成都七中2017届高三一诊模拟考试理科数学试卷

成都七中2017届一诊模拟考试数学试卷（理科）

考试时间：120分钟 总分：150分

一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案凃在答题卷上．）

1.设全集为R ，集合2

{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则=?B C A R （ ） A (3,0)- B (3,1]-- C (3,1)-- D (3,3)- 2.设i 为虚数单位，复数(1)i i +的虚部为（ ）

A 1-

B 1

C i -

D i

3. 已知点O A B 、、不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且22+OP OA BA =u u u r u u u r u u u r

，则（ ） A ．点P 不在直线AB 上 B ．点P 在线段AB 上

C ．点P 在线段AB 的延长线上

D ．点P 在线段AB 的反向延长线上

4.我校教育处连续30天对同学们的着装进行检查，着装不合格的人数为如图所示的茎叶图，则中位数，众数，极差分别是（ ）

A 44，45，56

B 44，43，57

C 44,43，56

D 45，43,57

5. 在三角形ABC 中，45

sin ,cos 513

A B =

=，则cos C =（ ） A 3365或6365 B 6365 C 3365

D 以上都不对 6. 如图所示的程序框图输出的S 是126，则条件①可以为（ ）

A n ≤5

B n ≤6

C n ≤7

D n ≤8

7. 住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图。为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一个被选为组长的概率为( )

A 1142

B 12

C 1121

D 10

21

8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A 25+ B 5 C 45+ D 225+

9. 如果实数,x y 满足关系1020,00

x y x y x y -+≥??+-≤?

?

≥??≥?又 27

3x y c x +-≤-恒成立，则c 的取值范围为（ ）

A 9

[,3]5

B (],3-∞

C [)3,+∞

D (]2,3

10. 已知函数()|ln |f x x =，若在区间1

[,3]3

内,曲线g x f x ax =-（）（）与x 轴有三个不同的

交点,则实数a 的取值范围是 ( )

A ln 31[

,)3e B ln 31[,)32e C 1(0,)e D 1(0,)2e

11. 函数x x y 2sin cos ?=的最小值为m ,函数2tan 22tan x

y x

=-的最小正周期为n ，则m n

+的值为（ ） A

432

π

-

B 43π-

C 432π+

D 43

π+ 12. 已知椭圆2222

221(0,,)x y c a b c a b e a b a

+=>>=-=，其左、右焦点分别为12,F F ，关

于椭圆有以下四种说法：（1）设A 为椭圆上任一点，其到直线22

12:,:a a l x l x c c

=-=的距离分别为21,d d ，则1212

||||

AF AF d d =；（2）设A 为椭圆上任一点，12,AF AF 分别与椭圆交于,B C 两点，则

2122

12||||2(1)

||||1AF AF e F B F C e ++≥-（当且仅当点A 在椭圆的顶点取等）；（3）设A 为椭圆上且不在坐标轴上的任一点，过A 的椭圆切线为l ，M 为线段12F F 上一点，且1122||||

||||

AF F M AF MF =，则直线AM l ⊥；（4）面积为2ab 的椭圆内接四边形仅有1个。

其中正确的有（ ）个.

A 1

B 2

C 3

D 4

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。） 13. 若0

sin a xdx π

=

?

，则8

a x x ?

?- ??

?的展开式中的常数项为________(用数字作答)

14.已知非直角△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，其中1c =，又3

C π

=

，若sin sin()3sin 2C A B B +-=，则△ABC 的面积为_________.

15. 具有公共y 轴的两个直角坐标平面α和β所成的二面角

βα轴－y -等于?60，已知β内的曲线C '的方程是24y x '=，曲线C '在α内的射影在平面α内的曲线方程为

22y px =,则p =_____________.

16.

已知

()|2017||2016||1||1||2017|()f x x x x x x x R =-+-++-+++++∈L L ，且满足

2

(32)(1)f a a f a -+=-的整数a 共有n 个，222222

(24)4

()(2)2x x k k g x x x ++-+=+-的最小值为

m ，且3m n +=，则实数k 的值为___________.

三．解答题（17-21每小题12分， 22或23题10分，共70分． 在答题卷上解答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知等比数列{}n a 满足1

1

3

a =，4181a =

(1

）求数列{}n a 的通项公式；

(2）设31212111

()log ,()()(),,n n n n

f x x b f a f a f a T b b b ==+++=

+++L L 求2017T

18.参加成都七中数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：

（参考数据：

61

()()34580,i

i

i x x y y =-?-=-∑6

1

()()175.5i

i

i x x z

z =-?-=-∑

6

2

1

()

776840i

i y y =-=∑，61

()()3465.2i i i y y z z =-?-=∑）

（1）根据散点图判断，y 与x ，z 与x 哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？

（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y 关于x 的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）.

（3）定价为多少元/kg 时，年利润的预报值最大？

19. 如图，直角三角形ABC 中，60,BAC ∠=o

点F 在斜边AB 上，且4,,AB AF D E =是

平面ABC 同一侧的两点，AD ⊥平面,ABC BE ⊥平面,ABC 3, 4.AD AC BE === ⑴ 求证：平面CDF ⊥平面;CEF

⑵ 点M 在线段BC 上，且二面角F DM C --的余弦值为

2

5

，求CM 的长度。

20.平面上两定点1(1,0)F -，2(1,0)F ，动点P 满足12||||PF PF k += （1）求动点P 的轨迹；

（2）当4k =时，动点P 的轨迹为曲线C ，已知1

(,0)2

M -

，过M 的动直线l （斜率存在 且不为0）与曲线C 交于P,Q 两点，(2,0)S ，直线1:3l x =-，SP,SQ 分别与1l 交于A,B 两

点.A,B,P,Q 坐标分别为(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，(,)P P P x y ，(,)Q Q Q x y

求证：1111A B

P Q

y y y y ++为定值，并求出此定值；

21.已知()sin ,()ln f x a x g x x ==，其中a R ∈（1

()y g x -=与()y g x =关于直线y x =对称）

（1）若函数()(1)()G x f x g x =-+在区间(0,1)上递增，求a 的取值范围；

（2）证明：

2

1

1

sin

ln 2(1)n

k k =<+∑； （3）设12

()()2(1)(0)F x g x mx x b m -=--++<，其中()0F x >恒成立，求满足条件的

最小整数b 的值。

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 选修4-4:坐标系与参数方程

22.已知直线l 的参数方程为t t y t x (213231???

???

?+=--=为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)6

sin(4π

θρ-=.

（1）求圆C 的直角坐标方程；

（2）若),(y x P 是直线l 与圆面)6

sin(4π

θρ-≤的公共点，求y x +3的取值范围.

选修4-5：不等式选讲

23.已知函数()1 1.f x x m x =++- ⑴ 当2m =时，求不等式()4f x <的解集； ⑵ 若0m <时，()2f x m ≥恒成立，求m 的最小值．

成都七中2017届一诊模拟考试数学试卷（理科）(参考答案)

一．选择题

1-5：BADBC 6-10：BCDCA 11-12：BA 二、填空题 13. 1120; 14. 33

28

; 15.4 16. 0或-2 三．解答题

17. 解：（1）∵{}n a 为等比数列，设公比为q

又4181a =

113a = 13q ∴= 即数列{}n a 是首项为13公比为1

3的等比数列 1

()3

n n a ∴=

(2）由已知可得：()n f a n =-

则：123n b =----……-n (1)

2

n n +=- 故：1112()1n b n n =--+ 111112(1)())2231n T n n ?

?=--+-+-??+?

?……+(12(1)1n =--+

20172017

1009

T =-

19. 证明：（Ⅰ）∵直角三角形ABC 中，∠BAC=60°，AC=4， ∴AB=8，AF=AB=2，由余弦定理得CF=2

且CF ⊥AB ．

∵AD ⊥平面ABC ，CF ?平面ABC ，

∴AD ⊥CF ，又AD∩AB=A ，∴CF ⊥平面DABE ， ∴CF ⊥DF ，CF ⊥EF ．

∴∠DFE 为二面角D ﹣CF ﹣E 的平面角． 又AF=2，AD=3，BE=4，BF=6，

故Rt △ADF ∽Rt △BFE ．∴∠ADF=∠BFE ，∴∠AFD+∠BFE=∠AFD+∠ADF=90°， ∴∠DFE=90°，D ﹣CF ﹣E 为直二面角．∴平面CDF ⊥平面CEF ． （建系求解，只要答案正确，也给分）

（2）以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C ﹣xyz ，设CM =

(0,0,0),(0,,0),(4,0,3),3,0)C M x D F ∴(4,,3);(3,3)DM x DF =--=--u u u u r u u u r

则面DMF 的法向量：43(3,3,x m x -=u r

同理可知：面CDM 的法向量(3,0,4)n =-r

由2

|cos ,|5m n <>=u r r ，则1393x =

或3x =经检验，3x =F DM C --的余弦值为2

5-

不合题意 所以1393

CM =

20. 解：（1）由题意：当2k <时，动点P 不表示任何图形； 当2k =时，动点P 的轨迹是线段； 当2k >时，动点P 的轨迹是椭圆

（2）当4k =时，动点P 的轨迹方程为：22

143

x y += 设1:(0)2PQ x ny n =-≠，则22

14312

x y x ny ?+=????=-

?? 可得：2245(34)304n y ny +--=

∴2245

34,3434P Q P Q n

y y y y n n +=?=-++

∴

2234344515434

P Q

P Q n y y n n y y n ++==-?-+ ∴11415P Q n y y +=- 又点,P Q 在直线PQ 上，

∴11,,22P P Q Q x ny x ny =-=- ∴,5

22

P P

SP P P

y y k x ny ==--

同理：,522Q Q SQ Q Q

y y k x ny ==-- 又;55

A B SA SB y y

k k ==-- 由;SP SA SQ SB k k k k ==

则552

P A P y y ny =

--

，则5

112525P

A P P ny n y y y -==- 同理：1

B y 125Q n y =-

∴11A B y y +=11128()2515P Q

n n y y +-=- ∴11211A B

P Q

y y y y +

=+

21. 解：（1）由题意：/1

()sin(1)ln ,()cos(1)0G x a x x G x a x x

=-+=-->恒成立， 则1cos(1)a x x <

-恒成立。又1

cos(1)

y x x =-单调递减， ∴1a ≤

（2）由（1）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =-+在(0,1)单调增

∴sin(1)ln (1)0x x G -+<= ∴1

sin(1)ln (01)x x x

-<<<

∴22

22212(1)sin sin[1]ln (1)(1)2k k k k k k k

++=-<+++

∴2222

1

1231

sin ln ln 2ln 2(1)1324(1)(1)2n

k k k k k k k =+

()()2(1)220x F x g x mx x b e mx x b -=--++=--+->

即：min ()0F x > 又///()22,()2x x

F x e mx F x e m =--=- ∵0m <

则//()0,F x > ∴/

(),F x 单调增，又//(0)0,(1)0F F <>

则必然存在0(0,1)x ∈，使得/

0()0F x = ∴()F x 在0(,)x -∞单减，0(,)x +∞单增， ∴02

000()()220x

F x F x e mx x b ≥=--+->

则0

2

0022x b e mx x >-+++，又0

0220x e mx --= ∴00

2

2x e m x -=

∴00

00000(2)22(1)222

x x x x e x

b e x e x ->-+

++=-++ 又0,m <则0(0,ln 2)x ∈

∴000(1)22x

x b e x >-++，0(0,ln 2)x ∈恒成立

令()m x =(1)22x x

e x -++，(0,ln 2)x ∈

则/1()(1)12x m x x e =-+ //1

()02

x m x xe =>

∴/

()m x 在(0,ln 2)x ∈单调递增 又/1(0)02

m =>

∴/

()0m x > ∴()m x 在(0,ln 2)x ∈单调递增

∴()(ln 2)2ln 2m x m <= ∴2ln 2b > 又b 为整数

∴最小整数b 的值为：2 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22.解：（1）∵圆C 的极坐标方程为)6

sin(4πθρ-=.∴)cos 21

sin 23(4)6sin(42

θθρπθρρ-=-=，

又∵2

22y x +=ρ，θρcos =x ，θρsin =y .∴x y y x 23222-=+，

∴圆C 的普通方程为03222

2=-++y x y x ；

（2）设y x z +=3.由(1)知圆C 的方程4)3()1(03222

222=-++?=-++y x y x y x ，

∴圆C 的圆心是)3,1(-，半径是2.将???

???

?+=--=t y t x 213231代入y x z +=3得t z -=， 又∵直线l 过)3,1(-C ，圆C 的半径是2.∴22≤≤-t . ∴22≤-≤-t ，即y x +3的取值范围是]2,2[-. 23.解：（Ⅰ）当m=2时，()f x =，

作出图象(右边)：

结合图象由()f x 的单调性及()514,3f f ??=-= ???

得()4f x <的解集为51,.3??- ???

（2）由()2f x m ≥得()121,x m x +≥--

∵0,m <∴1

112,x x m

-

+≥-- 在同一直角坐标系中画出12y x =--及1

1y x m

=-+的图象，

根据图象性质可得1

1,m

-

≥即10.m -≤< 故m 的最小值为 1.-