9.3《分式方程》典型例题精析

9.3 分式方程

1．了解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般步骤．了解解分式方程验根的必要性．

2．能熟练地解可化为一元一次方程的分式方程，并验根．

3．掌握列分式方程解应用题的基本步骤．

4．能熟练地应用分式方程的数学模型来解决现实情境中的问题．

1．分式方程的概念

(1)分母中含有未知数的方程叫做分式方程． (2)分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含有未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数．例如x ＋1x ＝2，5y ＝7y －2，1x －2＝x 2

2－x

等都是分式方程，而x 2－2x ＋1＝0，2x ＋33＝x －12，x ＋a b －x －b a

＝2(x 是未知数)等都是整式方程，而不是分式方程．

【例1】下列方程中，分式方程有( )．

(1)x ＋1π＝3；(2)1x

＝2； (3)2x ＋54＋x 3＝12；(4)2x －2＝1x ＋1

. A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

解析：对于方程(1)，因为π是常数，所以该方程不是分式方程，是整式方程；方程(3)中的分母不含字母，所以不是分式方程．方程

(2)(4)符合分式方程的概念，都是分式方程．

答案：B

2．分式方程的解法

(1)把分式方程转化为整式方程，然后通过解整式方程，进一步求得分式方程的解，这是解分式方程的关键．本章中，解分式方程都是把分式方程转化为一元一次方程，通过解一元一次方程求解分式方程．分式方程的解题思路如下图：

(2)解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤是：

①去分母，即在方程的两边乘以最简公分母，把原方程化为整式方程．

②解这个整式方程．

③验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去．

(1)增根能使最简公分母等

于0；(2)增根是去分母后所得的整式方程的根．

以上步骤可简记为“一去(去分母)、二解(解整式方程)、三检验(检查求出的根是否是增根)”．

【例2】解分式方程：(1)x x －2＋6x ＋2

＝1； (2)7x 2＋x －3x －x 2＝6x 2－1

. 分析：(1)中方程的最简公分母是(x －2)(x ＋2)；(2)中方程的最

简公分母是x(x＋1)(x－1)．当方程有根时，检验的过程可以简写为经检验．

解：(1)原方程两边同时乘以(x－2)(x＋2)，得x(x＋2)＋6(x－2)＝(x－2)(x＋2)，

即x2＋2x＋6x－12＝x2－4，

解这个整式方程，得x＝1.

经检验x＝1是原方程的解．

故原方程的解是x＝1.

(2)原方程可化为

7 x x＋1＋

3

x x－1

＝

6

x＋1x－1

，

去分母，方程两边都乘以x(x＋1)(x－1)后，原方程化为整式方程7(x－1)＋3(x＋1)＝6x，

解这个整式方程，得x＝1.

经检验，x＝1时，最简公分母x(x＋1)(x－1)＝0.

故x＝1是原方程的增根，原分式方程无解．

在去分母时，根据等式的基本性质，方程左右两端的每一项都要同乘以最简公分母，要避免某一项漏乘，从而导致错误．如本题(1)小题中右端的1去分母时，往往被忽略，忘记乘以(x－2)(x＋2)，从而导致错误．

3．增根

(1)增根的概念

将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这

种根通常称为增根．如：若方程

m

x－2

＋3＝

1＋x

2－x

有增根，则这个增根

一定是x＝2.

(2)增根产生的原因

把分式方程转化为整式方程过程中，方程的两边都乘以的整式可能使分母为零，这样无形中去掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，于是就产生了如下两种情况：(1)如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方程的根就是分式方程的根；(2)如果整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根，是分式方程的增根．

因此，解分式方程时，验根是必不可少的步骤．

【例3－1】解方程3y ＋1＝－6y 2－1

. 分析：先去分母，再解整式方程，最后检验．

解：去分母，得3(y －1)＝－6，

解这个整式方程，得y ＝－1.

检验：当y ＝－1时，分母y ＋1＝0，原分式方程无意义，因此y ＝－1是原方程的增根．

故原分式方程无解．

【例3－2】若解分式方程2x －2＋mx x 2－4＝3x ＋2

有增根，试求m 的值．

分析：解分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x 2－4＝0，故解方程产生的增根有两种可能：x ＝2或x ＝－2，由增根的定义可知，x ＝2或x ＝－2是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m 的值．

解：原方程两边都乘以(x ＋2)(x －2)，

得2(x ＋2)＋mx ＝3(x －2)，

∵这个方程有增根，

∴x 2－4＝0，解得x ＝2或x ＝－2.

由于当x ＝2时，m ＝－4；当x ＝－2时，m ＝6.

故m ＝－4或6.

解决此类问题可按如下步骤进行：

(1)根据最简公分母确定增根；

(2)化分式方程为整式方程；

(3)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

4．分式方程的应用

分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法一样，不同的是，因为有了分式的概念，表示数与数的相依关系的代数式不受整式的限制．一般地，列分式方程解应用题步骤如下：

(1)审题，了解已知数与所求的各是什么．

(2)设未知数．

(3)找出相等关系，列出分式方程．

(4)解这个分式方程．

(5)检验，看方程的解是否满足方程，符合题意，写出答案．

列分式方程解应用题的关键

是用分式表示一些基本的数量关系，列分式方程解应用题一定要验根，还要保证其结果符合实际意义．

【例4－1】2011年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生产1 800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少吨纯净水？

解：设原计划每天生产x 吨纯净水，则依据题意，得1 800x －1 8001.5x ＝3，整理得4.5x ＝900，

解得x ＝200.

把x 代入原方程，成立，

因此x ＝200是原方程的解．

故原计划每天生产200吨纯净水．

【例4－2】甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过P 点跑回到起跑线(如图所示)；途中乒乓球掉下时需捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6 s ，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50 s ．”乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍．”根据图文信息，请问哪位同学获胜？

分析：用球拍托着乒乓球走的游戏，相信同学们看到过或亲身经历过，解此题，要注意在甲来回用时中不可漏加他浪费的6 s ．要判断谁获胜就是看谁来回用时少，根据对话情景可得相等关系：甲来回用时＋乙来回用时＝50 s ，其中甲来回用时要包含掉球后浪费的6 s.

解：设乙同学的速度为x m/s ，则甲同学的速度为1.2x m/s.

根据题意，得? ????601.2x ＋6＋60x

＝50， 解得x ＝2.5.

经检验，x ＝2.5是原方程的解．

因此甲同学所用的时间为

601.2x

＋6＝26(s)， 乙同学所用的时间为

60x

＝24(s)． 因为26＞24，所以乙同学获胜．

5．分式方程的特殊解法

解分式方程，一般是在方程的两边都乘以最简公分母，化为整式方程求解．但有些特殊的方程，按此方法往往比较繁琐，而且易错，若根据分式自身的特点，灵活处理，将已知方程简化，会收到事半功倍的效果．如换元法、化归法、观察比较法、分离常数法、逐项通分法等都是一些特殊的解法．

(1)如果一个分式方程中，同一个分式的分子、分母最高次数相同，且左、右两边各个分式的分子、分母最高次数的项的系数之商(或商的和)相等，同为常数M ，那么方程两边同减常数M .

(2)根据系数特点，逐项通分，使分子都为1，即利用分子相等时，分母也相等，这样就使方程的解答过程变得简单了．

【例5】解方程：(1)2x 2－12x 2－5＝2x 2＋6x －24x 2＋3x －11

； (2)1x ＋2－1x ＋3－1x ＋4＋1x ＋5＝0.

解：(1)因为原方程可化为2x 2－12x 2－5－2＝2x 2＋6x －24x 2＋3x －11

－2. 所以－2x 2－5＝－2x 2＋3x －11

， 即x 2－5＝x 2＋3x －11，解得x ＝2.

检验：把x ＝2代入原方程，得左边＝4，右边＝4，

因此左边＝右边，即x ＝2是原方程的根．

(2)因为原方程可化为? ????1x ＋2－1x ＋3－? ??

??1x ＋4－1x ＋5＝0，所以1x ＋2x ＋3－1x ＋4x ＋5

＝0， 即1x ＋2x ＋3＝1x ＋4x ＋5

，从而可得(x ＋2)(x ＋3)＝(x ＋4)(x ＋5)，解得x ＝－3.5.

检验：当x ＝－3.5时，该分式方程中各分式的分母的值均不为0，所以x ＝－3.5为原方程的解．

6．列方程解应用题的两种技巧

(1)利用列表法解分式方程应用题

列分式方程解应用题同列整式方程解应用题一样，都需要寻找题目中的等量关系．其中，利用列表的方法可以很快地找到等量关系，从而比较方便地解决问题．

(2)灵活选取未知数的设法

列分式方程解决实际问题时，应根据题目的特点，采用灵活的设未知数的方法．如可采用直接设未知数法、间接设未知数法等得方程．

①直接设未知数法

直接设未知数法是问什么就设什么为未知数的一种设元法．这种设法可以直接求得答案．

②间接设未知数法

所谓间接设未知数法，就所设的未知数并不是所要求的．间接设未知数法也是一种比较重要的解题方法．这种设未知数的方法易于问题的解决．

【例6】王老师家在商场与学校之间，离学校1 km ，离商场2 km.一天王老师骑车到商场买奖品后再到学校，结果比平常步行直接到校迟20 min.已知骑车速度为步行速度的2.5倍，买奖品时间为10 min.求其骑车的速度．

分析：题目中的相等关系是：王老师骑车到校的行程为5 km 所

用的时间－步行走1 km 所用的时间为1060

小时(因为买奖品时间为10

min)．为了易于列出方程，可采用间接设未知数的方法．解：设王老师步行的速度为x km/h，则他骑车速度为2.5x km/h.这天王老师骑车到校的行程为 5 km，比平常步行多用时间10 min.

由题意，得5

2.5x －

10

60

＝

1

x

，

即2

x

－

1

6

＝

1

x

，

1

x

＝

1

6

.

所以x＝6.

经检验x＝6是原方程的根．

因为当x＝6时，2.5x＝15.

所以王老师骑车的速度为15 km/h.

间接设法一般在利用直接设法数量关系不容易表达或无法表达时采用．本题也可以采用直接设未知数的方法列方程．

7．与分式方程有关的综合题

分式方程常与列代数式、不等式等知识综合出题，常见的有：求方程中字母系数的值及取值范围、求满足条件的代数式中字母的取值等．此类型题主要考查分式方程的解法，解答时可根据要求列分式方程求解或把条件代入方程中求解新方程．

如a 为何值时，关于x 的方程x ＋1x －2＝2a －3a ＋5

的解等于零？ 显然，要求解本题，可根据方程解的意义，先把x ＝0代入原分式方程，得到关于a 的方程，再解方程即可求出a 的值．

这里要特别注意，关于a 的方程也是分式方程，因此不要漏了验根这一步骤．

【例7】已知关于x 的分式方程x

x －3－2＝m

x －3有正数解，试求m

的取值范围．

分析：先由原分式方程得x ＝6－m ，要使x ＝6－m 是原分式方程的正数解，一方面要保证x ＝6－m 不是增根，另一方面要满足x ＝6－m ＞0，综合以上两点的m 值才适合题意．

解：由x

x －3－2＝m

x －3得x ＝6－m ，

要使x ＝6－m 是原方程的正数解，应满足的条件是

?

???? x ≠3，即6－m ≠3，x >0，即6－m >0， 解之可得????? m ≠3，m <6.

故当m ＜6且m ≠3时，方程x

x －3－2＝m

x －3的解必为正数．

方程没有增根是方程有正数

解的前提条件，解答本题时易忽视对x ≠3时m 的取值大小限制的讨论．

8．与分式方程有关的创新题

列分式方程解决问题，命题形式灵活多样，渗透着浓郁的生活气息．

解这些问题的关键在于理解题意，找出数量之间的相等关系，这里的相等关系应是一个或几个，根据这些等量关系正确地列出方程，再解方程可使问题得以解决． 如下面一列有规律的数：13，28，315，424，535，648

，…，若第m 个数化简后是180

，则它是第__________个数． 显然，根据分子、分母的规律，可得第m 个数是m

m m ＋2，

于是m m m ＋2＝180

， 可解得m ＝78.

【例8】数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do ，mi ，so.研究15,12,10这三个数的倒

数发现：112－115＝110－112

.我们称15,12,10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x,5,3(x ＞5)，则x 的值是__________．

解析：本题以音乐学科和数学学科相融合来命题，使题目具有挑

战性，能够激发学生的解题热情．通过阅读材料可知，调和数

15,12,10，其倒数满足式子112－115＝110－112

， 因而调和数x,5,3(x ＞5)，应满足式子15－1x ＝13－15

. 解这个方程，得x ＝15.经检验：x ＝15是原方程的根．故填15. 答案：15