n阶行列式的计算方法

n 阶行列式的计算方法

徐亮

（西北师大学数信学院数学系， 730070 ）

摘要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运．

关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式

The Calculating Method of the N-order Determinant

Xu Liang

(College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ，

Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a )

Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples.

Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant

行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法．

1．定义法

应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法．根据定义，我们知道n 阶行列式

12121211

12121222()

1212(1)n n n

n n j j j j j nj j j j n n nn

a a a a a a a a a a a a π=

-∑

L L L L M M L M L

．

这里

12n

j j j ∑

L 表示对1,2,,n L 构成的所有排列12,,,n j j j L 求和．

例1．计算n 阶行列式

111212122212n n n n n n n

a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=

+++L L M M L M L

．

解：当1n =时，11D a b =+ ；

当2n =时，()()1221D a a b b =-- ；当3n ≥时，

2,,i r r n i n

D -=====

L 11121212121111

0n n n n a b a b a b a a a a a a a a a a a a +++---=---L L M M L M L

1()i r r -表示第一行乘(1)-加到各行上．

故

1112121()()203n a b n D a a b b n n +=??

=--=??≥?

．

由定义知n 阶行列式的展开式有!n 项，计算量很大，它主要应用于行列式中许多元素为零的情况．

2．提公因式法

根据行列式的性质，把一个行列式中某行（列）所有元素的公因子提到列式符号的外边的方法称为提公因式法．即

1112111121121212312

n n i i in i i in n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλ=L

L M M L M M M L M L L M M L M M M L M L

例2．计算n 阶行列式

n a b b b b a b b

D b b a b b b b b a

=L L L

M M M L L

．解：

[][][]121

(1)(1)(1)1111100000(1)(1)0000

(1)()n n n a b b b

a n

b a n b a n b

b a b b

r r r b a b

D b b a b

b b a b b b a b a b b b a b

a n

b a n b b b a b b

a b b b b a

a b

a n

b a b -+-+-+-+++=-=+-=+---=+--L L

L L L L

M M L

M M M M L M

L L L

L L

L M M M L M M M M L M L

3．化三角形法

利用行列式的性质，将行列式化为上（下）三角行列式，然后再计算行列式的值的方法称为化三角形法．

此种方法是把给定的行列式表示为一个非零数与一个三角形行列式之积．所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式，三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的n 阶行列式等于主对角线上元素之积，涉及次

对角线的n 阶行列式等于次对角线上的元素之积且带符号()

(1)

n n --．

总结如下：

（1） 1

a a O = 1

a a *O =

a a *

O = 12n a a a ???．

（对角形）（上三角形）（下三角形）

（2）

a a n

a a *

= ()

()12

121n n n a a a --???．

（次对角形）（次上三角形）（次下三角形）例3．计算n 阶行列式

n a b b b a b D b b a

L L M M L M L

．

解：将行列式的第i 列都加到第1列，()2,3,,i n =L ，可知第1列元素都相同，再提出公因式()1a n b +-????，得

()()()

10010

1n n b b

a b D a n b a b

a n

b a b --=+-????-=+--????L

M M L

M L

例4．计算n 阶行列式

1231231231

n n n n x m x x x x x m x x D x x x m x x x x x m

--=--L L L

M M L M L

．

解：将行列式的第i 列都加到第1列，()2,3,,i n =L ，第1列元素都相同，再提

出公因式1n i i x m =??

- ???

∑，得

()

23123

1231

23232312

32311

11111

100000000

i n i n

i n i n n n i n i n n

n i i n n i i x m

x x x x m

x m x x D x m

x x m x x m

x x x m x x x x m

x x x m x x m x x x x m

x x x m x m m m

m x m ======-=---=

-----??=-- ???

--??=-- ???

-?=--?∑∑∑∑∑∑∑L L

L M

M M L M L

L L

L M M M L M L

L L M M M L M L

4．降阶法

利用行列式的性质，将行列式的阶数化低；然后再计算行列式之值的方法称为降阶法．

根据行列式按行（列）展开法则：n 阶行列式D 等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和．即

()

112211221,2,,1,2,,i i i i in in j j j j nj nj

D a A a A a A i n D a A a A a A j n =+++==+++=L L L L

值得注意的是在使用时应先利用行列式性质，将某一行（列）元素尽可能多地化成零，然后再展开，使计算简便．例5．计算n 阶行列式

0000000000

0000

n x y x

y x D x y y x

L L

L M M M L M M L L

．解：将行列式按第一列展开，得

()

()()

()

111

00000

000001000000000

01n n n n n n n

x y y x x y D x y x y y x

x y +--+=+-=+-L L L

L M M L

M M M M L

M M L

L L

例6．计算n 阶行列式

12323413452121

n D n n =-L L L

M M M L M L

解：将行列式的第i 列都加到第1列，()2,3,,i n =L ，再从第1列中提出公因式

()

n n +，得 ()123134

11145

112

n n n D n +=-L

L L M M M L M L

从第()1n -行开始，各行乘()1-加到下1行，得：

()()()

()

()()

()

1122

231110

111111110

1112

111

0111

112n n n n n n n n n n D n n n n D -----++==

--+=-?

*L L L L L M

M L

M M

M L

其中()

1111

11111

1n n

n D n

---=

-L L M M L M L

．

将1D 用三角形法各行减去第1行，得

()

1111

2111111

101100

11010.

n n n n n n n n n n n n n n

D n n n

n n n n n n n n n ----------

--=

=------

=-=-?L

L L L M M L M M M L M L L

L L M M L M L

将1D 代入()*式，得

()

()()

()()()()12112

211111.22

n n n n n n n n n n D n n ------++=-??-?=-??

5．升阶法

前面介绍了在计算行列式时利用依行（列）展开定理使行列式降阶，从而使问题简化．有时与此相反，即在原行列式的基础上添加一行（列），使其升阶构造一个容易计算的新行列式，从而求出原行列式的值，这种计算行列式的方法称为升阶法．

凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行元素成比例．升阶时，新行（列）由哪些元素组成，添

加在那个位置，这要根据原行列式的特点作出适当的选择．例7．计算n 阶行列式

211212

222

2n n n n n n

c a a a a a a a c a a a D a a a a c a ++=

L M M L M

．

解：将原行列式添加1行1列，得

112

1000n n

n n n n n

a a a c a a a a a D a a c a a a a a a a c a +=++L L L M M M L M L

，将第1行乘()i a -后，加到第()1i +行，得

121

100

0000n n

a a a a c D a c a c

-=--L L L M M M L M L

，将行列式的第j 列分别乘11j c a --，()2,3,,1j n =+L ，加到第1列，就可以变为上三角形行列式，其对角线上的元素为

1,,,,n

i c

c c c -=+∑L ．

得 121

2111n n

n n n i i i i D c c a c c a --==??=+=+ ???

∑∑．

例8．计算n 阶行列式

1231111111111111

a a D a a ++=++L

L L

M M L M L

．

解：将原行列式添加1行1列，得

123111110111101111011110

a a D a a ++=

++L L L L

M M M M L M L

，

将第1行乘()1-加到其余各行上去，得

1231

11110

00100

0100010

a a D a a --=

--L L L

L M M M M L

M L

，

将第i 列分别乘

a ，()2,3,,1i n =+L ，全部加到第1列，得 1

1231111110000

000000000

i i

a a D a a a =+=

∑

L L L L M M M M L M L

，变化为上三角形行列式，得

12111n

n i i D a a a a =??

=+??? ???

∑．

例9．计算n 阶行列式

1231

231

123

n n

x a a a a a x a a a D a a x a a a a a x a ++=++L L L M M M L M L

．解：将原行列式添加1行1列，得

1231231231231

0000

n n n n n

a a a a x a a a a a x a a a D a a x a a a a a x a ++=

++L L L L

M M M M L M L

，

将第i 行，()2,3,,i n =L ，减去第1行，得

12311

0001000

0010

n a a a a x

D x x

--=

--L L L L M M M M L

M L

，将第j 列乘

，()2,3,,j n =L ，加到第1列，得 1231110000

00000000

i a a a a a x x x D x x

=+=

∑L L L L M M M M L

M L

111n n

i i x a x =??=+ ???∑11n

n i i x x a -=??=+ ???∑．

若0x =，显然0D =，故上式对一切x 都成立．

6．递推法

利用行列式的性质，把某一行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的关系式（称为递推关系），根据所得到的递推关系式及低阶某初始行列式的值，便可递推求得所需的结果，这种方法称为递推法．例10．计算n 阶行列式

0001

000100

0000

n a b ab a b ab

a b D a b ab a b

+++=

++L L

L M M M L M M L L

．解：将行列式按第1行展开，得

()()112

00000000

1n n n n ab

a b D a b D ab a b ab a b

a b D abD ---+=+-++=+-L

M M M

L L

于是得到一个递推关系 ()12n n n D a b D abD --=+- 变形得 ()112n n n n D bD a D bD ----=-

则 ()112n n n n D bD a D bD ----=-()223n n a D bD --=-()221n a D bD -==-L

()()2

2n n a a b ab b a b a -??=+--+=??

所以 1n n n D a bD -=+ ，据此再递推，得 ()11222n n n n n n n D a b a bD a a b b D ----=++=++=L 12211n n n n a a b a b b D ---=++++L 1221n n n n n a a b a b ab b ---=+++++L

７．拆开法

利用行列式的性质，按某一行（列）将已知行列式拆为易于求值的若干行列式的和的方法，称为拆开法．

即把某一行（列）的元素写成两个元素的和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两个行列式的和，使问题简化，易于计算．

若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和．即

1112111121111211122

1212

n n n n n n n n n nn n n nn n n nn

a a a a a a a a a a

b a b a b a a a b b b a a a a a a a a a +++=+L

M M L M M M L M M M L M L L L M M L M M M L M M M L M L

例11．计算n 阶行列式

0000

n a a a b a a D b b a b b b =L L L

M M M L M L

．解：将第n 列元素写成两个元素的和，即

000000n a a a b a a D b b a b b b a a

++=+-L L L

M M M L M L

，根据行列式的性质，得

0000000000100010001001

n a a a a a b a a b a D b

b a b b b

b b a b b b a a a a a b a b a a b

b b b b b

b a

=-=?-L L L L L L M M M L M M M M L M L L L L L L L L M M M L M M M M L M L

对上面的第一个行列式，将第n 列乘()b -加到其余各列上；对第二个行列式按第n 列展开，得：

()()

()

111

100

010000

n n n

n n n n b a b a b a a a b a b b a a D a a b b b a b b b a b aD ?-?--------=?-?-=--L

L L L L L

M M L M M M M L

M L

于是获得第一个递推关系 ()1

1n n n D a b aD --=--

如果将n D 按下面方式拆项，又得到

000000000000

n b b a a a b a a a b a a a b a a b a a a a D b b a b b a b a b b b b b b b b -+==-++L L L L L L L

L L M M M L M M M M L M M M M L M L

又得到另一个递推关系 ()

1n n n D b a bD --=--

故有递推关系式 ()()1

n n

n n n n D a b aD D b a bD ----?=--??=--?? 当a b ≠时，解得

()

()()

233211

11n n a n n n n n n D ab a a b ab b a b ab

a b

--------=-++++-=--L

当a b =时，解得

()()

()

()1222221

111n n a n n n n n

D a a a a a n a

------=-++++=--L

例12．计算n 阶行列式

n x a a a a x a a D a a

a a a a x

-=-----L L L

M M M L M L

．解：将n D 的第n 行可写成0,0,,0,a a a x a a ----+L ，则：

00n x a a a x a a a a x a a a x a a D a a x a a a

a x a

a a a a

--=+--------L L L L L

M M M L M M M M L M L

，对第一个行列式，按最后1行展开；对第二个行列式，将最后1列分别加到第1列，第2列，L ，第n-1列，再按最后1行展开，得：

()()

()1

11n n n D x a D a x a --=-++

若将n D 的第n 列写成0,0,,0,a a a x a a ++++-L ，则

()()

()1

12n n n D x a D a x a --=+--

由以上()()1,2两式，可解得

()()12n n

n D x a x a ??=

++-?

? ８．换元法

将行列式的元素进行变换，然后再计算行列式之值的方法，称为换元法．这种方法主要依赖于行列式的下述性质：

111111111

111n n

j kj j k n nn n n nn

a x a x a a x A a x a x a a ==++=+++∑∑L L M

M M L M L

L ．

其中kj A 为元素kj a 在行列式1111n

n nn

a a a a L

M L

中的代数余子式．特别的，如果12n x x x ===L ，则上式变为

11111111

11n n

kj j k n nn n nn

a x a x a a x A a x a x

a a ==++=+++∑∑L L M

M M L M L

．

例13．计算行列式

123n n

a x x x x a x x

D x

x a x x

x x a =L L L M M M L M L

．解：将n D 的所有元素减去x ，得

12300000

000000n a x a x D a x

a x

--=--L

L L M M M L M L

， D 的非主对角线元素的代数余子式等于零，而每一个主对角线元素的代数余子式等于主对角线其余元素的积，则：

()()()()()12311

1111n n

n n ij

i j n

n i i i i D a x a x a x a x x A x a x x a x =====----+??

=-+ ?

-??

∑∑∑∏L

9 利用德蒙（Vandermonde ）行列式

著名的德蒙行列式，在线性代数中占有重要的地位，在计算行列式的时候，可以直接利用其结果．德蒙行列式的形式和结果为

()1232222123

11112

31111n n i

j i n

n n n n n

x x x x x x x x x x x x x x ≤≤≤----=

-∏L L L

M M

M L M

．

例14．计算n 阶行列式

()()()

()()()()()()()()

()

112233222211223311

11112233111

1111111111111n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x ------------=----L

L L M M M

L M L

．

解：将第1列元素变形拆开，得

()()()()()()

()

()()()()()()

()()

()

112233112233222

112233111111223312311223322

1122331111111111111111111111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------------=

----------------=

L L L M M M

L M L

L L L

M M M L

()()()()

11122331111n n n n n x x x x x x x --------L

()()()

()()()()()()()()

()

123112233222211223311

11112233111

1111111111111n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------------+----L

L L M M M

L M L

把第一个行列式从第1行起依次将第i 行加到第()1i +行；第二个行列式的第i 列提取()11,2,,i x i n -=L ，得

()()()

232

2221231

233

3332

2221231231

11112

11111

1111n n n n

n n i n

i n

n n n n n n n n n

n n

i i i j i i j i n

x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =----==≤<≤=+-??

=---????∏∏∏∏L L L L L L M M M L M M M M L M L

综上所述，我们介绍了计算n 阶行列式的9种常见方法，最后指出：计算一个n 阶行列式常常有多种方法，有时需要多种方法配合使用，对于给定的n 阶行列式，究竟选择何种计算方法最简便，还需在实践中积累经验．

参考文献:

[1] 禾瑞，郝炳新．高等代数[M]．第四版．：高等教育，1999． [2] 毛纲源．线性代数解题方法技巧归纳[M]．：华中理工大学，2000．

关于行列式的计算方法8页word文档

行列式的计算方法综述目录 1.定义法（线性代数释疑解难参考） 2.化三角形法（线性代数释疑解难参考） 3.逐行（列）相减法（线性代数释疑解难参考） 4.升降法（加边法）（线性代数释疑解难参考） 5.利用范德蒙德行列式（线性代数释疑解难参考） 6.递推法（线性代数释疑解难参考） 7.数学归纳法（线性代数释疑解难参考） 8.拆项法（课外辅导书上参考） 9.换元方法（课外辅导书上参考） 10.拆因法（课外辅导书上参考）线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法： 1.定义法由定义看出，n级行列式有!n个项。n较大时，!n是一个很大的数字。直接用定义来计算行列式是几乎不可能的事。但在n级行列式中的等于零的项的个数较多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行列式较方便。例1.算上三角行列式解：展开式的一般项为同样，可以计算下三角行列式的值。 2.化三角形法画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上

第１页（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积）求出值。例2.计算解：各行加到第一行中把第二列到第n 列都分别加上第一列的()1-倍，有 3.逐行（列）相减法有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上。因此可以逐行（列）相减的方法化出许多零元素来。例3.计算n 级行列式解：从第二行起，每一行的()1-倍都加上上一行，有上式还不是特殊三角形，但每相邻两行之间有许多相同元素()10或，且最后一行有()1n -元素都是x 。因此可再用两列逐列相减的方法：第()1n -列起，每一列的()1-倍加到后一列上 4.升降法（加边法）升降法是在原行列式中再添加一列一行，是原来的n 阶成为()1n +阶，且往往让()1n +阶行列式的值与原n 阶行列式的值相等。一般说，阶数高的比阶数低的计算更复杂些。但是如果合理的选择所添加的行，列元素，是新的行列式更便于“消零”的话，则升降后有利于计算行列式的值。例4.计算n 级行列式

n阶行列式的计算方法

n 阶行列式的计算方法徐亮（西北师大学数信学院数学系， 730070 ）摘要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运．关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1．定义法应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法．根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ．

#行列式的计算方法 (1)

计算n 阶行列式的若干方法举例 1．利用行列式的性质计算例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 2．化为三角形行列式例2 计算n 阶行列式123123 1 23 1 2 3 1111n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++．解这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1． [][]()()()()()()122323122 3231223231122 3 2 3 211 12, ,2,,11 111 1 1111 1111 11 1n n n n n n n n n i n i n n n n i i i i i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==+++ +++++++??+++++=++ ??? +++ +++?? + ??? ∑∑3110100 111 . 00100 1 n n n i i i i a a a ==?? =+=+ ??? ∑∑

(完整版)行列式的计算方法(课堂讲解版)

计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算例计算行列式 0 0100200 1000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --，故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.

(完整版)三阶行列式的计算

三阶行列式称左式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。目录 1 基本概念 2 计算方法 1 基本概念 2 计算方法 1 基本概念对于三元线性方程组，如上图利用加减消元法，为了容易记住其求解公式，但要记住这个求解公式是很困难的，因此引入三阶行列式的概念。记称上式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。 2 计算方法标准方法是在已给行列式的右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的三个对角线上的数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。例如 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 结果为a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1(注意对角线就容易记住了）这里一共是六项相加减，整理下可以这么记： a1(b2·c3-b3·c2) + a2(b3·c1-b1·c3) + a3(b1·c2-b2·c1) 此时可以记住为： a1*a1的代数余子式+a2*a2的代数余子式+a3*+a3的代数余子式某个数的代数余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。行列式的每一项要求：不同行不同列的数字相乘如选了a1则与其相乘的数只能在2，3行2，3列中找，（即在b2 b3 中找） c2 c3 而a1(b2·c3-b3·c2)+a2(b1·c3-b3·c1)+a3(b1·c2-b2·c1)是用了行列式展开运算：即行列式等于它每行的每一个数乘以它的代数余子式之和某个数的代数余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。

计算N阶行列式若干方法

网上搜集的计算行列式方法总结, 还算可以. 计算n 阶行列式的若干方法举例闵兰摘要：《线性代数》是理工科大学学生的一门必修基础数学课程。行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。计算n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。关键词：n 阶行列式计算方法 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算例1 计算行列式 00100200 10 000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 1122 11!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足

,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即 0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例3 计算n 阶行列式 a b b b b a b b D b b a b b b b a =

行列式的计算方法课堂讲解版

计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算例计算行列式 00100 200 1 0000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --，故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式

(完整版)行列式的计算方法总结

行列式的计算方法总结: 1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式: B A B C A B C A == 0021 , B A B A D D B A mn )1(0 021 -== ,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: n n a b a b a b b a b a b a D 22O N N O = , 利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式 a b b a 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-= n n n n n n n D b a D a b b a D ,此为递推公式,应用可得 n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=--Λ. 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例:n n n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ00 000 01 133112 2113213 21321 321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100 101010 011)(3 332 221 111 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ-------? -=∏=n n n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1 001000 010)(3 332 222111 1 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n i i i i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-? -=∑∏== --------(将第n ,,3,2Λ列加到第一列)

n阶行列式的计算方法

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1定义法 (1) 2利用行列式的性质 (23) 化三角形行列式 (3) 4行列式按一行（列）展开 (4) 5 升阶法 (5) 6 递推法 (6) 7 范德蒙德行列式 (7) 8 拉普拉斯定理 (7) 9 析因法 (8) 小结 (10) 参考文献 (11)

n阶行列式的计算方法学生姓名:孙中文学号：20120401217 数学与计算机科学系数学与应用数学专业指导老师:王改霞职称：讲师摘要：行列式是高等代数中最基本也是最重要的内容之一，是高等代数学习中的一个难点.本文主要探讨一般n阶行列式的计算方法和一些特殊的行列式求值方法.如：化三角形法、拉普拉斯定理法、升阶法等.总结了每种方法的行列式特征. 关键词：行列式；定义；计算方法 Abstract: Determinant is one of higher algebra the most fundamental and important content, is a difficult point in Higher Algebra Learning. This paper mainly discusses the general order determinant of calculation method and some special determinant evaluation method. Such as: triangle method, method of Laplace theorem, ascending order method. This paper summarizes the determinant of the characteristics of each method. Keywords: Determinant ;Definition ;Calculation method 引言行列式是高等代数的一个非常重要的内容，同时它也是非常复杂的.它的计算方法多种多样.在我们本科学习中只解决了一些基本的有规律的行列式.当遇到低阶行列式时，我们可以根据行列式的性质及其定义便能计算得出结果.但对于一些阶数较大的n阶行列式来说，用定义法就行不通了，本文根据各行列式的特征总结了一些对应方法. 1定义法 n阶行列式计算的定义：

n阶行列式的计算方法

n阶行列式的计算方法姓名：学号：学院：专业：指导老师：完成时间：

n阶行列式的计算方法【摘要】本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了几种计算行列式的常用方法。例如：利用行列式定义直接计算法，根据行列式性质化为三角形列式法，按一行（列）展开以及利用已知公式法，数学归纳法与递推法，加边法，利用多项式性质法，拉普拉斯定理的应用。但这几种方法之间不是相互独立，而是相互联系的.一个行列式可能有几种解法，或者在同一个行列式的计算中将同时用到几种方法以简便计算。这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化。【关键词】 n阶行列式行列式的性质数学归纳法递推法加边法

Some methods of an n-order determinant calculation 【Abstract】In this paper, considering the characteristics of determinant, it provides several commonly used methods to calculate the determinant by applying the properties of the determinant . For example ：The direct method of calculation by using the determinant definition . The method of changing the determinant into a triangular determinant According to the properties of the determinant. The method of expanding the determinant by line (column) .using the known formula , the mathematical induction, recursive Method , adding the edge method, using the properties of polynomial , the application of Laplace theorem. These methods are not independent of each other ,but interrelated. There is probably that a determinant has several solutions, or in the calculation of the same determinant there will be used several methods to calculate simply. This requires us to grasp several solution of the determinant，and to find the easiest ways after, so simplify complex issues . 【Key words】n-order determinant the property of the determinant the mathematical induction adding the edge method

行列式的计算技巧与方法总结(同名4612)

行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0 004003002001000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故 004003002001000=() () 241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

nn n n n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a K Λ M O M M M K K K 22113 2133323122211100 0000=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= +K M O M M M K K 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得 121n 11210000D 000n n n a a a b b b b b += =K K M M M O M K . 2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．

特殊行列式与行列式计算方法总结

特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1 221222,11,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 0000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L L L L M M M M M M M M M N L L L L 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????= =? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????= =-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）

行列式计算的若干种方法讲解

中南民族大学毕业论文(设计) 学院: 数学与统计学学院专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法学生姓名: 曹金金学号:08067005

指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师 2012年4月30日

中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 作者签名：年月日

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1 引言 (2) 2.1排列 (2) 2.2行列式的定义 (2) 2.2.1 二阶、三阶行列式 (2) 2.2.2 n阶行列式的定义 (3) 2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3) 2.3 行列式的基本性质 (5) 3几种常见的行列式的计算方法 (6) 3.1利用行列式定义直接计算 (6) 3.2 利用行列式的性质计算 (6) 3.3 三角化法 (7) 3.4 降阶法 (8) 3.5利用范德蒙德行列式求解 (10) 3.6 数学归纳法 (11) 3.7 拆项法 (12) 3.8析因子法 (13) 3.9 加边法(升阶法) (13) 3.10递推公式法 (14) 3.11超范德蒙行列式法 (15) 3.12利用分块计算行列式 (16) 4 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (17)

行列式计算的若干方法摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式. 关键词：行列式；性质；计算方法 Some Methods of Determinant Calculation Abstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paper we first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant. Key words: determinant; property; the calculation methods

n阶行列式的计算方法

n 阶行列式的计算方法 1．利用对角线法则 “对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含 2 项，三阶行列式每项含 3 项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。例 1 计算二阶行列式 D = 1 3 。 2 4 解： D = 1 3 = 1? 4 ? 3 ? 2 = ?2 2 4 例 2 计算三阶行列式 D = 1 2 0 4 ? 3 8 。 0 ?1 2 解： D = 1 2 0 4 ? 3 8 = 1? (?3) ? 2 + 2 ? 8 ? 0 + 0 ? 4 ? (?1) ? 0 ? (?3) ? 0 ? 2 ? 4 ? 2 ?1? 8 ? (?1) 0 ?1 2 = ?14 2．利用 n 阶行列式的定义 a 11 a 12 ? a 1 n n 阶行列式 D = a 21 a 22 ? a 2 n =∑ (?1) τ a 1 p 1 a 2 p 2 ? a np n ? ? ? ( p 1 p 2 ? p n ) a n 1 a n 2 ?a nn 其中 τ = τ( p 1 p 2 ? p n ) ，求和式中共有 n ! 项。显然有 a 11 a 12 ? a 1 n 上三角形行列式 D = a 22 ?a 2 n = a 11 a 22 ? a nn ? ? a nn a 11 下三角形行列式 D = a 21 a 22 ? = a 11 a 22 ? a nn ? ? a n 1 a n 2 ?a nn

关于行列式的一般定义与计算方法

关于行列式的一般定义和计算方法 n 阶行列式的定义 n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11= n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1( 2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和; 3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积; 特点:(1)(项数)它是3!项的代数和; (2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积. 其一般项为: (3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列; 三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列. § 行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。 32 2311332112312213a a a a a a a a a 32 21133123123322113332 31 232221 13 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D （1

即 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11= nn n n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号. 如: D=d c b a =ad-bc , b a d c =bc-ad= -D 以r i 表第i 行，C j 表第j 列。交换 i ,j 两行记为r j i r ,交换i,j 两列记作C i C j 。性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k 的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。（第i 行乘以k ，记作r i k ）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式 D 等于两个行列式 D 1 和 D 2 的和。

行列式的计算方法

行列式的计算方法摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,行列式的计算是一个重要的问题。本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。关键词：行列式矩阵降阶 The Methods of Determinant Calculation Abstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples. Keywords:determinant matrix reduction. 1．引言线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,

四阶行列式的计算

四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式 1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）

行列式的几种求法

行列式的求法有多种，以下简单进行总结。一、逆序定义法行列式的逆序法定义如下： 1212121112121222(,,......,)12,,......,1 2(1)......n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a τ= -∑ 这里，12,,......,n j j j 为1,2,...,n 的任一排列，12(,,......,)n j j j τ为该排列的逆序数，求和是对所有的排列求的，因此，该和式一共有!n 项，每项都是n 个数相乘，并得计算逆序数，计算量巨大。因此，一般而言，逆序法定义具有理论上研究的意义，而比较少用于求行列式。但是，如果行列式的项中有大量的0，那么用逆序法计算可能会很简单。以下举例如下：例1：求 11 22 nn a a a 。解答： 12121211 22 (,,......,)12,,......,(1)......n n n j j j j j nj j j j nn a a a a a a τ= -∑ 只当11j =，22j =，……，n j n =，其项才可能非零。因此， 11 22 (1,2,......,)01,12,2,1,12,2,1,12,2,(1)......(1)............n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a τ=-=-= 例2、求 1 2 n d d d 。解答： 1212121 2 (,,......,)12,,......,(1)......n n n j j j j j nj j j j n d d a a a d τ= -∑ 只当1j n =，21j n =-，……，1n j =，其项才可能非零。因此，

n阶行列式的计算方法

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