导数与三角函数交汇试题
导数与三角函数交汇试题
1．（2019?石家庄一模）已知函数，
（1）求函数f（x）的极小值
（2）求证：当﹣1≤a≤1时，f（x）＞g（x）
2．（2019春?常熟市期中）已知函数f（x）＝e2x（sin x﹣3cos x）．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．
3．（2019?大连模拟）已知函数f（x）＝ae x﹣sin x+1其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a＝1时，证明：对?x∈[0，+∞），f（x）≥2；
（2）若函数f（x）在[0，π]上存在两个不同的零点，求实数a的取值范围．4．（2019?天津）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[，]时，证明f（x）+g（x）（﹣x）≥0；
（Ⅲ）设x n为函数u（x）＝f（x）﹣1在区间（2nπ+，2nπ+）内的零点，其中n∈N，
证明2nπ+﹣x n＜．
5．（2019?新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
6．（2019?新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝sin x﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：
（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；
（2）f（x）有且仅有2个零点．
7．（2019?富阳区模拟）设函数f（x）＝2x2+alnx，（a∈R）
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+m，求实数a，m的值（Ⅱ）若f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）关于x的方程f（x）+2cos x＝5能否有三个不同的实根？证明你的结论
8．（2019?北辰区模拟）已知函数f（x）＝e x﹣ax，（a∈R），g（x）＝．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）≤kx在x∈[0，+∞）恒成立，求k的取值范围；
（Ⅲ）当a＝1，x≥0时，证明：（2+cos x）f′（x）≥2sin x．
9．（2019?佛山二模）已知函数f（x）＝，0＜x＜π．
（Ⅰ）若x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），求实数a及f（x0）的取值范围；
（Ⅱ）当a＝π，0＜m＜π时，证明：f（x）+mlnx＞0．
10．（2019?武汉模拟）（1）求证：x≥0时，cos x≥1﹣x2恒成立；
（2）当a≥1时，?x∈[0，+∞），证明不等式xe ax+x cos x+1≥（1+sin x）2恒成立．
11．（2019?山东模拟）已知函数
（Ⅰ）当x＞0时，证明f（x）＞g（x）；
（Ⅱ）已知点P（x，xf（x）），点Q（﹣sin x，cos x），设函数
时，试判断h（x）的零点个数．
12．（2019?衡阳一模）已知函数f（x）＝sin x﹣．
（1）若f（x）在[0，]上有唯一极大值点，求实数a的取值范围；
（2）若a＝1，g（x）＝f（x）+e x，且g（x1）+g（x2）＝2（x1≠x2），求证：x1+x2＜0．13．（2019?东城区二模）已知函数f（x）＝x+sin x．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax cos x在区间上恒成立，求实数a的取值范围．
14．（2019?日照模拟）已知函数（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的值域；
（2）若不等式f（x）≥k（x﹣1）（1﹣sin x）对任意恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：．
15．（2019?江苏模拟）定义函数f（x）＝x sin x+k cos x，x∈（0，π）为j（K）型函数，共中K∈Z．
（1）若y＝f（x）是j（1）型函数，求函数f（x）的值域；
（2）若y＝f（x）是j（0）型函数，求函f（x）极值点个数；
（3）若y＝f（x）是j（2）型函数，在y＝f（x）上有三点A、B、C横坐标分別为x1、x2、x3，其中x1＜x2＜x3，试判断直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小并说明理由．16．（2019?房山区二模）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在（0，π）上的单调区间；
（Ⅲ）当m＞1时，证明：g（x）在（0，π）上存在最小值．
17．（2019春?东莞市期中）已知函数f（x）＝e x cos x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间上的值域．
18．（2019?莆田二模）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当0≤a≤1时，证明：xf（x）＞a（sin x+1）．
19．（2019?泰安二模）已知函数f（x）＝（x﹣m）lnx（m≤0）．
（1）若函数f（x）存在极小值点，求m的取值范围；
（2）证明：f（x+m）＜e x+cos x﹣1．
20．（2019春?龙岩期中）已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，x∈[﹣]．（Ⅰ）求证：f（x）≥0；
（Ⅱ）若a对x∈（﹣）恒成立，求a的最大值与b的最小值．21．（2019?昆明模拟）已知函数f（x）＝a（x﹣sin x）（a∈R且a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设，若对任意x≥0，都有f（x）+g（x）≥0，求a 的取值范围．
22．（2019?安徽模拟）已知函数f（x）＝m tan x+2sin x，x∈[0，），m∈R．
（Ⅰ）若函数y＝f（x）在x∈[0，）上是单调函数，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m＝1时，
（i）求函数y＝f（x）在点x＝0处的切线方程；
（ii）若对任意x∈[0，），不等式f（x）≥aln（x+1）恒成立，求实数a的取值范围．23．（2019?昆明模拟）已知函数f（x）＝e x（x+sin x+a cos x）（a∈R）在点（0，f（0））处切线的斜率为1．
（1）求a的值；
（2）设g（x）＝1﹣sin x，若对任意x≥0，都有f（x）+mg（x）≥0，求实数m的取值范围．
24．（2019?江苏一模）已知函数f（x）＝（x+1）lnx+ax（a∈R）．
（1）若函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+b＝0，求实数a，b的值；
（2）设函数g（x）＝，x∈[1，e]（其中e为自然对数的底数）．
①当a＝﹣1时，求函数g（x）的最大值；
②若函数h（x）＝||是单调减函数，求实数a的取值范围．
25．（2019春?龙凤区校级月考）已知函数f（x）＝lnx﹣mx（m∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若m═﹣e，a∈（e+，+∞），且f（x）≤ax﹣b恒成立，求的最大值（其中e 为自然对数的底数）．
26．（2019?石家庄模拟）已知函数f（x）＝ae x﹣sin x，其中a∈R，e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a＝1时，证明：对?x∈[0，+∞），f（x）≥1；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，）上存在极值，求实数a的取值范围．
27．（2019春?香洲区校级月考）已知函数f（x）＝（1+x）e﹣2x，g（x）＝ax++1+2x cos x，当x∈[0，1]时，
（Ⅰ）若函数g（x）在x＝0处的切线与x轴平行，求实数a的值；
（Ⅱ）求证：1﹣x≤f（x）≤；
（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
28．（2018秋?盐城期末）设f（x）＝x2﹣2ax+1，g（x）＝sin x．
（1）若?x∈[0，1]都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若?x1∈（0，1]，使得对?x2∈[0，]，都有f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的
取值范围．
29．（2019?武侯区校级模拟）已知函数f（x）＝x sin x+2cos x+ax+2，其中a为常数．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在x＝0处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a之值；
（Ⅱ）若对?x∈（0，π），都有π＜f（x）＜π2，求a的取值范围．
30．（2018秋?丰台区期末）已知函数f（x）＝x﹣sin x．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（，f（））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当x∈（0，）时，0＜f（x）＜x3．
31．（2012秋?保定月考）已知函数．
（1）若a＝﹣4，求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量的取值x i
（i＝1，2，3）使得f（x i）﹣g（x i）的值恰好都相等，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由？
32．（2012春?东湖区校级期中）已知f（x）是定义在集合D上的函数，且﹣1＜f′（x）＜0．
（1）若，在[]（[]?D）上的最大值为，试求不等式|ax+1|＜a的解集．
（2）若对于定义域中任意的x1，x2，存在正数ε，使|x1﹣1|＜且|x2﹣1|＜，求证：|f（x1）﹣f（x2）|＜ε．
33．（2012?井冈山市模拟）已知函数f（x）＝2x﹣π，g（x）＝cos x．
（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x），若x1，x2∈[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z），求证：
≥h（）；
（2）若x1∈[，π]，且f（x n+1）＝g（x n），求证：|x1﹣|+|x2﹣|+…+|x n﹣|＜．
34．（2013?北京）已知函数f（x）＝x2+x sin x+cos x．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处与直线y＝b相切，求a与b的值；
（Ⅱ）若曲线y＝f（x）与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
35．（2013?泉州二模）定义域为D的函数f（x），其导函数为f′（x）．若对?x∈D，均有f （x）＜f′（x），则称函数f（x）为D上的梦想函数．
（Ⅰ）已知函数f（x）＝sin x，试判断f（x）是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；
（Ⅱ）已知函数g（x）＝ax+a﹣1（a∈R，x∈（0，π））为其定义域上的梦想函数，求a 的取值范围；
（Ⅲ）已知函数h（x）＝sin x+ax+a﹣1（a∈R，x∈[0，π]）为其定义域上的梦想函数，求a的最大整数值．
36．（2013?枣庄二模）设f（x）＝ax+cos x（x∈R）．
（1）若，试求出函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意x≥0，都有x+sin2x+cos x≤f（x）成立，求实数a的取值范围．
第20讲 导数解答题之导数解决含三角函数式的证明(解析版)
第20讲 导数解答题之导数解决含三角函数式的证明 1．已知函数()2sin tan 2f x x x x =+-． （1）证明：函数()f x 在(,)22 ππ-上单调递增； （2）若(0,)2 x π ∈，2()f x mx <，求m 的取值范围． 【解析】解：（1）证明：21()cos 2cos f x x x '=+-， 因为(,)22 x ππ ∈-，所以cos (0x ∈，1]， 于是22211()2cos 2cos 20cos cos f x x x x x '=+-+-（等号当且仅当0x =时成立）． 故函数()f x 在(,)22ππ -上单调递增． （2）由（1）得()f x 在(0,)2 π上单调递增， 又(0)0f =，所以()0f x >， （ⅰ）当0m 时，2()0f x mx >成立． （ⅱ）当0m >时，令()sin p x x x =-，则()cos 1p x x '=-， 当(0,)2 x π∈时，()0p x '<，()p x 单调递减， 又(0)0p =，所以()0p x <， 故(0,)2 x π ∈时，sin x x <．(*) 由(*)式可得222()sin tan 2tan f x mx x x x mx x x mx -=+--<--， 令2()tan g x x x mx =--，则2()tan 2g x x mx '=- 由(*)式可得2222()2(2cos )cos cos x x g x mx x m x x x '<-=- 令2()2cos h x x m x =-，得()h x 在(0,)2 π上单调递增， 又(0)0h <，()02 h π>，所以存在(0,)2t π ∈使得()0h t =， 即(0,)x t ∈时，()0h x <， 所以(0,)x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 又(0)0g =，所以()0g x <，
导数与三角函数交汇试题
导数与三角函数交汇试题 1．（2019?石家庄一模）已知函数， （1）求函数f（x）的极小值 （2）求证：当﹣1≤a≤1时，f（x）＞g（x） 2．（2019春?常熟市期中）已知函数f（x）＝e2x（sin x﹣3cos x）． （1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值． 3．（2019?大连模拟）已知函数f（x）＝ae x﹣sin x+1其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a＝1时，证明：对?x∈[0，+∞），f（x）≥2； （2）若函数f（x）在[0，π]上存在两个不同的零点，求实数a的取值范围．4．（2019?天津）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）当x∈[，]时，证明f（x）+g（x）（﹣x）≥0； （Ⅲ）设x n为函数u（x）＝f（x）﹣1在区间（2nπ+，2nπ+）内的零点，其中n∈N， 证明2nπ+﹣x n＜． 5．（2019?新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 6．（2019?新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝sin x﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明： （1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点； （2）f（x）有且仅有2个零点． 7．（2019?富阳区模拟）设函数f（x）＝2x2+alnx，（a∈R） （Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+m，求实数a，m的值（Ⅱ）若f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）关于x的方程f（x）+2cos x＝5能否有三个不同的实根？证明你的结论 8．（2019?北辰区模拟）已知函数f（x）＝e x﹣ax，（a∈R），g（x）＝．
高三数学(理科)测试题(函数、导数、三角函数、解三角形)
高三数学《函数与导数、三角函数与解三角形》测试题（理科） 一、选择题 1．设2 :f x x →是集合A 到集合B 的映射，若{}1,2B =，则A B 为 ( ) A ．? B ．{1} C ．?或{2} D ．?或{1} 2．函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为( ) A ．（－1，0） B ．（0，1） C ．（1，2） D ．（1，e ） 3．若函数2 ()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2 a -∞上为减函数，则a 的取值范围是 ( ) A ．(0，1) B ．(1，＋∞) C ．(1，23) D ．(0，1)∪(1，23) 4.若0()ln 0 x e x g x x x ?≤=? >?，则1 (())2g g = ( ) A ．1 2 B ．1 C ．1 2e D ．ln 2- — 5．已知3 2 ()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则有 ( ) A ．0b < B ．01b << C ．12b << D ．2b > ] 6. 已知函数()f x 定义域为R ，则下列命题： ①若()y f x =为偶函数，则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称. ②若(2)y f x =+为偶函数，则()y f x =关于直线2x =对称. ③若函数(21)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的图象关于直线1 2 x 对称. ④若(2)(2)f x f x -=-，则则()y f x =关于直线2x =对称. ⑤函数(2)y f x =-和(2)y f x =-的图象关于2x =对称. 其中正确的命题序号是 ( ) A.①②④ B.①③④ C.②③⑤ D.②③④ ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 ` C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 x
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x π?? ∈ ???时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而
含三角函数的导数问题
1．已知函数f (x )＝－cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．sin1－1 B ．1－sin1 C ．1＋sin1 D ．－1－sin1 答案 C 解析 ∵f (x )＝－cos x ＋ln x ，∴f ′(x )＝1 x ＋sin x ，∴f ′(1)＝1＋sin1. 2．曲线y ＝tan x 在x ＝－π 4处的切线方程为______ 答案 y ＝2x ＋π 2－1 解析 y ′＝(sin x cos x )′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ，所以在x ＝－π 4处的斜率为2，曲线 y ＝ tan x 在x ＝－π4处的切线方程为y ＝2x ＋π 2－1. 3 ．函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的单调增区间为________． 答案 (π3，5π 3) : ∴函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的 增区间为(π3，5π 3)． 4. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是 — A B C D 5．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，f (－4)，f (4π3)，f (－5π 4)的大小关系为______(用“<”连接)． 答案 f (4π3) sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a) = a sin 1 sec(a) =a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式 三角函数、数列导数测试题及详解 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是 符合题目要求的． 1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a ，则实数y 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50 B ．70 C ．80 D ．90 3．2 (sin cos )1y x x =+-是 A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列， 每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量 *1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是 A ．若* ,//n n n N c b ?∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若* ,//n n n N c b ?∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若* ,n n n N c b ?∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若* ,n n n N c b ?∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列 6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为 A ． 133 8 + B ． 133 8 C ． 133 8 ± D ． 12 4 - 7．如图是函数sin()y x ω?=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低 点，O 为坐标原点，则OA OB ?的值为 A ．12π B ． 2 119π+ C ．2 119 π- D ．2 113 π- 8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个 2014-2015学年度第一学期高三数学（理） 函数与三角函数综合测试试卷 命题人：周扬 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分为150分，考试用时为120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1、函数243,[0,3] y x x x =-+∈的值域为 ( ) A.[0,3] B.[-1,0] C.[-1,3] D.[0,2] 2、下列函数中，值域为(),0 -∞的是（） A．2 y x =-B. 1 31() 3 y x x =-< C. 1 y x = D.y= 3、 7 cos() 6 π -的值为（） A． 1 2 - B. 1 2 C. 2 - D. 2 4．已知 31 sin() 23 π α+=，则cos2α=（） A． 7 9 -B． 7 9 C． 1 3 -D． 1 3 5．将函数) 2 6 cos(x y- = π 的图像向右平移 12 π 个单位后所得的（） 图像的一个对称轴是 A． 6 π = x B． 4 π = x C． 3 π = x D． 12 x π = 6、在ABC △中，若60,45, A B BC ?? ∠=∠==AC=（）. A．B． D． 2 7.已知2 ) 2 sin( ) cos( ) sin( ) 2 sin( = - + - - + - x x x x π π π ，则) 4 3 tan( π + x的值为（） A.2 B.2 -C. 2 1 D. 2 1 - 8．已知函数()sin()(,A0,0,||) 2 f x A x x R π ωφωφ =+∈>><的图象(部分)如图所示， 则ω，φ分别为() A．ωπ =， 3 π φ=B．2 ωπ =， 3 π φ= C．ωπ =， 6 π φ=D．2 ωπ =， 6 π φ= 第II卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 计算 (cos1) x dx π += ?π． 10．函数 ln ()(0) x f x x x =>的单调递增区间是(0,] e． 11、函数y=的定义域是___(,2] -∞-_____ 12、已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于_60°或120°. 13、ABC ?中，若 1 , 3ABC a C S ? ===b= 14、关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①若 1 x， 2 x满足 12 x xπ -=，则()() 12 f x f x =成立； ②() f x在区间, 63 ππ ?? -?? ?? 上单调递增； ③函数() f x的图像关于点,0 12 π ?? ? ?? 成中心对称； ④将函数() f x的图像向左平移 12 7π 个单位后将与2sin2 y x =的图像重合． 其中正确的命题序号①③④（注：把你认为正确的序号都填上） 三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.已知函数()sin(), 4 f x A x x R π =+∈，且 53 () 122 fπ=；（1）求A的值；（2）若 3 ()() 2 f f θθ +-=，(0,) 2 π θ∈， 求 3 () 4 fπθ -； 【答案】（1）由已知， 5523 sin sin 1212432 f A A ππππ ???? =+== ? ? ???? ，所以A= 函数导数三角函数 函数、导数、三角函数回归基础与基本题型复习一、基础知识与基本方法 函数部分 221、二次函数?三种形式:一般式f(x)=ax+bx+c;顶点式f(x)=a(x- h)+k;零点式f(x)=a(x-x)(x-x);b=0偶函数;?区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称12 轴与区间的相对位置关系;?实根分布:先画图再研究?>0、轴与区间关系、区间 端点函数值符号; 2、值域(范围)常用分子常数法;分离;，分母整体换元;导数 3、周期:进退几 个单位，列举;画图;用周期定义逐个检验; 4、求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义; (定义域优先意识) 5、单调性:?定义法;?导数法?图像;奇偶性:?定义法?图像。函 数 2yxx,,，log(2)的单调递增区间是.(答:) (1,2)12 注意:(1)函数单调性与奇偶性的逆用(?比较大小;?解不等式;?求参数范围(注 意等号)); 依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:(或fugxuhx()()()0,，, fa()0,,fa()0,,(或); ,,,,0)()aub,,fb()0,fb()0,,,2若存在?[1，3]，使得 不等式，(-2)-2>0成立，则实数取值aaxaxx范围是 ( 22解:不等式即，设.研究“任意a?()220xxax，,,,faxxax()()22,，,, f(1)0,,2，，[1，3]，恒有”.则，解得。则实数x的取值范围是 fa()0,x,,1,,,,f(3)0,3，，, 2,, ,,,,，,,1,，，,,3,, (2)复合函数由单调性判定:同增异减。 1、两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=tanAtanB -1tanB tanA +tan(A-B)=tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B)=cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B)=cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A=A tan 12tanA 2-Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a)=-sinacos(-a)=cosa sin(2π-a)=cosacos(2π-a)=sinasin(2π+a)=cosacos(2 π+a)=-sina sin(π-a)=sinacos(π-a)=-cosasin(π+a)=-sinacos(π+a)=-cosa tgA=tanA=a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a +cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +-tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a)=a sin 1sec(a)=a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 8、反三角函数公式 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π－arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π－arccotx 1．已知函数f(x)＝－cos x＋ln x，则f′(1)的值为( ) A ．sin1－1 B．1－sin1 C．1＋sin1 D ．－1－sin1 答案 C 解析∵f(x)＝－cos x＋ln x，∴f′(x)＝1 x ＋sin x，∴f ′(1)＝1＋sin1. 2．曲线y ＝tan x在x＝－ π 4 处的切线方程为______ 答案 y＝2x＋ π 2 －1 解析y′＝( sin x cos x )′＝ cos2x＋sin2x cos2x ＝ 1 cos2x ，所以在x＝－ π 4 处的斜率为2，曲线y＝tan x在x＝－ π 4 处的切线方程为y＝2x＋ π 2 －1. 3．函数y＝x－2sin x在(0,2π)内的单调增区间为________．答案( π 3 ， 5π 3 ) ∴函数y＝x－2sin x在(0,2 π)内的增区间为( π 3 ， 5π 3 )． 4. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是 O y x O y x O y x O y x A B C D 5．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，f (－4)，f (4π3)，f (－5π4 )的大小关系为______(用“<”连接)． 答案 f (4π3) 绝密★启用前 高中数学2020年06月月考 试卷副标题 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 一、解答题 1．（2019·安徽省高三月考（文））已知函数sin ()ln x f x x x =-． （1）证明：函数()f x 在()0,π上有唯一零点； （2）若()0,2x π∈时，不等式sin 2()ln 2x a f x x x x ++ ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）?+∞??? ． 【解析】 【分析】 （1）对函数求导得2 (cos 1)sin ()x x x f x x --'= ，由(0,)x π∈可得()0f x '<，从而得到函数的单调性，再根据区间端点的函数值，即可得答案； （2）等式sin 2()ln 2x a f x x x x ++ ≤，可化为不等式1 sin sin 22 x x a +≤，令1 ()sin sin 2,(0,2)2 g x x x x π=+∈利用导数求得()g x 的最大值，即可得答案. 【详解】 （1）证明：由sin ()ln x f x x x = -得 22 cos sin 1(cos 1)sin ()x x x x x x f x x x x ---'=-= 当(0,)x π∈时，cos 10x -<，sin 0x -<， 则()0f x '<，函数()f x 在()0,π上单调递减， 又3 ()ln 066 f ππ π = ->，()ln 0f ππ=-< 从俞诗秋的文章修改而来，原来的口诀不太好记 原文：三角函数双曲函数及其导数积分公式的六边形记忆法 三角函数及其导数积分公式的六边形记忆法 2. 三角函数的定义 [三角函数的定义和符号变化] 名称 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 定 义 r y ==斜边对边αsin r x ==斜边邻边αcos x y == 邻边对边αtan y x ==对边邻边αcot x r ==邻边斜边αsec y r ==对边斜边αcsc 1 sinx cosx cscx cotx secx tanx + - 符号与 增 减 变 化 Ⅰ+↑+↓+↑+↓+↑+↓ Ⅱ+↓-↓-↑-↓-↑+↑ Ⅲ-↓-↑+↑+↓-↓-↑ Ⅳ-↑+↑-↑-↓+↓-↓1. 三角函数的记忆： 对角线倒数:对角线互为倒数sinx=1/cscx，指在三角函数六边形中,过中点且连接两个顶点的线段中，两端点处的函数乘积等于中间的数1，即sinxcscx=1, cosxsecx=1, tanxcotx=1. 倒三角形平方和:指在三角函数六边形中,每个有阴影的三角形下顶处函数的平方等于上面两个顶处函数平方的和.即sin2x+cos2x=1, tan2x+1=sec2x, cot2x+1=csc2x. 邻点积:指在三角函数六边形中,任何一个顶处的函数等于相邻两个顶处函数的乘积.即sinx=tanxcosx, cosx=sinxcotx, cotx=cosxcscx, cscx= cotxsecx, secx=cscxtanx, tanx=secxsinx. 2.三角函数求导数 图中左面“+”号表示六边形左面三个顶角处函数的导数为正值，右面“-”号表示六边形右面三个顶角处函数的导数为负值。 上互换:指在三角函数求导六边形中，上顶角处函数的导数为另一上顶角处函数的导数.即:(sinx)’=cosx, (cosx)’=-sinx。 中下2:指在三角函数求导六边形中,中间顶角处函数的导数为对应边下顶角处函数导数的平方.即:(tanx)’=sec2x， 一．三角函数 二．常用求导公式 三．常用积分公式 第一部分三角函数 同角三角函数的基本关系式 诱导公式 化asin α±bcos α为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式) 第二部分 求导公式 1．基本求导公式 ⑴0)(='C （C 为常数）⑵1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21 )1(x x -='，x x 21)(='。 ⑶x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷x x 1 )(ln ='；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>= 'a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 第三部分 积分公式 1.常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3 ,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）??=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 2.定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴???+=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则 ?? -=b a b a b a x du x v x v x u x dv x u )()()()()()( 导数、三角函数大题练习 1.（本小题满分12分）已知)cos ),2cos(2(x x m π+ =,))2sin(2,(cos π+=x x n , 且函数1)(+?=n m x f （1）设方程01)(=-x f 在),0(π内有两个零点21x x ，，求)(21x x f +的值； （2）若把函数)(x f y =的图像向左平移 3π个单位,再向上平移2个单位,得函数)(x g 图像,求函数)(x g 在]2 ,2[ππ- 上的单调增区间. 解：（1） ()2cos()cos cos 2sin()12sin cos 2cos cos 122sin 21cos 21)24 f x x x x x x x x x x x x πππ =++++=-++=-+++=++...2分 而()10f x -= ，得：cos(2)4x π+=，而(0,)x π∈，得：1242x x ππ?=????=??或1224 x x ππ?=????=?? 所以1233()( ))23424 f x x f πππ+==++=..................6分 （2 ）())24f x x π=++--左移3π --11())212 f x x π=++--上移 2--11())412 f x x π=++，则() g x 的单调递增区间： 112222122k x k πππππ-+≤+≤+，23112424 k x k ππππ-+≤≤-+，........ 而[,]22x ππ∈-，得：()f x 在11[,]224x ππ∈--和[,]242x ππ∈上递增.... 2.（本小题满分12分）已知函数( )211cos sin cos 2,22 f x x x x x x R =-++∈（Ⅰ）求函数()f x 在,42ππ??-???? 上的最值；（Ⅱ）若将函数()f x 的图象向右平移4π个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到()g x 的图像.已知 ()6411,,536g ππαα??=-∈ ???.求cos 26απ??- ??? 的值.. 函数，导数与三角函数 (时间：120分 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若1∈{a －3， 9a 2 －1，a 2＋1，－1}，则实数a 的值为( ) A ．0或4 B ．4 C.4 9 D ．4或4 9 2．(2012年高考天津卷)设x ∈R ，则“x >1 2”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 5·a 7＝4a 2 4，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.2 2 C. 2 D ．2 4．(2012年福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R)的图象向右平移π4个单位后， 所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( ) A ．(－π 4，0) B ．(0，π 2) C ．(π2，3π4 ) D ．( 3π 4 ，π) 5．(2012年济南模拟)如果实数x 、y 满足条件???x －y ＋1≥0， y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0， 那么2x －y 的最 大值为( ) A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－3 6．(2012年郑州模拟)给出30个数：1，2，4，7，11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( ) A ．i ≤30？和p ＝p ＋i －1 B ．i ≤31？和p ＝p ＋i ＋1 C ．i ≤31？和p ＝p ＋I D ．i ≤30？和p ＝p ＋i 7．已知函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b 2 的值为( ) A ．0 B. 2 2 C ．1 D ．－1 8．(2012年惠州模拟)已知复数a ＋b i ＝2＋4i 1＋i (a ，b ∈R)，则函数f (x )＝2sin (ax ＋π 6 )＋b 的图象的对称中心可以是( ) A ．(π6，0) B ．(－π18，1) C ．(－π 6，1) D ．(π 9 ，1) 9．(2012年高考山东卷)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π 2；命题q ： 函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π 2 对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真 10．在等差数列{a n }中，首项a 1＝120，公差d ＝－4，若S n ≤a n (n ≥2)，则n 的最小值为( ) A ．60 B ．62 C ．70 D ．72 11．(2012年南昌联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数， 三角函数公式表 半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式 1cos sin()221cos cos()2 2 1cos 1cos sin tan()21cos sin 1cos α αα αααααααα -=± +=± --=±== ++ 2 21cos 2sin 21cos 2cos 2 α ααα-= += 二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin 22sin cos cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2ααα ααααα ==-=-=- 2tan tan 21tan 2α αα =- - sin 33sin 4sin 3cos34cos33cos .3tan tan 3tan 313tan 2αααααααα αα =-=--=- - 三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式 sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos 22cos cos 2sin sin 22 αβ αβ αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ+-+=?+--=?+-+=?+--=-? [][] [] [] 1 sin cos sin()sin()21 cos sin sin()sin()21 cos cos cos()cos()21 sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ?= ++-?=+--?=++-?=-+-- 化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式） 22sin cos sin()a x b x a b x φ±=+± 其中φ角所在的象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan b a φ=确定 六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。” 三角函数与函数导数单元测试 一、选择题1、函数()()m n f x ax x =1- g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是 （A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n == 2、已知函数()x f x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐 标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 3、设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()x g f 和()()x g f ?；对任意R x ∈,()()())(x g f x g f = ；()()())(x g x f x g f =?．则下列等式恒成立的是（ ） A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ??=? B ．()()()()()())(x h g h f x h g f ?=? C ．()()()()()())(x h g h f x h g f = D ． ()()()()()())(x h g h f x h g f ???=?? 4、已知函数 2 ()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 A ． [22-+ B ．(22+ C ．[1,3] D ．(1,3) 5、设直线x t =与函数2 (),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值 为（ ）A ．1 B ．1 2 C ．2 D ．2 6、设函数 ?? ?>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是 A ．1[-，2] B ．[0，2] C ．[1，+∞] D ．[0，+∞] 7、函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>' x f ，则42)(+>x x f 的解集为 A ．（1-，1） B ．（1-，+∞） C ．（∞-，1-） D ．（∞-，+∞） 8、函数 1 1y x = -的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 9、函数 2sin 2x y x = -的图象大致是 10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时, 3 ()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 11、设函数()()21 2log ,0log ,0 x x f x x x >?? =?--，则实数a 的取值范围是（ ）． Ａ． ()()1001,,U - Ｂ． ()()11,,-∞-+∞U Ｃ． ()()101,,-+∞U Ｄ． ()()101,,-∞-U 12、设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++ （2）若函数f （x ）在（0，）上存在两个极值点，求实数a 的取值范围． 2．（2019秋?汕头校级期末）已知函数f （x ）＝x cos x ﹣2sin x +1，g （x ）＝x 2e ax （a ∈R ）． （1）证明：f （x ）的导函数f '（x ）在区间（0，π）上存在唯一零点； （2）若对任意x 1∈[0，2]，均存在x 2∈[0，π]，使得g （x 1）≤f （x 2），求实数a 的取值范围． 注：复合函数y ＝e ax 的导函数y '＝ae ax ． 3．（2020?开封一模）已知函数，a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）当a ＝1时，证明：?x ∈（﹣∞，0]，f （x ）≥1； （2）若函数f （x ）在 上存在两个极值点，求实数a 的取值范围． 4．（2020?遂宁模拟）已知函数 （1）求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）若函数g （x ）＝a （lnx ﹣x ）+f （x ）﹣e x sin x ﹣1有两个极值点x 1，x 2（x 1≠x 2）．且不等式g （x 1）+g （x 2）＜λ（x 1+x 2）恒成立，求实数λ的取值范围． 5．（2018秋?济宁期末）已知函数f （x ）＝（x ﹣a ）cos x ﹣sin x ，g （x ）＝x 3 ﹣ax 2，a ∈R （Ⅰ）当a ＝1时，求函数y ＝f （x ）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F （x ）＝f （x ）+g （x ），试讨论函数y ＝F （x ）极值点的个数． 6．（2019 秋?五华区校级月考）已知函数 ，f '（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f （x ）在定义域上存在唯一的极大值点； （2）若存在x 1≠x 2，使f （x 1）＝f （x 2），证明：x 1x 2＜4． 7．（2019秋?五华区校级月考）定义在[﹣π，+∞）的函数f （x ）＝e x ﹣cos x 的导函数为g （x ）．证明： （1）g （x ）在区间（﹣π，0）存在唯一极小值点； （2）f （x ）有且仅有2个零点． （1）当a ＝1时，证明：?x ∈（﹣∞，0]，f （x ）≥1； 1．（2020?开封一模）已知函数f （x ）＝a ?e ﹣ x +sin x ，a ∈R ，e 为自然对数的底数．二．解答题（共10小题） 含有三角函数的导数题目三角函数_反三角函数_积分公式_求导公式
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