0r q dS 2 4 π 0 r
dS cos
dS
+
dS
其中空间立体角
dS dΩ 2 r
q Φe 4 π 0
d Ω
q
r
dS
0
dS
dΦ 1 E1 dS1 0 dΦ2 E2 dS 2 0 q
且：Φ1 Φ2
qx E 2 2 32 4 π 0 ( x r ) dq x dE 4 π 0 ( x 2 r 2 )3 2 2 rdr x 4 0 ( x 2 r 2 )3 2 x rdr 2 2 32 2 0 ( x r )
y
r
R
dq 2 π rdr
对闭合曲面，面元的法线方向向外。
2
电场强度通量的定义
电场中通过某一有向曲面的电场线的条数叫做通过这个面 的电场强度通量（简称电通量或 E 通量），用 Φe 表示。
电通量是标量，但有正负： 电场线沿着有向曲面法向通过，电通量为正； 电场线逆着有向曲面法向通过，电通量为负。
均匀电场中 , 场强 E 与有向平面 S 的夹角为 ，则通过 S 面的 E 通量为： en Φe ES ES cos S S E S 用矢量点乘表示: Φ e
静电场的能量
静电场的能量静电场是由带电粒子或物体周围的电场引起的一种现象。
静电场能量是指由静电场所包含的能量。
一、静电场的基本概念和特性静电场是由电荷之间的相互作用形成的，并且与电荷的位置关系也有关。
在静电场中，电荷会产生电场，而这个电场也会对其他电荷产生作用力。
静电场的特性有以下几点：1. 静电场的力是作用在电荷上的，而非自身的静电场或电荷本身。
2. 静电场的力是由电荷之间的相互作用引起的，其大小与电荷的数量和距离有关。
3. 静电场是一个矢量场，具有方向和大小。
4. 静电场的能量分布不均匀，通常集中在离电荷较近的地方。
二、静电场能量的计算静电场的能量可以通过以下公式进行计算：E = (1/2) * ε * V^2其中，E表示静电场的能量，ε表示真空介电常数，V表示电场的电压。
静电场的能量与电场的电压平方成正比，而与电场的介电常数成正比。
因此，当电场的电压或介电常数增加时，静电场的能量也会增加。
三、静电场能量的应用静电场的能量在现实生活中有广泛的应用。
以下列举几个例子：1. 静电能量在静电喷涂中的应用：静电喷涂是一种利用静电场将涂料均匀喷涂在物体表面的技术。
通过给喷涂液体带上电荷，使其在喷枪离开物体表面时形成一个带电雾状的状态，然后利用静电场将涂料吸附在物体表面上，从而实现均匀喷涂。
2. 静电能量在电子设备中的应用：静电场能够对微小的物体产生引力或斥力，这一特性被应用在电子设备中，如打印机、复印机等。
通过静电场的作用，可以将墨粉、纸张等粘附在特定位置，实现打印或复印的功能。
3. 静电能量在高压输电中的应用：在高压输电线路中，由于导线带有电荷，会形成强大的静电场。
这种静电场的能量会导致电线周围的空气分子离子化，形成电晕放电现象。
因此，在高压输电线路中需要采取相应的措施来减少静电场的能量损耗，提高输电效率。
综上所述，静电场能量是由静电场所包含的能量。
通过计算静电场能量的公式可以了解到静电场能量与电场的电压平方和介电常数的关系。
静电场 相对静止
静电场相对静止
静电场是指在没有电流流动的情况下存在的电场。
它是一种相对
静止的电场。
静电场的主要特点是电荷的分布在空间中保持静止，不
随时间变化。
当物体带电时，周围会形成一个电场，该电场对周围环
境和其他带电物体产生作用。
在静电场中，正负电荷之间会产生相互吸引或排斥的力。
这种力
被称为库仑力，它遵循库仑定律，即反比于两个电荷的距离的平方，
正比于电荷之间的乘积。
静电场在日常生活中有许多应用。
例如，静电除尘技术就是利用
静电力将尘埃吸附到带电表面上，从而实现空气净化。
另外，静电粉
末喷涂技术可以将带电粉末均匀地喷涂在物体上，形成一层保护膜。
静电场还可以导致一些现象，如静电火花和静电放电。
当一个物
体带电过多时，超过了周围环境的绝缘能力，就会发生静电放电现象，常见的例子是我们碰到金属物体时感到的电击感。
总之，静电场是一种相对静止的电场，其特点是带电物体的电荷
分布保持静止。
静电场在科学研究和日常生活中都有重要应用，相关
的现象和技术也十分丰富多样。
静电场中环路定理和环流定理
静电场中环路定理和环流定理
在静电场中，环路定理是基本电磁定律之一，它描述的是沿着闭合回路的路径积分
（环路积分）与围绕路径的电场强度之积的相等关系。
具体而言，环路定理可以表示为：
∮ E·dℓ = 0
其中，E表示电场强度，dℓ表示环路上的微小位移元素，∮表示对整个环路沿着闭合
路径的积分。
这个定理的物理意义是：在一个静电场中，当你绕着一个闭合回路走一圈时，得到的
电场积分总是等于零。
这个定理对于描述物体的电荷分布和电场的特性非常重要。
同时，
环路定理也可以用于确定电场的解析表达式，来计算电势差和电荷分布的影响。
与环路定理相比，环流定理是一个更为广泛和深入的物理定律，它描述了磁场产生的
物理原理。
在静电场中，环流定理指的是一个围绕电流线路的环曲面上的积分，等于线路
内的电流的总和。
数学上，环流定理可以表述为：
其中，B表示磁场强度，dS表示环曲面上的微小面积元素，μ0表示真空中的磁导率，而I则表示通过线路内的电流强度。
物理上，环流定理描述了磁场沿着封闭路径的总和，或者说，从一个特定区域流出和
流入的总量。
直观上，环流定理也可以用来计算磁场的速率和强度，以及它在不同场合下
的表现形式。
总的来说，环路定理和环流定理都是物理学家和工程师们经常使用的基本定律。
通过
这两个定理，我们可以更加深入地理解力学、电学等自然现象，从而为相关的技术和应用
开发提供更为坚实的基础。
静电场安培环路定理
静电场和安培环路定理是电磁学中的两个重要概念，它们描述了电场和电流之间的关系。
静电场（Electric Field）：
静电场是由电荷产生的场，它在空间中存在，对其他电荷施加力。
电场可用于描述电荷在空间中产生的电势差和电场强度分布。
安培环路定理（Ampere's Circuital Law）：
安培环路定理是电磁学中的一个基本定律，描述了电流和磁场之间的关系。
它是由法国物理学家安培（André-Marie Ampère）提出的。
根据安培环路定理，沿着一个闭合回路的线积分，等于该回路内通过的总电流。
数学表达式如下：
∮B·dl = μ₀I
其中，
∮B·dl 表示沿闭合回路的磁场矢量B的线积分；
μ₀表示真空中的磁导率（4π×10^(-7) N/A²）；
I 表示通过闭合回路的总电流。
安培环路定理说明了电流在形成磁场时所遵循的规律，以及通过闭合回路的磁场的总和。
培环路定理适用于静电场中的静止电流情况。
在存在变化的磁场和电场的情况下，需要结合法拉第电磁感应定律和麦克斯韦方程组等更复杂的电磁学理论来描述。
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场
标量场（Scalar Field） 矢量场（Voctor Field）
（2）场是可以随时间变化的，但在数学中的场 论仅研究随空间变化
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静电场及矢量分析
+
V
r
P
dE
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14
静电场及矢量分析
电荷连续分布的电场 1 dq 1 er dE e E dE dq 2 r 2 4πε0 r 4πε0 r 电荷面密度
E 1 σer dS 2 S 4 πε 0 r
6
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静电场及矢量分析
III、库仑定律
点电荷：抽象模型
q2受 q1 的力 F
12 2
1 q1q2 er 2 4πε0 r
1 2
ε0 8.8510 C N m 为真空电容率
q1
er
r
q2
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2013-7-15
（3）一个标量场的梯度（一旦）确定，则该 标量场也随之确定，最多相差一常数
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静电场及矢量分析
标量场——梯度函数
标量场的梯度垂直 于通过该点的等值 面（或切平面）
矢量——标量研究互 为转换
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2013-7-15
32
静电场及矢量分析
二、矢量场 A(r)=A(x,y,z)
1、（矢量场的）矢量线表示 矢量线是这样一些曲线，线上 每一点的场线方向都代表该 点的矢量场的方向，矢量线 的密度表示该点场的大小。 或者说：垂直于矢量的单 位表面所穿过的矢量线数代 表该矢量的大小。 矢量线能够描述矢 量场在空间的方向， 但不能够直观描述 矢量场的大荷守恒定律
不管系统中的电荷如何迁移，系统的 电荷的代数和保持不变. （自然界的基本守恒定律之一）
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5
静电场及矢量分析
库仑 (C.A.Coulomb 1736 1806）
法国物理学家，1785 年通过扭秤实验创立库 仑定律, 使电磁学的研 究从定性进入定量阶段. 电荷的单位库仑以他的 姓氏命名.
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静电场及矢量分析
V、 电场强度
1 试验电荷
点电荷 电荷足够小 2 电场强度
F E q0
Q
q0
试验电荷
F
场源电荷
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10
静电场及矢量分析
F E q0
定义: 单位正试验电荷所受的电场力 单位: N C , V m 和试验电荷无关
x r0
1 2r0 q 1 2p E i 3 3 4πε0 x 4πε0 x
q -
r0
. 2
O
r0 2
q
+
A
.
x
E
x
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静电场及矢量分析
（2）轴线中垂线上一点的电场强度
y E
E
E
.B
y
1 q E e 2 4πε0 r 1 q E e 2 4πε0 r
2 xr0 q E E E 2 2 2 i 4 πε0 ( x r0 4)
q -
r0
. 2
O
r0 2
q
+
x
E
A
.
E
x
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静电场及矢量分析
2 xr0 q E 2 2 2 i 4πε0 ( x r0 4)
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静电场及矢量分析 2、（矢量场的）通量和散度
① 通量
为了克服矢量线不能定量描 述矢量场的大小的问题，引 入通量的概念。在场区域的 某点选取面元，穿过该面元 矢量线的总数称为矢量场对 于面积元的通量。
s
ˆ AdS AndS
1 1
电荷q受电场力: F qE
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Q
q0
试验电荷
F
场源电荷
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11
静电场及矢量分析
VI、 点电荷电场强度
F 1 Qq0 er 2 4 πε0 r
F 1 Q E e 2 r q0 4 πε0 r
1 Q E 2 4 πε0 r q0 r F E
一、标量场
r ( x, y, z)
方向导数： r 在 （场 某点的方向导数定义为 场在该点）沿某一方向 对空间距离的变化率。
lim l l 0
r l r
l
cos cos cos l x y z
x
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静电场及矢量分析
例2 有一半径为R，电荷均匀分布的薄圆 盘，其电荷面密度为 . 求通过盘心且垂直 盘面的轴线上任意一点处的电场强度.
R
o
x
P
x
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静电场及矢量分析
解
σ q / πR
2
dq 2 π rdr
xrdr xdq dEx 2 2 32 2 2 32 4 πε0 ( x r ) 2ε0 ( x r )
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2
静电场及矢量分析
• 麦克斯韦的电动力学 系统的总结了法拉第的理论——建立了著名 的麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组把电荷、电流、磁场和电场 的变化用数学公式全部统一起来；《电磁 学通论》的科学价值可以与牛顿的《自然 哲学的数学原理》相媲美 1886年赫兹 证实电磁波存在
dq σdS
dq
+
r
P
dE
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静电场及矢量分析
电荷连续分布的电场 1 dq 1 er dE e E dE dq 2 r 2 4 πε0 r 4 πε0 r 电荷线密度
1 λer E dl 2 l 4 πε 0 r
Q0
E
+ -
P
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2013-7-15
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静电场及矢量分析
VII、电场强度叠加原理
点电荷系的电场 Qi 1 E Ei r 2 ei 1 q0Qi 4πε0 i i i Fi ei 2 4πε0 ri Q1 e1 F Fi F r1 E33 i P e 2 r2 Q2 F2 E2 q0 r3 F Fi e3 E Q3 F E11 q0 q0 i
7
静电场及矢量分析
F
1 q1q2 er 2 4πε0 r
1 q1q2 大小： F 2 4πε0 r 方向： q1和 q2 同号相斥，异号相吸.
q1
er
r
q2
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静电场及矢量分析
IV、 静电场
电荷 电 场 场 实物 电荷
物 质
静电场: 静止电荷周围存在的电场
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大学物理B1
2013-7-15
3
静电场及矢量分析
I、电荷的量子化
1 种类: 正电荷，负电荷 2 性质: 同种相斥，异种相吸
3 单位: 库仑（C）
4 电荷的量子化:
q ne (n 1, , , ) 23
e 1.6021019 C
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密立根实验
2013-7-15 4
dq λdl
dl
r
P
dE
东南大学物理系
大学物理B1
2013-7-15
16
静电场及矢量分析
VIII、电偶极子的电场强度
电偶极子的轴 r0
电偶极矩(电矩) p qr0
q -
q
r0
+
东南大学物理系
大学物理B1
2013-7-15
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静电场及矢量分析
（1）轴线延长线上一点的电场强度 1 q 1 q E i E i 2 2 4πε0 ( x r0 2) 4πε0 ( x r0 2)
R
q E 4 π ε0 x 2
o
x
P
x
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2013-7-15
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静电场及矢量分析
矢量分析
主要内容
基本概念 无旋场、无散场及矢量分解 算子的运算 矢量分析中的若干积分定理 函数
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静电场及矢量分析
什么是场？
s
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2013-7-15
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静电场及矢量分析
• 如果曲面s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲 面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：