高中数学讲义集合.参考教案.教师版

内容 基本要求

集合的含义 会使用符号“∈”或“?”表示元素与集合之间的关系；

集合的表示

能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等 集合间的基本关系

理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中，了解空集和全集的含义；

理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集

集合的基本运算 掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能使用维恩图表达集合之间的关系和运算．

板块一：集合的概念

（一）主要知识：

1．集合

①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。 ②表示

列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c} 描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x ∣P(x)}.

如：}1),({},1{},1{-=-=-=x y y x x y y x y x

图示法：用文氏图表示题中不同的集合。

③分类：有限集、无限集、空集。

④性质 确定性：A a A a ?∈或必居其一，

互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同， 无序性：{1，2，3}={3，2，1}

2．常用数集

例题精讲

高考要求

集合

复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集*

N

（或N +） 有理数集Q

3．元素与集合的关系：A a A a ∈?或

4．集合与集合的关系：

①子集：若对任意A x ∈都有B x ∈[或对任意B x ?都有A x ?] 则A 是B 的子集。 记作：A B B A ??或 C A C B B A ????, ②真子集：若B A ?，且存在A x B x ?∈00,但，则A 是B 的真子集。 记作：A

B[或“B

A B A ≠?且”] A B ，B C A C

③B A A B B A =???且

④空集：不含任何元素的集合，用φ表示 对任何集合A 有A ?φ，若φ≠A 则φ A

注：}{}0{}{φ

φφ≠≠≠a a 5．子集的个数

若},,{21n a a a A Λ=，则A 的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n 个，2n -1个和2n -2个。

（二）主要方法：

1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；

3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；

4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．

（三）例题分析：

【例1】 下列命题正确的有（ ）

⑴很小的实数可以构成集合；

⑵集合{}2|1y y x =-与集合(){}

2

,|1xy y x =-是同一个集合； ⑶361

1,,,,0.5242

-这些数组成的集合有5个元素；

⑷集合(){}

,|0,,x yx y x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

【解析】A ；⑴错的原因是元素不确定，⑵前者是数集，而后者是点集，种类不同，

⑶

361

,0.5242

=-=，有重复的元素，应该是3个元素，⑷本集合还包括坐标轴．

【例2】 直角坐标平面除去两点(1,1)A 、(2,2)B -可用集合表示为（ ）

A ．{}(,)|1,1,2,2x y x y x y ≠≠≠≠

B ．1(,)|1x x y y ?≠????≠???或22x y ?≠??

??≠???

C ．1(,)|1x x y y ?≠????≠???且22x y ?≠??

??≠-???

D ．{}

2222

(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y x y -+--++≠ 【解析】D ．

考察点(1,0)，显然点(1,0)在除去点A 和B 以外的平面上，但点(1,0)不在A 中，故A 是错误的，另外，此点也不在B 、C 中，所以应选D ．

本题的关键点在于：按集合表示规则知，形如1(,)|1x x y y ??≠??????≠????

?的集合中元素的横

纵坐标均不等于1，即横坐标或纵坐标等于1的点，比如点

(1,0),(1,2),(0,1),(2,1)等都不属于集合1(,)|1x x y y ??≠???

???≠????

?．由此可知，平面上除

去点(1,1)的点的集合不应用集合1(,)|1x x y y ??≠??

????≠?????

表示，应该表示为

{}

2

2

(,)|(1)(1)0x y x y -+-≠．

【例3】 已知集合2

{,,2},{,,}

A a a d a d

B a a q a q =++=，其中0a ≠，且A B =，则q 等于___．

【解析】1

2

-．

由A B =可得2

2a d aq

a d aq

+=??+=? 或 2

2a d aq a d aq

?+=?

+=? ……① ∵0a ≠，由①得：1q =或2

210

q q --= ∵1q ≠，∴1

2

q =-．

【例4】 若集合{}

|6,A x x x =∈N ≤，{|B x x =是非质数}，C A B =I ，则C 的非空子集的个数为 ．

【解析】15；{}0,1,2,3,4,5,6A =，{}

0,1,4,6C =，非空子集有4

2115-=．

【例5】 设{|13},{|}A x x B x x a =-<<=>，若A B ，则a 的取值范围是______

【解析】借助数轴直观图分析可得1a -≤

．

板块二：集合的运算

（一）主要知识： 1．有关概念

①交集：}

{B x A x x B A ∈∈=且I A B

A B

A B

②并集：}

{B x A x x B A ∈∈=?或 A

B

A

B

A B

③全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U 表示。

④补集：}{A x U x x A C U

?∈=且 A

U C U A

2．常用运算性质及一些重要结论

①A B B A A A A A I I I I ===φφ ②A

B B A A A A A A Y Y Y Y ===φ

③C B A C B A C B A Y Y Y Y Y Y ==)()( C B A C B A C B A I I I I I I ==)()( ④)()()(C A B A C B A I Y I Y I = )()()(C A B A C B A Y I Y I Y = ⑤U A C A A C A U

U ==Y I φ

⑥B

A B B A B A A B A ??=??=Y I ⑦)()()()()()(B C A C B A C B C A C B A C U

U U U U U I Y Y I == ⑧)

()()()(B A Card B Card A Card B A Card I Y -+=

（二）主要方法：

1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；

2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；

3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．

（三）例题分析：

【例6】 已知集合{}{}

22

,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-I ，求实数a 的值．

【解析】∵{}

3A B =-I ，∴3B -∈，而213a +≠-， ∴当{}{}33,0,0,1,3,3,1,1a a A B -=-==-=--， 这样{}3,1A B =-I 与{}3A B =-I 矛盾； 当213,1,a a -=-=-符合{}

3A B =-I ∴1a =-．

【例7】 设集合{|(3)()0,R }A x x x a a =--=∈，{|(4)(1)0}

B x x x =--=，求,A B A B U I ． 【解析】{3,}A a = {4,1}B =

若3a =，{1,3,4}

AB =U ，A B =?I 若1a =，{1,3,4}AB =U ，{1}A B =I 同理 若4a = ，{1,3,4}AB =U ，{4}A B =I 若1a ≠或3或4，{1,3,4,}

A B a =U ，A B =?I ．

【例8】 下列表述中错误的是（ ）

A ．若A

B ?，则A B A =I B ．若A B B =U ，则A B ?

C ．()()A B A A B I U 苘

D ．()()()U U U

A B A B =I U 痧? 【解析】C ；当A B =时，A B A A B ==I U ．

【例9】 若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）

⑴若A B =?I ，则()()U

U A B U =U 痧 ⑵若A B U =U ，则()()U U A B =?I 痧 ⑶若A B =?U ，则A B ==?

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

【解析】D ；⑴()()()U U U U

A BA

B U ==?=U I 痧痧； ⑵()()()U U U U

A BA

B U ===?I U 痧痧； ⑶证明：∵()A

A B ?U ，即A ??，而A ??，∴A =?； 同理B =?， ∴A B ==?．

【例10】 已知集合φ

=+==-==N M b x y y x N x y y x M I 且}),({}9),({2

，求实

数b 的取值范围。

【解析】φ

=N M I Θ，∴两点集M 与N 无公共点 点集M 是一个半圆，点集N 是随b 变化的一组平行直线

y x b =+在1l 与2l 外侧（不包括1l ，2l ），满足M N ?=I ， 332

b b ∴<->或

板块三：2010集合高考真题分析

题型一：集合基本性质与关系

【例11】 （2010年高考江苏卷试题1）设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则

实数a =_____ ____.

【答案】1

【解析】考查集合的运算推理。3∈B, a+2=3, a=1.

【例12】 （2010年高考上海市理科14）以集合U={}

a b c d ，，，的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：

（1）U ,φ都要选出；

（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有B A ?或A B ?。那么共有__ __种不同

的选法。

【解析】36

【例13】 (2010年高考天津卷理科9)设集合A ＝{1,}x xa x R -<∈，B ＝

{2,}x xb x R ->∈。若A B ?,则实数,a b 必满足

（A ）3a b +≤ （B ）3a b +≥ （C ）3a b -≤ （D ）3a b -≥

【解析】答案：D

由题意可得：{}

|11Ax a xa =-<<+，对集合B 有 2x b <-或2x b >+，因为A B ?，所以有21b a -≥-或21b a +≤-，解得3a b -≥或3a b -≤-，即3a b -≥，选D 。

【点评】本小题考查绝对值不等式的解法、集合之间的关系等基础知识，考查同学们数形结

合的数学思想。

【例14】 （2010年高考江苏卷试题1）设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则

实数a =_____ __.

【解析】答案：1

考查集合的运算推理。3∈B, a+2=3, a=1.

题型二：集合的运算

【例15】 (2010

年全国高考宁夏卷1）已知集合

{||2,}A x x R =≤∈},{|4,}

B x x xZ =≤∈,则A B ?= (A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}

【解析】答案：D 。由已知得{22},{0,1,,16}A x x B =-≤≤=L ，所以{0,1,2}

AB ?=． 【例16】 （2010年高考陕西卷理科1）集合A= {x ∣12

x -≤≤}，B ={x ∣x<1}，则()R A B

I e= （D ） （A ）{x ∣x>1} (B) {x ∣x ≥ 1} (C) {x ∣12x <≤ } (D) {x ∣12

x ≤≤} 【解析】答案：D 。

∵{}{}1,21≥=≤≤-=x x B C x x A R ，∴{}

21)(≤≤=?x x B C A R

.故选D . 【例17】 (2010年高考重庆市理科12)设{0,1,2,3}

U =，2

{|0}A x U x m x =∈+=，若C

{1,2}U

A =，则实数m =________．

【解析】答案：-3。Θ{}1,2U A =l ，∴A={0,3},故m= -3.

题型三：新定义集合

【例18】 （2010年高考四川卷理科16）设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，

都有xy ,xy ,x yS +-∈

，则称S 为封闭集。下列命题： ①集合S ＝{a ＋bi |（a ,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；w_w_w.k*s 5*u.c o*m

②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；

③封闭集一定是无限集；

④若S 为封闭集，则满足S T C ??的任意集合T 也是封闭集. w_w w. k#s5_u.c o*m

其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

【解析】解析：直接验证可知①正确.当S 为封闭集时，因为x －y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，

②正确对于集合S ＝{0}，显然满足素有条件，但S 是有限集,③错误。取S ＝{0}，

T ＝{0,1}，满足S T C ??,但由于0－1＝－1?T ，故T 不是封闭集，④错误

答案：①②

【例19】 (2010年高考北京市理科20)（本小题共13分）

已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n S X X x x x xi n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n Bb b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a ba b -=---… A 与B 之间的距离为1

1

1

(,)||i dA B a b -=

-∑

（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ?∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ?∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P n S ?，P 中有m(m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为d

(P).

证明：d

（P ）≤

2(1)

m n

m -.

【解析】（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n

C cc c =n S ∈ 因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}0,1i i a b -∈

,(1,2,...,)i n =www.@ks@https://www.360docs.net/doc/018305804.html,

从而1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈ 又1

(,)|||||

|n

i i i i i d A C B C ac bc =--=---∑

由题意知i a ，b ，c {}0,1∈(1,2,...,)i n =. 当0i c =时，|||||||||i i i i i i

a c

b

c a b ---=-; 当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-

所以1

(,)||

(,)n

i i i d A C B C ab d A B =--=-=∑

(II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n

C cc c =n S ∈ (,)dA B k =，(,)dA C l =，(,)dB C h

=.

记(0,0,...,0)n

O S =∈，由（I ）可知 (,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-= (,)(,)d B C d B A C A h

=--= 所以||(1,2,...,)i i bai n -=中1的个数为k ，||

(1,2,...,)i i c ai n -=的1的 个数为l 。

设t 是使||||

1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+- 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，

即(,)d A B ,(,)d AC ,(,)d B C 三个数中至少有一个是偶数。

（III ）2,1

()(,)A

B P m dP dA B

C ∈=

∑,其中,(,)A B P d A B ∈∑表示P 中所有两个元素间距离的总和，www.@ks@https://www.360docs.net/doc/018305804.html,

设P 种所有元素的第i 个位置的数字中共有t 个1，i m t -个0 则

,(,)A B P

d A B ∈∑=1

()n

i

i

i t m t =-∑

由于t ()i m t -2(1,2,...,)4

m

i n ≤= 所以,(,)A B P

d A B ∈∑2

4n m

≤

从而2

22,1()(,)42(1)A B P m m

n m m n

d P d A B C C m ∈=≤=

-∑

【例20】 已知{}12345Aa aa aa =，，，，，{}22222

12345Baa aa a =，，，，，(12345)i

a i ∈=N ，，，，． 设12345a a a a a <<<<，且{}14A B a a =I ，，1410a a +=

，又A B U 中所有元素之和为224．

求⑴1a ，4a ；⑵222

235235

aaaa a a +++++． 【解析】 ⑴由已知可得22222

12345

a a a a a ≤≤≤≤，且{}14A B a a =I ，，∴211a a =，则10a =或11a =

若10a =，则410a =，又集合B 中必存在某个数的平方为10，即A

这与(12345)i a i ∈=N ，，，，矛盾，因此有11a =，∴49a = ⑵由{}14

A B a a =I ，可知A B U 中必然只有8个元素，若22222123451234522410234a a a a a a a a a a +++++++++=+=，且22

1482a a +=， ∴222

235235

2341082142a a a a a a +++++=--=

【变式】 ⑶5a ；⑷A ．

【解析】 ⑶由49a =，且45a a <，可知510a =或511a =且2

55142a a +<

若511a =，则255132a a +=，则22

2233

14213210a a a a +++=-= 又229a =或239a =，则必有23a =或33a =，有931210+=>，矛盾∴511a =不符合题意

若510a =，255110a a +=，则222233

14211032a a a a +++=-= 又229a =或239a =，则23a =或33a =，则有22220a a +=或23320a a +=

解得：24a =或34a =，∵34<，∴23a =，34a = ∴11a =，23a =，34a =，49a =，510a = ⑷{}

134910A =，，，，

【例21】 （2009年北京） 已知数集{}12n a a a =L ，，，()1212n

a a a n <<

a a

两数中至少有一个属于A ．

⑴分别判断数集{}134，，与{}1236，，，是否具有性质P ，并说明理由； ⑵证明：11a =，且

12111

12n

n n

a a a a a a a ---+++=+++L L ． 【解析】 ⑴由于34?与

4

3

均不属于数集{}134，，，所以该数集不具有性质P ． 由于12?，13?，16?，23?，62，63，11，22，33，6

6

都属于数集{}

1236，，，，所以该数集具有性质P ．

⑵因为{}12n

Aa a a =L ，，，具有性质P ，所以n n a a 与n n

a

a

中至少有一个属于A ．

由于121n a a a <<，故n n a a A ?．

从而1n n

a

A a =∈，故11a =．

因为121n a a a =<<，故()23k n a

aA k n ?=L ，，，． 由A 具有性质P 可知

()123n

k

a A k n a ∈=L ，，，，． 又因为121

n n n n n n a a a a

a a a a -<<

<

所以

121121n n n n

n n

n n a a a a a a a a a a a a --====L ，，，，． 从而121121n n n n

n n

n n a a a a a a a a a a a a --++++=++++L L ， 故12111

12n

n n

a a a a a a a ---+++=+++L L ．

习题1. ⑴由2a ，2a -，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是

（ ）．

A ．1

B ．2-

C ．6

D ．2

⑵（2009年山东卷）

集合{}02A a =，，，{}2

1B a =，，

若{}012416A B =U ，，，，，则a 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4

【解析】 ⑴当1a =时，22a a =-矛盾，当2a =-时，2

24

a a =-=矛盾， 当2a =时，24a =，矛盾 故选C ⑵答案：D

习题2. 已知非空集合A 满足：①{}1234A ?，，，；②若a A ∈，则5a A -∈，符合上述要求的集合A

的个数为 ．

【解析】 答案：3个

习题3. 已知集合{}1,3,21A m =--，集合{}2

3,B m =．若B A ?，求实数m ．

【解析】 由已知22

212101m m m m m =-?-+=?=

习题4. （2007福建）

已知集合{}A xx a =<，{}12B x x =<<，且()A B =R

R U e，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．2a ≤

B ．1a <

C ．2a ≥

D ．2a >

【解析】 答案：C ．{|1B xx =R

≤e或2}x ≥，因为()A B =R R U e，所以2a ≥．

习题5. 定义集合运算：{|(),,}A B z z x y x y x A y B ==+∈∈e ，设集合{0,1},{2,3}A B ==，则集合

A B e 的所有元素之和为（ ） A ．0 B ．6 C ．12 D ．18 【解析】 ⑴当0x =时，无论y 为何值，都有0z =

⑵当1,2x y =

=时，由题意6z =

⑶当1,3

x y ==时，由题意12z = 故集合A B =e {0,6,12}，元素之和为6

1218+=，故选D 家庭作业

习题6. 已知{}{}

222

40,2(1)10

A x x x

B x xa x a =+==+++-=，其中R a ∈，如果A B B

=I ， 求实数a 的取值范围．

【解析】 化简得{}0,4A =-，∵A

B B =I ，∴B A ?． ⑴当B =?时，22

4(1)4(1)0a a ?=+--<

，解得1a <-； ⑵当{}0B =或{}4-时，即B A ü时，224(1)4(1)0a a ?=+--=

，解得1a =-， 此时{}0B =，满足B A ?；

⑶当{}0,4B =-时，2224(1)4(1)0

2(1)4

10a a a a ??=+-->?

-+=-??-=?

，解得1a =． 综上所述，实数a 的取值范围是{1a a =或}1a -≤．