重庆市巴蜀中学2020届高三数学下学期期中线上试题理含解析.doc

重庆市巴蜀中学2020届高三数学下学期期中（线上）试题 理（含解

析）

(满分：150分考试时间：120分钟)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)

1. 设复数z ＝(a ＋i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a 的值是( ) A. －1 B. 1

D.

【答案】A 【解析】 【分析】

由题，先对复数进行化简，再根据对应点在虚轴负半轴上，可得实部为0，虚部为负，即可解得答案.

【详解】z ＝(a ＋i)2＝(a 2

－1)＋2ai ，据条件有21020a a ?-=?

，∴a＝－1.

故选A

【点睛】本题考查了复数知识点，了解复数的

性质是解题的关键，属于基础题.

2. 质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ） A. 点数都是偶数 B. 点数的和是奇数 C. 点数的和小于13 D. 点数的和小于2

【答案】C 【解析】 【分析】

分别求出所给选项对应事件的概率即可.

【详解】由已知，投掷两次骰子共有66=36?种不同的结果，点数是偶数包含的基本事件有

(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)共9个，所以

点数都是偶数的概率为

91

364

=；点数的和是奇数包含的基本事件有(1,2)，(1,4)，(1,6)， (2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，

(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)共18个，所以点数的和是奇数的概率为

181

362

=；点数的和 小于13是必然事件，其概率为1；点数的和小于2是不可能事件，其概率为0. 故选：C

【点睛】本题考查古典概型的概率计算，本题采用列举法，在列举时要注意不重不漏，当然也可以用排列组合的知识来计算，是一道容易题.

3. 已知函数()()2

0,0f x x ax b a b =++<>有两个不同的

零点1x ，2x ，-2和1x ，2x 三个

数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数()f x 的解析式为（ ） A. ()2

54f x x x =--

B. ()2

54f x x x =++

C. ()2

54f x x x =-+

D. ()2

54f x x x =+-

【答案】C 【解析】 【分析】

由函数零点的定义和韦达定理，得1212,x x a x x b +=-=，再由2-和1x ，2x 三个数适当排序

后既可成为等差数列，也可成为等比数列，得122(2)x x =+-，124x x =，解得11x =，24x =，进而可求解,a b 得值，得出函数的解析式．

【详解】由题意，函数()()2

0,0f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点1x ，2x ， 可得1212,x x a x x b +=-=，则1>0x ，20x >，

又由2-和1x ，2x 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列， 不妨设21x x >，则122(2)x x =+-，124x x =，解得11x =，24x =，

所以125a x x -=+=，124b x x ==，所以()2

54f x x x =-+，

故选C.

【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，等差、等比数列及函数与方程的应用，其中解答中根据等差等比数列的运算性质，以及函数零点的概念求得12,x x 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

4. 若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分

也不必要条件 【答案】B 【解析】

若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α?；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥ ”是“//l α 的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．

5. 已知函数2

22

,0

()log ,0x x x f x x x ?--≤?=?>??

，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===．现

有结论：①122x x +=-，②34

1x x =，③412x <<，④123401x x x x <<．

这四个结论中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2

C. 3

D. 4

【答案】D 【解析】 【分析】

作出函数()f x 的图象，作直线y m =，与函数()f x 图象交于四个点，分析四点为横坐标的性质即得．

【详解】如图，作出函数()f x 的图象，作直线y m =，与函数()f x 图象交于四个点，从左向右四点为横坐标依次为1234,,,x x x x ，由于在0x ≤时，2()2f x x x =--的最大值为1，因此

4()1f x <，即24log 1x <，42x <，由函数图象知122x x +=-，2324log log x x -=，即

341x x =，412

x <<，而2

1212(

)12

x x x x +≤=，由于120x x <<，∴1201x x <<，∴123401x x x x <<，四个结论均正确． 故选D ．

【点睛】本题考查函数图象与方程根的分布问题，解题时利用数形结合思想，把方程的根转化为直线与函数图象交点的横坐标，再利用函数性质可得结论．

6. 已知抛物线2

:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p M x x ?

?

>

???

是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2

p x =交于E ，G 两点，若1

3sin MFG ∠=，则抛物线C 的方程是

（ ） A. 2y x = B. 2

2y x = C. 2

4y x = D. 2

8y x =

【答案】C 【解析】 【分析】

作MD EG ⊥，垂足为点D ．利用点(0M x 在抛物线上、1||

sin =3||

DM MFG MF ∠=， 结合抛物线的定义列方程求解即可. 【详解】作MD EG ⊥，垂足为点D ．

由题意得点(002p M x x ??

>

??

?

在抛物线上，则082px =得04px =．① 由抛物线的性质，可知，0||2

p DM x =-， 因为1

sin 3

MFG ∠=

，所以011||||332p DM MF x ??==+ ???．

所以001232p p x x ??

-

=+ ???

，解得：0x p =．②． 由①②，解得：02x p ==-（舍去）或02x p ==． 故抛物线C 的方程是2

4y x =． 故选C ．

【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题. 7. 已知函数()sin()f x x ω?=+，其中ω>0，||,2

4

π

π

?≤

-

为f (x )的零点：且()|()|

4

f x f π

≤

恒成立，()f x 在(,

)1224ππ

-区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）

A. 11

B. 13

C. 15

D. 17

【答案】C 【解析】 【分析】

先由()|()|4

f x f π≤，()04

f π

-

=可得ω为正奇数，再由()f x 在(,

)1224ππ

-

区间上有最小值

无最大值得到16ω≤，结合选项进行验证. 【详解】由题意，4

x π

=

是()f x 的一条对称轴，所以()14

f π

=±，即

11,4

2

k k Z π

π

ω?π+=+

∈①，

又()04

f π

-

=，所以22,4k k Z π

ω?π-+=∈②，由①②，得122()1k k ω=-+，12,k k Z ∈，

又()f x 在(,

)1224ππ

-

区间上有最小值无最大值，所以()24

12

8

T π

π

π

≥

--

=

，

即

28

π

π

ω

≥

，解得16ω≤，要求ω最大，结合选项，先检验15ω=，

当15ω=时，由①得

1115,42k k Z π

π

?π?+=+

∈，即1113,4k k Z π?π=-

∈，又||2

π

?≤，

所以4

π?=-，此时()sin(15)4f x x π=-，当(,)1224x ππ∈-时，3315(,)428x πππ

-∈-

， 当154

2

x π

π

-

=-

即60

x π

=-

时，()f x 取最小值，无最大值，满足题意.

故选：C

【点睛】本题考查正弦型函数的图象及性质，考查学生的运算求解能力，是一道中档题. 8. 图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A 1、A 2、…A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155)内的人数]．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160~180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是

A. i<6

B. i<7

C. i<8

D. i<9

【答案】C

【解析】

考查算法的基本运用．现要统计的是身高在160-180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A 5、A6、A7的和，故流程图中空白框应是i<8，当i<8时就会返回进行叠加运算，当i8将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，此时已把数据A4、A5、A6、A7叠加起来送到S中输出，故选C．

9. 已知函数π()3sin()0,||2f x x ω?ω???

=+><

??

?

的部分图像如图所示，A B ，两点之间的距离为10，且(2)0f =，若将函数()f x 的图像向右平移(0)t t >个单位长度后所得函数图像关于y 轴对称，则t 的最小值为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】B 【解析】 【分析】

根据图象求出A ，ω 和φ，即可求函数f （x ）的解析式；再通过平移变换函数图象关于y 轴对称，求解t 的关系式．

【详解】解：由题设图象知，10AB =, 周期

1

2

T 221068-=，解得：T ＝16， ∴ω8

2T ππ=

=． 可得f （x ）＝3sin （φ8

x π

+）,

∵f （2）＝0， ∴sin（

28

φπ

?+）＝0，

∵<φ<

2

2

π

π

-

，

∴φ4

π

=-

．

故得f （x ）＝3sin （

8

4

x π

π

-

），

将函数f （x ）的图象向右平移t （t ＞0）的单位， 可得：y ＝3sin[

()8

x t π

-4π-

]＝3s in （884

x t πππ--）， 由函数图象关于y 轴对称， ∴()4

2

8

π

π

π

π-

-

=

+∈t k k Z ，

整理得：﹣t ＝6+8k ， ∵t ＞0，

∴当k ＝﹣1时，t 的最小值为2． 故选:B ．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．

10. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为

21 31

223

+33

+【答案】C 【解析】

分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的

2

3

，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表

面积．

详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的

23

，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=??=?222111

()444AC BC AB ≤+==，当且仅当

2

AC BC ==

时，取等号．

∴121)12S =?++?=

故选C ．

点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．

11. C ?AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ） A. 1b =

B. a b ⊥

C. 1a b ?=

D.

()4C a b +⊥B

【答案】D 【解析】 试题分析：

2,2AB a AC a b ==+,AC AB b ∴=+,b AC AB BC ∴=-=．

由题意知12,cos1201212b a b a b ??

=?=?=??-

=- ???

． ()()

2

422a b BC AB BC BC AB BC BC

∴+?=+?=?+212cos1202222402AB BC ??

=?+=???-+= ???

．()

4a b BC ∴+⊥．故D 正确．

考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．

12. 设函数()2ln x e f x t x x x x ?

?=-++ ??

?恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ）

A. 1,2

??-∞ ??

?

B. 1,2??+∞

???

C. 1,,233e e ????

+∞

? ?????

D. 1,,2

3e ????

-∞+∞ ??

?

???

【答案】C 【解析】 【分析】

()f x 恰有两个极值点，则0f

x 恰有两个不同的解，求出f x 可确定1x =是它的一

个解，另一个解由方程e 02

x

t x -=+确定，令()()e 02x g x x x =>+通过导数判断函数值域求

出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为0,

，()

()2

21e 121x x f x t x x

x -??'=-+-

???

()()2

1e 2x

x t x x ??--+??=()()2

e 122x x x t x x ??

-+- ?+??=. 因为()f x 恰有两个极值点，所以0f

x

恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，

另一个解由方程e 02

x

t x -=+确定，且这个解不等于1.

令()()e

02x

g x x x =>+，则()()()

2

1e 02x

x g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,

上单调递增，

从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当1

2t >且e 3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ??=-++ ??

?恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ????

+∞ ? ?????

.

故选：C

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由

甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数2a ，对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为3

4

，则1a 的取值范围是____． 【答案】(,6][12,)-∞?+∞ 【解析】 【分析】

由题意可知，进行两次操作后，得出3a 的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出相应的不等式组，即可求解.

【详解】由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：

当3112(26)6418a a a =--=-，其出现的概率为2

11()24

=

， 当3111

(26)632a a a =

-+=+，其出现的概率为211()24=， 当1

312(

6)662a a a =+-=+，其出现的概率为211()24=， 当1132(

6)6924a a

a =++=+其出现的概率为211()24

=， ∵甲获胜的概率为

34，即31a a >的概率为3

4

， 则满足1111

11114184189944

a a a a a a a a -≤->????

??+>+≤????或整理得11612a a ≤≥或.

【点睛】本题主要考查了概率的综合应用，以及数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，明确题意，得出3a 的所有可能情况，再根据甲胜的概率，列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

14. 在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面是边长为4的菱形，060ABC ∠=，14AA =，

过点B 与直线1AC 垂直的平面交直线1AA 于点M ，则三棱锥A MBD -的外接球的表面积为____. 【答案】68π 【解析】 【分析】

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,先确定M 是1AA 中点，再求三棱锥A MBD -的外接球的半径，即得解.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题得BD=43则A(2,0,0),B(0,23,0),(0,3,0)D -,1(2,0,4)C -,设(2,0,)M z ， 所以1(0,43,0),(4,0,4)BD AC =-=-,所以110,AC BD AC BD ?=∴⊥.

所以(2,0,z)OM =，所以10,840,2AC OM z z ?=∴-+=∴=. 即点M 是1AA 中点时，1AC ⊥平面BDM.

设三棱锥A MBD -的外接球的半径为R,设△MBD 的外接圆半径为r,

则2,4

2sin 3

r r π=∴=， 所以2

2

2

14(2)172

R =+?=.

所以三棱锥A MBD -的外接球的表面积为2468R ππ=. 故答案为：68π.

【点睛】本题主要考查几何体外接球的问题的解法，考查空间几何元素的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15. 已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，426a a -=，且138,,a a a 成等比数列，则

10

3

S a =______. 【答案】

352

【解析】 【分析】

设出等差数列基本量，根据题意列出方程组求出基本量，从而得到等差数列的通项公式，即可得解.

【详解】设公差为d ，则有()()2

1

1126,

27,d a d a a d =???+=+??解得14,3,a d =??=? 从而31n a n =+，故

10335535

102

S a ?==. 故答案为：

352

【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和，属于基础题.

16. 如图，抛物线21:4C y x =和圆22

2:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，依次交

12,C C 于,,,A B C D 四点，则AB CD ?的值是__________．

【答案】1 【解析】 【分析】

由题得11||||||11AB AF BF x x =-=+-=，同理2||CD x =，由此能够求出AB CD ．

【详解】抛物线2

1:4C y x =的焦点为(1F ，0)，

直线l 经过1C 的焦点(1,0)F ， 设直线l 的方程为(1)y k x =-，

联立2(1)4y k x y x

=-??=?，得2222

(24)0k x k x k -++=，

设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则11||||||11AB AF BF x x =-=+-=， 同理2||CD x =，

∴12||||cos ,1AB CD AB CD AB CD x x =<>==．

故答案为：1

【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的合理运用． 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.

已知1sin ,22m x ?= ??

,()21cos ,cos 2n x x x R ?

?=-∈ ???,且函数()f x m n =?． ()1求()f x 的对称轴方程； ()2在锐角

ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若

()0f A =,4

sin 5

B =

,a =求b 的值．

【答案】（1）1212x k ππ=+,k Z ∈；（2）85

b =. 【解析】 【分析】

（1）根据向量坐标形式下的数量积运算写出()f x 表达式，然后再根据对称轴公式求解对称轴；（2

）先根据条件计算A 的值，再根据正弦定理计算b 的值. 【

详

解

】

解

：

2111(1)()sin cos cos sin 22224f x m n x x x x x ?=?=-=???1sin 223x π??=+ ???,令23

2

x k π

π

π+

=+

,

可得1212x k ππ=

+,即()f x 的对称轴方程为1212

x k π

π=+,k Z ∈； ()()12sin 2023f A A π?

?=

+= ???,23A k ππ∴+=,得,,0,622k A k Z

A πππ??

=-+∈∈ ???

,

当1

k =时,3

A π

=

,

4

sin 5

B =

,a =

∴由正弦定理可得45b =

85

b ∴=． 【点睛】本题考查向量数量积、三角恒等变换、解三角形的综合应用，难度一般.（1）辅助角公式的运用要熟练：()sin cos tan b a x b x x a ???

?+=

+= ??

?；（2）利用正、余

弦定理去解三角形时注意边角关系的对应.

18. 设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物

线2

2(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12

. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ

与x 轴相交于点D .若APD △AP 的方程.

【答案】（Ⅰ）2

2

413

y x +=， 24y x =.（Ⅱ）330x -=，或330x -=.

【解析】

试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为1

2，则12

a c -=，又椭圆的离心率为

1

2

，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点

坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △出m ，得出直线AP 的方程.

试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，12c a =

，2p a =，12

a c -=，解得1a =，12c =

，2p =，于是222

34

b a

c =-=. 所以，椭圆的方程为22

413

y x +=，抛物线的方程为24y x =.

（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点

21,P m ??-- ???，故21,Q m ??- ???.将1x my =+与22

413

y x +=联立，消去x ，整理得

()

2

23460m

y my ++=，解得0y =，或2634

m

y m -=

+.由点B 异于点A ，可得点

222

346,3434m m B m m ??-+- ?++??

.由21,Q m ?

?- ???，可得直线BQ 的方程为()222623*********m m x y m m m m ??--+????-+-+-= ? ? ?++??????

，令0y =，解得2

2

2332m x m -=+，故

2223,032m D m ??- ?+??.所以222223613232m m AD m m -=-=++.又因为APD 的面积为6，故2216262322m m m ??=+，整理得232620m m -+=，解得63

m =，所以63m =±. 所以，直线AP 的方程为3630x y +-=，或3630x y --=. 【考点】直线与椭圆综合问题

【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键. 19. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，且

22

22

PD PC CD BC ==

=， 2,3

BCD ABD π

∠=

?是等边三角形， AC BD E =.

(1)证明：PC ⊥平面PAD ； (2)求二面角P

AB C 的余弦值.

【答案】(1) 见解析529

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据计算可得AD DC ⊥，根据面面垂直性质定理得AD ⊥平面PCD ，即得AD PC ⊥，再根据等腰三角形性质得PD PC ⊥，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果

试题解析：(1)在ABCD ?中，2,3π∠==BCD CD BC ,所以6π∠=∠=BDC CBD , 又ABD ?是等边三角形，所以3

π∠=

ADB ,所以2

π

∠=∠+∠=

ADC ADB BDC ,即

AD DC ⊥,

又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，所以AD ⊥平面PCD ，

故AD PC ⊥.在PCD ?中，2

2

PD PC CD ==. 所以PD PC ⊥. 又因为AD

PD D =,所以PC ⊥平面PAD .

(2)解法一：如图，取CD 的中点H ，连接PH .

则在等腰Rt PDC ?中，PH DC ⊥.又因为平面PCD ⊥平面ABCD ,平面PCD

平面

ABCD CD =，所以PH ⊥平面ABCD .过点D 作PH 的平行线l ，则l ⊥平面ABCD .

由(1)知AD DC ⊥,故以D 为坐标原点O ，以直线DA DC l 、、分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设2DC =,则在Rt PDC ?中，2PD PC ==1PH =.

又在BCD ?中，2,3

π=∠=

CD BC BCD , 所以2

2

2

2

2

22cos 22222cos

123

π

=+-?∠=+-???=BD CD CB CD CB BCD ，故23BD =又因为ABD ?是等边三角形，所以23AD =所以()0,1,1P ,()

23,0,0A ,()0,2,0C ,23cos

,23sin

,03

3π

π

??

??

?

B ，即)

30B ，，.

所以()

23,1,1=-AP ,()

3,3,0AB =-,()0,0,1=HP .

设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则由0

0n AP n AB ??=??=?

，

得230

330

x y z x y ?-++=??-+=??. 令3x =，得1,5y z ==.故(

)

3,1,5=

n 为平面PAB 的一个法向量.

因为PH ⊥平面ABCD ，故()0,0,1=HP 为平面ABCD 的一个法向量. 故

()

2

22

301051

529

cos ,29

315??+?+?=

=

=

=

?++n HP n HP n HP

. 设二面角P AB

C 为θ，则由图可知0,

2πθ??∈ ??

?

, 所以529

cos cos ,θ==

n HP . 解法二：取CD 的中点H ，连接PH ，连接HE 并延长，交AB 于F ，连接PF .

则在等腰Rt PDC ?中，PH DC ⊥.

又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABDC CD =, 所以PH ⊥平面ABCD .

设2DC =,则在Rt PDC ?中，2,1PD PC PH ===.

又在BCD ?中，2,3

π=∠=

CD BC BCD ， 所以2222cos BD CD CB CD CB BCD =+-?∠

22222222cos

123

π

=+-???=，故23BD =

BCD ?中，,DE EB DH HC ==，所以//EH BC ，且1

12

EH BC =

=. 故6

π

∠=∠=

HED CBD ,又

BEF HED ∠=∠,且3

DBA π

∠=,

所以2

π

∠+∠=

DBA BEF ,故EF AB ⊥.

又因为PH ⊥平面ABCD ，由三垂线定理可得PF AB ⊥, 所以PFH ∠为二面角P AB C 的平面角.

在Rt BEF ?中，132BE BD =

=,所以33sin 32

EF BE DBA =∠=?=. 故52HF HE EF =+=.所以在Rt PHF ?中，2222

529122PF PH HF ??=+=+= ???

,

故5

529

2cos 2929HF PFH PF

∠=

== ∴二面角P AB C 的余弦值为

529

29

. 20. 微博橙子辅导用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如下：

若将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”.

（1）将频率视为概率，估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人？ （2）从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动. （ⅰ）设A 为事件"抽取的4位同学中既有男同学又有女同学”，求事件A 发生的概率； （ⅱ）用X 表示抽取的“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）128人；（2）（ⅰ）1314；（ⅱ）分布列见解析，()3

2

E X = 【解析】