华南师范大学高等代数讲义

高等代数精读讲义

南京师范大学数科院

1

子曰：「学而不思则罔，思而不学则殆。」------出自「论语.为政」（按钱穆先生注：学而不思，不深辨其真意所在，必致迷惘无所得。思而不学，则事无验证，疑不能解，将危殆不安。故『学与思』当齐修并进，不可偏废，仅学不思，容易迷失自己。仅思不学，亦是把自己封闭孤立了。)

子曰: 「学而时习之, 不亦说乎，有朋自远方来, 不亦乐乎，人不知而不愠, 不亦君子乎」------出自「论语. 学而第一」

（注：学习知识，时常温习和实践，不是令人高兴的事吗？有朋友从远方而来，不也是令人快乐的事儿吗？我有才学，别人不了解自己，我并不因此而烦恼，这不才是君子吗？）

数形本是两相依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形缺数时难入微，切莫忘！数形结合百般好，数形割裂万事休。----------华罗庚

2

3

第一章 多项式

§1 数域

一．数的起源与发展

从数的形成历史来看，大体经历了这样一个过程。

自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要．中国古代文献《周易·系辞下》有记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”，就是说古人开始用结绳记数，后来改为刻痕记数。其他国家也有类似的记载。随着人类的发展又发明了一些记数符号，各个国家和地区的记数符号是不同的，中国出土的殷商甲骨文中已经有完整的十进制记数。 今天我们所用的符号：1，2，3，··· 称为阿拉伯数字，其实是印度人发明的，公元八世纪前后，由印度传入阿拉伯，公元十二世纪又从阿拉伯传入欧洲，人们误认为是阿拉伯人发明的，所以叫做“阿拉伯数字”。

正分数的产生源于分配及测量的需求，当不够分或者度量不尽时，就产生了正分数的概念。比如：当两个人分三张饼时，需要将一张饼分二份，各取其中之一，这便产生了“二分之一”，今天我们记为

12，每人分到112或者3

2

张饼。类似的问题在测量中也会遇到，记尺子的长度为1，测量到最后不够一尺时，就试图用正分数来表示。据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于正分数的问题．自然数并上正分数便构成了正有理数。

我国古代筹算中，利用“空位”表示零. 公元6世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零. 但是，把“0”作为一个数是很迟的事．

以后,为了表示具有相反意义的量, 负数概念就出现了．在欧洲，直到16世纪大多数数学家还不承认负数，到17世纪才对负数有一个完整的认识．引入0和负

引入无理数

引入虚数

4

数，就得到了全部有理数。

引进无理数，建立严格的实数理论是19世纪70年代以后的事情，但是无理数的发现却可以追溯到公元前5世纪的古希腊，而且非常具有戏剧性。前面我们提到当测量到最后不够一尺时，就试图用正分数来表示，那么一个自然的问题是：是否一定能用正分数表示呢？古希腊的著名数学家毕达哥拉斯(Pythagqras ，约公元前580～前500)有一句名言“宇宙间的一切现象，都可以归结为自然数或者自然数之比.”，并把它作为毕达哥拉斯学派的宗教信条。 随后，毕达哥拉斯发现了一个非常著名的定理，即我们熟知的勾股定理，国际上都称之为毕达哥拉斯定理。 有一个学生希伯斯在思考这样一个问题：单位正方形的对角线的长度x 是多少？ 假设毕达哥拉斯的名言是正确的，则可设 m

x n

=

, 其中m , n 都是自然数。进一步可不妨设m , n 是互素的（互质的）

。利用毕达哥拉斯定理得到 22x =， 则222m n =，从而2是2m 的因子，也一定是m 的因子，所以可设 2m p =，其中p 也是自然数。因此22(2)2p n =，即 222p n =，从而得到2也是n 的因子, 这与m , n 是互素的相矛盾。所以希伯斯发现毕达哥拉斯的名言是错误的，单位正方形的对角线的长度就无法用两个自然数之比来表示，它的长度应该对应一个新

。希伯斯把他的发现告诉了老师，毕达哥拉斯惊骇极了，他做梦也没想到， 自己最得意的毕达哥拉斯定理竟然招来了一位神秘的“天外来客”，以至于动摇了他的学派的宗教信条。于是

，并且不允许告诉外人，否则会受到惩罚。希伯斯不服气，还是将自己的发现传扬出去，最终希伯斯受到了惩罚，为真理而献身。

的发现为毕达哥拉斯学派赢得了荣誉。

数的概念的再一次扩充，是为了解决数学自身的矛盾．16世纪前半叶，意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式，大胆地引用了负数开平方的运算，得到了正确答案．由此，虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进。 16世

纪中叶，意大利数学家卡尔丹提出了这样的问题：两个数之和为10， 之积为40， 问这两个数是多少？设一个数为x ， 则 (10)40x x ?=，即 210400x x ?+=，绝大多数人得到的结论是无解。 但是卡尔丹鼓足勇气，“不管良心受到多大的责备”

5

用求根公式得到了两个奇怪的东西

5，利用熟知的运算法则可以验证这两个奇怪的东西正好满足题目的要求。针对这一现象，有两种截然不同的态度，一是认为没有意义，拒绝接受，这其中包括大数学家牛顿和莱布尼兹。 另一观点是接受这种怪东西，作为不同于实数的新的数，并称之为虚数。从18世纪末至19世纪初，虚数在数学中的地位得到确立．引进虚数，形成了复数系．

上面,我们简要地回顾了数的发展过程．必须指出，数的概念的产生，实际上是交错进行的．例如，在人们还没有完全认识负数之前，早就知道了无理数的存在；在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了．

直到19世纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑过．后来，由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响，促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构．从19世纪中叶起，经过皮亚诺(G ．Peano ，1855～1939)、康托尔

(G ．Cantor ，1845～1918)、戴德金(R ．Dedekind ，1831～1916)、外尔斯特拉斯(K.Weierstrass ，1815～1897)等数学家的努力，完成了建立整个数系的逻辑工作．

练习题：设 p 是素数（质数）

是无理数。

二 复数理论简介

i ，称为虚数单位，它具有性质 12

?=i

。前面所提到的5±5i 。一般的复数就定义为a bi +，其中,a b 都是实数。其中a 称为实部，b 称为虚部，记为

Re(),Im().a a bi b a bi =+=+

设复数 z a bi =+，如果0b ≠，称z 为虚数；如果0,0a b =≠，称z 为纯虚数，如果0,b =则z 退化为实数。全部的实数和虚数合起来构成全体复数，用字母C 表示。称 a bi ?为z a bi =+的共扼复数， 记为 z 。

我们知道，每一个实数都可以用数轴上的点来表示，从而给了实数形象的几何表示。类似的，复数也有形象的几何表示，每一个复数都对应平面上的一个点

6

（或者从原点出发的向量）。

复数有三种表达形式： 代数形式： z a bi =+;

三角形式：(cos sin )z r i θθ=+，其中 0r ≥；

指数形式：i z re θ=，其中i e θ可理解为 cos sin i θθ+的简单记号。 相互之间的关系为：

cos sin a r b r θθ=??=?，

tan r b a θ?=?

?=

??

。 称 r 为复数z 的模，记为

||z 。称θ为复数z 的辐角，记为Arg()z ，显然z 的辐角有无穷多，它们相差2k π，在(,]ππ?之间的辐角是唯一的，称之为辐角主值（主辐角），记为 arg()z .

复数的四则运算：设

111

222(cos sin ),(cos sin ),i i z a bi r i re z c di r i r e α

βααββ=+=+==+=+=

则 12()()z z a c b d i ±=±+± -------------------（1）

12()()z z ac bd ad bc i =?++ -----------------（2）

思考题：1. 试证明

()121212[cos()sin()]i z z r r i r r e αβαβαβ+=+++=------------（3）

7

特别的，

111()()[cos()sin()]()n n n in z r n i n r e ααα=+=-----------（4） 2. 思考为什么把

i e θ 作为 cos sin i θθ+ 的简单记号。 3. 证明---------------------（5）

除法公式

思考题：1. 大家熟知 21x =有两个根：1,1?；请探寻

2(cos sin )x z r i αα==+ 的根。

2．设 (cos sin )n x z r i αα==+，请写出求根公式：

练习题：1. 解方程 31x

=；

2．解方程 2,(0)x a a =?>；

3．求 20ax bx c ++= 的根，其中,,a b c 都是实数，并检查以前所学的求根公式是否依然适用，韦达定理是否仍旧成立。

8 4．已知复数（2x -1）+i 与复数y+(3-y ) i 互为共轭复数，其中x,y ∈R ，

求x 与y.

5．实数m 取什么值时，复数 z =m +1+(m -1)i

是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

共轭运算公式：

请自己证明。

三 数学归纳法

数学归纳法是用来证明一个与自然数 n 有关的命题 P n .

第一数学归纳法: 要证明对于所有的自然数n, 命题 P n 都成立, 只需要证明如下两步

1) n=1 时,命题成立 (即命题 1P 成立);

2) 假设 n k =时命题成立, 则1n k =+时命题也成立 (即 P k 成立 ? 1P k + 成立).

第二数学归纳法: 要证明对于所有的自然数n, 命题 P n 都成立, 只需要证明如下两步

1) n=1 时,命题成立 (即命题 1P 成立); 2) 假设 n k <时命题成立, 则n k =时命题也成立

(即 121P , P ,,P k ?" 成立 ? P k 成立).

9

要说明一个与任意自然数 n 有关的命题 P n 是成立的, 仅靠有限的归纳验证是靠不住的,必须用数学归纳法进行严格的证明.

五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授（1908——1996）在给大学一年级学生讲高等数学课， 他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：

某主妇养小鸡十只，公母各半。她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐。天天早晨她拿米喂鸡。到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃。”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了。这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了，虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃。

赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”。接着他举出一个数学中的类似的例子：

命题P n : (n -1)( n -2)( n -3)… (n -99)= 0.

当n = 1，2，3，…,99时都是成立的，而当n = 100时就不成立了. 缺乏了数学归纳法中的第二条, 就无法实现从有限到无限的飞跃, 即使验证再多次, 也只能停留在有限中,所得到结论仍是不可靠的. 如果公鸡在第一天吃到了米后, 额外得到了一条承诺“若它在第k 天吃到了米，则它在第k+1天也能吃到米 ”，那么它就真的永远有米吃了。

当然我们可以通过有限的归纳, 得到一个猜想,然后再试着用数学归纳法看能否给出证明.

同时，不要以为第一条看似简单就不屑一顾。缺了第一条的证明也是错误的，比如：

命题：221n n =+

对于上命题，可以证明满足第一数学归纳法的第二条。假设当n =k 时命题成立，即221k k =+，在此式两端各加2k +1，则有2221121k k k k ++=+++，亦即 22(1)(1)1k k +=++

10 这表示，当n =k +1时，此命题也成立。

可是，当n =1时，命题显然不成立，因为1不等于2。这里虽然证明了第一数学归纳法的第二条，但不符合第一条，这个证明是错误的。可以看出，此式对任何正整数都是不成立的, 是一个荒谬的命题。

数学归纳法正是体现了人的认识从有限到无限的飞跃。

练习题：用数学归纳法证明如下命题： 1． 1+2+…+n=

(1)

2

n n + ; 2. 222(1)(21)

126n n n n +++++=

" ; 3. 2

3

3

3

(1)122n n n +??

+++=????

"; 4. 1!22!!(1)!1n n n ?+?++?=+?"；

5. 贝努利不等式：(1)1n h nh +≥+，其中n 为自然数，1h >?；

6. 2135(21)n n ++++?="；

7. 证明 221n ? 能够被 3 整除。

8． 证明： 设自然数 2n ≥，必有n 是一个素数或者是一系列素数的乘积。（用

第二数学归纳法）

四 数域

复习数域这一节，思考如下几个问题： 1． 数域的定义是什么？

2． 整数集是数域吗？无理数集是数域吗? 为什么?

3．

设p 是一个给定的素数, 证明数集

{}

|,Q a a b +∈构成一个数域.

4． 最小的数域是什么? 在Q 和 R 之间是否有数域, 有多少?

在R 和 C 之间是否有数域, 为什么?

相信同学们可以找到新的数域, 试试看!

11

五 关于连加号 自学课本附录一, 完成如下问题. 1. 由课本426页, 已经知道

11

11

s n

n s

ij ij i j j i a a =====∑∑

∑∑, 也就是说双重连加号中,

连加号的次序可以交换, 结合图表说出上式的直观含义. 本页中 2n

ij j i j

a =<∑∑

的直

观意义是什么? 连加号的次序是否可以直接交换, 应如何交换?

2. 证明: 111

1

s n s

n

i j i j

i j i j a b a b

====????=????????∑∑∑

∑

3. 设 0

(),()s

n

i

j i j i j f x a x g x b x ====∑∑, 证明 ()()()()f x g x g x f x =.

§2 一元多项式

一 思考 复习一元多项式的概念, 思考如下问题

1. 现在所学的多项式与中学所学的多项式在概念上有那些区别?

2. 两个多项式相等的定义是什么? “多项式相等” 中的等号与 “方程” 中的等号写法相同, 含义是否相同呢?

(1) 设两个多项式相等: 223ax bx x c ++=+, 则有 . (2) 设x 是未知数, 解方程 223ax bx x c ++=+, 则有 . 3. 什么是0多项式? 什么是零次多项式? 0多项式有没有次数? 4. 写出有关多项式的两个重要的次数公式, 叙述首项定理. 5. 多项式乘法的定义是什么? 自行计算

3223210210()()a x a x a x a b x b x b +++++ 加强对多项式乘法的直观认识. 6. 叙述多项式的乘法消去律.

设

(1)(2)(1)()x x x ax b ++=++， 则 2x ax b +=+，从而1, 2.a b == ( 需要注意：上式的等号是多项式相等，上式并非方程。如果把x 看作未知数，

12 把上式看作方程，那么不能把 1x + 消去，如果消去，则丢失一个解1x =?。）

7．下列表达式那些是多项式.

2

121x x x ?+++, 2

2sin x x x ++, 23213x x x x

+++

, 2(2)(x x x π++

2211

x x x +++

§3 整除的概念

一． 结合多项式带余除法定理的内容及证明，自学课本428页整数的除法

算式定理，并自己给出证明，两者有什么联系和区别。 二． 总结整除的性质。 三． 练习题

1．,,m p q 适合什么条件时，有231|x mx x px q +?++？ 2．求 1x ? 除 43261274x x x x ?+?? 所得的商和余式？ 解： 应用综合除法. .

所以商为3257x x x ?+， 余式为 -4。

3． 把 4223x x ?+ 表示成 2x + 的方幂和， 即表示成

4323210(2)(2)(2)(2)x c x c x c x c ++++++++ 解: 反复应用综合除法.

11612741570157

4

??????

13

所以4223x x ?+ 可表示成 432(2)8(2)22(2)24(2)11x x x x +?+++?++

4. 已知

22

(1)()(1)()(2)()0,

(1)()(1)()(2)()0.

x h x x f x x g x x h x x f x x g x +++++=?++?+?= 证明 21()x f x +，21()x g x +。

5． 设 k 是大于 1 的自然数，()k x a f x +，证明()x a f x +。 6． 设 (),(),()f x g x h x 都是实数域上的多项式，证明：

（1） 若 22()()0g x h x +=，则 ()()0g x h x ==；

（2） 若 222()(1)()(1)()f x x g x x h x =+++，则 ()()()0f x g x h x ===。

四． 总结

零次多项式能整除任意多项式，任意多项式能整除0多项式，0多项式只能整除0多项式。

21

020324

48

212

241128

2021410

24

21221622

218

?????????????????

14 如果以次数的大小来看多项式，那么本节可总结为：

§4 最大公因式

一、课本知识

1．对于最大公因式的存在性及表示定理

（课本13页定理2），设定理证明中的2,3,4s =等几种情况，请写出最大公因式及其具体的表达形式。 2．辗转相除法的基本思想：

3．请总结一下，互素的性质一共有几条。

4．注释：本节所提的“最大公因式”“互素”的概念要与附录二中的有关整数的“最大公因子”“互素”相区分。概念是类似的，由于采用的符号是相同的，有时会产生误解，请加以区分。举例说明：

对于整数理论：4 与 6 的最大公因子为 2，记为()4,62=；4 与6不互素。 对于多项式理论：4 与 6 被看作零次多项式，那么首项系数为1的最大公因式为1，记为()4,61=，4 与6作为多项式是互素的。

5．判断如下叙述是否正确：

1)()d x 是(),()f x g x 的最大公因式 ?

(),()u x v x ? 使得

15

()()()()()d x u x f x v x g x =+。 ( ) 2) ()(),()1f x g x = ?

(),()u x v x ? 使得1()()()()u x f x v x g x =+。 ( )

3) ()(),()1f x g x = ?()f x 与 ()g x 没有公因式。 ( )

6．证明： 对于任意的自然数 s ，最大公因式 ()12(),(),,()s f x f x f x "是存在的，而且可以用12(),(),,()s f x f x f x "的组合来表示。

二、练习题

1．设(),()f x g x 不全为0，令

{}()()()()(),()[]M u x f x v x g x u x v x P x =+∈；

证明：M ≠?，而且M 中次数最低的多项式都是(),()f x g x 的最大公因式。

2．设11()2()3(),()3()4()f x f x g x g x f x g x =+=?，证明：

()h x 是(),()f x g x 的公因式 ? ()h x 是11(),()f x g x 的公因式。 3．设()(),()1

f x

g x =，试证对于任意的多项式()

h x ，都有 ()()()(),()(),()f x h x g x h x g x =。

§5 因式分解定理

一、课本知识

1. 叙述不可约多项式的定义是什么？ 一个多项式是否是不可约多项式， 与它所考虑的数域有关吗？

2．不可约多项式的性质有几条？

3．叙述因式分解唯一性定理，写出标准分解式。

4．书上并没有给出“可约多项式”的定义，看能否自己给出。

16 二、练习题

1 设 (())0p x ?>，()[]p x P x ∈，证明：如果对于[]P x 中任意的多项式(),()f x g x ，如下结论成立：“若()()()p x f x g x ， 则()()p x f x 或者()()p x g x ”， 那么()p x 是[]P x 上的不可约多项式。

2．设 (())0p x ?>，()[]p x P x ∈，证明：如果对于[]P x 中任意的多项式()f x ，有 ()()p x f x 或者()(),()1p x f x =， 那么()p x 是[]P x 上的不可约多项式。

§6 重因式

一、课本知识

1．叙述单因式，重因式，k 重因式的定义。

2. 一个不可约多项式()p x 是()f x 的重因式的充要条件是什么？ 多项式()f x 没有重因式的充要条件是什么？

3． 推论1 的逆命题是否成立？为什么？

4． 证明若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1k ≥) , 则 ()p x 是()f x ′的k -1重因式。其逆命题是否成立？为什么？

5． “()p x 是()f x 的k 重因式”这句断言的正确性依赖于所考虑的数域吗？“()f x 有（无）重因式”这句断言的正确性依赖于所考虑的数域吗？

二、练习题

1． 设多项式()f x 有k 重因式 x a ?，其中1k >. 证明

()()()f x x a f x ′?? 也有k 重因式 x a ?. 当 1k = 时命题是否成立？ 请说明理由。

2．当 ,a b 满足什么条件时，多项式4()4f x x ax b =++有重因式？ 3．设 8642()2344f x x x x x =??++，先判别是否有重因式？分别在有理数

17

域，实数域，和复数域考察()f x 的重因式。

三、思考 本节中所给出的导数与数学分析中的导数有区别吗？

§7 多项式函数

余数定理告诉我们要计算 ()f α，可以用综合除法计算余数。 例如： 5432()37893f x x x x x x =????+， 计算 (5)f

所以 (5)133f =。

定理9告诉我们多项式的“恒等”和“相等”是一回事。

()f x 与 ()g x “相等”： 系数对应相等；

()f x 与 ()g x “恒等”： 对任意的数α， ()()f g αα= 。

§8 复系数与实系数多项式的因式分解

一、历史背景

有关代数学基本定理 代数基本定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但他的证明是首先默认了数学分析中一条明显的引理：定义在有限闭区间上的连续函数一定在某一点取得最小值，而这个引理在达朗贝尔的研究100年以后才得到证明。接着，欧拉也给出了一个证明，但有缺陷，拉格朗日于1772年又重新证明了代数基本定理，后经高斯分析，发现他的证法中把实数的尚未证明其真实性的各种性质应用了，所以该证明仍然是很不严格的。

1799年，高斯在他的博士论文中第一个严格证明了代数基本定理，后来又给出了三个证明方法。应指出，在许多证法中，这个定理都不是在最一般的情况下证明的，都是假定了多项式的系数表示实数，但整个定理却包括复系数的情况。

5137893

5

101535130

1

2

37

26133

????

复变函数论发展后，代数基本定理已作为其他定理的推论。代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。

代数学基本定理解决了根的存在性和个数的问题，至于如何求解是另外一个问题。

从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到16世纪初才由意大利人解决。他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根，同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。

1770年前后，法国数学家拉格朗日猜想一般的四次以上代数方程不可能有根式解。1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善。1824年到1826年，挪威数学家阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题。

法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝尔未竞的事业。伽罗瓦证明了不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法。他引入了“群”的概念，把方程论问题转化为群论的问题。后人都称他为群论的创始人。伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领域。可惜的是，伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥，对十九世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质，以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场决斗而早逝，我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代，他的理论才终于为人们所理解和接受。

伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。

18

19

二、练习题

1．求多项式 1n x ?在复数范围内和实数范围内的因式分解。

解. 只需要求多项式 1n x ?的n 个根：

22cos

sin

k k k i n n

ππ

ε=+ ，(0,1,2,,1)k n =?". 所以1n

x ?在复数范围内的因式分解为

1

()n k

k x ε

?=?∏。

若n 为偶数，记2n m =，则 01ε=，1m ε=?，其它n -2个根都为虚数：

1111,,,,,m m εεεε??""

所以1n x ?在实数范围内的因式分解为

11

2

21

1

2(1)(1)[()](1)(1)[(2cos

1]m m k k k k k k k x x x x x x x x n

π

εεεε??==?++++=?+?+∏∏

若n 为奇数，记21n m =+，则 01ε=，其它n -1个根都为虚数：

11,,,,,m m εεεε""

所以1n x ?在实数范围内的因式分解为

2

21

1

2(1)[()](1)[(2cos

1]m m

k k k k k k k x x x x x x n

π

εεεε==?+++=??+∏∏ 2. 设()0f x ≠且()()n f x f x ，()f x 的任一根为 α，证明：0α=或者

||1α=。

证明：因为 ()()n f x f x ，α是()f x 的根， 所以 α是()n f x 的根，即

()0n f α=， 从而n α也是()f x 的根，依次类推

23,,,,k

n

n n n αααα""，

都是()f x 的根，若0α=，则结论得证。若0α≠，下证||1α=.

假设 ||1α>，则

2k

n n n ααα<<<<""

20 假设 0||1α<<，则

2k

n n n ααα>>>>""

这说明()f x 有无穷多根， 这是一个矛盾。 所以结论得证。

§9 有理系数多项式

1．对有理数域上的多项式()f x 来说，“()f x 在有理数域上不可约”是否等价于“()f x 没有有理根”？

2．在有理数域上， 是否存在任意次数的不可约多项式，为什么？

3．艾森斯坦因判别法仅仅是判别“()f x 在有理数域上不可约”的一个充分条件。有时艾森斯坦因判别法的条件无法满足时，可试探着考虑()f y a ±是否满足。例如：

32()3f x x ax bx =+++; 12()1p p f x x x x ??=++++" 其中 p 为素数。 4．

设 32()3f x x ax bx =+++，其中,a b 都是整数，a b +是奇数，证明： ()f x 是有理数域上的不可约多项式。

证明. 假设 ()f x 不是不可约多项式，则()f x 在整数环上可分解为

2()()()f x x x x αβγ=+++

其中,,αβγ 都为整数。所以

,,3a b αβαβγαγ+=+==，

从而 ,αγ为奇数且

(1)a b αβαγ+=+++

从上式来看，左面为奇数，右面为偶数，从而矛盾。 所以 ()f x 是不可约多项式。