2019-2020学年西安市西工大附中高一(下)第一次测试数学试卷(3月份)(含解析)

2019-2020学年西安市西工大附中高一(下)第一次测试数学试卷(3月

份)

一、单项选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 在△ABC 中，若

c 2?a 2b 2+ab

=1，则∠C 的大小为( )

A. π

B. π

3 C. 2π

D. 5π

2. 已知点A(1,0)，B(2,1)，向量a ? =(2,λ)，若a ? //AB ????? ，则实数λ的值为( )．

A. ?2

B. 2

C. ?1

D. 1

3. 已知△ABC 中，a =10，b =5√6，A =45°，则B 等于 ( )

A. 60°

B. 120°

C. 30°

D. 60°或120°

4. 设向量a ? =(x,x +2),b ? =(2,3)，且a ? ⊥b ? ，则x =( )

A. 1

B. ?1

C. 6

D. ?6

5. 某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km 后，

看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是( )

A. 15√2km

B. 30km

C. 15km

D. 15√3km

6. 在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若a

b =cosB

cosA ，则△ABC 的形状为( )

A. 等腰三角形

B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形

D. 等腰三角形或直角三角形

7. 设M 是△ABC 边BC 上任意一点，且2AN ?????? =NM ??????? ，若AN ?????? =λAB ????? +μAC

????? ，则λ+μ的值为( ) A. 1

B. 1

C. 1

D. 1

8. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =4，则AC ????? ?BD

?????? =( ) A. 8 B. 12 C. ?12 D. ?8

9. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足BA ????? ?OA ????? +|BC ????? |2=AB ????? ?OB ?????? +|AC

????? |2，则点O( ) A. 在AB 边的高所在的直线上 B. 在∠C 平分线所在的直线上 C. 在AB 边的中线所在的直线上

D. 是△ABC 的外心

10. 在△ABC 中，∠B =30°，b =10，c =16，则sin C 等于( )

A. 3

B. ±3

C. ±4

D. 4

11. 已知平面向量a ? =(1,3)，b ? =(?3,x)，且a ? //b ? ，则a ? ?b ? =( )

A. ?30

B. 20

C. 15

D. 0

12. 已知△ABC 的面积为S ，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4S =a 2?(b ?c)2，

bc =4，则S =( )

A. 2

B. 4

C. √3

D. 2√3

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 在△ABC 中，若C =30°，AC =3√3，AB =3，则△ABC 的面积为______ ．

14. 已知点A(?1,1)、B(1,2)、C(?2,1)、D(3,4)，则向量AB ????? 在CD ????? 方向上的投影为______ ． 15. 已知a ? =i ?2j ,b ? =i +k j ，且a ? 与b ? 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是______． 16. 在△ABC 中，sin A =3

4，a =10，则边长c 的取值范围是_______． 17. 在ΔABC 中，若b =5,B =π

4,sinA =1

3，则a =___________．

18. 如图，在平面四边形ABCD 中，∠CAD =π

2，AD =2，AB =BC =CA =4，E ，F 分别为边BC ，

CD 的中点，则AE

????? ?AF ????? = __________．

三、解答题（本大题共5小题，共46.0分）

19. 如图在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，AB ????? =a ? ，AD ?????? =b ? ，

(1)a ? ，b ? 表示BF ?????

和DE ?????? ． (2)e 1??? ,e 2??? 是两个不共线的向量，AB ????? =e 1??? +e 2??? ，BC ????? =2e 1??? ?3e 2??? ，CD ????? =2e 1??? ?k e 2??? ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值

20.已知向量a?=(√5,sin2α)，b? =(cos2α,√15).

(1)若a?⊥b? ，且α∈(π

,π)，求角α的值；

(2)若a??b? =?8√5

5，且α∈(5π

,2π

)，求sin2α的值．

21.已知向量a?=(√3,?1)，b? =(1

2,√3 2

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)求(a?+b? )?b? 的值；

(Ⅲ)求|2a?+3b? |的值．

22.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，acosC+ccosA+√2bcosB=0．

(1)求B；

(2)若BC边的中线AM长为√5，求△ABC的面积．

23.已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且(a+b)(sinA?sinB)=(c?b)sinC．

(1)求∠A的大小；

(2)求sin(π

2+B)?2sin2C

的取值范围．

【答案与解析】1.答案：C

解析：解：∵c2?a2

b2+ab

=1，即a2+b2?c2=?ab，

∴cosC=a2+b2?c2

2ab =?ab

2ab

=?1

，

∵∠C为三角形的内角，

∴∠C=2π

．

故选：C．

利用余弦定理表示出cos C，将已知等式变形后代入求出cos C的值，即可确定出C的度数．此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．2.答案：B

解析：

本题考查了向量共线的坐标表示，属于基础题．

利用向量共线定理即可得出．

解：AB

????? =(1,1)．

∵a?//AB

????? ，∴λ?2=0．

∴λ=2，

故选：B．

3.答案：D

解析：

本题考查正弦定理的应用，注意特殊角的三角函数值的求法．

直接利用正弦定理求出B的三角函数值，然后求出角的大小．

解：因为△ABC中，a=10，b=5√6，A=45°，

由正弦定理可知，sinB=bsinA

a =5√6×

√2

=√3

，

又b>a，0°

所以B>A，

所以B=60°或120°．

故选D．

4.答案：D

解析：

本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得x的值．解：∵向量a?=(x,x+2),b? =(2,3)，

且a?⊥b? ，

∴a?·b? =2x+3(x+2)=5x+6=0，

∴x=?6

，

故选D．

5.答案：D

解析：解：根据题意画出图形，如图所示，

可得∠DAB=60°，∠DAC=30°，AB=45km，

∴∠CAB=30°，∠ACB=120°，

在△ABC中，利用正弦定理得：45

sin120°=BC

sin30°

∴BC=15√3(km)，

则这时船与灯塔的距离是15√3km．

故选：D．

根据题意画出图形，如图所示，求出∠CAB与∠ACB的度数，在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入即可求出BC的长．

此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

6.答案：D

解析：

本题考查正弦定理，三角形的形状的判断，属于基础题．

利用正弦定理化简acosA =bcosB ，通过二倍角公式，求出A 与B 的关系，得到三角形的形状．解：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对边分别为a ，b ，c ，若acosA =bcosB ，所以sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B ，所以2A =2B 或2A =π?2B ，所以A =B 或A +B =90°．

所以三角形是等腰三角形或直角三角形．故选：D ．

7.答案：B

解析：解：因为M 是△ABC 边BC 上任意一点，设AM ?????? =m AB ????? +n AC

????? ,且m +n =1，又AN ?????? =13AM ?????? =1

3(m AB ????? +n AC ????? )=λAB ????? +μAC ????? ，所以λ+μ=13(m +n)=13

．故选B ．

利用平面向量基本定理可得，设AM ?????? =m AB ????? +n AC ????? ,且m +n =1，又AN ?????? =13AM ?????? =1

(m AB ????? +n AC ????? )=λAB ????? +μAC

????? ，即可解得结论．本题主要考查平面向量基本定理的应用，属于基础题．

8.答案：B

解析：解：∵AB =2，AD =4，

则AC ????? ?BD ?????? =(AB ????? +BC ????? )(AD ?????? ?AB ????? )=(AB ????? +AD ?????? )(AD ?????? ?AB ????? )=AD ?????? 2