(完整版)高三数学立体几何历年高考题(2011年-2017年)

高三数学立体几何高考题

1.（2012年7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出 的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18

2.（2012年8）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O

到平面α的距离为2，则此球的体积为

（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π

3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为( )．

A ．16＋8π

B ．8＋8π

C ．16＋16π

D ．8＋16π

4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．

5.(2014年8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4， 底面边长为2，则该球的表面积为( )

A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4

7.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛

8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8

9（2016年7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的

圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π

3

，

则它的表面积是

（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π

10（2016年11）平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,

ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为

（A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）1

3

11．(2017年6)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是

12．（2017年16）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。

13(2011年).如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=?，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥；

（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．

14.(2012课标全国Ⅰ)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底

面，∠ACB=90°，

AC=BC=1

2

AA 1，D 是棱AA 1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

15. (2013课标全国Ⅰ)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；

(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．

16 (2014课标全国Ⅰ)如图1-1所示，三棱柱ABC -A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.

(1)证明：AC1⊥A1B；

(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，

求二面角A1-AB-C的大小．17.(2015年新课标1)如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE ABCD

⊥平面，

(1)证明：平面AEC⊥平面BED；

(2)若120

ABC

∠=o，,

AE EC

⊥三棱锥

E ACD

-的体积为6，求该三棱锥的侧面积.

18 (2016年新课标1)如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A =6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明：G 是AB 的中点；

（II ）在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．

P

A

B

D C

G

E

19(2017年新课标1)如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o , 且四棱锥P-ABCD 的体积为8

3

，求该四棱锥的侧面积.

高三数学立体几何高考题答案

1.答案：B

2.答案：B

3.解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．

V 半圆柱＝

12

π×22

×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.

所以所求体积为16＋8π.故选A. 4.解析：如图，

设球O 的半径为R ，则AH ＝

23

R ， OH ＝

3

R .又∵π·EH 2

＝π，∴EH ＝1. ∵在Rt△OEH 中，R 2＝2

2+13R ?? ???

，∴R 2＝98.∴S 球＝4πR 2

＝9π2.

5.答案：B

6．A [解析] 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2， 所以AE ＝1

2AC ＝ 2.设球心为O ，球的半径为R ，则OE ＝4－R ，

OA ＝R .又因为△AOE 为直角三角形，所以OA 2＝OE 2＋AE 2， 即R 2＝(4－R )2＋2，解得R ＝9

4

，

所以该球的表面积S ＝4πR 2＝4π????942＝81π

4. 7.答案：B 8.答案：B

9.试题分析：由三视图知：该几何体是78个球，设球的半径为R ，则37428V R 833ππ=?=， 解得R 2=，所以它的表面积是22

73

4

221784

πππ??+??=，故选A ．

10试题分析：如图m ,n 所成角的正弦值为

3

2

11.答案：A 12答案：36π

13解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD

（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E 。已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC 。 由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC//AD ，所以BC ⊥BD 。 故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE 。 则DE ⊥平面PBC 。

由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2， 根据BE·PB=PD·BD ，得DE=23，即棱锥D —PBC 的高为

.2

3

14

15．1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .

因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB . 由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB .

因为OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ?平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .

(2)解：由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形， 所以OC ＝OA 13又A 1C 6，则A 1C 2＝OC 2＋2

1OA ，故OA 1⊥OC .

因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高． 又△ABC 的面积S △ABC 3ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3.

P A

B

D

C G E 16．解：方法一：(1)证明：因为A 1

D ⊥平面ABC ，A 1D ?平面AA 1C 1C ， 故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，

平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .

连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .

(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ?平面BCC 1B 1， 故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.

作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.

又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即A 1E ＝ 3. 因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，故A 1D ＝A 1E ＝ 3.

作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB ， 故∠A 1FD 为二面角A 1- AB - C 的平面角．

由AD ＝AA 21－A 1

D 2＝1，得D 为AC 中点， 所以DF ＝

55，tan ∠A 1FD ＝A 1D DF ＝15，所以cos ∠A 1FD ＝1

4

. 所以二面角A 1- AB - C 的大小为arccos 1

4.

17、解：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD. 因为BE ⊥平面ABCD,所以AC ⊥BE,故AC ⊥平面BED.

又AC ?平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED. ……5分

（II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，又∠ABC=o

120 ，可得 AG=GC=

3

x ，GB=GD=2

x . 因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中，可的EG=

3

x . 由BE ⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得BE=2x . 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积E ACD V -=13×1

2

AC ·GD ·BE=366243x =. 故x =2 ……9分 从而可得AE=EC=ED=6.

所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与 △ECD 的面积均为5. 故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25. ……12分

18试题分析：（1）ABC PD 底面⊥ΘPD AB ⊥∴

E PAB D 内的投影为在ΘPAB DE 平面⊥∴

AB DE ⊥∴D PD DE =I ΘPDG AB 平面⊥∴

PG AB ⊥∴ 为正三棱柱ABC P -Θ PB PA =∴

的中点为中，在AB G PAB ?∴ （II ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，

F 即为E 在平面PAC 内的正投影.

理由如下：由已知可得PB PA ⊥，⊥PB PC ，又//EF PB ,所以EF PA EF PC ，⊥⊥,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.

连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.

由（I ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2

.3

=CD CG

由题设可得⊥PC 平面PAB ，⊥DE 平面PAB ，所以//DE PC ，

因此21

,.33

==PE PG DE PC

由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ，可得2,2 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF

所以四面体PDEF 的体积114

222.323

=????=V

19.【解析】（1）由已知90BAP CDP ==?∠∠，得AB AP ⊥,CD PD ⊥. 由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD . 又AB ?平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .

（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E .

由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD . 设AB x =，则由已知可得2AD x =

，2

2

PE x =

. 故四棱锥P ABCD -的体积31133

P ABCD V AB AD PE x -=??=. 由题设得

318

33

x =，故2x =. 从而2PA PD ==，22AD BC ==，22PB PC ==. 可得四棱锥P ABCD -的侧面积为

21111

sin 606232222

PA PD PA AB PD DC BC ?+?+?+?=+.