研究性学习_对勾函数研究
对勾函数研究学习论文
用几何做图方法画出函数y=x+1/x和y=x+3/x的图像。
从函数图像上，观察得到函数的单调性、对称性，以及函数大致的值域和定义域。
为了获取函数精确的值域和定义域，我们使用了基本不等式的相关知识。
以y=x+1/x为例，其单调性为：[-1,0）和（0,1]区间上，函数是递减的；在（-∞，-1）和（1，+∞）区间上，函数是递减的对称性：该函数图像是以原点为对称中性的中心对称图形。
值域：（-∞，-2]∪[2，+∞]定义域：（-∞，0）∪（0,+∞）。
在掌握函数在特殊取值情况下的一般性质之后，我们从互联网上搜索到关于函数y=ax+b/x的相关内容。
我们了解到y=ax+b/x这样的函数叫对号函数，别名耐克函数，图像为：五，课题研究结果y=ax+b/x性质的总结。
（主要为a＞0，b＞0时的性质）定义域（-∞，0）∪（0，+∞）值域（-∞，-2「ab]∪[2「ab，+∞）对称性关于原点O对称单调性：①（0，「b/a」∪（-「b/a，0），函数是递减的②（-∞，-「b/a）∪（+「b/a，+∞），函数递增的最值① x＜0，当x=-「b/a时，ymax=-2「ab② x＞0，当x=「b/a,ymin=2「ab从特殊性推广到一般性。
我们参照从网上得到的信息总结了以下表格中的部分性质。
特殊性质：①对号函数是双曲线旋转得到的。
同双线一样也有渐近线，顶点等。
（以y=x+1/x为例：其方程为rsinα＝rcosα+1/rcosα,逆时针旋转22.5度后为rsin(α-π/8)＝rcos(α-π/8)+1/rcos(α-π/8),化简即得，其实半轴平方为2^1/2+2,虚半轴平方为2^1/2-2，离心率平方为4-2^1/2）基于对号函数的以上性质，它常用于研究函数的最值和恒成立问题。
例如：对于函数f（x）=12/x+3x的x＜0时最大值，x＞0时最小值可轻易由对号函数的性质可以知道x＜0时，ymax=-6。
x＞0时ymin=6.当然这只是在数学中的简单而又基本的应用，稍复杂的应用会在与求含两个变量的最值如已知正数x,y满足8/x+1/y=1，求x+2y的最小值。
对勾函数论文
対勾函数的研究课题组长：陈雅明课题成员：陈嘉绪、白烨、王倩茹提要：中文：对于対勾函数图像、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性的初步研究。
英文：Check mark function引言：对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材中不出现而考试总喜欢考，所以也注意和了解它。
文章主体：（1）定义：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。
形如f(x)=ax+b/x 的函数称之为対勾函数。
（2）图像：①a=0 或b=0 时：为简单的单调函数，不予研究。
② a>0，b>0 时：③ a<0，b<0时：④ a>0，b<0时：⑤ a<0，b>0 时：接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
（3）对勾函数的顶点解决对勾函数的顶点问题与均值不等式密不可分。
已知(a-b)2≥0→a2-2ab+ b2≥0有a2+2ab +b2≥ 4ab，(a+b)2≥4ab→a+b≥2sqrt (ab)得ax+b/x套入均值不等式：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：（4）对勾函数的定义域、值域由解析式：f(x)=ax+b/x 得定义域为：（5）周期性：由图像可知：対勾函数为非周期函数。
（6）奇偶性：对于f(x)=ax+b/x∵ f(x)=ax+b/x f(-x)= -（ax+b/x ）f(x)= - f(x) ∴ 対勾函数为奇函数（7）单调性 对于xb ax y += 函数xb ax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。
在时且00≠≠b a 有如下几种情况：(1)0,0<>b a(2)0,0><b a(3)0,0>>b a(4)0,0<<b a设ax y =1，x b y =2，则xb ax y y y +=+=21，其定义域为{}0,|≠∈x R x x 且 (1)0,0<>b a 时，ax y =1，xb y =2在),0(),0,(+∞-∞上分别单调递增。
对勾函数详细分析
对勾函数详细分析对勾函数，又称为Heaviside函数或者单位阶跃函数，是一种常见的数学函数。
它在控制系统、信号处理和电路分析等领域具有广泛的应用。
在数学上，对勾函数可以通过以下方式定义：H(x)=0,x<0H(x)=1/2,x=0H(x)=1,x>0其中，H(x)表示对勾函数，x为自变量。
从定义可以看出，对勾函数在x小于0时取0，在x等于0时取1/2，在x大于0时取1对勾函数在数学上的精确定义可以依赖于Laplace变换或者Fourier 变换等数学工具，用于解决微积分和微分方程等问题。
在实际应用中，对勾函数通常以数学形式存在，用于描述信号的开关行为。
在控制系统中，对勾函数可以表示系统的阶跃响应。
阶跃响应是指当输入信号为一个单位阶跃函数时，系统所产生的响应。
对勾函数可以帮助分析系统的稳定性、零极点和频率响应等性质。
在信号处理中，对勾函数可以用于描述数字信号的采样和量化过程。
当对一个连续信号进行采样时，可以将采样函数表示为对勾函数。
对勾函数在离散时间中具有单位阶跃响应的特性，可以用于分析信号的频谱和滤波等问题。
在电路分析中，对勾函数可以用于描述开关电路的动态响应。
开关电路通常包含开关元件和电容、电感等被控元件。
对勾函数可以帮助确定电路的稳态和暂态响应，并且可以用于分析电路中的信号传输、噪声和功耗等问题。
此外，对勾函数在概率论和统计学中也有应用。
例如，对勾函数可以用于计算累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）。
对勾函数可以将离散随机变量转化为连续随机变量，以进行概率计算和数值模拟等工作。
对勾函数具有一些重要的性质。
首先，它是一个连续函数，但不是光滑函数。
它在x=0处的导数不存在，即导数不连续。
其次，对勾函数是一个奇函数，即H(-x)=1-H(x)。
此外，对勾函数是一个分布函数，满足概率的基本性质，即0≤H(x)≤1总结起来，对勾函数是一个常用的数学函数，具有广泛的应用。
它可以表示系统的阶跃响应，在信号处理和电路分析等领域发挥重要作用。
对勾函数详细分析
对勾函数详细分析对勾函数是一种经典的激活函数，在人工神经网络中被广泛使用。
它的主要特点是非线性，能够接受任意实数作为输入，输出范围在0和1之间。
在本文中，我们会详细分析对勾函数的定义、数学性质、应用以及优缺点。
对勾函数的定义为 f(x) = 1 / (1 + exp(-x))，其中 exp(x) 表示自然指数函数。
这个函数的图像是在x轴上下限分别为负无穷大和正无穷大，y轴上下限分别为0和1的S形曲线。
当 x 趋近正无穷大时，f(x) 趋近于1；当 x 趋近负无穷大时，f(x) 趋近于0。
对勾函数的主要数学性质如下：1.非线性：对勾函数是一种非线性函数，这是它被广泛使用的主要原因之一、它可以通过增加网络的复杂度来学习复杂的非线性模式。
2.可微性：对勾函数是连续可导的函数，这使得它可以与其他函数进行组合，形成复杂的神经网络结构。
对勾函数的导数f'(x)可以通过对f(x)进行求导得到，其表达式为f'(x)=f(x)(1-f(x))。
3.单调性：对勾函数是单调递增的，这意味着当输入值增加时，输出值也会增加。
这种单调性有助于网络的学习过程。
对勾函数在人工神经网络中的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.模式识别：对勾函数可以用于二分类问题的模式识别。
例如，在人脸识别中，可以使用对勾函数作为分类器来判断输入图像是人脸还是非人脸。
2.概率估计：对勾函数可以将实数映射到概率值的范围（0到1之间）。
这在机器学习中经常用于估计事件发生的概率。
3.深度学习：对勾函数是目前最流行的神经网络模型，深度神经网络中的常用激活函数。
它可以通过复杂的网络结构来学习高级的非线性模式。
虽然对勾函数有许多优点，但它也有一些缺点。
1.饱和性：当输入值较大或较小时，对勾函数的导数值会趋近于0，导致梯度消失的问题。
这会导致网络训练过程中的梯度更新过小，使得学习过程变得缓慢。
2.输出范围限制：对勾函数的输出范围为0和1之间，这意味着对勾函数不能表示负数的情况。
1 对勾函数的性质及应用
1 对勾函数的性质及应用对勾函数是一种常见的数学函数形式，在不同领域中有着广泛的应用。
它的性质包括有界性、递增性、连续性和可导性等。
本文将详细介绍对勾函数的性质及其在各领域中的应用。
对勾函数的定义为：\[ f(x) = \begin{cases} 0, & \text{if } x < 0 \\ x, & \text{if } 0 \leq x \leq 1 \\ 1, & \text{if } x > 1 \end{cases} \]首先，对勾函数具有有界性。
在定义域上，函数的取值范围被限定在0和1之间。
当输入小于0时，函数取值为0；当输入大于1时，函数取值为1。
这使得对勾函数在一定范围内有着固定的输出，这种特性在一些问题的建模中非常实用。
其次，对勾函数是递增的。
在定义域内，随着输入的增加，函数的值也会逐渐增加。
当输入从0到1时，函数的值从0逐渐增加到1。
由于递增性，对勾函数常常用来表示随着某个条件的改变，结果的增长或减少的情况。
第三，对勾函数是连续的。
在定义域内，对勾函数没有跳跃或断裂点，可以表示为一条连续的曲线。
这使得对勾函数在各种数学和统计分析中非常方便，例如用于求解连续函数的极值点、最小二乘法估计等。
最后，对勾函数是可导的。
在定义域内的大部分点上，对勾函数都是可导的。
只有在分界点0和1处可能不可导，因为函数在这些点的左右导数可能不相等。
然而，在实际问题中，由于对勾函数在这些点的函数值不连续，导数的存在与否并不会对问题的求解造成太大影响。
对勾函数具有广泛的应用。
下面将分别介绍对勾函数在数学、物理、经济和计算机科学等领域中的应用。
在数学中，对勾函数常用于分段函数的表示。
分段函数是一种函数形式，它在不同的定义域上有着不同的表达式。
由于对勾函数的定义形式简单，且具有可读性，因此常常用来表示分段函数。
例如，在微积分中，对勾函数常用于表示阶梯函数、指示函数等。
在物理学中，对勾函数常用于表示信号的限制和变换。
对勾函数的研究-课题研究
研究形如()0b y ax ab x =+≠函数的图像及其性质 一﹑形如()0b y ax ab x=+≠函数的分类与命名 形如()0b y ax ab x =+≠的函数可分成四类1 (0,0)()F a b b x ax x >>=+、2()F b x ax x =+ (0,0)a b ><、3 (0,0)()F a b b x ax x <<=+、4(0,0)()F a b b x ax x <>=+， ❖ 当y =ax+b/x （a>0)时，这种函数称为双勾函数（双曲线函数），也被称为“勾函数”“耐克函数”或“耐克曲线” “对号函数”。
①对勾函数实际是一种类似于反比例函数的一般函数。
它的形式有b/x 的成分（即反比例函数的成分），所以函数y=ax+b/x 的图象也是双曲线 ②这个函数的名字就是由函数y=ax+b/x 的图象在第一象限形状就是个像耐克的品牌徽标一样﹑也像个对号，因而得名。
二﹑y=ax+b/x(a ≠0,b ≠0)函数的图像①当a=0，b ≠0时为y=b/x ，是初中学习过的，是双曲线 ②当a ＝0,b ＝0时,函数y ＝ax ＋b ／x 即为X 轴 ③当a ≠0,b ＝0时,函数y ＝ax ＋b ／x 即为直线 ④当a ≠0，b ≠0时，y=a[x+(b/a)/x]，故只需考虑y=x+c/x 的图象，c>0时的图像如图高一17班 陈思维C＜0时的图像如图三、耐克函数的定义域与值域函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 值域为(-∞,0)∪(0,+∞)。
四、函数单调性•a、b同正，在单调递增，在单调递减，在单调递减，在单调递增。
•a、b同负，在单调递减，在单调递增，在单调递增，在单调递减。
在我们高中数学解题中，形如()0b y ax ab x =+≠函数的考察屡见不鲜，往往会难倒学生，通过这次的讨论与研究，大家会掌握它的图像与基本性质，了解方法，从而达到解题方便。
有关对勾函数、分数函数性质的研究
有关两个特殊函数性质的研究报告报告内容：对)00(,≠≠b a x b y=ax+且和)0(,≠-bc ad cx+dax+by=性质进行分析，包括定义域、图像、至于、奇偶性、单调性、单调区间、最大值和最小值等特征，写出研究报告。
一、关于函数)00(,≠≠b a xb y=ax+且性质的讨论1. 当00>,>b a 时【特例】当1==b a 时，函数化为()x=x+x f 1。
①定义域为()()∞0,∞,0+- 。
②奇偶性：⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-x x+x x+x f 11)( ()x f -=函数为奇函数。
之后只需讨论0>x 时情况。
()0>x 时，③单调性： )1(212112--=∆x x x x x x y ，令01,2121=-==x x x x x ，解得1=x ，当 1021<<<x x 时，()x f 为减函数；当 21<<1x x 时，()x f 为增函数。
④渐近线：当+→0x 时，xy 1→；当∞+→x 时，+→x y 。
⑤作出函数图象，如图1。
⑥值域：当1=x 时，()x f 有最小值2，值域为()∞+,2。
【推广】 x b y=ax+。
①定义域为()()∞0,∞,0+- 。
②奇偶性：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x b ax+x f ()x f -=，函数为奇函数。
()0>x 时，③单调性：()b x ax x x xx x b ax x b y=ax --=--+∆2121121122，令x x x ==21，021=-b x ax 解得aabx =，当 a ab x x <<<210时，()x f 为减函数；当 21x x a ab <<时，()x f 为增函数。
④渐近线：当+→0x 时，xby →；当∞+→x 时，+→ax y 。
⑤图象略。
⑥值域：当a ab x =时，()ab ababa ab a x f 2=+=，即为最小值ab 2，值域为()∞+,2ab 。
对勾函数知识点总结
对勾函数知识点总结对勾函数是一种常见的数学函数，也被称为Kronecker delta函数。
它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将对对勾函数的定义、性质和应用进行总结。
一、对勾函数的定义对勾函数是一个二元函数，通常用符号δ(i,j)表示。
它的定义如下：当i=j时，δ(i,j)=1；当i≠j时，δ(i,j)=0。
简单来说，对勾函数在i=j时取值为1，在i≠j时取值为0。
这个函数的定义看起来很简单，但它在实际应用中有着重要的作用。
二、对勾函数的性质1. 对勾函数是对称的，即δ(i,j)=δ(j,i)。
2. 对勾函数满足线性性质，即对于任意的实数a和b，有δ(i,j)=aδ(i,j)+bδ(i,j)。
3. 对勾函数在矩阵运算中有着重要的作用。
例如，对于一个n阶方阵A，可以定义一个n阶单位矩阵I，其中I(i,j)=δ(i,j)。
这样，矩阵A和I的乘积就等于A本身。
三、对勾函数的应用1. 矩阵运算对勾函数在矩阵运算中有着广泛的应用。
例如，在线性代数中，可以使用对勾函数来定义矩阵的转置、逆矩阵等运算。
2. 离散信号处理对勾函数在离散信号处理中也有着重要的应用。
例如，在数字信号处理中，可以使用对勾函数来表示离散时间信号的采样。
3. 物理学对勾函数在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在量子力学中，可以使用对勾函数来表示量子态之间的内积。
对勾函数是一种非常重要的数学函数，它在数学、物理、工程等领域中都有着广泛的应用。
对勾函数的定义、性质和应用都需要我们深入学习和掌握。
对勾函数的性质及图像
对勾函数的性质及图像
对勾函数是一类常见的抽象函数，它也被称为条件函数。
以一般形式来讲，它有两个参数：一个表示参数，另一个表示值，它把第一个参数映射到第二个参数，其表达式为：y=f(x)，当且仅当条件C成立时才有定义。
这里，参数x表示满足条件C的状态，而参数y表示对应的返回的值。
二、对勾函数的特性
（1）对勾函数是一种非线性函数，它的表达式不是一次方程或者一个多项式，它的表达式可以是任意的。
（2）当参数f与参数x相同时，对勾函数的值也可以不同。
（3）对勾函数是一种强烈以条件为导向的函数，只有当条件C 满足时，函数f才有定义，这使得对勾函数可以精准地控制函数参数的行为。
三、对勾函数的图像
对勾函数的图像包括折线图、曲线图以及平面图等多种类型。
用折线图表示时，把y=f(x)作为一组直线方程可以分别画出两条直线，而这两条直线都是y>=(f(x)的解析解。
用曲线图表示时，可以把对勾函数的图像表示为一条曲线，其中的曲线是y>=(f(x)的解析解，因此曲线图可以表示函数f的连续性。
四、总结
对勾函数是一类常见的抽象函数，它的表达式可以是任意的，且只有当特定条件满足时才有定义。
对勾函数的图像可以用折线图、曲
线图以及平面图等多种类型表示。
这些特性使得对勾函数在许多方面得到了广泛的应用，例如在人工智能中，它通常用于推理过程，给定一组条件，可以用函数f来计算出各种可能的结果，从而让系统变得更加智能。
对勾函数专题讲解
对勾函数专题讲解专题：对勾函数及其应用1.对勾函数定义对勾函数是指形如 y = ax + (a>0.b>0) 的一类函数，因其图像形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。
2.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的性质1) 定义域：(-∞。
0) ∪ (0.+∞)。
2) 值域：(-∞。
-2ab] ∪ [2ab。
+∞)。
3) 奇偶性：在定义域内为奇函数。
4) 单调性：(-∞。
-a/b)，(a/b。
+∞) 上是增函数；(-a/b。
0)，(0.a/b) 上是减函数。
3.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的单调区间的分界点：±a/b。
求分界点方法：令 ax = 0，即可得到 x = ±a/b。
特殊的，当 a>0 时，y = x + 的单调区间的分界点为 ±a。
4.对勾函数应用时主要是利用其单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解。
5.利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若 a>0，b>0，则 x>0 时，ax + b ≥ 2ab。
当且仅当 ax = b，x = a/b 时取等号。
例1：已知 f(x) = x + (x>0)，求 f(x) 在下列区间的最小值：(1) [1,2]。
(2) [3,4]。
(3) [-3,-1]。
变式训练：已知函数 f(x) = x^2 - 2x - 1，求其值域。
例2：求函数 f(x) = (x+2)/((1+x^2)(x^2+5)) 的最小值，并求此时 x 的值。
变式训练：求函数 f(x) = (x-1)/(x-1) 的值域。
强化训练：1.下列函数中最小值是 4 的是 ()。
A。
y = x^4 + x^2B。
y = x^4 + xC。
y = x^4 - xD。
y = x^2 + 42.函数 y = x/(x^2+1)。
x∈(1,3] 的值域为 ()。
对勾函数初探探究课程
对勾函数初探探究课程课程简介本课程旨在探究数学中的对勾函数，帮助学生深入理解对勾函数的概念、性质和应用。
通过本课程的学习，学生将能够熟练掌握对勾函数的图像、定义域、值域以及它在解析几何和代数方程中的应用。
课程内容本课程将包括以下内容：1.对勾函数的定义和性质对勾函数的基本定义对勾函数的图像和特点对勾函数的定义域和值域2.对勾函数的应用对勾函数在解析几何中的应用对勾函数在代数方程中的应用3.对勾函数的练习和解析对勾函数图像练习题对勾函数相关方程的求解课程目标通过本课程的学习，学生将达到以下目标：1.理解对勾函数的概念和性质；2.熟练绘制对勾函数的图像，并分析其特点；3.掌握对勾函数的定义域和值域，并能够应用到解析几何和代数方程中；4.能够解决与对勾函数相关的练习和问题。
授课方式本课程采用多种授课方式，包括但不限于：1.理论讲解：通过讲解对勾函数的定义、性质和应用，帮助学生建立起对这一概念的全面认识；2.图像绘制：通过实例演示和练习，引导学生掌握绘制对勾函数图像的技巧；3.解析求解：通过例题和习题，在实践中帮助学生巩固对勾函数的理解并熟练解决问题。
课程评估学生的学习成果将通过以下方式进行评估：1.课堂参与度：学生在课堂上的互动、提问和解答问题的能力；2.作业完成情况：学生按时完成的课后作业和习题练习；3.考试表现：学生在期末考试中对对勾函数相关知识的掌握程度。
授课教师本课程将由经验丰富的数学教师授课，他们具有教学经验和对勾函数领域的专业知识。
结束语通过对勾函数初探探究课程的学习，学生将能够更加深入地理解对勾函数的概念和特性，并能够运用到实际问题中。
欢迎同学们参加本课程，一起探究对勾函数的奥秘！。
对勾函数的性质及图像
对勾函数的性质及图像一、引言在数学中，对勾函数是一种常见的函数类型，其性质和图像具有一定的特点。
本文将探讨对勾函数的定义、性质以及绘制其图像的方法。
通过深入研究对勾函数，我们可以更好地理解其在数学中的应用和意义。
二、对勾函数的定义对勾函数通常用符号\( y = \sin(x) \) 表示，其中\( \sin \) 代表正弦函数。
正弦函数是周期性函数的一种，其定义域为实数集，值域在区间\([-1, 1]\)内取值。
对勾函数具有以下几个重要的特点：1.周期性：对勾函数以\( 2\pi \)为一个完整的周期，在每个周期内函数值重复。
2.奇函数性质：对勾函数关于原点对称，即\( \sin(-x) = -\sin(x) \)，这是因为正弦函数是奇函数。
3.连续性：对勾函数在其定义域内是连续的。
三、对勾函数的性质对勾函数具有许多重要的性质，包括但不限于：1.基本性质：对勾函数在整个实轴上都有定义，且处处可导。
2.最值点：对勾函数在\( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)和\( x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \)处取得极值，其中\( k \)为整数。
3.周期性：对勾函数的周期为\( 2\pi \)，即\( \sin(x) = \sin(x + 2k\pi)\)，其中\( k \)为整数。
4.导数性质：对勾函数的导数为余弦函数，即\( y’ = \cos(x) \)。
5.零点：对勾函数在\( x = k\pi \)处取零点，其中\( k \)为整数。
四、对勾函数的图像为了更直观地理解对勾函数的性质，我们可以通过绘制其图像来观察其特点。
下面是一些绘制对勾函数图像的方法：markdown python import numpy as np import matplotlib.pyplot as pltx = np.linspace(-2np.pi, 2np.pi, 1000) y = np.sin(x)plt.plot(x, y, label=’y = sin(x)’) plt.axhline(0, color=’black’,linewidth=0.5)plt.axvline(0, color=’black’,linewidth=0.5) plt.grid(color = ‘gray’, linestyle = ‘–’, linewidth = 0.5)plt.xlabel(’x’) plt.ylabel(’y’) plt.title(’Graph of sin(x)’) plt.legend() plt.show()通过上述代码，我们可以生成对勾函数\( y = \sin(x) \)的图像。
对勾函数知识点
对勾函数知识点对勾函数是一种常见的数学函数，也是离散数学中的一个重要概念。
它在逻辑学、集合论等领域有着广泛的应用。
本文将从对勾函数的定义、性质以及实际应用等方面进行介绍，以帮助读者更好地理解和运用对勾函数。
一、对勾函数的定义和性质对勾函数，又称为特征函数、示性函数或指示函数，是一种从一个集合到一个二元集合（通常是{0, 1}）的函数。
对于给定的集合A，对勾函数的定义如下：f(x) = {1, if x ∈ A;0, if x ∉ A.其中，x表示集合A中的元素，∈表示属于的关系。
对勾函数的性质如下：1. 对勾函数的值只能是0或1，表示元素是否属于集合A。
2. 对勾函数是一种离散函数，它只对集合A中的元素有定义。
3. 对勾函数是一种分段函数，对于集合A中的元素，对勾函数的值为1，对于不属于集合A的元素，对勾函数的值为0。
4. 对勾函数的定义域是集合A的全体元素组成的集合，值域是{0, 1}。
二、对勾函数的实际应用对勾函数在逻辑学、集合论以及计算机科学等领域有着广泛的应用。
下面我们将介绍对勾函数在这些领域中的具体应用。
1. 逻辑学中的应用：在逻辑学中，对勾函数常被用来表示命题的真假。
如果一个命题为真，则对应的对勾函数值为1；如果一个命题为假，则对应的对勾函数值为0。
通过对勾函数，我们可以方便地进行逻辑推理和证明。
2. 集合论中的应用：对勾函数在集合论中起到了重要的作用。
通过对勾函数，我们可以方便地表示集合之间的关系和运算。
例如，两个集合的交集可以用对勾函数表示为两个对勾函数的乘积；两个集合的并集可以用对勾函数表示为两个对勾函数的最大值。
3. 计算机科学中的应用：对勾函数在计算机科学中有着广泛的应用。
例如，在算法设计中，对勾函数可以用来表示某个元素是否满足某个条件，从而方便地进行选择和判断。
在数据结构中，对勾函数可以用来表示一个集合是否为空，从而实现集合的操作和处理。
三、对勾函数的扩展除了上述介绍的基本对勾函数外，还有一些对勾函数的扩展形式。
(完整版)对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，by ax x=+≥ab 2（当且仅当b x a ，即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（ab -,0）二、对勾函数的变形形式 类型一：函数by ax x=+)0,0(<<b a 的图像与性质 1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞ 2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限, 当x<0时，)(x f 在x=ab 时，取最小值ab 2；当0x >时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（0，ab ），（a b -,0）减区间是（∞+,a b ），（ab -∞-,）,类型二：斜勾函数by ax x=+)0(<ab ①0,0<>b a 作图如下1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-∞，0），（0，+∞）.②0,0><b a 作图如下：1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-∞，0），（0，+∞）.类型三：函数)0()(2>++=ac xcbx ax x f 。
(完整版)对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用、 对勾函数 y ax b (a 0,b 0) 的图像与性 x质：1. 定义域： ( ,0) (0, )2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, )原点呈中心对称，即 f(x) f( x) 0即 f (x) 在 x= b时，取最小值 2 ab a、 对勾函数的变形形式2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, )3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 对勾”的形状，且函数图像关于4.图像在一、三象限 , 当 x 0 时， y axb2 ab (当且仅当 x b取等号)， 由奇函数性质知：当x <0 时， f (x) 在 x= b时，取最大值 2 ab a 5.单调性：增区间为(,b) ,a, 减区间是( 0 ，类型一：函数 y ax b (a 0,b x 质1. 定义域： ( ,0) (0, )0)的图像与性3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状4. 图像在二、四象限, 当x<0时，f （x）在x= b时，取最小值 2ab；当x 0时，af（x）在x= b时，取最大值 2 aba5. 单调性：增区间为（0，b），（b,0 ）减区间是（b, a a a,b a)类型二：斜勾函数y ax b（ab 0）x① a 0,b 0 作图如下1. 定义域：（ ,0）（0, ）2. 值域：R3. 奇偶性：奇函数4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5. 单调性：增区间为（- ，0），（0，+ ）② a 0,b 0 作图如下：1. 定义域：( ,0) (0, )2. 值域：R3. 奇偶性：奇函数4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值5. 单调性：减区间为（- ，0），（0，+ ）2此类函数可变形为 f(x) ax cb ，可由对勾函数 y axc 上下平移得到 x x2练习 1.函数 f(x) x x 1 的对称中心为x类型四： 函数 f (x) x a (a 0,k 0)xk此类函数可变形为 f (x) (x k a ) k ，则 f ( x)可由对勾函数 y x a 左右平移， x k x 上下平移得到练习 1. 作函数 f(x) x 1 与 f(x) x 3 x 的草图x 2 x 22. 求函数 f (x) x 1 在 (2, )上的最低点坐标2x 4 3. 求函数 f(x) x x 的单调区间及对称中心x1a. 若 a 0 ，图像如下：1．定义域：( , ) 2. 值域：[ a 2 b ,a 2 b ]3. 奇偶性：奇函数 .4. 图像在一、三象限 . 当 x 0时， f (x) 在x b 时， 取最大值 a ，当 x<0 时， f(x)在 x= b 时，取最小值 a2 b 2 b5. 单调性：减区间为( b, )，( , b )；增区间是 [ b, b]类型三函数 f(x)ax 2 bx c(ac 0)x类 型 五 ： 函数 af(x) 2 xbx( )axf (x)2xa b xxb (a 0,b 0) 。
对勾函数初探研究方案
对勾函数初探研究方案1. 研究背景对勾函数（Tick Function）是一种常用于编程中的概念，它通常用于执行周期性任务或定时任务。
对勾函数在游戏开发、动画制作和实时系统等领域具有重要应用价值。
本研究旨在深入探索对勾函数的原理、应用和优化方法。
2. 研究目标本研究的主要目标如下：- 分析对勾函数的原理和基本特征。
- 研究对勾函数在实时系统中的应用场景。
- 探讨对勾函数的优化方案，提高其执行效率。
- 尝试应用对勾函数解决实际问题，验证其有效性和实用性。
3. 研究内容本研究计划包括以下内容：- 对对勾函数的概念和原理进行详细解析。
- 调研对勾函数在游戏开发、动画制作和实时系统等领域的应用情况。
- 分析对勾函数的性能瓶颈，并提出优化方案。
- 设计实验，验证对勾函数的能力和效果。
- 总结研究结果并撰写研究报告。
4. 研究方法本研究将采用以下方法对对勾函数进行探索和研究：- 文献综述：查阅相关文献和资料，了解对勾函数的基本原理和应用情况。
- 分析比较法：对不同应用场景下的对勾函数进行对比分析，找出其共性和差异。
- 实验研究法：设计合适的实验，验证对勾函数的性能和效果。
- 编程实践：尝试使用对勾函数解决实际问题，观察并分析其效果。
5. 预期成果通过本研究，预期可以达到以下成果：- 对对勾函数在实时系统中的应用场景和优势进行全面了解。
- 提出一些对勾函数的优化方案，改善其性能和效率。
- 验证对勾函数在解决实际问题中的有效性和实用性。
6. 时间计划本研究的时间计划如下：- 第1个月：查阅文献，了解对勾函数的基本原理。
- 第2个月：分析对勾函数的应用场景和性能瓶颈。
- 第3个月：设计实验，验证对勾函数的能力。
- 第4个月：总结研究结果，撰写研究报告。
7. 预期影响本研究的预期影响如下：- 为对勾函数的应用提供理论依据和实用指南。
- 促进对勾函数在实时系统领域的应用和优化。
- 为相关领域的开发者和研究者提供可参考的研究成果。
高中数学探究对勾函数教案
高中数学探究对勾函数教案
授课内容：对勾函数
目标：学生能够了解对勾函数的定义，性质，图像特征并且能够灵活运用对勾函数解决实
际问题。
一、引入问题：
通过一个简单实际问题引入对勾函数的概念，比如：“有一条弹簧，一头固定在地面，另
一头系有一个重物。
当重物在下沉时，弹簧会被拉伸，当重物又被提起时，弹簧又被压缩。
问：弹簧拉长或缩短的关系是否有规律可循？”
通过这个问题，引出对勾函数的概念。
二、学习对勾函数的定义和性质：
1. 对勾函数的定义：对勾函数是定义在实数集上的一种周期性函数，其周期为2π。
通常
表示为y = sinx。
2. 对勾函数的性质：周期性、奇函数、值域、图像特征等。
通过数学推导和图像展示，让
学生了解对勾函数的一些基本性质。
三、练习对勾函数的图像绘制：
让学生通过计算和使用数学软件，绘制对勾函数的图像，并观察其周期性、奇函数性质、
振荡幅度等特征。
四、实际问题探究：
通过一些实际问题，引导学生用对勾函数来解决问题，比如：“一个摆锤在重力作用下摆动，问：摆锤摆动的高度与时间的关系是否可以用对勾函数表示？”
通过这个实际问题的探究，让学生理解对勾函数在解决实际问题中的应用。
五、课堂讨论和展示：
让学生分享他们对对勾函数的理解和应用，让学生之间相互交流，促进对勾函数的深入理解。
六、作业：
布置相应的练习和作业来巩固学生对对勾函数的理解和应用，确保学生在课下能够独立掌
握对勾函数的相关知识。
通过以上的教学过程，相信学生可以对对勾函数有一个全面的理解和掌握，同时也增加了对数学的兴趣和学习动力。
对勾函数与飘带函数的探究与应用(1)(2)
对勾函数和飘带函数的探究及简单应用一、学习目标1、学会从函数的三要素和函数的性质等方面去研究一个函数2、探究对勾函数和飘带函数的图象和性质，并会进行简单应用.二、学习重点、难点1、如何对一个新函数进行研究2、探究对勾函数和飘带函数的图象和性质，并会进行简单应用.三、预习指导1、对勾函数x b ax y +=)0,0(>>b a 的图象和性质 （1）定义域为 ；（2）值域： ；（3）函数的单调区间为： ；（4）最值： ；（5）函数奇偶性： ；（6）对称性： ；（7）渐近线为： ；2、飘带函数xb ax y -=)0,0(>>b a 的图象和性质 （1）定义域为 ；（2）值域： ；（3）函数的单调区间为： ；（4）最值： ；（5）函数奇偶性： ；（6）对称性： ；（7）渐近线为： ；四、学习过程例1：试讨论函数x x y 1+=的图象和性质： （1）请作出函数的图象；（2）观察图象，请问该函数具备哪些性质？oyx拓展1：对勾函数x b ax y +=)0,0(>>b a定义域：值 域：单调性：最 值：奇偶性：对称性：渐进线：应用练习： （1）[]2,1∈∀x ，使关于x 的不等式042≥+-ax x 恒成立，则实数a 的取值范围为__________；（2）[]2,1∈∃x ，使关于x 的不等式042≥+-ax x 成立，则实数a 的取值范围为__________；（3）（多选）已知函数()0)(>+=a xa x x f 在[]4,2上的最大值比最小值大1，则a 的值可以是 （ ） A.4 B.12 C.246- D.246+拓展2：飘带函数x b ax y -=)0,0(>>b a 的图象和性质？ 定义域：值 域：单调性：最 值：奇偶性：对称性：渐进线：应用练习：（4）[]2,1∈∀x ，使关于x 的不等式042≥--ax x 恒成立，则实数a 的取值范围为__________；（5）[]2,1∈∃x ，使关于x 的不等式042≥--ax x 成立，则实数a 的取值范围为__________；（6）函数xk x x f +=)(在(]2,-∞-上单调递增，则k 的取值范围是_________________.例2：已知函数m m xx x f +-+=4)(. （1）当0=m 时，求函数)(x f 的最小值；（2）若函数5)(≤x f 在[]4,1∈x 上恒成立，求实数m 的取值范围.五、课堂小结：1、学会从函数的三要素和函数的性质等方面去研究一个函数.2、掌握对勾函数和飘带函数的图象和性质，并会进行简单应用.六、课后练习：1、函数3221)(22+--+=xx x x x f ，[]2,1∈x 的最大值为 .2、函数xx x y 12+-=的对称中心为 .3、当)2,1(-∈x 时，方程042=+-a x ax 有解，则实数a 的取值范围为 .。
一道运用对勾函数求最值问题的研究性学习
• 18 •中学数学研究2020年第6期2sinBcosA - sinC = 2sinBcosA - sin (A + B) =sinBcosA - sinAcosB = sin(B - A).以下同解法 1.学生4：直接利用余弦定理的另外一种形式，解 法2和解法3都可以进行简化.解法4：由余弦定理戻=a +c - 2accosB ,代入(4)式整理得 ac = c 2 - 2accosB ,即 a = c -2acosB(5).由正弦定理上式为sinA = sinC -2sirk4cos_B = sin (A + B) - 2sinAcosB = sinBcosA -cosBsinA = sin(B - A).以下同解法 1.解法5：由余弦定理戸=a +c -2accosB,代入(4)式得 ac = 2bcosA - / ,即 a = 2bcosA - c(6).以下同解法3.教师：(5)式和(6)式可以联想到锐角三角形中的什么定理？学生5：由(5)式和(6)式可以联想到锐角三角形中的射影定理.解法6：由锐角三角形中的射影定理得c =acosB + bcosA.结合由(5)式或(6)式，化简即a =bcosA - acosB.由正弦定理可化为 sinA = sinBcosA-sinAcosB = sin(B - A).以下同解法 1.感悟:数学教师在实施课堂教学的过程中，要让学生能够把自己所学的所积累的解题经验总结并加工，并让它保存在自己的记忆当中，当遇到一个新的 问题时，能够辨识它是属于哪一类基本问题,联想到 这个已经解决的问题，以此为索引，在脑子里提取出解决这个问题的方法，为学生构建一条“从具体到 抽象,从个别到一般，由此及彼”的思维通道，这一 策略体现了“转化与化归”的重要的数学思想方法.一道运用对勾函数求最值问题的研究性学习”陕西师范大学附属中学(710061) 曹 艳陕西师范大学附属中学分校(710061) 董 强试题 已知正数a 和6满足a + b = 1,求(a +丄)(6 +g)的最小值.a b这是学完基本不等式后留给同学们的一道练习题，学生的解答情况不尽一致，出现了不同解法的同 时也呈现了一些典型的错误，笔者将其整理希望对同学们的日后学习有所帮助.典型错误1：因为a >0,6 >0,所以(a+-)(6a4- £)=必+4+色 + ¥工2+2 = 4,所以(a +b ab a b丄)3+*)的最小值为4.*项目来源:本文系陕西师范大学教师教育研究专项资助成果《基于核心素养视域下的初中数学单元教学设计研究》(项 目编号:JCJY019)阶段性研究成果之一.a b典型错误2：因为a > Q,b > Q,a +b = 1,所以(a + —) (b+£) =aZ»+-y+ — + -7- = aZ»+-y + a b ab a b ab(a + 0)： -2ab =〃+W_2m 2Q-2,所以(a +ab ab—)(6 + 的最小值为2^2 - 2.a b错误评析：以上两类错误均来源于对基本不等 式等号成立条件的不重视所致，看到两个正数而且 有了定值，马上就去使用基本不等式，而不去检验等 号是否成立，这往往是学习基本不等式过程中出现错误频率最高的一个方面.实际上，上述问题中，因 为 a > Q,b > 0,a +b = 1,所以 ab W ”_ J_,当且仅当a = b = *时取等号，即必e (0,*],错误1中等号如要成立须有a = b = 1，这不可能，错误2中等号如要成立须有必=也不可能.事实上，上述两种解法均未能求出相应的最小值.解法1：因为a >0,6 >0,a+b = 1,所以必W2020年第6期中学数学研究• 19・(中 )2 =*，当且仅当a = b=+时取等号，即必e (0,*],由对勾函数的性质可知当且仅当a = b=寺时,(a+丄)3+壬)=必+三-2有最小值2a b ab为孚解法 2： (a + 丄)(b + +)= (a+° + l)(b +a b a-y- + 1) 二 ab + —— + —— + -y- + —— + 3 M cib + 2 Jab b baba + 2+3 = (/^ + l 「+4,因为 M e (0,y],所以(烦+ if +4 M 孚，当且仅当烦二!，即a=b 二+时，(。
对勾函数初探探究课程
对勾函数初探探究课程引言对勾函数初探探究课程旨在介绍和解释对勾函数的基本概念和特性。
本文档将简要介绍对勾函数的定义、用途以及具体范例，以帮助研究者初步了解这一重要的数学概念。
对勾函数的定义对勾函数，也称为符号函数或步函数，是一种特殊的函数形式，其输出结果仅能是两个值之一。
当输入变量满足某一条件时，对勾函数的输出为一固定值（通常为1），否则输出为另一个固定值（通常为0）。
对勾函数的用途对勾函数在数学和工程领域中具有广泛的应用。
它常被用于定义和描述二进制逻辑、信号处理、概率论等问题。
对勾函数能够将复杂的条件判断简化为简单的二值输出，使得问题的分析和处理更加直观和方便。
对勾函数的范例以下是几个常见的对勾函数范例：1. 单位阶跃函数：/ 0, x < 0u(x) = |\ 1, x >= 0单位阶跃函数是最基本的对勾函数之一，它表示当自变量为非负数时输出为1，否则输出为0。
常用于描述开关、电路和信号传输等问题。
2. 方波函数：/ 0, x < 0 or x > Tf(x) = |\ 1, 0 <= x <= T方波函数是另一个常见的对勾函数，它在一个周期内交替输出两个固定值。
常用于描述周期性的信号和波形。
3. 矩形脉冲函数：/ 0, x < a or x > bp(x) = |\ 1, a <= x <= b矩形脉冲函数在区间[a, b]内输出为1，在其他区间内输出为0。
它常用于描述脉冲信号和数字通信中的符号。
结论通过本课程的研究，我们初步了解了对勾函数的定义、用途和一些常见范例。
对勾函数是数学和工程领域中的重要概念，能够将复杂的条件判断简化为简单的二值输出。
通过进一步研究和实践，我们可以深入理解对勾函数的原理和应用，为解决实际问题提供更有力的工具和方法。
如有任何疑问或进一步学习的需求，请随时咨询。
祝愉快学习！。
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对勾函数研究 函数xb ax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。
在时且00≠≠b a 有如下几种情况：(1)0,0<>b a(2)0,0><b a(3)0,0>>b a(4)0,0<<b a设ax y =1，x b y =2，则xb ax y y y +=+=21，其定义域为{}0,|≠∈x R x x 且 (1)0,0<>b a 时，ax y =1，xb y =2在),0(),0,(+∞-∞上分别单调递增。
故xb ax y y y +=+=21在),0(),0,(+∞-∞为单调递增函数。
(2)0,0><b a 时，ax y =1，xb y =2在),0(),0,(+∞-∞上分别单调递减。
故x b ax y y y +=+=21在),0(),0,(+∞-∞为单调递减函数 (3)0,0>>b a1当0>x 时，01>=ax y ，02>=x b y ab xb ax x b ax y y y 2221=⋅≥+=+=。
当且仅当xb ax =，即a b x =（因为0>x ，故舍掉a b x -=）取等号。
a b x =将),0(+∞分为两部分：),0(a b ，),[+∞ab (a)当),0(21a b x x ∈<， 则212121221121)()()()()(x x b x ax x x x b ax x b ax x f x f --=+-+=- 因为),0(21ab x x ∈<，所以,021<-x x 021>x x 对于b ax b x ax b x ax -=-<-222221,因为),0(2a b x ∈，则),0(22a b x ∈，故022=-⋅<-b ab a b ax 所以对于0)()()(21212121>--=-x x b x ax x x x f x f 即)()(21x f x f >，),0(ab x ∈时，)(x f 单调递减。
(b)当),[21+∞∈<ab x x 212121221121)()()()()(x x b x ax x x x b ax x b ax x f x f --=+-+=- 因为),[21+∞∈<ab x x ，所以,021<-x x 021>x x 对于b ax b x ax b x ax -=->-211121, 因为),[1+∞∈a b x ，则),(21+∞∈a b x ，故021=-⋅>-b ab a b ax 所以对于0)()()(21212121<--=-x x b x ax x x x f x f 即)()(21x f x f <，),[+∞∈ab x 时，)(x f 单调递增。
2当0<x 时 01<=ax y ，02<=x b y ab xb ax x b ax x b ax y y y 22)(21-=⋅-≤-+--=+=+=， 当且仅当xb ax =，即a b x -=（因为0<x ，故舍掉a b x =）取等号。
a b x -=将)0,(-∞分为两部分：)0,(a b -，],(ab -∞ (a)当)0,(21a b x x -∈<时 则212121221121)()()()()(x x b x ax x x x b ax x b ax x f x f --=+-+=-因为)0,(21ab x x -∈<，所以,021<-x x 2112110x x x x x =<< 对于b ax b x ax b x ax -=-<-211121, 因为)0,(1a b x -∈，则),0(21a b x ∈，故021=-⋅<-b ab a b ax 所以对于0)()()(21212121>--=-x x b x ax x x x f x f 即)()(21x f x f >，)0,(ab x -∈时，)(x f 单调递减。
(b)当],(21ab x x --∞∈< 212121221121)()()()()(x x b x ax x x x b ax x b ax x f x f --=+-+=-因为],(21ab x x --∞∈<，所以021<-x x 对于b ax b x ax b x ax -=->-222221,因为],(2a b x --∞∈，则),[22+∞∈a b x ，故022=-⋅≥-b a b a b ax 即021>-b x ax所以对于0)()()(21212121<--=-x x b x ax x x x f x f 即)()(21x f x f <，],(a b x --∞∈时，)(x f 单调递增。
由于xb ax y +=在定义域内为奇函数，故在),0(),0,(+∞-∞上的对应区间里单调性相同。
故在0<x 的时候，可根据奇函数的这一性质进行证明。
(4)0,0<<b a1当0>x 时，01<=ax y ，02<=x b y ab xb ax x b ax x b ax y y y 22)(21-=⋅-≤-+--=+=+=。
当且仅当xb ax =，即a b x =（因为0>x ，故舍掉a b x -=）取等号。
a b x =将),0(+∞分为两部分：),0(a b ，),[+∞ab (a)当),0(21a b x x ∈<， 则212121221121)()()()()(x x b x ax x x x b ax x b ax x f x f --=+-+=- 因为),0(21ab x x ∈<，所以,021<-x x 22210x x x x ⋅<⋅< 因为：0<a （在0>a 时则不用考虑a 的取值对21x ax 的影响）所以：b ax b x ax b x ax -=->-222221, 因为),0(2a b x ∈，则),0(22ab x ∈，故022=-⋅>-b a b a b ax 即021>-b x ax ，（不要忘了0<a ） 所以对于0)()()(21212121<--=-x x b x ax x x x f x f 即)()(21x f x f <，),0(ab x ∈时，)(x f 单调递增。
(b)当),[21+∞∈<ab x x 212121221121)()()()()(x x b x ax x x x b ax x b ax x f x f --=+-+=- 因为),[21+∞∈<ab x x ，所以,021<-x x 01121>⋅>⋅x x x x 因为：0<a 所以：b ax b x ax b x ax -=-<-211121, 因为),[1+∞∈a b x ，则),[21+∞∈a b x ，故021=-⋅≤-b ab a b ax 即021<-b x ax所以对于0)()()(21212121>--=-x x b x ax x x x f x f 即)()(21x f x f <，),(+∞∈ab x 时，)(x f 单调递减。
2当0<x 时 01>=ax y ，02>=x b y ab xb ax x b ax y y y 2221=⋅=≥+=+=， 当且仅当xb ax =，即a b x -=（因为0<x ，故舍掉a b x =）取等号。
a b x -=将)0,(-∞分为两部分：)0,(a b -，],(ab -∞ (a)当)0,(21a b x x -∈<时 则212121221121)()()()()(x x b x ax x x x b ax x b ax x f x f --=+-+=- 因为)0,(21ab x x -∈<，所以,021<-x x 2112122212x x x x x x x x =⋅<⋅<⋅= 因为0<a ，所以b ax b x ax b ax ax x ax ax ->-⋅>-⇒>⋅>221222121212 因为)0,(2a b x -∈，则),0(22a b x ∈，故022=-⋅<-b ab a b ax 即021<-⋅b x ax 所以对于0)()()(21212121<--=-x x b x ax x x x f x f 即)()(21x f x f >，)0,(ab x -∈时，)(x f 单调递减。
(b)当],(21ab x x --∞∈< 212121221121)()()()()(x x b x ax x x x b ax x b ax x f x f --=+-+=-因为],(21ab x x --∞∈<，所以,021<-x x 2112122221x x x x x x x x =⋅<⋅<⋅= 因为0<a ，所以b ax b x ax b ax ax x ax ax ->-⋅>-⇒>⋅>221222122121 又因为],(2a b x --∞∈，则),[22+∞∈a b x ，故022=-⋅≤-b ab a b ax 即021<-b x ax 所以对于0)()()(21212121<--=-x x b x ax x x x f x f 即)()(21x f x f >，),(a b x --∞∈时，)(x f 单调递减。
由于xb ax y +=在定义域内为奇函数，故在),0(),0,(+∞-∞上的对应区间里单调性相同。
故在0<x 的时候，可根据奇函数的这一性质进行证明。