无穷网络的解题思路20180615
求解网络最大流问题的标号算法
求解网络最大流问题的标号算法赵礼峰;白睿;宋常城【摘要】It provides a new way-labeling algorithm to solve network flow. Every vertex is labeled and vertex has the same number in arc as grades. Choose the way that has a grade. After every way that has only a grade,choose the way that has bigger arc capacity and shorter path. The algorithm is easy to understand and avoids the shortcomings of several labeling and adjusting process through improving Ford-Fulkerson labeling algorithm. The algorithm improves efficiency to solve the maximum network flow. The algorithm gives specific steps and manifests the practices of the algorithm through example.%给出了一种新的求解网络流问题的标号算法,对每个顶点进行标号,顶点有几个人弧,即有几个标号,每次在选择路径时先选取只有一个标号的路径,当所有单标号的路径走完时,再按照弧容量较大且最短的路径选择增广链.通过对Ford-Fulkerson标号算法进行改进,使得该算法容易理解,且又避免了Ford-Fulkerson标号算法在求解网络最大流问题时需经过多次的调整与标号,从而大大提高了求解最大流执行的效率.该算法通过实例给出了具体算法步骤并且表明了算法的实用性.【期刊名称】《计算机技术与发展》【年(卷),期】2011(021)012【总页数】3页(P113-115)【关键词】最大流;Ford-Fulkerson标号算法;增广链;标号【作者】赵礼峰;白睿;宋常城【作者单位】南京邮电大学理学院,江苏南京210003;南京邮电大学理学院,江苏南京210003;南京邮电大学理学院,江苏南京210003【正文语种】中文【中图分类】TP301.60 引言在现实生活中，存在着大量的“流”的问题，计算机技术和网络技术的迅速发展使得网络最大流问题在通信、物理、电力等科学领域都得到了广泛的应用。
高考数学中的无穷递归解析技巧
高考数学中的无穷递归解析技巧高考是每个中国学生都要经历的一场考试，而数学则是高考中最为重要的科目之一。
其中，无穷递归解析技巧是数学中一个相对较难但又十分重要的概念，也是很多学生感到困惑的部分。
本文将详细介绍无穷递归解析技巧，以帮助同学们更好地掌握这个知识点。
1. 什么是无穷递归解析在学习无穷递归解析之前，我们需要了解一下递归的定义。
“递归”是指一个过程或函数调用（或解决问题的方法）在其定义或描述中包含对本身的调用。
简单来说，就是一个函数可以通过直接或间接调用自己来解决一个问题。
然后，我们来了解一下无穷递归的概念。
所谓“无穷递归”，就是指函数没有结束条件，导致函数不断调用自身，最终无法得到结果的情况。
当一个函数无穷递归时，它将不断调用自身执行类似的操作，直到内存用完或计算机崩溃。
递归本身就是一种重要的数学思想，而无穷递归更是递归思想的极端体现。
在数学中，无穷递归一般用于定义序列或集合，它可以通过规则来定义序列或集合中的元素，从而让我们更容易地理解这些序列或集合。
2. 无穷递归解析的基本原理无穷递归解析的核心思想是基于一个递归公式，通过递推求得序列中每一项的值。
该递归公式需要定义出首项以及后面每一项与前面一项之间的关系，从而完成对序列的规定。
例如，斐波那契数列就是一个很好的无穷递归解析的例子。
斐波那契数列中的每一项都是前两项的和。
所以，我们可以定义斐波那契数列的递归公式为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中 f(0)=0，f(1)=1。
通过这个递归公式，我们可以求出斐波那契数列中任意一项的值，而无需手动计算每一项。
3. 无穷递归解析的应用无穷递归解析常常出现在高数考试的数列与数学归纳证明题目中。
而数论中的一些问题也需要用到无穷递归解析技巧。
下面我们来看一个典型的例子：如果已知数列 {a_n} 的递推公式为a_n=2a_{n-1}+n，且a_1=1，那么该数列的通项公式是多少？我们可以将a_n代入递推公式中：a_n = 2a_{n-1}+n= 2(2a_{n-2}+(n-1)) + n= 2^2a_{n-2} + 2(n-1) + n= 2^2(2a_{n-3}+(n-2)) + 2(n-1) + n= 2^3a_{n-3} + 2^2(n-2) + 2(n-1) + n= ……= 2^{n-1}a_1 + 2^{n-2}\times2 + 2^{n-3}\times3 + …… +2\times(n-1)+n将a_1代入可得：a_1=2^0×a_1因此，通项公式为：a_n = 2^{n-1} + 2^{n-2}\times2 + 2^{n-3}\times3 + …… +2\times(n-1)+n通过这个例子，我们可以看到无穷递归解析技巧可以帮助我们快速求出类似的数列通项公式，而且求解过程简单明了，不需要过多计算。
网络最大流问题.docx
给定一个有向图D=(V,A),在V中指定一点称为发点(记为 )，该点只有出发去的弧，指定另一点称为收点(记为，)，该点只有指向它的弧，其余的点叫做中间点。
对于A中的每一条弧W f,对应一个数*亠20(简记片)，称之为弧的容量。
通常我们把这样的D叫做网络，记为D=(V,A,C)。
(2)网络流：在弧集A上定义一个非负函数y_ (Z(Pl JV P)是通过弧的实际流量，简记匚，称扌是网络上的流函数，简称网络流或流，称计Q为网络流的流量。
■ ⅛~ "»丄 / √ 第七章F⅛wearch ι§ 4网络最大流问题网络最大流冋题是网络的另一个基本冋题。
许多系统包含了流量问题。
例如交通系统有车流量，金融系统有现金流，控制系统有信息流等。
许多流问题主要是确定这类系统网络所能承受的最大流量以及如何达到这个最大流量。
4.1基本概念与定理1. 1.网络与流定义14 (1)网络：例1如图7-20是连结某产品产地二和销地一的交通图。
弧∣∕Λ√<.;表示从二到的运输线，弧旁的数字表示这条运输线的最大通过能力IL ,括号内的数字表示该弧上的实际流一］。
现要求制定一个运输方案，使从-r运到甘t的产品数量最多。
可行流与最大流4⑴5(3)IO （I ）输网络的实际问题中，我们可以看出，对于流有两个基本要求：一是每条弧上的流量必须是非负的且不能超过该弧的最大通过能力（即该弧的容量）二是起点发出的流的总和（称为流量），必须等于终点接收的流的总和，且各中间点流 入的流量之和必须等于从该点流出的流量之和， 即流入的流量之和与流出的流量之和的差为 零，也就是说各中间点只起转运作用，它既不产出新的物资，也不得截留过境的物资。
因此有下面所谓的可行流的定义。
定义14对于给定的网络 D= （ V,A,C ）和给定的流 ."H ■...， 若一.满足下列条件：（1） 容量限制条件：对每一条弧工宀L ,有(7.9)（2）平衡条件： 对于中间点：流出量=流入量，即对于每一个i （i ≠ s,t ）,有(7.10)对于出发带点二，有∑Λ ■J l ）对于收点■■-，有⑺12)则称」_'；丨为一个可行流，’.丄 称为这个可行流的 流量。
无限网络的工作原理
无限网络的工作原理
无限网络的工作原理是基于无线通信技术，通过无线信号传递数据。
具体原理如下：
1. 信号传输：无限网络使用的是无线电波或红外线等无线信号进行数据传输。
设备将数据转换为数字信号后，通过天线或红外线传输到接收设备。
2. 发射与接收：发送设备通过无线电发射器或红外线发射器将信号传输到空中。
接收设备上的无线接收器或红外线接收器接收到信号后进行解码。
3. 频率与通道：无限网络使用特定的频率进行通信。
设备需要选择不同的频率或通道来避免干扰和碰撞，确保数据传输的可靠性。
4. 数据加密：为了保护数据的安全性，无限网络通常采用数据加密技术，将传输的数据进行加密，只有经过授权的设备可以解密并读取数据。
5. 路由和节点：无限网络中还存在着路由和节点的概念。
路由是指数据通过无线网络传输时选择的路径，节点则是连接到无限网络的设备。
路由器负责将数据从一个节点传输到另一个节点。
6. 无线网络协议：无限网络还需要采用特定的无线网络协议，如Wi-Fi（IEEE 802.11）等，以规定通信时的数据格式、传输速率、协议等。
总体来说，无限网络的工作原理是通过无线信号传递数据，利用频率和通道进行通信，采用加密和路由技术保障数据的安全和传输的可靠性。
探究无穷奥秘
探究无穷奥秘无穷，是一个充满神秘和光芒的概念。
它是一个无限的、不可估量的存在，被广泛地应用于自然科学、哲学、宗教和人文社科学以及艺术等领域。
对于人类来说，无穷代表着未知和探究的挑战。
本文将从数学、物理、哲学等角度，探究无穷的奥秘。
一、数学中的无穷在数学中，无穷可以被理解为一种存在，它选取了一个随着时间的推移，不断增大的数列，并指出这个数列无论到什么时候都不会停止。
这个概念之所以具有强大的力量，是因为它可以用来解决一些看似无解的问题，例如：圆的周长和面积问题。
在古希腊时期，著名数学家欧多克索斯等人曾面临着以有限的尺规作图求解圆面积问题，但最终悉数无能为力，最终不得不将他所面对的无穷与圆面积问题联系起来。
而后人们通过莫比乌斯带、拓扑学等概念和道具，才成功地创造了意义上的无穷，建立了不同于有限性的数学世界，描绘了一幅令人震撼的无穷神奇图景。
二、物理中的无穷在物理学中，无穷被运用于各种自然现象、宏大的宇宙空间和微观的基本粒子层面，以及各种自然规律等方面。
比如牛顿的万有引力在空间里不存在空隙，因此数学中的连续函数在描述物理规律时也是必要的；再如，理论物理学家斯蒂芬黑尔宣称，宇宙的起源可以用数学上的无穷“奇点”来解释，而他的黑洞理论以及剥夺了整个宇宙被称为最强力量的信息论，也都涉及了数学中的无穷。
当然，无穷也存在着某种深刻而神奇的本性，特别是在关于时间的问题上，数学家霍金指出，时间从爆炸开始，终究会趋向于无穷。
而到了无穷时刻，我们会面对比做死物碳化更加深刻的延伸性问题。
三、哲学中的无穷在哲学领域，无穷更多地被视为一种本质存在，或是人类思维的极限。
在柏拉图哲学中，无穷是与超越感的经验世界联系在一起的，被看作是意识中的“最高境界”。
而在康德哲学中，无穷被视作人类理性的极限，理性的能力和局限性都集中在无穷之中。
在黑格尔哲学中，无穷被视为“绝对真理”、“终极意识”，它在意识中亘古不变，被视为最新颖、最深刻的本原问题。
网络及花式电阻,极值电功率物理竞赛专题
第一课时
1，网络电路的分析方法
例1]（2008黄高）（8分）有如图所示的电
阻分布，求①ab两点间的电阻Rab②如果流 过4Ω姆电阻的电流为1A。求ab两点间的电 压：Uab。
2，（2013黄高）
(5分) 图中所有电阻的额定功 率都是4W，若从A点流入的电流为2A，则图中 阻值为2Ω的那个电阻消耗的功率为 W。
S a b Rp
S
Ra Rb
如图，RP的最大阻值为20Ω，电源电压为6V；求当滑片由a移动 到b的过程中，灯泡的亮度如何变化。
RaRb R a ( 20 R a ) R RL RL Ra Rb R a 20 R a 1 2 ( R a 20R a ) R L 20 1 ( R a 10) 2 5 R L 20
5.
15mA A R1 9V V 12mA A R2 V 电阻的解法
例1，（2012黄高）（6分）用粗细均匀的同
种电阻丝制成三个相同的圆圈，并焊接成如图 所示的球形框架，用伏安法测出球形框架在A、 B两点间的总电阻为R，其中AB这一段电阻丝 的电阻为R。，若用同AB等长，但粗于AB三 倍的同种电阻丝将AB替换下来，求替换后的 球形框架的总电阻R’
三、利用关于电流或电阻的二次函数 1、关于电流的二次函数
如图，灯泡L标有“6v 3.6w”字样，RP 的标有20Ω 2A，滑片在最左端时灯泡正 常发光，求滑片在移动的过程中，滑动 变阻器消耗的最大功率 电源电压U=6V 灯泡的电阻RL=U2/PL=10Ω L 当I=0.3A时，P最大 最大值 P=0.9W Rp S
滑动变阻器的功率
P=UI-I2RL=6I-10I2 =-10(I2-0.6I)
滑动变阻器接入电路中的阻值
无穷网络电阻
试求框架上A、B两点间电阻R AB.此框架是用同种金属制作的,单位长度的电阻为ρ.一连串内接等边三角形的数目可认为趋于无穷（如图所示）.取AB边长为a,以下每个三角形的边长依次减少一半.
解答：
这种题不能硬算,需要用技巧.
按题意,大三角形一条边的电阻应该是ρa,为书写方便,先用R表示.AB间等效电阻用R AB表示.
仅次于大三角形的那个倒着的三角形及其往里的所有三角形,左右两点的等效电阻应该是R AB/2,这样就能列出如下方程
R AB = (R//(R AB/2) + R) // R
“ // ” 的意思是并联
整理,解出：R AB = （√7-1）R / 3 即 RAB = （√7-1）ρa / 3。
运筹学课程设计之最大网速问题的数学模型
最大网速问题的数学模型摘要本题给出了各节点之间的网络流图，需求解它们之间的最大流，即最大网速，为了能有效地解决此问题，我们首先利用求解最大流的标号法对网络图中的可增广链进行逐一分析，并对该链上的流量进行调整，直到该图中没有可增广链后，求得节点1到节点6的最大网速为6兆，然后再通过MATLAB 编程实现对标号法求解的结果进行验证。
最后，又通过提高各节点之间的网速来达到提高从节点1到节点6网速的目的，得出了各链之间增加的具体流量。
即s v 到1v 的容量应增加到263x +，3v 到t v 的容量应增加到22x+，2v 到4v 与4v 到t v 的容量都应增加到72x+。
当然若2023x <<，即03x <<，则s v 到1v 的容量不变。
同理，若032x<<，即06x <<，则2v 到4v 与4v 到t v 的容量也不变。
关键词：网络最大流；可增广链；网络流图；MATLAB ；THE MAXIMUM SPEED ISSUSE MATHEMATICAL MODELABSTRACTThe title gives the network flow graph between nodes, the maximum flow demand solution between them, that is the maximum speed, in order to effectively address this problem, we first use labeling method for solving the maximum flow of the network diagram can be augmented by one chain analysis, and adjust the flow of the chain until after this figure does not augmented chain, and seek the maximum speed node 1 to node 6 is 6 trillion, and then realized through MATLAB programming the results were validated method to solve the label.Finally, and by increasing the speed to achieve between the nodes from node 1 to increase the speed of the object 6, Drawn between the increase in the specific flow chain.In other words, to achieve the purpose of improving x trillion, then s v to 1v the capacity should be increased to 6+2x/3, 3v to t v the capacity should be increased to 2+x/2,2v to4v and 4v to t v the capacity should be increased to7+x/2.Of course, if 0<2x/3<2, that is 0<x<3, s v to1v the capacity to un changed. Similarly, if 0<x/2<3, that is 0<x<6, 2v to4v the capacity is the same and4v to t v.Keywords: network maximum flow; augmenting chain; network flow diagram; MATLAB;目录一问题的提出 (1)二模型假设 (1)三符号说明 (2)四问题的分析 (2)五模型的建立与求解 (2)5.1 模型的建立 (2)5.1.1 可行流 (3)5.1.2 割集 (3)5.1.3 最大流-最小割定理 (4)5.1.4 可增广链推论 (4)5.1.5 寻求最大流的方法 (4)5.1.6 可行流调整算法 (4)5.1.7 最大流的标号算法 (4)5.2 模型的求解 (5)六模型的优化 (13)6.1 网络最大流的算法拓展 (13)6.2 问题的优化求解 (14)模型评价 (16)参考文献 (17)附录 (18)一、问题的提出下图为一网络，节点1到节点2的宽带带宽为6兆，节点1到节点3的宽带带宽为2兆，节点2到节点4的宽带带宽为3兆，…节点4到节点6的宽带带宽为2兆，求节点1到节点6的最大网速。
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无穷网络的解题思路
2018-6-15-
20世纪80年代以来，在各种物理竞赛（包括奥林匹克物理竞赛）中，常常出现无穷网络的等效电阻的计算问题．解决这类问题的的基本思路和技巧，就是理解“无限”的意义，分析无限和有限这对矛盾，巧妙地创造条件，使无限向有限转化．本讲主要讨论几种不同类型的无穷网络，然后以此为基础去分析比较复杂的问题． 【基本思路】 若
，⋯++++=a a a a x （a ＞0）
在求x 值时，注意到x 是由无限多个
a 组成，所以去掉左边第一个+a 对x 值
毫无影响，即剩余部分仍为x ，这样，就可以将原式等效变换为
x a x +=，即
02=--a x x 。
所以
2411a x ++=
这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路，那就是：无穷大和有限数的和仍为无
穷大。
一、一维无限网络 【例题1】在图示无限网络中，每个电阻的阻值均为R ，试求A 、B 两点间的电阻R AB 。
解：在此模型中，我们可以将“并联一个R 再串联一个R ”作为电路的一级，总电路是这样无穷级的叠加。
在上图乙中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即
R AB ∥R + R = R AB
解这个方程就得出了R AB 的值。
答案：R AB =
2
5
1+R 。
【例题2】如图所示，由已知电阻r 1、r 2和r 3组成的无穷长梯形网络，求a 、b 间的等效电阻R ab ．（开端形）
【例题3】如图所示，由已知电阻r1、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b间的等效电阻R ab．（闭端形）
二、双边一维无限网络
【例题4】如图所示，两头都是无穷长，唯独中间网孔上缺掉一个电阻r2，求e、f之间的等效电阻。
（中间缺口形）
【例题5】如图所示，两头都是无穷长，唯独旁边缺一个电阻r2，求f、g之间的等效电阻.（旁边缺口形）
【例题6】如图所示，求g、f间的等效电阻。
（完整形）
小结：一维无限网络利用网络的重复性。
三、二维无限网络
【例题7】图为一个网格为正方形的平面无穷网络，网络的每一个节点都有四个电阻与上下左右四个节点分别相联，每个电阻大小均为R，由此，按左右、上下一直延伸到无穷远处．A和B为网络中任意两个相邻节点，试求A、B
间的等效电阻R AB．
模型分析：如图，设有一电流I从A点流入，从
无穷远处流出．由于网络无穷大，故网络对于A点是
对称的，电流I将在联接A点的四个电阻上平均分
配．这时，电阻R（指A、B两节点间的电阻）上的
电流为I/4，方向由A指向B．
同理，再设一电流I 从无穷远处流处，从节点B 流出．由于网络无穷大，B 也是网络的对称点，因此在电阻R 上分得的电流也为I /4，方向也是由A 指向B ．
将上述两种情况叠加，其结果将等效为一个从节点A 流入网络，又从节点B 流出网络的稳恒电流I ，在无穷远处既不流入也不流出．每个支路上的电流也是上述两种情况下各支路电流的叠加．因此，R 电阻上的电流为I /2．所以A 、B 两节点间的电势差为：
【例题8】对图示无限网络，求A 、B 两点间的电阻R AB 。
【例题9】有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示。
所有六边形每边的电阻为0R
，求：
（1）结点a 、b 间的电阻。
（2）如果有电流I 由a 点流入网络，由g 点流出网络，那么流过de 段电阻的电流 I de 为多大。
解： （1）设有电流I 自a 点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有3/I
电流由a 流向c ，有6/I 电流由c 流向b 。
再假设有电流I 由四面八方汇集
b 点流出，那么必有6/I 电流由a 流向
c ，有3/I 电流由c 流向b 。
将以上两种情况综合，即有电流I 由a 点流入，自b 点流出，由电流叠加原理可知
263I I I I ac =
+=
（由a 流向c ） 263I I I I cb =
+=（由c 流向b ）
因此，a 、b 两点间等效电阻
00
0R I R I R I I U R cb ac AB AB =+==
（2）假如有电流I 从a 点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设
A I I I I ===741
B I I I I I I I ======986532 应该有
I I I A =+B 63
1
2
3
4
567
89a
b c d e g
因为b 、d 两点关于a 点对称，所以
A be de
I I I 21
=='
同理，假如有电流I 从四面八方汇集到g 点流出，应该有
B
de
I
I =''
最后，根据电流的叠加原理可知
()I I I I I I I I B A B A de de
de 61636121=+=+=''+'=
四、三维无限网络
【例题10】假设如图有一个无限大NaCl 晶格，每一个键电阻为r ，求相邻两个Na 和Cl 原子间的电阻。
【例题11】在图示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为R ，试求A 、B 两点间的等效电阻R AB 。
当A 、B 两端接入电源时，根据“对称等势”的思想可知，C 、D 、E …各点的电势是彼此相等的，电势相等的点可以缩为一点，它们之间的电阻也可以看成不存在。
这里取后一中思想，将CD 间的导体、DE 间的导体…取走后，电路可以等效为图乙所示的二维无限网络。
【答案】R AB = 21
2R。