角的概念与表示(教案)
7.3角的概念与表示
川沙中学南校徐莲
教学目标
1. 理解角的概念，掌握角的有关名称，并能用字母正确表示角.
2. 能识读并画出方向角.
3. 经历角的概念的形成与角的表示过程，体会数学的严谨性、规范性、简洁性.
4. 经历方向角的表示过程来体会数学与生活的密切关系.
教学重点
1.角的概念及表示法.
2.方向角的表示.
教学难点
1.角的概念及内部和外部的认识.
2.方向角的识别与表示.
一.引入课题：角
背景图：时钟、剪刀、五角星、墙面.
二. 新课
1. 角的两种定义
角是具有公共端点的两条射线组成的图形.
这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.
角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个
位置所成的图形.初始位置的那条射线叫做角的
始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
2. 角的内部和外部
角的始边转到角的终边所经过的平面部分，叫做角的内部，简称角内.
本书中所说的角，除了周角外，未加说明的
角是指小于平角的角
3. 角的表示方法
（1）用三个大写字母表示，如∠AOB或∠BOA
（注意：顶点字母必须写在中间）.
顶点：
边：
（2）用角的顶点字母表示，如：∠O（只有一个角时）.
（3）用一个数字表示，如:∠1、∠2.
（4）也可用一个希腊字母表示，
如：∠α、∠β、∠γ.
练一练
(1)在下面图中用阴影表示∠1的外部.
(2) ①给角标出字母，写出角的记号，并指明角的顶点和边.
②D、E分别是CB、CA上的点，∠ACB与∠DCE
是同一个角吗？
③∠DCE和∠CDE指的是同一个角吗？
④∠E这种记法有错误吗？若有，请加以改正.
4. 方向角
探索：如图，射线ON、OE、OS、OW分别表示
从点O出发北、东、南、西的四个方向.你能说出图中
射线OA，OB，OC，OD分别表示什么方向吗？
用射线表示方向的一种基本形式：例题：已知迪斯尼乐园在川沙中学南校约
南偏西35°的方向，如果用点O表示川沙中
学南校，用点A表示迪斯尼乐园，画出从川沙
中学南校到迪斯尼乐园方向的射线.
练习：已知川沙人民医院在川沙中学南校约北偏东55°的方向，如果用点O表示川沙中学南校，用点B表示川沙人民医院，请画出从川沙中学南校到川沙人民医院方向的射线.
三. 课堂小结
四. 作业
练习册7.3
拓展练习
如图，点A表示A城，点D表示D城.
（1）D在A的什么方向？
（2）如果B城在A城的南偏西60°方向，请画出从A城到B城方向的射线.
（3）如果C城在A城的东北方向，在D城的正东方向，请确定C城的位置.（用点C表示）
(完整版)角的概念的推广教学设计
角的概念的推广一教学设计 哈尔滨市交界职业高中杜银霞 课题：角的概念推广（第一课时） 教学目的： 1?掌握用旋转”定义角的概念，理解并掌握正角”负角”象限角”终边相同的角”的含义。 2. 掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）的表示方法。 3?从射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。 教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。 教学难点：终边相同的角的表示。 设计理念： 本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。 教学过程： 一、复习引入： 1. 回忆：初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是O°WaW 360°,但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于狭隘” 2. 生活中很多实例会不在范围0° 高三数学说课稿之《任意角三角函数定义》 高三数学说课稿之《任意角三角函数定义》 各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径，大家一定要在平时的练习中不断积累，小编为大家整理了高三数学说课稿之《任意角的三角函数的定义》，希望同学们牢牢掌握，不断取得进步! 一、教材结构与内容简析 本节内容在全书及章节的地位：三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的定义是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的角的概念的推广的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。 三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身。 数学思想方法分析：作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生展示尝试类比、数形结合等数学思想方法。 二、教学重点、难点、关键 教学重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的符号规律。 教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。 教学关键：如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( 确定，比值也随之确定)与依赖性(比值随着的变化而变化)。 三、学情分析 技工学校教案用纸 教学过程 一、引入课题 通过生活中常见现象的解释来引入知识点，如螺 丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，确定“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握。 二．知识点 1、角的概念 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α． 学 科 数 学 角的概念的推广 授课班级 ２０１５级机 械二班 授课时数 6课 授课时间 第二周 教学目的 使学生了解角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要 如何让学生用数学的观点分析、解决实际问题 教学重点 和 难 点 1.使学生初步理解用“旋转”定义角的概念； 2．理解“正角” 、“负角”、“零角”、“象限角”、“终边相同的角”的含 义； 3．掌握所有与 角终边相同的角（包括 角）的表示方法 复习提问 B A O 始边 终边 2100 -1500 旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”、“0o角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660° （3）．象限角与终边相同角 1.“象限角” 为了方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：30 、390 、 330 是第Ⅰ象限角， 300 、60是第Ⅳ象限角 585 、1300是第Ⅲ象限角， 135、2000 是第Ⅱ象限角等 6600 课 题：4.1 角的概念推广（一） 教学目的： 1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 2. 掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法 3．体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念； 教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.教学难点：终边相同的角的表示. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法. 树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念. 教学方法方法可以选为讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握. 通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的. 教学过程： 一、复习引入： 1．复习：初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是]360,0[0 0，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘” 2．生活中很多实例会不在改范围]360,0[00 体操运动员转体720o，跳水运动员向内、向外转体1080o 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？ 这些例子不仅不在范围]360,0[0 0，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动） 二、讲解新课： §2 角的概念的推广 【教学目标】 1.通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，根据角的旋转方向，能判断正角、负角和零角； 2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法； 3.通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法. 【教学重点】 1.了解任意角的概念，初步理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念； 2.初步学会终边相同的角的表示方法. 【教学难点】 终边相同的角的集合的表示方法. 【教学方法】 六环节分层导学法 【课前准备】 （学案导学）教师编印导学案，提前两天下发，指导学生完成并检查. 学生预习教材P6-8相关内容，完成优化设计基础知识梳理部分和导学案自主学习部分内容，形成对角的概念的推广的初步认识；学有余力的同学尝试完成优化设计典型例题领悟部分和导学案合作探究部分，至少明确本节课的研究主线. （小组交流）学生分组交流讨论，分享自己的学习心得，解决个别同学存在的困惑，共同梳理出自己小组存在的问题，以便在课堂上得到及时解决。 （检查反馈） 学生自主学习能力比较差，主要存在以下问题： 1)书写不够规范，角的单位“°”容易漏写； 2)思维不够严谨，审题不仔细，做题往往不注意条件； 3)终边相同的角的表示方法掌握不熟练； 4)概念辨析缺乏方法. 完成较好的学生有：白焕焕、杨宇、杨强、何楠. 【教学过程】 一、导入新课 初中阶段我们学习了“角的概念”，请大家思考一下问题： （1）初中学过的角是如何定义的，角的范围又是怎样的？ （2）跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？ （3）汽车在前进和后退中，车轮转动的角度如何表示才合理？ （4）工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度如何表示比较合适？ 学生围绕以上问题进行讨论，从而得出正角、负角和任意角的有关概念. 教师对学生的回答进行总结，并强调：在日常生活中，我们经常要遇到大于360°的角及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角的概念的必要性. 之后提出本节课的主要问题，即在初中学习的基础上，将角的概念推广到任意角. 【板书】角的概念的推广 二、展示评价 学生以组推荐代表展示导学案的完成情况，并回答问题：本节课中学习了哪些新概念，这些概念分别是如何定义的？其他同学补充完善，不同组别之间展开交流点评，教师根据学生的回答情况进行板书，并点拨、激励、评价. 展示形式：实物投影展示导学案的完成情况，口头表述回答教师所提问题. 三、导引探究 教师引导学生重点探究象限角的判定与终边相同角的表示方法，学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法. 探究1：判断角所在象限 例1在0°~360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （1）480°；（2）-760°；（3）932°； 归纳小结：判断角α所在象限的方法：先在0°~360°之间，找出与所求角终边相同的角β，因为α与β终边相同，因此只需判断角β所在象限，即为角α所在象限. 跟踪训练1：象限角的概念： 第一象限角的集合可表示为____________ ______； 第二象限角的集合可表示为_________ ________ _； 第三象限角的集合可表示为； 课题介绍: 尊敬的各位老师、亲爱的同学们: 我就是来自数学与信息科学学院2010级1班的王林,今天我说课的课题就是“任意角”、选自人民教育出版社A版普通高中课程标准试验教科书·数学·必修4第一章第一节第一课时的内容、下面我将从教材分析、学生情况分析、教法学法分析、教学过程设计、板书设计这五个方面进行说课、 一.教材分析 1、本节教材的地位与作用 本课就是数学必修4第一章三角函数中第一节的第一课时、三角函数就是基本初等函数,它就是描述周期现象的重要数学模型、角的概念的推广正就是这一思想的体现之一,就是初中相关知识的自然延续、为进一步研究角的与、差、倍、半关系提供了条件,也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具,所以学生正确的理解与掌握角的概念的推广尤为重要、 2、教学目标 知识目标: (1)理解任意角以及象限角的概念,掌握正角、负角、零角的定义; (2)掌握所有与角α终边相同的角(包括角α)的表示方法; 能力目标: (1)提高学生的计算能力,归纳概括能力与类比思维能力; (2)通过画图与判断角的象限,培养学生数形结合的思想方法; 情感目标: (1)通过创设问题情景,激发分析探求的学习态度,强化参与意识; (2)学会运用运动变化的观点认识事物、 3、教学重点、难点 重点:理解正角、负角与零角与象限角的定义,掌握终边相同角的表示方法及判断、 难点:把终边相同的角用集合与数学符号语言表示出来、 二、学生情况分析 0~360、结合实际 1、学生在初中已经接触到角的定义,角的范围仅限于00 生活中的例子,由教材的“思考”出发,引发学生的的认知冲突,激发学生的求知欲望,让学生体会角的推广的必要性、 2.“终边相同的角之间的关系”的学习,可以从特例出发,通过填空的方式,使学 31 角的概念的推广 教材分析 这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键． 教学目标 1. 通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义． 2. 理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法． 3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系． 任务分析 这节课概念很多，应尽可能让学生通过生活中的例子（如钟表上指针的转动、体操运动员的转体、自行车轮子上的某点的运动等）了解引入任意角的必要性及实际意义，变抽象为具体．另外，可借助于多媒体进行动态演示，加深学生对知识的理解和掌握． 教学设计 一、问题情境 ［演示］ 1. 观览车的运动． 2. 体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作． 3. 钟表秒针的转动． 4. 自行车轮子的滚动． ［问题］ 1. 如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角？ 精品文档 课题介绍： 尊敬的各位老师、亲爱的同学们： 我是来自数学与信息科学学院2010级1班的王林，今天我说课的课题是“任意角”.选自人民教育出版社版普通高中课程标准试验教科书·数学·必修4A第一章第一节第一课时的内容.下面我将从教材分析、学生情况分析、教法学法分析、教学过程设计、板书设计这五个方面进行说课. 一．教材分析 1、本节教材的地位和作用 本课是数学必修4第一章三角函数中第一节的第一课时.三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型.角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续.为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具，所以学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要. 2、教学目标 知识目标： （1）理解任意角以及象限角的概念，掌握正角、负角、零角的定义； ??）的表示方法；（2）掌握所有与角终边相同的角（包括角能力目标： （1）提高学生的计算能力,归纳概括能力和类比思维能力； （2）通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法； 情感目标： （1）通过创设问题情景，激发分析探求的学习态度，强化参与意识； （2）学会运用运动变化的观点认识事物. 3、教学重点、难点 重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断. 难点：把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来. 二、学生情况分析 00360~0.结合实际生 1. 学生在初中已经接触到角的定义，角的范围仅限于活中的例子，由教材的“思考”出发，引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，让学生体会角的推广的必要性. 2．“终边相同的角之间的关系”的学习，可以从特例出发，通过填空的方式，精品文档． 精品文档 使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生易于接受. 三、教法学法分析 教法分析： 我将采用探究式为主，讲练结合法为辅的教学方法. 《角的概念的推广》——教学设计 一、教材分析 1、地位与作用 我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性： 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节：任意角的概念的推广，45分钟。 3、教学目标 知识目标：掌握用旋转定义角的概念；理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义，培养学生用运动变化观点审视事物。 能力目标：通过布置课前任务——培养学生的自学能力； 通过让学生讨论、讲解——锻炼学生的语言表达能力； 通过让学生解决生活中与数学相关的问题——提高学生分析问题、解决问题的能力。 情感目标：通过解决生活中的数学问题——让学生感悟数学的实用性； 通过小组活动——培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点 教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握象限角的判断方法。 教学难点：旋转方向的观察、象限角的判断。 二、学情分析 学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，他们普遍对初中数学有恐惧感，数学基础普遍较差；学生重视专业课，忽视基础课的学习；学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但缺乏耐心和恒心。 三、教学策略选择与设计 针对职业学校学生、学科特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。 教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学策略：（1）引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。 （2）任务驱动法。通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。 （3）多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念，通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。 教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：（1）分类学习法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。 （2）合作学习法：通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。 《角的概念的推广》一一教学设计 一、教材分析 1、地位与作用 我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性： 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节：任意角的概念的推广，45分钟。 3、教学目标 知识目标：掌握用旋转定义角的概念；理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义，培养学生用运动变化观点审视事物。 能力目标：通过布置课前任务一一培养学生的自学能力； 通过让学生讨论、讲解一一锻炼学生的语言表达能力； 通过让学生解决生活中与数学相关的问题一一提高学生分析问 题、解决冋题的能力。 情感目标：通过解决生活中的数学问题一一让学生感悟数学的实用性； 通过小组活动一一培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点 教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握象限角的判断方法。 教学难点：旋转方向的观察、象限角的判断。 二、学情分析 学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，他们普遍对初中数学有恐惧感，数学基础普遍较差；学生重视专业课，忽视基础课的学习；学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但缺乏耐心和恒心。 三、教学策略选择与设计 针对职业学校学生、学科特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。 教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学策略： （1）引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。 （2）任务驱动法。通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。 （3）多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念，通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。 教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导： （1）分类学习法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。 （2）合作学习法：通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。 任意角的三角函数说课稿 各位老师你们好！今天我要说的课题是《任意角的三角函数》。 一、说教材 1、地位和作用： 本节课是人教版数学（必修）4第一章三角函数的第一节任意角的三角函数第一课时。它是本章教学内容的基本概念, 也是学好全章内容的关键，对三角内容的整体学习至关重要，同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备，也是今后高考的必考内容之一。 根据本教材的结构和内容分析，结合学生的认知特点和心理特征，我制定了如下的教学目标： 2、教学目标： 知识与技能方面： 掌握任意角的三角函数的定义，会求角α的各三角函数值；理解并掌握三角函数在各象限的符号及终边相同角的诱导公式，最后要理解三角函数的两域。 方法与过程上： 体验三角函数概念的产生、发展过程，通过对三角函数值的符号，诱导公式（一）的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力；领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的思想. 情感态度与价值观方面： 培养学生通过现象看本质的唯物主义观，培养学生实事求是的科学态度. 本着高一新课程标准，在吃透教材基础上，我确定了以下教学重难点： 3、重点、难点： 重点是正确理解任意角三角函数的定义及分别在各个象限的符号判断法，终边相同角的诱导公式（一） 难点是把三角函数理解为以实数为自变量的函数，以及单位圆的应用。 为了讲清教材的重难点，使学生能够达到既定的教学目标，在重点上有所掌握，难点上有所突破，我再从教法和学法上谈谈： 二、说教、学方法 一方面，我们都知道数学是集抽象与实践为一体的重要学科，因此在教学过程中，不仅要使学生“知其然”还要使学生“知其所以然”。考虑到学生的现状，我主要采取“温故知新，逐步拓展”的形式让学生真正参与到教学，在学习中，得到体验。通过复习锐角三角函数的定义结合前面角的概念的推广提出问题：如何修正三角函数的定义进一步扩展所学内容，发展新知识，从而激起学生探求新知的欲望，调动学生参与学习的积极性。 教学中运用多媒体工具提高直观性增强趣味性，并注意用新课程理念处理传统教材，使学生在学习活动自主探索、动手实践、合作交流，教师发挥引导者、合作者的作用，引导学生主动参与、揭示本质、经历过程、收获成果。 根据本节课内容以及学生认知特点和我自己的教学风格，主要以“教师主导、学生主体”的原则，采用“启发、引导发现式”教学方法组织教学. 另一方面，人们常说：“现代的文盲不是不懂字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而，我在教学过程中特别重视学法的指导。让学生从机械的“学答”向“学问”转变，从“学会”向“会学”转变，成为真正的学习的主人。这节课在指导学生的学习方法和培养学生的学习能力方面主要采取以下方法：分析归纳 第一节：角的概念的推广及弧度制 一、基础知识 1、角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置得到的图形（正角：逆时针；负角：顺时针；零角：没做任何旋转） 2、象限角：以角的顶点为原点，以角的始边为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，由角的终边所在位置确定象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限称为“轴上角”或“象限界角”） 3、与α终边相同的角（连同α在内）可写作{}Z k k x x s ∈+==,360|α 4、弧度的定义：圆周上弧长等于半径的弧所对的圆心角 '18573.571801 ==∏ =rad 1801∏= 5、弧长公式及扇形面积公式 R l l ||||R 22αα=?=∏∏ lR R S S 2 1||21||R 222==?=∏∏αα 二、重要题型剖析 1、常用的角的集合表示法 （1）终边相同的角 例1、当α的终边分别落在x 轴的正半轴上，y 轴的负半轴上时，则α用弧度制表示，分别组成的集合 例2、①终边落在x 轴上的角的集合 ②终边落在y 轴上的角的集合 ③终边落在坐标轴上的角的集合 ④终边落在第一三象限平分线上角的集合 （2）区域角和对顶角 例1、写出阴影区域表示的角α集合（包括边界） 例2、①终边在第一象限角的集合 ②终边在第一四象限角的集合 ③终边在第二象限角的集合 ④终边在第一二象限角的集合 ⑤终边在第三象限角的集合 ⑥终边在第二三象限角的集合 （3）对称角 2、已知角x 所在象限求232x x x 、、所在象限 例1、若θ为第三象限，求 32θθ、所在象限并在该象限表示出来 3、旋转角度的应用题 例1、当12点过4 1小时的时候，时钟的长短针的夹角为多少弧度？ 例2、时针走过2小时40分，则分针转过的角为多少？ 5.1 角的概念的推广 【教学目标】 1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算． 2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念． 3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想． 【教学重点】 理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法． 【教学难点】 任意角和终边相同的角的概念． 【教学方法】 本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念． 环节教学内容师生互动设计意图 复习导入1．复习初中学习过的角的定义． 2．提出新问题： 运动员掷链球时，旋转方向可以 是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不 止一个平角，那如何来度量角的大小 呢？ 师：初中学过的角的定义是 什么？ 生：在平面内，角可以看作 一条射线绕着它的端点旋转而 成的图形． 师：如图： ∠AOB=∠BOA=120 ， B 初中时的角不考虑旋转方 向，只考虑旋转的绝对量 而且角的范围在0~360°． 复习旧知，使学生 发现旧知识的局限性， 激发学习新知识的兴 趣． 新课1．任意角的概念． （1）射线的旋转方向： 逆时针方向——正角； 顺时针方向——负角； 没有旋转——零角． 画图时，常用带箭头的弧来表示旋 转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的 角，又常称为转角． 教师画图说明正角，负角， 零角，以及角的始边、终边. 教师小结：由旋转方向的 不同定义正负角，由旋转量的不 同得到任意范围内的角． 【课题】5．1 角的概念推广 【教学目标】 知识目标： ⑴了解角的概念推广的实际背景意义； ⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念． 能力目标： （1）会判断角所在的象限； （2）会求指定范围内与已知角终边相同的角； （3）培养观察能力和计算技能． 情感目标： （1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神； （2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用. 【教学重点】 终边相同角的概念． 【教学难点】 终边相同角的表示和确定． 【教学设计】 （1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广； （2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角； （3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力； （4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法． 【教学备品】 教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 0°（1）（2） 终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、?90°、?270°角等都是界限角． 运用知识强化练习 教材练习5.1.1 ．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角： ⑴ 60°；⑵?210°；⑶225°；⑷?300°． 动手操作实验观察 用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时 终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为 角终边相同的角的集合是 说明写出终边在y轴上的角的集合． 任意角的正弦、xx函数的定义说课稿 一、教材分析：(说教材) 1.地位和作用： 任意角的正弦,余弦函数的定义是高中数学北师大版第一章第4节第一课时.三角函数是高中数学的重点,也是高考的重点,不仅与平面向量、解析几何等内容联系严紧，还与物理学有严重的联系。因此,学好三角函数非常严重,而要想学好并且理解三角函数,就要从定义开始.在此之前学生已学习了函数的基本性质,角概念的推广,弧度制等知识,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用,后面紧接着要研究正弦函数、余弦函数的性质,那是肯定离不开定义的,所以这一节起到了承上启下的作用. 2.教学目标： 根据上述教材分析,考虑到学生已有的认知结构和心理特征,我制定了如下教学目标： (1)知识目标：a、理解任意角的三角函数的定义; b、三角函数值的符号; c、会求任意角的三角函数值. (2)能力目标：通过教学初步培养学生分析问题,解决实际问题的能力,渗透数形结合的思想. (3)情感目标：对任意角的正弦、余弦函数的定义的教学，是从简单的初中知识开始的，能增强他们学习数学的信心. 定义的教学还能让他们体会治学要严格，并形成严格治学的好习惯. 3.教学重点，难点: 教学重点：正确理解三角函数的定义; 任意的象限角和轴线角的正弦、余弦值的符号. 教学难点:从直角三角形中的比值定义到坐标系下的坐标定义的转换及坐标定义的合理性的理解。 下面,为了讲清重难点,完成节课课的教学目标,再从教法和学法上谈谈. 二、教学策略：(说教法) 坚持以学生为主体,以教师为主导的原则,根据学生的心理发展规律,这节课我的教学策略如下： 1.教学手段：为了突出重点,突破难点,实现教学目标,增加课堂容量,我打算用多媒体辅助教学. 2.教学方法：温故知新,逐步拓展.在复习初中锐角正弦、余弦函数的概念基础上一步一步扩展内容，并且以提出问题解决问题的形式,发展新知识,形成新概念. 三、学情分析：(说学法) 中学生心理学研究指出,高中阶段是抓住学生特点,积极采用形象生动,形式多样的教学方法和学生广博的积极主动参与的学习方式,定能激发学生兴趣,有用地培养学生能力,促进学生个性发展.所以，我觉得应该先由原有的知识出发， 再逐步拓展到任意角，然后引导出三角函数在各个象限内和各坐标轴上的符号。让学生学会从现有的知识探索新的知识,善于发现问题,提出问题,归纳问题,从而达到解决问题的目的. 四、最后我来详尽谈谈这一堂课的教学过程：(说教学过程)(1)由初中的比值定义引入,然后发问:我们已经把角推广到实数集了,那，，，，的正弦、余弦值分别是多少呢?把教学内容转化为具有潜在意义的问题,让学生产生剧烈的问题意识,使学生的整个学习过程成为解决问题的过程.在实际情况下学习可以使学生利用已有的知识与经验，同化和引申出当前学习的新知识，这样获取知识，不但易于掌握，而且易于迁移到陌生的问题情境中，这才是真正的受之与渔而非受之与鱼. (2)由实例得出本节课新的知识点,设任意角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合.记角与单位圆的交点为P(u,v)用u,v表示角的正弦和余弦. 角的概念的推广教学设计 扶风县第二高中冯海平 一、教学内容解析： 1．本节课的主要内容是角的概念的推广，主要是运用运动观点来定义和理解角，即用角的始边和终边及旋转方向来定义任意角，从而达到对角的概念的推广。 2．地位和作用：本节内容是高中数学北师大版必修四第一章三角函数的第二节，是对初中锐角三角函数的一个延伸和推广，主要是推广到任意角三角函数。 本节课《角的概念的推广》就起到了一个铺垫的作用。它是学习任意角的三 角函数必备的知识。 二、教学目标设置 1.知识与技能 （1）理解为什么要推广角的概念，怎样来推广,理解并掌握正角、负角、零角的定义 （2）理解任意角、象限角的概念；掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；会判断是哪个象限角还是终边在坐标轴上的角 （3）类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广 2.过程与方法 （1）借助图片、视频、实物演示、动手绘制角等手段，让学生充分体会到多媒体等手段对数学教学的作用。 （2）在老师的引导、及时评价下，同学之间的互相评价下，学生积极探究知识的形成过程。 3.情感、态度与价值观 （1）通过本节的学习，让学生意识到数学来源于生活，服务于生活，激发学习数学的兴趣。 （2）体会数形结合思想，学会运用运动变化的观点认识事物. （3）通过课堂上的学生自评、互评，教师评价，培养学生竞争意识和团队合作意识，锻炼学生的语言表达能力，提高分析问题和解决问题的能力。 重、难点突破措施： 采用看图片，视频，列举生活中的实例等多种形式来理解为什么要推广角的概念?怎样来推广？这两个问题。借助电子白板和几何画板让同学做角，来感受现在的角是动态的。再用几何画板展示终边相同的角的产生过程，从而理解终边相同的角不是一个而是无数个，这些角可以组成一个集合。这样会形象直观理解这些抽象的概念，并且产生了深刻的印象。 三、学情分析 高一学生因为在初中学习时，学习态度，学习方法，学习能力的不同，知识掌握程度参差不齐，两级分化已经形成，但普遍储备了一定感性具体的数学问题情境，在初中，学生学习了角的定义，角的范围很窄。现实中存在大量的角，但无法用初中角的知识来解决，例如：五边形内角和540°，他们是知道的但无法做的。因此我们本节课的教学要充分关注整个知识的产生过程，充分调动了学生的参与性，再借助多媒体形象直观展示。 4.1 角的概念的推广 【知识归纳】 一、轴线角（终边落在坐标轴上的角）： x 轴正半轴：{}0|360,k k Z αα=?∈；x 轴负半轴：{}00|360180,k k Z αα=?+∈ ； y 轴正半轴：{}00|36090,k k Z αα=?+∈； y 轴负半轴：{}00|36090,k k Z αα=?-∈或{}00|360270,k k Z αα=?+∈； x 轴：{}0|180,k k Z αα=?∈； y 轴： {}00|18090,k k Z αα=?+∈（注意区别） 所有坐标轴：{}0|90,k k Z αα=?∈。 二、象限角： 第一象限角：{}000|36036090,k k k Z αα?< 第二课时角的概念的推广 教学目标： 熟练掌握象限角的集合、轴线角的集合及终边相同的角的表示方法 教学重点： 轴线角的集合，终边相同的角的表示方法 教学难点： 终边相同的角的表示方法 教学过程： I ?复习回顾 请思考并回答以下问题： 1?正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的表示方法是如何定义的? 2?角的定义只强调了射线绕端点旋转的方向，而没有谈及射线绕端点旋转的圈数，那么射线绕端点旋转的圈数对角有无影响？ 3?能否说射线绕端点旋转的圈数越多，角就越大呢？ 4?如图所示的/ ABC是第一象限角吗？为什么？ 指出：①在角的定义里，射线绕端点旋转的圈数影响着角的大小?②射线绕端点旋转的方向，若是逆时针方向旋转，则旋转圈 数越多，角越大；若顺时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越小 ?③象限角概念中强调“角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合”这一条件 n ?例题分析 ［例1］写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360。的角表示)第一步：在0。到360。内找到满足上述条件的角，即90 °、270° 第二步：写出与上述角终边相同的角的集合，即 S i= { 3 I3 = 90°+ k ? 360° , k€ Z} S2= { 3 |3 = 270°+ k ? 360°, k€ Z} 第三步：写出几个集合的并集，即 s= S1U 5 = { 3 |3 = 90°+ k ? 360 °, k€ Z} U { 3 |3 = 270 °+ k ? 360 ° , k €Z} ={ 3 |3 = 90°+ 2k ? 180°, k€ Z} U { 3 |3 = 90°+ (2k+ 1) ?180°, k€ Z} ={ 3 |3 = 90°+180°的偶数倍} U { 3 |3 = 90°+ 180° 的奇数倍} ={ 3 |3 = 90°+180°的整数倍} = { 3 |3 = 90°+ n ? 180°, n € Z} 能写出终边在x轴的非负半轴、非正半轴上的角的集合吗？ 终边在x轴非负半轴上的角的集合为{x|x= k ? 360° , k€ Z}，终边在x轴非正半轴上的角的集合为{x|x= k ? 360°+ 180°, k€ Z}? 以上两个集合的并集代表什么特殊位置上的角的集合呢？ ［例2］写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式一360°< 3 < 720°的元素3写出来： (1) 60°(2)- 21°(3) 363° 14' 第一步：利用终边相同的角的集合公式写出： (1) S= { 3 |3 = 60°+ k ? 360° , k€ Z} (2) S= { 3 |3 =- 21 °+ k ? 360°, k€ Z} 角的概念的推广 教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念； （3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。 2、过程与方法 类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行 角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到 推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过 几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解 例题，总结方法，巩固练习。 3、情感态度与价值观 通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的 观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度； 让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。 难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。 三、学法与教学用具 在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。 教学用具:多媒体、三角板、圆规 四、教学思路 【创设情境，揭示课题】 同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。但不知同 学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一 下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。 这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。 初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？ 我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静止的观点阐述的。 【探究新知】 如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备) 1．正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)． 我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件）。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作 任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角，如果α是零角，那么α＝0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角．为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以记成“α”。 过去我们研究了0°～360°范围的角．如图（见课件）中的角α就是一个0°～360°范围内的角(α＝30°)．如果我们将角α的终边OB继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角是多少度?是不是高三数学说课稿之《任意角三角函数定义》
角的概念的推广
角的概念推广(一)
(完整版)角的概念的推广(教学设计)
任意角说课稿
高中数学新课程创新教学设计案例角的概念的推广
任意角说课稿
角的概念的推广——教学设计
角的概念的推广——教学设计
任意角的三角函数说课稿
角的概念的推广及弧度制
(新)教案1：5.1角的概念的推广
角概念推广优秀教案
任意角的正弦、余弦函数的定义说课稿
最新《角的概念的推广》——教学设计方案-复习课程
角的概念的推广经典练习题
高一数学教案：苏教版高一数学角的概念的推广3
高中数学角的概念的推广