最新华南理工大学高等数学教学课件7
华南理工大学高等数学教学课件7
第三节函数的极限
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义：设函数?Skip Record If...?当?Skip Record If...?大于某一个正数时有定义，如果对于任意给定的?Skip Record If...?（任意小）总存在正数?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时，一定有
?Skip Record If...?
那么常数?Skip Record If...?称为函数?Skip Record If...?当?Skip Record If...?时的极限，记为?Skip Record If...?，或?Skip Record If...?。
例1 ：证明 1）?Skip Record If...?；2）?Skip Record If...?证明：1）对于任给的（任意小）?Skip Record If...?，
?Skip Record If...?
取?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时有
?Skip Record If...?
所以?Skip Record If...?。（如图6）
注 1：直线?Skip Record If...?称为函数?Skip Record If...?的水平渐近线。
2）对于任给的（任意小）?Skip Record If...?，
要使?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?
当?Skip Record If...?时，指数函数是递减的，所以
?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
当?Skip Record If...?时有
?Skip Record If...?
即当?Skip Record If...?时总有
?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
所以?Skip Record If...?。
注2:?Skip Record If...?有两个方向，一个方向越来越大，一个方向越来越小。有些函数当自变量向不同的方向变化时，函数越来越接近的数可能不相同。我们来考虑函数?Skip Record If...?（如图7）。因此有时我们需要考虑某一个方向的极限，即所谓的单侧极限。
注 3：当?Skip Record If...?时，且?Skip Record If...?无限增大。即?Skip Record If...?。则定义中的?Skip Record If...?改为?Skip Record If...?，极限记为?Skip Record If...?。
当?Skip Record If...?时，且?Skip Record If...?无限增大。即?Skip Record If...?。则定义中的?Skip Record If...?改为?Skip Record If...?，极限记为?Skip Record If...?。
例2：证明：?Skip Record If...?
证明：对于任给的（任意小）?Skip Record If...?，
?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
所以?Skip Record If...?。
二、自变量趋于有限值时函数的极限
1）、函数极限的定义
定义：设函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数?Skip Record If...?（任意小），总存在正数?Skip Record If...?，使得对于适合不等式?Skip Record If...?的一切?Skip Record If...?，对应的函数值?Skip Record If...?都满足不等式
?Skip Record If...?
那么常数?Skip Record If...?就叫做函数?Skip Record If...?当?Skip Record If...?的极限。记为?Skip Record If...?，或?Skip Record If...?。
例3 ：证明?Skip Record If...?。
证明：对于任给的（任意小）?Skip Record If...?，
?Skip Record If...?
令?Skip Record If...?，则有?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
取?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时有
?Skip Record If...?
所以?Skip Record If...?。
例4：证明?Skip Record If...?。
证明：对于任给的（任意小）?Skip Record If...?，
?Skip Record If...?
令?Skip Record If...?，则有?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
取?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时有
?Skip Record If...?
所以?Skip Record If...?。
例5：证明?Skip Record If...?。
证明：证明：对于任给的（任意小）?Skip Record If...?，
?Skip Record If...?（注解）
取?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时有
?Skip Record If...?
所以?Skip Record If...?。
注4：函数极限的几何意义（如图9）。前面我们考虑的自变量趋于有限值时函数的极限是同时考虑从左右两边趋近于这个有限数。有时我们也选考虑从一边趋近于这个有限数，即所谓单侧极限。如函数?Skip Record If...?当?Skip Record If...?时，此函数从左右两边越来越接近的数是不一样的。（如图10）
注5：当?Skip Record If...?从右边趋近于?Skip Record If...?时，即?Skip Record If...?，我们记作?Skip Record If...?，只需把上面定义中的?Skip Record If...?（去心邻域）改为?Skip Record If...?
（右半邻域）；把?Skip Record If...?或?Skip Record If...?改为?Skip Record If...?或?Skip Record If...?；
当?Skip Record If...?从左边趋近于?Skip Record If...?时，即
?Skip Record If...?，我们记作?Skip Record If...?，只需把上面定义中的?Skip Record If...?（去心邻域）改为?Skip Record If...?（左半邻域）；把?Skip Record If...?或?Skip Record If...?改为?Skip Record If...?或?Skip Record If...?。
例6：证明：?Skip Record If...?
证明：对于任给的（任意小）?Skip Record If...?，
?Skip Record If...?（注意?Skip Record If...?）
取?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时有
?Skip Record If...?
所以?Skip Record If...?。
2）、函数极限的性质
性质1 ：（唯一性）如果数?Skip Record If...?是函数?Skip Record If...?当?Skip Record If...?时的极限，则一定有?Skip Record If...?。
证明：假设?Skip Record If...?。无妨设?Skip Record If...?，取?Skip Record If...?。因为?Skip Record If...?，所以存在正数?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时有
?Skip Record If...?
又因为?Skip Record If...?，因此存在正数?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时有
?Skip Record If...?
取?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时有
?Skip Record If...?
这是一个矛盾，从而证明?Skip Record If...?成立。
性质2 ：（局部有界性）如果?Skip Record If...?，则存在正数
?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时，一定有?Skip Record If...?。
证明：因为?Skip Record If...?，取?Skip Record If...?，则存在正数?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时有
?Skip Record If...?
即有
?Skip Record If...?
取
?Skip Record If...?
则得所证结论。
性质3：（局部保号性）如果?Skip Record If...?而且?Skip Record If...?（或?Skip Record If...?）那么就存在着点?Skip Record If...?的某一去心邻域当?Skip Record If...?在该邻域内时就有?Skip Record If...?（或?Skip Record If...?）。