成都外国语学校高2014级10月月考文数

成都外国语学校高2014级10月月考

文科数学试题

出题人：李吉贵 审题人：李斌

一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上) 1、设复数11z i

=-，则z 的共轭复数z =（ ）D

A 、11i +

B 、1i +

C 、11i

- D 、1i - 2、设集合{2,2},{,}a

A B a b ==，若1{}2

A B = ，则A B = （ ）C A 、1{2,,2}2

a

B 、1{2,}2

C 、1{2,,1}2-

D 、1{2,,1}2

3、某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1

2

，则该几何体的俯视图可以是（ ）B

A B C D 4、命题“函数()()y f x x D =∈是偶函数”的否定可表示为（ ）A A 、,()()x D f x f x ?∈-≠ B 、,()()x D f x f x ?∈-≠ C 、,()()x D f x f x ?∈-= D 、,()()x D f x f x ?∈-=

5、设0,0a b >>

是3a 与3b

的等比中项，则

11

a b

+的最小值为（ ）B A 、8 B 、4 C 、1 D 、1

4

6、已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πω?ω?=+>><的

部分图像如图所示，则,ω?的值依次为（ ）B A 、3,4π

-

B 、3,

4

π

C 、27,4π-

D 、27,4

π

7、在ABC ?中，90C ∠=

，且3CA CB == ，点M 满足：2BM MA =

，则

C M C B

?=

（ ）C A 、6 B 、4 C 、3 D 、2

8、某企业要将刚生产的100台电视机送往某商场，现有甲型货车4辆，乙型货车8辆可供调配，每辆甲型货车费用是400元，可装电视机20台，每辆乙型货车费用是300元，

可装电视机10台，若每辆车至多运一次，则企业所花最少运费为（ ）D A 、2400元 B 、2800元 C 、2000元 D 、2200元 9、已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，不等式

()()0

f x x f x '+<恒成立。若0.3

0.3443(3),(log 3)(log 3)a f b f =?=?，

2

211

(log )(log )44

c f =?，则,,a b c 的大小关系是（ ）A A 、c a b >> B 、a c b >> C 、a b c >> D 、c b a >> 10、将正整数从小到大排成一个数列，按以下规则删除一些项：先删除1，再删除1后面

最邻近的2个连续偶数2,4，再删除4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9，再删除9后面最邻近的4个连续偶数10,12,14,16，再删除16后面最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25, ，按此规则一直删除下去，将可得到一个新数列3,6,8,11,13, 15,18,20, ，则这个新数列的第49项是（ ）A

A 、108

B 、109

C 、110

D 、102

二．填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卷上）

11、已知

tan 125tan αα+=-，则sin cos sin 2cos αα

αα

+=-________________。4

12

、2

1(lg8lg1000)lg5(lg lg lg 0.06________6

+?+++=。1

13、已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，且125,,a a a 成等比数列，则2____a =。3 14、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是______。27π

15、已知定义在R 上的函数()f x 满足：22

2,[0,1)

()2,[1,0)

x x f x x x ?+∈?=?-∈-??，且(2)()f x f x +=， 25

()2

x g x x +=

+，则方程()()f x g x =在区间[8,3]-上所有的实根之和为______。11- 三．解答题（本大题6个小题，共75分，请把答案填在答题卷上） 16、（12分）已知集合{|37},{|210},{|5}A x x B x x C x a x a =≤≤=<<=-<<。 （1）求A B ，()R C A B ；

（2）若()C A B ? ，求a 的取值范围。

解：（1）(2,10)A B = ，()(2,3)(7,10)R C A B = （2）(2,10)C ?则：①C =?时，5a a -≥，5

2

a ?≤

；②C ≠?时，525523210

a a a a ?>??-≥?<≤?

?≤??

，综上，3a ≤ 17、（12

分）已知(2cos ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-

，且m n ⊥ 。 （1）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的单调递增区间；

（2）已知,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 对应的边长，若()32

A f =，且

2a =，4b c +=，求ABC ?的面积。

解：（1

）2()02cos cos 02sin(2)16

f x x x x y y x π

=?+-=?=++

2222

6

2

k x k π

π

π

ππ?-

≤+

≤+

?增区间为：[,

]3

6

k k k Z π

π

ππ-

++∈

（2）()3sin()12,2

6

6

2

A

f A A k k Z π

π

π

π=?+

=?+

=

+∈，

又0A π<< 3

A π

?=

，

由222222

2cos 4()3a b c bc A b c bc b c bc =+-?=+-=+-4bc ?=

所以，1

sin 2

S bc A ==18、（12分）某几何体111ABC A B C -的三视图和直观图如图所示。 （1）求证：1

AC ⊥平面11AB C ； （2）求二面角11C AB C --的余弦值。

解：（1）由三视图可知，在三棱柱11

1ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，1111B C AC ⊥

且14,3AA AC BC ===--------------------------------2分

以点C 为原点，分别以1,,CA CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，

如图所示，由已知可得：(4,0,0),(0,3,0),(0,0,0)A B C ，1(4,0,4)A ，1(0,3,4)B

1(0,0,4)C ，1

111(4,0,4),(4,0,4),(0,3,0)AC C A C B ∴=--=-=

--------------4分 1111111110,0,,A C C A A C C B A C C A A C C B

∴?=?=∴⊥⊥

--------------6分 又1111,C A C B C =∴ 1

AC ⊥平面11AB C （2）由（1）得1(4,0,0),(0,3,4)CA CB ==

。

设平面1AB C 的法向量为(,,)n x y z =

，则1,CA n CB n ⊥⊥

1C 1

B 正视图 侧视图

10

CA n CB n ??=?∴??=?? 即40340x y z =??+=?

令4y =，得平面1AB C 的一个法向量为(0,4,3)n =-

----------10分

由（1）知，1

AC

是平面11AB C 的一个法向量

1

1

1

cos ,n AC n AC n AC ?∴===?

故二面角11C AB C --

的余弦值为

10

。-----------12分 19、（12分）一汽车厂生产A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月

的产量如下表(单位:辆):

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆. （1）求z 的值.

（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总

体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；

（3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,

8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。

解: (1).设该厂本月生产轿车为n 辆,由题意得,

5010

100300

n =

+,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400

(2) 设所抽样本中有m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以

40010005

m

=,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),(B 1 ,B 2), (B 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 3)共10个,其

中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为

710

. (3)样本的平均数为1

(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98

x =

+++++++=, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为

75.08

6

=. 20、（12分）已知数列{}n a 满足：115

,323

n n a a a +=

=+。 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：(1)n n b n a =-，求数列{}

n b 的前n 项和n S ；（3）求证：

231231111133332

n n a a a a ++++

1,3a -=

则数列{1}n a -为等比数列，1212

1()333

n n n a --=?=

故2231112()333

n n

n n n

a +=+==+?-----------------6分 （2）由（1）知1(1)2()3

n

n n b n a n =-=?

231111

24()6()2()3333

n

n S n ∴=?+?+?++? ① 231

11111

2()4()2(1)()2()33333

n n n S n n +=?+?++-?+? ② 由①－②得：231

21111122()2()2(1)()2()333333

n n n S n n +=?+?+?++-?-?

2311()33n

n +=-?

3231()223

n

n n S +∴=-?

（3）111

3233n n n

n a =

23212311111113333333

n n n a a a a ∴

++++<+++???? 11[1()]

1113

3[1()]123213

n n -==-<- 21、（15分）已知函数211

()ln()4f x x x x a a

=-++，其中常数0a >。

（1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （2）求()f x 的单调递增区间；

（3）已知1

0,()2

a f x '<<表示()f x 的导数，若1212,(,),x x a a x x ∈-≠，且满足：

12()()0f x f x ''+=，试比较12()f x x '+与(0)f '的大小，并加以证明。

（提示：1

[ln()]'x a x a +=+）

解：（1）211()ln()4f x x x x a a =-++，可得111

'()2f x x a x a

=-++

又()f x 在1x =处取得极值，故111

'(1)021f a a

=-+=+

且0a >，可得1a =

经检验，1a =时，()f x 在1x =处取得极值。故1a =

（2）由（1）知，2111[(2)]

'()(,0)22()x ax a f x x x a a a x a a x a --=-+

=>->++

①当a =

时，2

'()0f x =

≥，故()f x

在()+∞内单调递增；

②当a >时，'()0f x >，解得2

2a a x a

--<<或0x >。

所以()f x 在2

2(,)a a a

--和(0,)+∞内单调递增

③当0a <<时，'()0f x >，解得0a x -<<或2

2a x a

->。

所以()f x 在(,0)a -和2

2(,)a a

-+∞内单调递增 （3）12()(0)f x x f ''+<。证明如下：

设111

()'()()2h x f x x a x a a x a

==-+-<<+，且(0)0f '=

则222

11()2

'()2()2()x a h x x a x a +-=-=

++ 因为a x a -<<，有02x a a <+<且102

a <<

，所以22

0()41x a a <+<< 故'()0h x <，即()h x 在(,)a a -内单调递减，从而'()f x 在(,)a a -内单调递减 依题意，不妨设12x x <，又'(0)0f =，12()()0f x f x ''+=，

所以1210,0a x x a a x a -<<<<<+<且12a x x a -<+<

由12()()0f x f x ''+=得1212

211

2x x a a x a x +=--

++，所以 1212121212

1121111

()()2x x f x x a a x x a a x a x a a x x +'+=-+=---+

++++++ 1212

1111

a a x x a x a x =+--++++

考查函数221111

()(0)g x x a a x x x a x =+

--<<++， 则22

2222

22(2)11'()0()()

x x x g x x x x x x x +=-+=>++，故()g x 在(0,)a 内单调递增。 又因为10a x a <+<，所以1()()0g a x g a +<=， 即1212

1111

0a a x x a x a x +

--<++++，从而12()(0)f x x f ''+<