统计学第5-6章 正态分布、 统计量及其抽样分布知识分享

统计学第5-6章正态分布、统计量及其

抽样分布

第5-6章统计量及其抽样分布

5.1正态分布

5.1.1定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。

概率密度曲线图

例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：身高、体重、肺活量等某一条件下产品的质量

如果随机变量X的概率密度为

2

2

()

2

1

(),

2

x

f x e x

μ

σ

πσ

--

=-∞<<∞

则称X服从正态分布。

记做

2

(,)

X Nμσ

:

，读作：随机变量X服从均值为

μ

，方差为2

σ的正态分布

其中，

μ

-∞<<∞

，是随机变量X的均值，0

σ>是是随机变量X 的标准差

5.1.2正态密度函数f(x)的一些特点：

()0

f x≥,

即整个概率密度曲线都在x轴的上方。

曲线

()

f x相对于xμ

=对称，并在xμ

=

处达到最大值，

1

()

2

fμ

πσ

=

。

1

μ＜

2

μ＜

3

μ

曲线的陡缓程度由

σ

决定：

σ

越大，曲线越平缓；σ越小，曲线越陡峭当

x

趋于无穷时，曲线以

x轴为其渐近线。

标准正态分布

当

0,1

μσ

==

时，

2

2

1

()

2

x

f x e

π

-

=

，

x

-∞<<∞

称

(0,1)

N

为标准正态分布。

标准正态分布的概率密度函数：

()x

?

标准正态分布的分布函数：

()x

Φ

任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布

设

2

(,)

X Nμσ

:

,则

(0,1)

X

Z N

μ

σ

-

=:

变量

2

11

(,)

X Nμσ

:与变量2

22

(,)

Y Nμσ

:相互独立,则有

22

1212

+(+,+)

X Y Nμμσσ

:

5.1.3 正态分布表：可以查的正态分布的概率值

()1()

x x

Φ-=-Φ

例：设(0,1)X N :，求以下概率

（1）( 1.5)P X <

(2) (2)P X >

(3)

(13)P X -<≤

(4)

(2)P X ≤

解：

（1） 1.5

( 1.5)()(1.5)0.9332P X t dt ?-∞<==Φ=?

(2)

(2)1(2)1210.97730.0227

P X P X >=-≤=-Φ=-=（） (3)

(13)(3)(1)(3)(1)

(3)(1(1))0.9987(10.8413)0.84

P X P X P X -<≤=≤-≤-=Φ-Φ-=Φ--Φ=--= (4)

(2)(22)(2)(2)

(2)(1(2))2(2)10.9545

P X P X ≤=-≤≤=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=

一般，若

(0,1)X N :，则有

()()()P a X b b a <≤=Φ-Φ

()2()1P X a a ≤=Φ-

例 设2

(5,3)X N :，求以下概率

（1）(10)P X ≤

(2)

(210)P X <<

（3）

(28)P X ≤≤

（4）

(56)P X -≤ （5）

(59)P X -≤

解：由2

(5,3)X N :，

5

(0,1)3

X N -: （1）

1.675105

(10)()

33

5( 1.67)

3()(1.67)0.9522

X P X P X P t dt ?-∞

--≤=≤-=≤==Φ=?

(2) 255105

(210)()

333

5

(1 1.67)

3(1.67)(1)0.7938

X P X P X P ---<<=<<-=-<<=Φ-Φ-=

（3）

25585

(28)()

333

5

(11)

32(1)120.841310.6826

X P X P X P ---≤≤=≤≤-=-≤≤=Φ-=?-=

（4）

56

(56)()

33

5(2)

32(2)120.977210.9544

X P X P X P --≤=≤-=≤=Φ-=?-=

（5）

5

(59)(

3)

3

2(3)120.998710.9974

X P X P --≤=≤=Φ-=?-=

一般，若

2

(,)X N μσ:，则有 ()()()b a P a X b μμ

σσ

--<≤=Φ-Φ

5.1.4 3σ

准则

若

(0,1)X N :，则有

(1)2(1)10.6826P X ≤=Φ-=

(2)2(2)10.9545P X ≤=Φ-=

(3)2(3)10.9973P X ≤=Φ-=

即，X 的取值几乎全部集中在[]3,3-区间内，超出这个范围的可能不到0.3%

至一般正态总体，即

2

(,)X N μσ:，有

()0.6826P X μσ-≤=

(2)0.9545P X μσ-≤=

(3)0.9973P X μσ-≤=

显然(3)P X μσ->的概率很小，因此可以认为X 的值几乎一定落在

区间(3,3)μσμσ-+内——统计学的“3σ准则”

5.1.5 正态分布函数的一个重要性质

设变量211(,)X N μσ:，2

22(,)Y N μσ~,X 与Y 相互独立,则有

2

21212

+(+,+)X Y N μμσσ:221212

-(-,+)X Y N μμσσ:

5.1.6 求分位数

Z α

设

()0,1X N :

()()Z P X Z x dx α

α?α∞

≥==?

1-=-Z Z αα

常用的几个Z 分位数:

0.050.0251.64, 1.96Z Z ==

0.950.975-1.64,-1.96Z Z ==

5.2 由正态分布导出的几个重要分布

三大分布：

2

,,t F χ分布

5.2.12χ分布

1 定义：设随机变量

12,,,n X X X L 相互独立，且

(0,1)

i X N :(1,2,,)i n =L ，则它们的平方和服从自由度为

n 的

2

x

分布。

记做，

2

2

()i X

n χ∑:

2 2

x 分布的密度函数图形

图形特点：

（1）

2

x

分布的变量值始终为正。

（2）

2

x

分布的形状取决于其自由度n 的大小，通常为不对称的右偏分布，

随着自由度的增大逐渐趋于对称。

（3）

2

x

分布的期望为2

()E n χ

=，方差为2

()2D n χ

=（n 为自由

度）。

（4）

2

x

分布具有可加性。

若X Y

与是相互独立的随机变量， 21

~(),X x n 2

2~()Y x n ，则它们的和服从于自由度为

12n n +的

2

x

分布，即

212~()X Y x n n ++。

3

2

x

分布临界值表的使用，求得

2

x

分布的分位数

2

x

分布临界值表中给出的是概率为

α

时，

2

x α的取值，k 是自由度。

22

2

()()x P x x f x dx α

αα+∞

≥==?

x α

例如，若随机变量

2

(10)X χ:，

则查表可得

20.05

(10) 3.94χ

=，20.95

(10)18.307χ

=，

5.2.2 t 分布（student 分布）

设随机变量

,X Y

互相独立，

2

~(0,1),~()X N Y x n ，则随机变量

~()X t t n =——自由度为n 的t 分布

t 分布概率密度函数图

特点：

① 关于y 轴对称，与标准正态分布的密度函数的图像非常相似。

② 厚尾：当

x →∞时，t 分布的密度函数趋于0的速度要比标准正态

分布密度函数慢，所以t 分布的密度函数的尾部要比(0,1)N 密度

的尾部厚些。

③ 当自由度n 无限增大时，t 分布将趋近于标准正态分布。

所以，当n 很大时，t 分布可以用标准正态分布近似。记()t n α为分

布

()t n 的α

分位数。

在实际使用中，当

30n ≥,就近似有 ()t n Z αα≈

α

由于t 分布密度曲线的对称性，可得

1()()t n t n αα-=-

例如，若随机变量(15)T t :，查表可得，0.05(15) 1.7531t =，

而0.95

0.05(15)(15) 1.76531t

t =-=-

0.05(40) 1.6839t =,0.05(45) 1.6794t = 0.95 1.645Z =

可见随着自由度n 的增大，t 分位数与z 分位数越来越接近。

5.2.3 F分布

设随机变量X与Y相互独立且分别服从自由度为m

和

n

的

2

χ

分

布。则随机变量

/

/

X m

F

Y n

=服从第一自由度为m第二自由度为n的F

分布。记为

()

F F m n

:，

x

F分布的概率密度函数的图

设随机变量

(,) F F m n :

，

(,)

F m n

α表示分布

(,)

F m n

的

α

分位数，

α可以证明

11

(,)(,)

F m n F n m αα-=

例如查表得

0.95F (8,9)=3.23，

则0.050.950.31F F =11

(9,8)==(8,9) 3.23

5.6 小概率原理

指发生概率很小的随机事件在一次实验中几乎不可能出现。

6.1 统计量

定义：设

12,,,n X X X L 是从总体X

中抽取的容量为

n

的一个样

本，如果由此样本构造一个不依赖于任何未知参数的函数

12(,,,)n T X X X L ，则称函数12(,,,)n T X X X L 是一个统计量。

特点：

由样本构造而得，是样本的函数 不含任何未知的参数

当获得样本的一组具体观测值

12(,,,)n x x x L ，带入T

,计算出

12(,,,)n T x x x L 的数值，称为统计量的值

常用的统计量

2,X S

6.2 抽样分布

抽样分布：统计量的分布 随机变量X

精确分布：可以得到分布的数学表达式

渐近分布：难以得到精确分布时，借助于极限工具，求得抽样分布的近似分布，称为渐近分布。

定理1：

设()12,,,n X X X L 是取自总体X

的一个样本，记()i E X μ=，

2()i D X σ=，那么

①()E X μ=，2

()D X n

σ=

②2

2

()E s

σ

=，2

2

1()n

n E s n

σ-= ③ 当n →∞时，

P

X μ??→ lim ()1n P X με→∞

-<=

④ 当n →∞时，22

P s σ??→，

2

2P n s σ??→

定理2：

设()12,,,n X X X L 是取自正态总体

2

(,)N μσ的一个样本 ①2

(,)X N n σμ:

，或等价地(0,1)X N μ

-:

② 2

22

22

2

2

()(1)(1)i

n X X ns

n s

n χσσ

σ--=

=

-∑:

③ X

与

2

s

相互独立

推论1：

设()

12

,,,

n

X X X

L

是取自正态总体

2

(,)

Nμσ

的一个样本，那么

(1)

X

t n

μ

-

-

:

简要证明：

2

(,)

X Nμσ

:(0,1)

X

N

?:

2

2

2

(1)

(1)

n s

n

χ

σ

-

-

:

(1)

X

t n

-

?-

:

独立（t分布的定义）

即

(1)

X

t n

μ

-

-

:

推论2

设

()

12

,,,

m

X X X

L

是取自正态总体

2

11

(,)

Nμσ

的一个样本，()

12

,,,

n

Y Y Y

L

是取自正态总体

2

22

(,)

Nμσ

的一个样本，

X

与Y 相互独立，那么

()()

(0,1)

X Y N μμ---:

简要证明：

211

(,)X N μσ:21

1(,)

X N m σ

μ?:

222

(,)

Y N μσ:22

2(,

)

Y N n

σ

μ?:

独立，

221

2

12(,

)

X Y N m

n

σ

σ

μμ--+

:

12()()

(0,1)

X Y N μμ---:

推论3：

设

()

12,,,m X X X L 是取自正态总体

21(,)

N μσ的一个样本，

()12,,,n Y Y Y L 是取自正态总体22

(,)

N μσ

的一个样本，

X 与Y 相互独立，那么

()()

(2)

X Y t m n μμ---+-:

其中，

222

12

(1)(1)(2)p

m s n s s m n -+-=

+-

简要证明：

2

1(,)X N μσ:2

1(,

)X N m

σ

μ?:

2

2(,)

Y N μσ:2

2(,

)

Y N n

σ

μ?:

独立，

2

2

12(,

)

X Y N m

n

σ

σ

μμ--+

:

22

1

2

(1)(1)

m s

m χσ

--:

22

2

2

(1)(1)n s

n χσ

--:

可加性

222

12

2

2

(1)(1)(2)

m s

n s

m n χσ

σ

--+

+-:

()()

(2)

X Y t m n μμ---?

+-:

整理得

()()(2)

X Y t m n μμ---?

+-:

设2221

2

(1)(1)(2)

p

m s n s s m n -+-=+-

即()()

(2)

X Y t m n μμ---+-:

推论4：

设()12,,,m X X X L 是取自正态总体

2

11(,)N μσ的一个样本， ()12,,,n Y Y Y L 是取自正态总体2

22

(,)N μσ

的一个样本，

X

与

Y 相互独立，那么