九年级数学锐角三角函数知识点与典型例题
锐角三角函数：
知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：
在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA=， ∠A 的余弦可表示为cosA=
∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 2、取值范围
例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．
第1题图
①斜边
)
(sin =
A ＝______， 斜边)(sin =
B ＝______； ②斜边
)(
cos =A ＝______，
斜边
)
(cos =B ＝______；
③的邻边A A ∠=
)
(tan ＝______，
)
(tan 的对边
B B ∠=
＝______．
例2. 锐角三角函数求值：
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，
sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．
例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．
求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．
典型例题：
类型一：直角三角形求值
1．已知Rt △ABC 中，,12,4
3
tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，
?=
∠4
3
sin AOC 求AB 及OC 的长．
3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5
3
sin AOC
(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．
4. 已知A ∠是锐角，17
8
sin =A ，求A cos ，A tan 的值
对应训练：
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为
A ．
5B ．25 C ．12
D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5
3
，那么tan A 的值等于（ ）.
A ．35
B .45
C .34
D . 43
类型二. 利用角度转化求值：
1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．
DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．
2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，
和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．
12
B ．32
C ．35
D ．4
5
D C B A O
y x
第8题图
A D E
C
B F
D
A
B
C
3.如图，角α的顶点为O
，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则
sin α=．
4.如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3
sin 5
A =
，则这个菱形的面积=cm 2． 5.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为3
2
，
2AC =，则sin B 的值是（）
A ．
23B ．32 C ．34 D ．43
6. 如图6，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已
知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．
34 Ｂ．43
Ｃ．
35 Ｄ．45
7. 如图7，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若
1
tan 5
DBA ∠= ，则AD 的长为( )
A ．2
B ．2
C ．1
D ．22
8. 如图8，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =
3
3
16求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.
类型三. 化斜三角形为直角三角形
例1如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．
例2．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．
求：sin∠ABC的值．
对应训练
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）
2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sin B．
3. ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是
A.23cm2 .43cm2C.63cm2 D.12 cm2
类型四：利用网格构造直角三角形
例1 如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）
A．
1
2
B．
5
5
C．
10
10
D．
25
5
对应练习：
1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.
2．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC
?绕着
点A逆时针旋转得到'
'B
AC
?，则'
tan B的值为
A.
4
1
B.
3
1
C.
2
1
D.1
3．正方形网格中，AOB
∠如图放置，则tan AOB
∠的值是（）
A．
5
5 B.
2 5
5 C.
1
2 D. 2
C
B
A
A
B
O
当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而 例1．求下列各式的值．
1）.计算：?-?+?60tan 45sin 230cos 2．
2）计算：?-?+?30cos 245sin 60tan 2
.
3）计算：3－
1+(2π－1)0－3
3
tan30°－tan45°
4．计算：
30tan 2345sin 60cos 221
???
? ???-?+?+．
5．计算：
tan 45sin 301cos 60?+?
-?
；
例2．求适合下列条件的锐角α ．
(1)21cos =
α (2)3
3tan =
α
(3)2
22sin =
α
(4)33)16cos(6=-οα
（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0
=
+α，求αtan 的值
（6）在ABC ?中，若0)2
2(sin 21cos 2
=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠.
1．已知∠A 为锐角，且
sin A <
2
1
，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且0
30sin cos A. 0°< A < 60° B. 30°< A < 60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 例4. 三角函数在几何中的应用 1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，?= 13 12sin A 求此菱形的周长． 2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ； (2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ． 3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°， 3 1 tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ． 4.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，5 3sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值． 5.如图，△ABC 中，∠A=30°，3 tan B =，43AC =．求AB 的长. D C B A C 解直角三角形： 1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ， ①三边之间的等量关系：________________________________． ②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系： ==B A cos sin ______；==B A sin cos _______； == B A tan 1tan _____；== B A tan tan 1 ______． ④直角三角形中成比例的线段． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ． CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________． 类型一 例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． (1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ； (2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (3)已知：3 2 sin = A ，6=c ，求a 、b ； (4)已知：,9,2 3 tan ==b B 求a 、c ； (5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ． 例2．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长． 例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长． 例4．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长． 类型二：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角： 例1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100（）米 例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23 DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ． 例3.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD =30m ． 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°， 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°，求风力发电装置的高AB 的长． 例4.如图，小聪用一块有一个锐角为30 的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距 3 3米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度. 例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)． 例6．如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ） A ． 10 米 B ． 10米 C ． 20 米 D ． 米 例7．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离； （2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？ （计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732， 3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒） A B C D E 类型四. 坡度与坡角 例．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ） A ．100m B ．1003m C ．150m D ．503m 类型五. 方位角 1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13≈) 综合题： 三角函数与四边形： 1．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan ∠BDC= 6． (1)求BD 的长； (2)求AD 的长． 2．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ． （1）求证：∠BAE =∠DAF ； （2）若AE =4，AF =245，3 sin 5 BAE ∠=，求CF 的长． C B A 三角函数与圆： 1.已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D, (1) 求证：∠AOD=2∠C (2) 若AD=8，tanC= 3 4 ，求⊙O 的半径。 2.如图，DE 是⊙O 的直径，CE 与⊙O 相切，E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B ，在EC 上取一个点F ，使EF=BF. （1）求证:BF 是⊙O 的切线; （2）若5 4 C cos =, DE =9，求BF 的长． 1．已知2 1 sin = A ，则锐角A 的度数是 A ．75? B ．60? C ．45? D ．30? 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为 A ．5 C ．1 2 D ．2 3．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B .45 C .34 D . 43 4. 若sin α=3 2 ，则锐角α＝. 5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC =2， 则tan B 的值是 A ．23 B ．32 C D 6．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tan α的值是 A ． 21 B ．2 C ．25 D ．5 5 2 α 7. △ABC 在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是 A. 35 B. 34 C. 43 D. 45 8．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=o ， 则直角边BC 的长是（） A ．sin 40m o B ．cos 40m o C ．tan 40m o D ． tan 40 m o 9．如图，已知P 是射线OB 上的任意一点，PM ⊥OA 于M ， 且OM : OP =4 : 5，则cos α的值等于（ ） A ． 34 B ．43 C ．4 5 D ．35 10．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，若OB 长为10， 3 cos 5 BOD ∠=，则AB 的长是 A . 20 B. 16 C. 12 D. 8 11.在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果cosA= 5 4 ，那么tanA 的值是 A ．53 B ．35 C ．43 D ．3 4 12．如图，在△ABC 中，∠ACB =∠ADC= 90°，若sin A =3 5 ， 则cos ∠BCD 的值为． 13.计算：?-?+?60tan 45sin 230cos 2 13．计算?+?-?-?45tan 30tan 345cos 260sin 2. 142 2604cos 30+sin 45tan 60-?o o o o ． 15．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a=64，b=212.解这个直角三角形 D C B A 第1题图 P B A α 16.如图，在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AD 是∠CAB 的平分线，tan B =21，求CD BD 的值． 17．如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角30?, 荷塘另一端D 处C 、B 在同一条直线上，已知32AC =米，16CD =米， 求荷塘宽BD 为多少米？（结果保留根号） 18.（6分）如图，在△ABC 中，点O 在AB 上，以O 为圆心的圆 经过A ，C 两点，交AB 于点D ，已知2∠A +∠B =90?． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若OA =6，BC =8，求BD 的长． 19．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 在AC 边上．若DB =6，AD =12CD ，sin ∠CBD =23 ，求AD 的长和tan A 的值． 20．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处. （1）B 处距离灯塔P 有多远？ （2）圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上，距离灯塔200海里的O 处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险，并说明理由． 21．已知，如图，在△ADC 中，90ADC ∠=?，以DC 为直径作半圆O e ，交边AC 于点F ，点B 在CD 的延长线上，连接BF ，交AD 于点E ，2BED C ∠=∠． （1）求证：BF 是O e 的切线； A B C D D O C B A （2）若BF FC =，3AE =，求O e 的半径． 22．如图，为了测量楼AB 的高度，小明在点C 处测得楼AB 的顶端A 的仰角为30o，又向前走了20米后到达点D ，点B 、D 、C 在同一条直线上，并在点D 测得楼AB 的顶端A 的仰角为60o，求楼AB 的高． 23．海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离。 24如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o ，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，3 1.73≈，结果保留整数）． 25．如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45o降为30o，已知 原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01） （2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。 (参考数据： 236 2.449=== ) D O A C F E 求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用) 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3 AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ． 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（223. 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得33，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ?=6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30 CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴33∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题
锐角三角函数经典总结