2010数学初中保送试题
2010年中考模拟数学卷参考答案
2010年中考模拟试卷 数学参考答案及评分标准三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20～21题8分，第22～23题每题10分，第24题12分，共66分） 17、（本题满分6分）解：∵方程2233x m x x -=--无解 ∴方程2233x m x x -=--有增根x=3------------2分 ∴方程两边同乘以（x-3）,得：26x m -=------------2分∴当x=3时，m =分18、（本题满分6分）解：过C 点作BA 的延长线交于点E ，------------1分∵AB ＝AC ＝10，∠B ＝022.5 ∴∠EAC ＝045∴△EAC 为等腰直角三角形------------1分设AE ＝EC ＝X,则AB ＝AC ＝10∴x =∴111022S AB EC ∆=⋅=⨯⨯=35.42m ------------2分 又∵53.610⨯2cm ＝362m ＞35.42m ------------1分∴预订草皮够用------------1分19、（本题满分6分） 解：答案不唯一，酌情给分。
20、（本题满分8分）解：（1）18 0.55------------各1分（2）图略--------------共4分（虚设组不设各扣1分）（3）0.55±0.1均为正确------------2分 21、（本题满分8分） 解：（1）正确的结论：①②③------------2分（2）错误理由：当a ＞0时，只有1x ＞2x ＞0或2x ＜1x ＜0时，1y ＜2y 而2x ＜0＜1x 时，1y ＞2y ------------4分 改正：当a ＞0时，在同一象限内，函数ay x=，y 随x 增大而减小-----2分22、（本题满分10分）解：（1）如右图------------共6分（030，045角，线段a 各1分，余酌情给分）（2）设AB ＝x,则Rt △ABC 中，OB ＝x ，由题意得：6+ x ------------1分得，1)x =≈8米------------2分 答：旗杆高度约为8米。
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-a b b a 则 （ C ）A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++=L（ D ） A ．28062. B ．28065. C ．28067. D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = 19．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA PC ＝5，则PB ＝．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD 明：PD 是⊙I 的切线. 证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP. NCA又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC.又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ 又因为MD 又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-.（1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=.所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩ 解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+. 易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．（2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数. 又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即 41)1(=-++mk p m ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m -++>，与②式矛盾.如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m -++<，与②式矛盾.因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．综上所述，1=k ．。
2010珠海中考数学试题及答案
2010年珠海市初中毕业生学业考试数学答案一、选择题（本小题5分，每小题3分，共15分）1. A2. B3. D4. B5.D二、填空题（本大题5分，每小题4分，共20分） 6. a(x+y)(x-y) 7. 56==y x 8、 3.3 9、4 10、 9三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）11.计算：92|21|)3(12-+---- 解：原式=6321219=-+-12.解：(1)所以射线AF 即为所求(2)△ADE 是等腰三角形.13的图象交于点M （4,1）2∴正比例函数的解析式是x y 41=，反比例函数的解析式是x y 4=15. 解：∵弦AB 和半径OC 互相平分∴OC ⊥AB OM=MC=21OC=21OA在Rt △OAM 中，sinA=21=OA OM∴∠A=30°又∵OA=OB ∴∠B=∠A=30° ∴∠AOB=120°∴S 扇形＝33601120ππ=⋅⋅四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）16.解：由题意得：05)1()1(2=-⨯-+-m 解得m=-4当m=-4时，方程为0542=--x x 解得：x 1=-1 x 2=5 所以方程的另一根x 2=517.解：设甲工厂每天加工x 件产品，则乙工厂每天加工1.5x 件产品，依题意得105.112001200=-x x解得:x=40经检验：x=40是原方程的根，所以1.5x=60 .、(B,F) 、(C,D) 、(C,E) 、(C,F)3个，在Rt △ADE 中，DE=63)33(2222=+=+AE AD∵△ADF ∽△DEC∴CD AF DE AD = ∴4633AF = AF=32五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）解：（1）①丙种柴油发电机的数量为10-x-y② ∵4x+3y+2(10-x-y)=32∴y=12-2x(2)丙种柴油发电机为10-x-y=(x-2)台W=130x+120(12-2x)+100(x-2)=-10x+1240依题意解不等式组1212121≥-≥-≥x x x 得：3≤x ≤5.5∵x 为正整数 ∴x=3,4,5∵W 随x 的增大而减少 ∴当x=5时 ，W 最少为-10×5+1240=1190（元）21.解：（1）当BD ＝AC ＝4时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形∵P 是优弧BAC 的中点 ∴弧PB ＝弧PC∴PB ＝PC∵BD ＝AC ＝4 ∠PBD=∠PCA∴△PBD ≌△PCA∴PA=PD 即△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形（＝22634==+b b k ∴ 233==b k所以BD 所在直线的函数解析式是233+=x y(2)∵EF=EA=ABtan30°=32 ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°又∵FG ⊥OA∴FG ＝EFsin60°=3 GE=EFcos60°=3 OG=OA-AE-GE=3 又H 为FG 中点∴H （3，23） …………4分∵B(34，6) 、 D(0,2)、 H （3，23）在抛物线c bx ax y ++=2图象上 2333263448=++==++c b a c c b a∴ 23361=-==c b a∴抛物线的解析式是233612+-=x x y333由当当当。
2010年全国初中数学联赛3(整理好)
二、已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内
切圆⊙I与BC边的切点，作MD∥AC，交⊙I于点D．证明：PD是⊙I切线．
三、已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象经过两点P(1，a)，Q(2，10a)．
(1)如果a，b，c都是整数，且c＜b＜8a，求a，b，c的值．
(2)设二次函数y＝x2＋bx－c的图象与x轴的交点为A，B，与y轴的交点为C．如果关
于x的方程x2＋bx－c＝0的两个根都是整数，求△ABC的面积．
第二试(B)
一、设正整数a，b，c为三角形的三边长，满足a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝13，求符合条件且
周长不超过30的三角形的个数(全等的三角形只计算1次)．
二、同A卷第二题．
三、同A卷第三题．
第二试(C)
一、同B卷第一题．
二、同A卷第二题．
三、设p是大于2的质数，k为正整数．若函数y＝x2＋px＋(k＋1)p－4的图象与x轴的两个
交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．。
2010年上海市初中毕业统一学业考试数学卷
2010 年上海市初中毕业一致学业考试数学卷（满分 150 分，考试时间 100 分钟）2010-6-20一、选择题（本大题共6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1. 以下实数中，是无理数的为（ C ）A . 3.14B. 1C. 3D. 93k2. 在平面直角坐标系中，反比率函数y = x ( k ＜ 0 ) 图像的两支分别在（ B ）A . 第一、三象限 B. 第二、四象限C. 第一、二象限D. 第三、四象限3. 已知一元二次方程x 2 + x ─ 1 = 0 ，以下判断正确的选项是（ B ）A . 该方程有两个相等的实数根B . 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根D . 该方程根的状况不确立4. 某市五月份连续五天的日最高气温分别为 23、 20、 20、 21、 26（单位： °C ），这组数据的中位数和众数分别是（ D ）A . 22 °C ， 26°CB . 22 °C ， 20°CC. 21 °C ， 26°CD . 21 °C ， 20°C5. 以下命题中，是真命题的为（D ）A . 锐角三角形都相像 B. 直角三角形都相像C. 等腰三角形都相像D. 等边三角形都相像6. 已知圆 O 1、圆 O 2 的半径不相等，圆 O 1 的半径长为 3，若圆 O 2 上的点 A 知足 AO 1 = 3，则圆 O 1 与圆 O 2 的地点关系是（ A ）A . 订交或相切B. 相切或相离C. 订交或内含D. 相切或内含二、填空题（本大题共12 题，每题 4 分，满分 48 分）7. 计算： a 3 ÷ a 2 = ___a____.8. 计算： ( x + 1 ) ( x ─ 1 ) = ____x 2-1________.9. 分解因式： a 2 ─ a b = _____a(a-b)_________.10. 不等式 3 x ─ 2 ＞ 0 的解集是 ____x>2/3___ .11. 方程 x + 6 = x 的根是 ______x=3______ .1 12. 已知函数 f ( x ) = x2 + 1 ，那么 f ( ─ 1 ) = ______1/2_____ .13. 将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移 5 个单位后，所得直线的表达式是 ____y=2x+1__________ .14. 若将分别写有“生活” 、“城市”的 2 张卡片，随机放入“让更美好”中的两个内（每个 只放 1 张卡片），则此中的文字恰巧构成“城市让生活更美好”的概率是____1/2______15. 如图 1，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于点 O 设向量AD = a ， = b ，则向量AO 1(aABb) . （结果用 a 、 b 表示）216. 如图 2，△ ABC 中，点 D 在边 AB 上，知足∠ ACD = ∠ABC ，若 AC = 2 ，AD = 1 ，则 DB = __3________ . 17. 一辆汽车内行驶过程中， 行程 y （千米） 与时间 x （小时） 之间的函数关系如图3所示当时 0≤ x ≤ 1，y 对于 x 的函数分析式为y = 60 x ，那么当 1≤ x ≤ 2 时， y 对于 x 的函数分析式为 _____y=100x-40___ . DCAADOD160EA图 1BBC图 2O12B图 4C图 318. 已知正方形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上， DE = 2 ，EC = 1（如图 4 所示）把线段 AE 绕点 A 旋转，使点 E 落在直线 BC 上的点 F 处，则 F 、 C 两点的距离为 __1 或 5_________ . 三、解答题（本大题共7 题， 19 ~ 22 题每题 10 分， 23、24 题每题 12 分， 25 题 14 分，满分 78 分）AD12(1) 1419. 计算： 273( 31)12 3 3 27 32311 43 1解：原式21313 12E3 3 2 3 1 24 3 4F 222F 13B1C5 2 3 2 3 23x 2 x ─ 220. 解方程： x ─ 1 ─x ─1=0解： x x 2 x 2 x 1 1 x x 1 0北x 22 x x 1 0N2 x 1x 22 x 2 2x1 x2 xA67.42 x 24 x 2 xO25 x 22xBC2 x 1 x 2S南∴ x1或 x 2图 52代入查验得切合要求21. 机器人“海宝”在某圆形地区表演“按指令行走”，如图 5 所示，“海宝”从圆心 O 出发，先沿北偏西67.4 °方向行走 13 米至点 A 处，再沿正南方向行走 14 米至点 B 处，最后沿正东方向行走至点 C 处，点B 、C 都在圆 O 上 . （ 1）求弦 BC 的长；（ 2）求圆 O 的半径长 .12 5 12（此题参照数据： sin 67.4 =° 13 ， cos 67.4 =°13 ，tan 67.4 =°5 ）（ 1）解：过点 O 作 OD ⊥ AB ，则∠ AOD+∠ AON= 0590 即： sin ∠ AOD=cos ∠ AON=13N 即： AD=A O ×5=5,OD=A O × sin 67.41213 =AO ° × 13 =12又沿正南方向行走 14 米至点 B 处，最后沿正东方向行走至点 C 处A因此 A B ∥ NS,AB ⊥ BC,因此 E 点位 BC的中点，且 BE=DO=12因此 BC=24DO（ 2）解：连结 OB ，则 OE=BD=AB-AD=14-5=9又在 RT △ BOE 中， BE=12, E因此 BOOE 2BE292 122225 15BCS即圆 O 的半径长为 15人数（万人）32.5222.某环保小组为认识世博园的旅客在园区内购置瓶装饮料数目的状况，一天，他们分别在 A 、 B、 C 三个出口处，对走开园区的旅客进行检查，此中在 A 出口检查所得的数据整理后绘成图 6.（ 1）在 A 出口的被检查旅客中，购置 2 瓶及 2 瓶以上饮料的旅客人数占 A 出口的被检查旅客人数的___60____% . （2）试问 A 出口的被检查旅客在园区内人均购置了多少瓶饮料？（3）已知 B 、 C 两个出口的被检查旅客在园区内人均购置饮料的数目如表一所示若 C 出口的被检查人数比 B 出口的被检查人数多 2 万，且 B、C 两个出口的被检查旅客在园区内共购置了 49 万瓶饮料，试问 B 出口的被检查旅客人数为多少万？出口B C 人均购置饮料数目（瓶）3 2表一9 万解：（ 1）由图 6 知，购置 2 瓶及 2 瓶以上饮料的旅客人数为 2.5+2+1.5=6 （万人）而总人数为： 1+3+2.5+2+1.5=10 （万人）因此购置 2 瓶及2 瓶以上饮料的旅客人数占 A 出口的被检查旅客人数的6100% 60% 10（2）购置饮料总数位： 3× 1+2.5 × 2+2×3+1.5 ×4=3+5+6+6=20（万瓶）购置饮料总数20万瓶人均购置 = 2瓶总人数10万人（ 3）设 B 出口人数为 x 万人，则 C 出口人数为（x+2）万人则有 3x+2(x+2)=49解之得 x=9因此设 B 出口旅客人数为9 万人23．已知梯形ABCD 中， AD//BC ，AB=AD （如图 7 所示），∠ BAD 的均分线AE 交 BC 于点 E，连结 DE . （1）在图 7 中，用尺规作∠ BAD 的均分线 AE（保存作图印迹，不写作法），并证明四边形 ABED 是菱形；（2）∠ ABC ＝ 60°， EC=2BE ，求证： ED ⊥ DC .（ 1）解：分别以点B、D 为圆心，以大于AB 的长度为半径，分别作弧，且两弧交于一点P，则连结 AP ，即 AP 即为∠ BAD 的均分线，且AP 交 BC 于点 E，∵ AB=AD ，∴△ AB O≌△ AO D∴BO=OD∵ AD//BC,∴∠ OBE=∠ODA,∠ OAD=OEB∴△ BOE ≌△ DOA∴ BE=AD（平行且相等）∴四边形ABDE为平行四边形，另AB=AD，∴四边形ADBE为菱形（2）设 DE=2a,则 CE=4a，过点 D 作 D F⊥ BC∵∠ ABC ＝ 60°，∴∠ DEF=60 ° , ∴∠ EDF=30 ° , ∴ EF=1DE=a ，则 DF= 3a ， CF=CE-EF=4a-a=3a ，2∴CDDF 2 CF 2 3a 2 9a 2 2 3a AD∴ DE=2a， EC=4a,CD= 2 3a ,构成一组勾股数，O∴△ EDC为直角三角形，则ED ⊥DCBE F C 24．如图 8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝2（ 1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和极点坐标；（ 2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点 P(m,n) 在第四象限，点 P 对于直线 l 的对称点为 E ，点 E 对于 y 轴的对称点为 F ，若四边形 OAPF 的面积为 20，求 m 、 n 的值 .（ 1）解：将 A(4,0) 、B(1,3) 两点坐标代入抛物线的方程得： 424b c 012 b c 3解之得： b=4， c=0因此抛物线的表达式为：yx 2 4 x将抛物线的表达式配方得：yx 24xx242图 8因此对称轴为 x=2 ，极点坐标为（ 2， 4）（ 2）点 p （ m ，n ）对于直线 x=2 的对称点坐标为点 E （ 4-m ，n ），则点 E 对于 y 轴对称点为点 F 坐标为（ 4-m,-n ）， 则四边形 OAPF 能够分为：三角形 OFA 与三角形 OAP ，则SOFAPSOFAS OPA =SOFA1 OAn+ S OPA1 n = 4 n =202OA2因此 n =5 ，由于点 P 为第四象限的点，因此 n<0 ，因此 n= -5代入抛物线方程得 m=525．如图 9，在 Rt △ABC 中，∠ ACB ＝90° . 半径为1 的圆 A 与边 AB 订交于点 D ，与边 AC 订交于点 E ，连结 DE 并延伸，与线段 BC 的延伸线交于点 P.（ 1）当∠ B ＝ 30°时，连结 AP ，若△ AEP 与△ BDP 相像，求 CE 的长；（ 2）若 CE=2 ，BD=BC ，求∠ BPD 的正切值；（ 3）若 tanBPD13，设 CE=x ，△ ABC 的周长为 y ，求 y 对于 x 的函数关系式 .（ 1）解：∵∠ B ＝30°∠ ACB ＝ 90°∴∠ BAC ＝ 60°∵ AD=AE ∴∠ AED ＝ 60° =∠CEP ∴∠ EPC ＝ 30°∴三角形 BDP 为等腰三角形 ∵△ AEP 与△ BDP 相像∴∠ EAP= ∠ EPA=∠DBP= ∠ DPB=30 ° ∴ AE=EP=1∴在 RT △ ECP 中， EC=1 EP=12 2（ 2）过点 D 作 DQ ⊥AC 于点 Q ，且设 AQ=a ， BD=x∵ AE=1,EC=2∴QC=3-a∵∠ ACB ＝ 90°∴△ ADQ 与△ ABC 相像∴AD AQAB AC 即 1 a，∴ a 31x 1 3 x22∵在 RT△ ADQ 中 DQ AD2 AQ2 1 3 x 2 x 8x 1 x 1∵DQ ADBC ABx2 2 x 8∴x 1 1x x 1A 解之得 x=4，即 BC=4过点 C 作 CF//DP∴△ ADE 与△ AFC 相像，∴ AE AD，即 AF=AC ，即 DF=EC=2,AC AF∴BF=DF=2∵△ BFC 与△ BDP 相像D QFEBC P∴ BF BC 2 1，即： BC=CP=4BD BP 4 2∴tan ∠ BPD=EC 2 1CP42(3) 过 D 点作 D Q⊥ AC于点 Q，则△ DQE 与△ PCE 相像 ,设 AQ=a ，则 QE=1-a∴ QE DQ且 tan1BPDEC CP 3∴DQ 3 1 a∵在 Rt△ ADQ 中，据勾股定理得：AD 2 AQ 2 DQ 2 即： 12 a 2 3 1 a 2 1(舍去 )a 4，解之得 a5∵△ ADQ 与△ ABC 相像AD DQ AQ 44∴ 5AB BC AC 1 x 5 5x∴AB 5 5x 3 3x4 , BC 4∴三角形ABC的周长y AB BC5 5x 3 3xAC41 x 3 3x4即： y 3 3x ，此中 x>0。
-2010年全国初中数学联赛真题及答案
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则|||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ C ）A ．103a b <+≤.B ．113a b <+≤.C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°. 6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则1232a a a a a+++++=（ D ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = 19． 3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA ＝PC ＝5，则PB ＝．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数. 于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++=②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N.因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP. 又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC. 又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC. 由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=， 解得93b a =-，82c a =-.（1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=. (2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54m n m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=. 所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩NCA解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+.易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数. 于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++=②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有pk x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．（2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即41)1(=-++mk p m②如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m->，从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m-<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根． 综上所述，1=k ．。
2010年全国初中数学竞赛题
2010年全国初中数学竞赛试题考试时间.2010年3月21日9.30~11.30满分150分一、选择题（共5题,每小题7分,计35分）1、 若10,20==c b b a ,则cb b a ++的值为（ ） A 、2111 B 、1121 C 、21110 D 、11210 2、 若实数b a ,满足02212=++-b ab a ,则a 的取值范围是（ ） A 、2-≤a B 、4≥a C 、42≥-≤a a 或 D 、42≤≤-a3、如图,在四边形ABCD 中,∠B=135°,∠C=120°AB=32, BC=24,224=-CD ,则AD 边长是（ ）A 、62B 、64C 、64+D 、622+4、在一列数k x x x x 321,,中,已知,11=x 且当2≥k 时, ,4241411⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=-k k x x k k （取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数, 如[][]02.0,26.2==）,则2010x 等于（ ）A 、1B 、2C 、3D 、45、如图在平面直角坐标系xOy 中,等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1,1）,B （2,－1）,C （－2,－1）,D （－1,1）。
y 轴上一点P （0,2）绕点A 旋转180°得 点1P ,点1P 绕点B 旋转180°得点2P ,点2P 绕点C 旋转180°得点3P ,点3P 绕点D 旋转180°得点4P ,……,重复操作依次得到点1P ,2P ,……则点2010P 的坐标是（ ）A 、（2010,2）B （2010,－2）、C 、（2012,－2）D 、（0,2）二、填空题（每小题7分,计35分）6、已知15-=a ,则1227223--+a a a 的值等于 ；7、一辆客车、一辆货车、一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶,在某一时刻, 客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间,过了10分钟,小轿车追上了货 DA B C 第3题车；又过了5分钟,小轿车追上客车；再过了 分钟货车追上客车； 8、如图在平面直角坐标系xOy 中,多边形OABCDE 的顶点坐标分别为O （0,0）,A （0,6）, B （4,6）,C （4,4）,D （6,4）,E （6,0）。
2010年株洲市初中数学竞赛初二试卷和答案
2010年株洲市初中数学竞赛试卷（初二年级）时量：120分钟 总分：100分 注意事项：1、用黑色、蓝色钢笔或圆珠笔作答；2、在密封线内答题，答题内容不要超过密封线；3、不准使用计算器。
1．下列各式运算中，正确的是A ．|3|3--=B ．222()a b a b +=+C ．3412a a a ⋅= D 3=2、甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃～5℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃～8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是A ．1℃～3℃B ．3℃～5℃C ．5℃～8℃D ．1℃～8℃ 3．若x 的绝对值小于1，则化简 |1||1|x x -++ 得A ．0B ．2C ．2xD ．- 2x4．某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润率为20%．若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元，则提价后的利润率为A ．25%B ．20%C ．16%D ．12.5%5．如图为一个棱长为1的正方体的展开图， A 、B 、C 是展开后小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为A ．30°B ．45°C ． 50°D ． 60°6．某校初二运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学，统计表如下表.由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到.下列说法中正确的是A ．这组数据的中位数一定是40，众数是39B ．这组数据的中位数与众数一定相等C ．这组数据的平均数比39大，比40小D ．以上说法都不对7．某个游泳池有2个进水口和一个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图1所示，出水口的出水量与时间的关系如图2所示，某天早上5点到10点，该游泳池的蓄水量与时间的关系如图3所示．（第5题图）在下面的论断中： ①5点到6点，打开全部进水口，关闭出水口；②6点到8点，同时关闭两个进水口和一个出水口；③8点到9点，关闭两个进水口，打开出水口；④10点到11点，同时打开两个进水口和一个出水口． 正确的是Ａ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④8．如图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2012次，点P 依次落在点12342012P P P P P ，，，，，的位置，则20122012P x =的横坐标A ．2012B ．2011C ．2010D ．2009 二、填空题（每题 5分，共30分，请将答案填在表格内） 9． 1,2,___________________ab a b =--=22则a +b ＝ 。
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2010年招收初中保送生考试 数学试卷 第1页 共3页
2010年招收初中保送生考试
数 学 试 题 (Ⅰ)
（考试时间：90分钟 满分：100分）
友情提示:请同学们将选择题答案写在卷（Ⅱ）上。
一、选择题(有且只有一个正确答案，每小题3分，满分24分)
1. 若平面直角坐标系上有两点A(1 ，1)，B(3 ，3)，在y轴上存在一点P，它到点A，B
的距离之和最小，则点P的纵坐标是( )
A. 1 B.32 C. 2 D. 52
2. 规定n!=n×(n-l)×(n-2)ׄ„×3×2×1(例如：4!=4×3×2×1)，那么
S=1!+2!+3!+4!+„+2010!的个位数是( )
A. O B. l C. 2 D. 3
3. 如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的
箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为m，右图轮子上方
的箭头指着的数字为n，数对（m，n）所有可能的个数为b，其中m+n恰为偶数的不同数
对的参数为a，则a/b等于( )
A．21 B．61 C．125 D．43
4. 老李到办公室后，他总要完成以下事情：烧开水10分钟，洗茶杯1分钟，准备茶叶和冲
茶1分钟，打扫办公室9分钟，收听新闻10分钟，问老李做好以上事情至少需要( )
分钟。
A．31 B．11 C．20 D．10
5. 将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，
折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G(如图)．
如果DM：MC=3：2，则DE：DM：EM=( )
A. 7：24：25 B. 3：4：5 C. 5：12：13 D. 8：15：17
6. 甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另—个鱼摊上买了两条鱼，平均每条
b
元，后来他又以每条2ba元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）
A．a>b B．a
7. 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=31AD，
CE交AB于点F。若AF=1cm，则AB=( )cm。
A．3 B．4 C．5 D．6
8. 如图6AB，3AC，则AE·AD=( )
A．32 B．22 C．33 D．23
二、填空题(每小题4分，满分24分)
9. 已知x2-5xy-6y2=0,则2y-x2yx =______________.
10．已知关于x的不等式（3a-b）x+a-3b>0的解集为x<3,则关于x的不等式ax>b的解集
为______________ .
11.对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如右
图方式的“分 裂”，仿此, 37的“分裂”
中最大的数是 ．
12. 已知关于x的不等式组0521xax≥，只有
四个整数解，则实数a的取值范围是 ____．
13. 化简：135212335263106= __ .
14.不论实数k为何值，直线(k+1)x+(1-k)y+5-k=0恒经过的定点坐标是 ____.
2010年招收初中保送生考试 数学试卷 第2页 共3页
2010年招收初中保送生考试
数 学 试 题(Ⅱ)
一、选择题：（每小题3分，共24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题：（每小题4分，共24分）
9.________________________ 10.____________________ 11.____________________
12._______________________ 13._____________________ 14.____________________
三、解答题：(本大题共6小题，共52分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤.)
15. (本题6分) 02220102009)14.3π(32240cos40sin)54()25.1(oo
16. (本题8分)化简求值：22214()2442aaaaaaaa，其中a满足2210aa.
17. (本题8分) 某商场有一座自下向上运动着的电动扶梯,李明到商场买东西,他从电动扶
梯底部走到顶,共走了75级,而当他买完东西向下走时,他的行走速度(以单位时间走多少级
计算)是上行时速度的3倍,结果他走了150级到达底部,那么这个电动扶梯露在外面能够看
到的有多少级?
18. (本题8分) 如图，AB∥EF∥CD，已知 AC+BD=120，BC=50，EC+ED=96，求CF.
学
校
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19. （本题10分）对于函数0,212abxbaxxf,若存在实数0x,使
0xf=0x 成立,则称0
x
为xf的不动点.
⑴当2,2ba时,求xf的不动点;
⑵若对于任意实数b,函数xf恒有两个不相同的不动点,求a的取值范围.
20. (本题12分) 如(1)图所示，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以点B为圆心，AB长为
半径的圆的一段弧. 点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC
所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点.
（1）当∠DEF=45°时，求证点G为线段EF的中点；
（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式；并写出自变量的取值范围；
（3）如图(2)所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF=56时，讨论△AD1D与△ED1F
是否相似，如果相似,请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由.（图（3）
为备用图）
（1） （2） （3）