人教版初中数学锐角三角函数的单元检测附答案
人教版初中数学锐角三角函数的单元检测附答案一、选择题
1.如图,在扇形OAB中,120
AOB
∠=?,点P是弧
AB上的一个动点(不与点A、B重
合),C、D分别是弦AP,BP的中点.若33
CD=,则扇形AOB的面积为()A.12πB.2πC.4πD.24π
【答案】A
【解析】
【分析】
如图,作OH⊥AB于H.利用三角形中位线定理求出AB的长,解直角三角形求出OB即可解决问题.
【详解】
解:如图作OH⊥AB于H.
∵C、D分别是弦AP、BP的中点.
∴CD是△APB的中位线,
∴AB=2CD=63
∵OH⊥AB,
∴BH=AH=33
∵OA=OB,∠AOB=120°,
∴∠AOH=∠BOH=60°,
在Rt△AOH中,sin∠AOH=
AH
AO
,
∴AO=
33
6
sin3
AH
AOH
==
∠,
∴扇形AOB的面积为:
2
1206
12
360
π
π
=
g g
,
故选:A.
【点睛】
本题考查扇形面积公式,三角形的中位线定理,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.
2.一个物体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是全等的等边三角形,俯视图是圆,根据图中所示数据,可求这个物体的表面积为()
A.πB.2πC.3πD.(31)π
+
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图可知:该几何体是一个圆锥,其轴截面是一个高为3的正三角形.可计算边长为2,据此即可得出表面积.
【详解】
解:由三视图可知:该几何体是一个圆锥,其轴截面是一个高为3的正三角形.
∴正三角形的边长
3
2 ==.
∴圆锥的底面圆半径是1,母线长是2,∴底面周长为2π
∴侧面积为1
222
2
ππ
??=,∵底面积为2r
ππ
=,
∴全面积是3π.
故选:C.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.
3.如图,△ABC内接于半径为5的⊙O,圆心O到弦BC的距离等于3,则∠A的正切值等于()
A.3
5
B.
4
5
C.
3
4
D.
4
3
【答案】C
【解析】
试题分析:如答图,过点O作OD⊥BC,垂足为D,连接OB,OC,∵OB=5,OD=3,∴根据勾股定理得BD=4.
∵∠A=1
2
∠BOC,∴∠A=∠BOD.
∴tanA=tan∠BOD=
4
3 BD
OD
=.
故选D.
考点:1.垂径定理;2.圆周角定理;3.勾股定理;4.锐角三角函数定义.
4.如图,点E从点A出发沿AB方向运动,点G从点B出发沿BC方向运动,同时出发且速度相同,DE GF AB
=<(DE长度不变,F在G上方,D在E左边),当点D到达点B时,点E停止运动.在整个运动过程中,图中阴影部分面积的大小变化情况是
()
A.一直减小B.一直不变C.先减小后增大D.先增大后减小【答案】B
【解析】
【分析】
连接GE,过点E作EM⊥BC于M,过点G作GN⊥AB于N,设AE=BG=x,然后利用锐角三角函数求出GN和EM,再根据S阴影=S△GDE+S△EGF即可求出结论.
【详解】
解:连接GE,过点E作EM⊥BC于M,过点G作GN⊥AB于N
设AE=BG=x,则BE=AB-AE=AB-x
∴GN=BG·
sinB=x·sinB ,EM=BE·sinB=(AB -x )·sinB ∴S 阴影=S △GDE +S △EGF =12DE·GN +12GF·EM =
12DE·(x·sinB )+12DE·[(AB -x )·sinB] =
12DE·[x·sinB +(AB -x )·sinB] =12
DE·AB·sinB ∵DE 、AB 和∠B 都为定值
∴S 阴影也为定值
故选B .
【点睛】
此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积,掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键.
5.如图,已知圆O 的内接六边形ABCDEF 的边心距2OM =,则该圆的内接正三角形ACE 的面积为( )
A .2
B .4
C .63
D .43【答案】D
【解析】
【分析】 连接,OC OB ,过O 作ON CE ⊥于N ,证出COB ?是等边三角形,根据锐角三角函数的定义求解即可.
【详解】
解:如图所示,连接,OC OB ,过O 作ON CE ⊥于N ,
∵多边形ABCDEF 是正六边形,
∴60COB ∠=o ,
∵OC OB =,
∴COB ?是等边三角形,
∴60OCM ∠=o ,
∴sin OM OC OCM =?∠, ∴43()sin 603
OM OC cm ?==. ∵30OCN ∠=o , ∴123,22ON OC CN ===, ∴24CE CN ==, ∴该圆的内接正三角形ACE 的面积12334432=?
??=, 故选:D .
【点睛】
本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数;熟练掌握正六边形的性质,由三角函数求出OC 是解决问题的关键.
6.如图,AB 是垂直于水平面的建筑物.为测量AB 的高度,小红从建筑物底端B 点出发,沿水平方向行走了52米到达点C ,然后沿斜坡CD 前进,到达坡顶D 点处,DC BC =.在点D 处放置测角仪,测角仪支架DE 高度为0.8米,在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角AEF ∠为27?(点A ,B ,C ,D ,E 在同一平面内).斜坡CD 的坡度(或坡比)1:2.4i =,那么建筑物AB 的高度约为( )
(参考数据sin 270.45?≈,cos270.89?≈,tan 270.51?≈)
A .65.8米
B .71.8米
C .73.8米
D .119.8米
【答案】B
【解析】
【分析】 过点E 作EM AB ⊥与点M ,根据斜坡CD 的坡度(或坡比)1:2.4i =可设CD x =,则2.4 CG x =,利用勾股定理求出x 的值,进而可得出CG 与DG 的长,故可得出EG 的长.由矩形的判定定理得出四边形EGBM 是矩形,故可得出EM BG =,BM EG =,再
由锐角三角函数的定义求出AM 的长,进而可得出结论.
【详解】
解:过点E 作EM AB ⊥与点M ,延长ED 交BC 于G ,
∵斜坡CD 的坡度(或坡比)1:2.4i =,52BC CD ==米,
∴设DG x =,则 2.4 CG x =.
在Rt CDG ?中,
∵222DG CG DC +=,即222
(2.4)52x x +=,解得20x =,
∴20DG =米,48CG =米,
∴200.820.8EG =+=米,5248100BG =+=米.
∵EM AB ⊥,AB BG ⊥,EG BG ⊥,
∴四边形EGBM 是矩形,
∴100EM BG ==米,20.8BM EG ==米.
在Rt AEM ?中,
∵27AEM ?∠=,
∴?tan 271000.5151AM EM ?=≈?=米,
∴5120.871.8AB AM BM =+=+=米.
故选B .
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
7.如图,菱形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,DE ⊥BC 于点E ,连接OE ,∠DOE =120°,DE =1,则BD =( )
A .33
B .233
C .3
D .3【答案】B
【解析】
【分析】
证明△OBE 是等边三角形,然后解直角三角形即可.
【详解】
∵四边形ABCD 是菱形,∴OD =OB ,CD =BC .
∵DE ⊥BC ,∴∠DEB =90°,∴OE =OD =OB .
∵∠DOE =120°,∴∠BOE =60°,∴△OBE 是等边三角形,∴∠DBC =60°.
∵∠DEB =90°,∴BD =23sin603DE =?. 故选B .
【点睛】
本题考查了解直角三角形,菱形的性质,等边三角形的判定和性质,直角三角形斜边的中线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
8.如图,点O 为△ABC 边 AC 的中点,连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ,若BD=12,AC=8,∠AOD =120°,则四边形ABCD 的面积为( )
A .23
B .22
C .10
D .243
【答案】D
【解析】
【分析】
分别过点A 、C 作BD 的垂线,垂足分别为M 、N ,通过题意可求出AM 、CN 的长度,可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积,相加即为四边形ABCD 的面积.
【详解】
解:分别过点A 、C 作BD 的垂线,垂足分别为M 、N ,
∵点O 为△ABC 边 AC 的中点,AC=8,
∴AO=CO=4,
∵∠AOD =120°,
∴∠AOB=60°,∠COD=60°,
∴342
AM AM sin AOB AO ===∠, 34CN CN sin COD CO ===∠, ∴AM=23CN=3
∴122312322ABD BD AM S ?===g △, 122312322
BD CN S ?===g △BCD , ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +=+=△△四边形
故选:D.
【点睛】
本题考查了三角函数的内容,熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
9.如图,O e 是ABC V 的外接圆,AD 是O e 的直径,若O e 的半径是4,
1sin 4
B =,则线段A
C 的长是( ).
A .2
B .4
C .32
D .6
【答案】A
【解析】
【分析】 连结CD 如图,根据圆周角定理得到∠ACD =90?,∠D =∠B ,则sinD =sinB =
14,然后在Rt △ACD 中利用∠D 的正弦可计算出AC 的长.
【详解】
连结CD ,如图,
∵AD 是⊙O 的直径,
∴∠ACD =90?,
∵∠D =∠B ,
∴sinD =sinB =14
, 在Rt △ACD 中,∵sinD =
AC AD =14, ∴AC =14AD =14
×8=2. 故选A .
【点睛】
本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90?的圆周角所对的弦是直径.也考查了解直角三角形.
10.如图,在Rt ABC V 中,90ACB ∠=?,3tan 4B =
,CD 为AB 边上的中线,CE 平分ACB ∠,则AE AD
的值( )
A .35
B .34
C .45
D .67
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线定理可得AE :BE =AC :BC =3:4,进而求得AE =37
AB ,再由点D 为AB 中点得AD =
12AB ,进而可求得AE AD
的值. 【详解】 解:∵CE 平分ACB ∠,
∴点E 到ACB ∠的两边距离相等,
设点E 到ACB ∠的两边距离位h ,
则S △ACE =12AC·h ,S △BCE =12
BC·h , ∴S △ACE :S △BCE =
12AC·h :12
BC·h =AC :BC , 又∵S △ACE :S △BCE =AE :BE ,
∴AE :BE =AC :BC , ∵在Rt ABC V 中,90ACB ∠=?,3tan 4B =
, ∴AC :BC =3:4,
∴AE :BE =3:4
∴AE =37
AB , ∵CD 为AB 边上的中线, ∴AD =
12AB , ∴36717
2
AB AE AD AB ==, 故选:D .
【点睛】
本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用,通过面积比证得AE :BE =AC :BC 是解决本题的关键.
11.把Rt ABC ?三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A 的余弦值( )
A .扩大为原来的3倍
B .缩小为原来的
13
C .扩大为原来的9倍
D .不变 【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质解答.
【详解】
三边的长度都扩大为原来的3倍,
则所得的三角形与原三角形相似,
∴锐角A 的大小不变,
∴锐角A 的余弦值不变,
故选:D .
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义,掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键.
12.如图,正方形ABCD 中,点E 、F 分别在边CD ,AD 上,BE 与CF 交于点G .若4BC =,1DE AF ==,则GF 的长为( )
A .135
B .125
C .195
D .165
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方形的性质以及勾股定理求得5BE CF ==,证明BCE CDF ???,根据全等三角形的性质可得CBE DCF ∠=∠,继而根据cos cos BC CG CBE ECG BE CE
∠=∠=
=,可求得CG 的长,进而根据GF CF CG =-即可求得答案.
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形,4BC =,
∴4BC CD AD ===,90BCE CDF ∠=∠=?,
∵1AF DE ==,
∴3DF CE ==, ∴22345BE CF =+=,
在BCE ?和CDF ?中, BC CD BCE CDF CE DF =??∠=∠??=?
,
∴()BCE CDF SAS ???,
∴CBE DCF ∠=∠,
∵90CBE CEB ECG CEB CGE ∠+∠=∠+∠=?=∠,
cos cos BC CG CBE ECG BE CE ∠=∠=
=, ∴453CG =,125
CG =, ∴1213555
GF CF CG =-=-
=, 故选A.
【点睛】
本题考查了正方形的性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,三角函数等知识,综合性较强,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.
13.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,点B的坐标是(0,4),点D的坐标是(83,4),点M和点N是两个动点,其中点M从点B出发,沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动,到点A后停止,同时点N从点B出发,沿折线BC→CD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动,如果其中一个点停止运动,则另一点也停止运动,设M,N两点的运动时间为x,△BMN的面积为y,下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两个点的运动变化,写出点N在BC上运动时△BMN的面积,再写出当点N在CD上运动时△BMN的面积,即可得出本题的答案;
【详解】
解:当0 连接BD,AC,交于点O′,连接NM,过点C作CP⊥AB垂足为点P, ∴∠CPB=90°, ∵四边形ABCD是菱形,其中点B的坐标是(0,4),点D的坐标是3,4), ∴BO′3,CO′=4, ∴BC=AB=228O B O C +'=', ∵AC=8, ∴△ABC 是等边三角形, ∴∠ABC=60°, ∴CP=BC×sin60°=8× 32=43,BP=4, BN=4x ,BM=2x , 242BM x x BP ==,2 BN x BC =, ∴=BM BN BP BC , 又∵∠NBM=∠CBP , ∴△NBM ∽△CBP , ∴∠NMB=∠CPB=90°, ∴114438322 CBP S BP CP =??=??=V ; ∴2NBM CBP S BN S BC ??= ??? V V , 即y=22 283=232NBM CBP BN x S S x BC ????=?=? ? ?????V V , 当2 ∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB ∥CD , ∴3 BM=2x , ∴y= 11=2434322 BM NE x x ??=g g ; 故选D. 【点睛】 本题主要考查了动点问题的函数图象,掌握动点问题的函数图象是解题的关键. 14.如图,在ABC V 中,//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=?,2,33,DE BC BF ==则DF 的长为() A .4 B .23 C .33 D .3 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点,再解直角三角形求得AB ,最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF . 【详解】 解:∵//DE BC , ∴ADE ~ABC V V , ∵2DE BC =, ∴点D 是AB 的中点, ∵,30AF BC ADE ⊥∠=?,33BF =, ∴∠B =30°, ∴AB 6cos30BF = =? , ∴DF=3, 故选:D . 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质,熟练掌握性质的运用是解题关键. 15.如图,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,AB :BC =2:1,且BE ∥AC ,CE ∥DB ,连接DE ,则tan ∠EDC =( ) A .14 B .16 C 2 D .310 【答案】B 【解析】 【分析】 过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F,连接OE交BC于点G.根据邻边相等的平 行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形,则OE与BC垂直平分,易得EF=1 2 x, CF=x.再由锐角三角函数定义作答即可. 【详解】 解:∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB:BC=2:1, ∴BC=AD, 设AB=2x,则BC=x. 如图,过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F,连接OE交BC于点G. ∵BE∥AC,CE∥BD, ∴四边形BOCE是平行四边形, ∵四边形ABCD是矩形, ∴OB=OC, ∴四边形BOCE是菱形. ∴OE与BC垂直平分, ∴EF= 1 2 AD= 1 2 x,OE∥AB, ∴四边形AOEB是平行四边形, ∴OE=AB=2x, ∴CF= 1 2 OE=x. ∴tan∠EDC= EF DF = 1 2 2 x x x = 1 6 . 故选:B. 【点睛】 本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形,解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质,属于中考常考题型. 16.如图,在边长为8的菱形ABCD中,∠DAB=60°,以点D为圆心,菱形的高DF为半径画弧,交AD于点E,交CD于点G,则图中阴影部分的面积是() A .183π- B .183-π C .32316π- D .1839π- 【答案】C 【解析】 【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8,∠ADC=120°,由三角函数求出菱形的高DF ,图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积,根据面积公式计算即可. 【详解】 解:∵四边形ABCD 是菱形,∠DAB=60°, ∴AD=AB=8,∠ADC=180°-60°=120°, ∵DF 是菱形的高, ∴DF ⊥AB , ∴DF=AD ?sin60°=3843?=, ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积 =2 120(43)84332316360 ππ??-=-. 故选:C. 【点睛】 本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算;由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键. 17.如图,河坝横断面的迎水坡AB 的坡比为3:4,BC =6m ,则坡面AB 的长为( ) A .6m B .8m C .10m D .12m 【答案】C 【解析】 【分析】 迎水坡AB 的坡比为3:4得出3tan 4 BAC ∠= ,再根据BC =6m 得出AC 的值,再根据勾股定理求解即可. 【详解】 由题意得 3 tan 4 BAC ∠= ∴ 4 68 tan3 BC AC m BAC ==?= ∠ ∴2222 8610 AB AC BC m =+=+= 故选:C. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,把坡比转化为三角函数值是关键. 18.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果∠A=α,BC=a,那么AC等于()A.a?tanαB.a?cotαC.a?sinαD.a?cosα【答案】B 【解析】 【分析】 画出图形,根据锐角三角函数的定义求出即可. 【详解】 如图,∠C=90°,∠A=α,BC=a, ∵cotα AC BC =, ∴AC=BC?cotα=a?cotα, 故选:B. 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义的应用,在直角三角形中,锐角的正弦是角的对边与斜边的比;余弦是角的邻边与斜边的比;正切是对边与邻边的比;余切是邻边与对边的比;熟练掌握三角函数的定义是解题关键. 19.如图,平面直角坐标系中,A(8,0),B(0,6),∠BAO,∠ABO的平分线相交于点C,过点C作CD∥x轴交AB于点D,则点D的坐标为() A.(16 3 ,2)B.( 16 3 ,1)C.( 8 3 ,2)D.( 8 3 ,1) 【解析】 【分析】 延长DC交y轴于F,过C作CG⊥OA于G,CE⊥AB于E,根据角平分线的性质得到FC=CG=CE,求得DH=CG=CF,设DH=3x,AH=4x,根据勾股定理得到AD=5x,根据平行线的性质得到∠DCA=∠CAG,求得∠DCA=∠DAC,得到CD=HG=AD=5x,列方程即可得到结论. 【详解】 解:延长DC交y轴于F,过C作CG⊥OA于G,CE⊥AB于E, ∵CD∥x轴, ∴DF⊥OB, ∵∠BAO,∠ABO的平分线相交于点C, ∴FC=CG=CE, ∴DH=CG=CF, ∵A(8,0),B(0,6), ∴OA=8,OB=6, ∴tan∠OAB=DH AH = OB OA = 3 4 , ∴设DH=3x,AH=4x,∴AD=5x, ∵CD∥OA, ∴∠DCA=∠CAG, ∵∠DAC=∠GAC, ∴∠DCA=∠DAC, ∴CD=HG=AD=5x,∴3x+5x+4x=8, ∴x=2 3 , ∴DH=2,OH=16 3 , ∴D(16 3 ,2), 故选:A. 本题考查了等腰三角形的判定和性质,进行的判定和性质,解直角三角形,正确的作出辅助线构造矩形和直角三角形是解题的关键. 20.如图,△ABC的外接圆是⊙O,半径AO=5,sinB=2 5 ,则线段AC的长为() A.1 B.2 C.4 D.5 【答案】C 【解析】 【分析】 首先连接CO并延长交⊙O于点D,连接AD,由CD是⊙O的直径,可得∠CAD=90°,又由 ⊙O的半径是5,sinB=2 5 ,即可求得答案. 【详解】 解:连接CO并延长交⊙O于点D,连接AD, 由CD是⊙O的直径,可得∠CAD=90°, ∵∠B和∠D所对的弧都为弧AC, ∴∠B=∠D,即sinB=sinD=2 5 , ∵半径AO=5,∴CD=10, ∴ 2 sin 105 AC AC D CD ===, ∴AC=4, 故选:C. 【点睛】 本题考查了同弧所对的圆周角相等,以及三角函数的内容,注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键. 求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用) 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边,可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值. 例1 如图1,在△ABC 中,∠C =90°,AB =13,BC =5,则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练: 1.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB 5,则tan A 的值为 ( ) A . 5 B 25 C .1 2 D .2 二、参数(方程思想)法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值,所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长,然后结合相关条件解决问题. 例2 在△ABC 中,∠C =90°,如果tan A =5 12,那么sin B 的值是 . 对应训练: 1.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5 3,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 2.已知△ ABC 中, ο 90=∠C ,3cosB=2, AC=5 2 ,则 AB= . 3.已知Rt △ABC 中,,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B . 4.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?=∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长. 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时,可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“两锐角相等,则三角函数值也相等” 来解决. 例3 在Rt △ABC 中,∠BCA =90°,CD 是AB 边上的中线,BC =5,CD =4,则cos ∠ACD 的值为 . 对应训练 1.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径, 若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是( )A .2 3 锐角三角函数 单元测试 一、选择题(本题共8小题,每小题4分,共32分) 1. 60cos 的值等于( ) A . 2 1 B .22 C . 2 3 D .1 2.在Rt △ABC 中, ∠C=90?,AB=4,AC=1,则tanA 的值是( ) A .154 B .1 4 C .15 D .4 3.已知α为锐角,且2 3 )10sin(= ?-α,则α等于( ) A.?50 B.?60 C.?70 D.?80 4.已知直角三角形ABC 中,斜边AB 的长为m ,40B ∠=,则直角边BC 的长是( ) A .sin 40m B .cos 40m C .tan 40m D . tan 40 m 5.在Rt ABC △中,90C ∠=,5BC =,15AC =,则A ∠=( ) A .90 B .60 C .45 D .30 6.如图,小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A 处)位于她家北偏东60度500m 处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是( ) A .250m. B . 250.3 m. C .500.33 m. D .3250 m. 7.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将ABC △如图那样折叠,使点A 与点B 重合,折痕为DE ,则tan CBE ∠的值是( ) A . 24 7 B . 73 C . 724 D . 13 8.因为1 s i n 302= ,1sin 2102 =-,所以s i n 210s i n (18030)s i n =+=-; 因为2s i n 452 = ,2sin 2252=-,所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-,由此猜想,推理知:一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-,由此可知:sin 240= ( ) 6 8 C E A B D (第7题) 第6题 锐角三角函数与特殊角专题训练 【基础知识精讲】 一、 正弦与余弦: 1、 在ABC ?中,C ∠为直角,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦,记 作A sin , 锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦,记作A cos . 斜边 的邻边 斜边 的对边 A A A A ∠= ? ∠= cos sin . 若把A ∠的对边BC 记作a ,邻边AC 记作b ,斜边AB 记作c , 则c a A = sin ,c b A =cos 。 2、当A ∠为锐角时, 1sin 0< 人教版初中数学锐角三角函数的单元检测附答案一、选择题 1.如图,在扇形OAB中,120 AOB ∠=?,点P是弧 AB上的一个动点(不与点A、B重 合),C、D分别是弦AP,BP的中点.若33 CD=,则扇形AOB的面积为()A.12πB.2πC.4πD.24π 【答案】A 【解析】 【分析】 如图,作OH⊥AB于H.利用三角形中位线定理求出AB的长,解直角三角形求出OB即可解决问题. 【详解】 解:如图作OH⊥AB于H. ∵C、D分别是弦AP、BP的中点. ∴CD是△APB的中位线, ∴AB=2CD=63 ∵OH⊥AB, ∴BH=AH=33 ∵OA=OB,∠AOB=120°, ∴∠AOH=∠BOH=60°, 在Rt△AOH中,sin∠AOH= AH AO , ∴AO= 33 6 sin3 AH AOH == ∠, ∴扇形AOB的面积为: 2 1206 12 360 π π = g g , 故选:A. 【点睛】 本题考查扇形面积公式,三角形的中位线定理,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.一个物体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是全等的等边三角形,俯视图是圆,根据图中所示数据,可求这个物体的表面积为() A.πB.2πC.3πD.(31)π + 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图可知:该几何体是一个圆锥,其轴截面是一个高为3的正三角形.可计算边长为2,据此即可得出表面积. 【详解】 解:由三视图可知:该几何体是一个圆锥,其轴截面是一个高为3的正三角形. ∴正三角形的边长 3 2 ==. ∴圆锥的底面圆半径是1,母线长是2,∴底面周长为2π ∴侧面积为1 222 2 ππ ??=,∵底面积为2r ππ =, ∴全面积是3π. 故选:C. 【点睛】 本题考查了圆锥的计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长. 3.如图,△ABC内接于半径为5的⊙O,圆心O到弦BC的距离等于3,则∠A的正切值等于() 锐角三角函数: 知识点一:锐角三角函数的定义: 一、 锐角三角函数定义: 在Rt △ABC 中,∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c , 则∠A 的正弦可表示为:sinA= , ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切:tanA= ,它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒:1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与 有关,与直角三角形的 无关 2、取值范围 1.已知Rt △ABC 中,,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B . 2.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?= ∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长. 3.已知:⊙O 中,OC ⊥AB 于C 点,AB =16cm ,?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ; (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC . 4. 已知A ∠是锐角,17 8 sin =A ,求A cos ,A tan 的值 对应训练: (西城北)3.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB =5,则tan A 的值为 A . 55 B .255 C .12 D .2 (房山)5.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5 3 ,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值: 1.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°.D 是AC 边上一点,DE ⊥AB 于E 点. DE ∶AE =1∶2. 求:sin B 、cos B 、tan B . 锐角三角函数单元测试题 1、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA= 4 3,BC=8,则AC 等于( ) A .6 B .323 C .10 D .12 2、已知∠A 是锐角,且sinA= 3 2 ,那么∠A 等于( ) A .30°B .45° C .60° D .75° 4、化简2)130(tan - =( )。A 、3 31- B 、13- C 、133 - D 、13- 5、在Rt △ABC 中,∠C =900 ,∠A 、∠B 的对边是a 、b ,且满足02 2=--b ab a ,则tanA 等于( ) A 、1 B 、 251+ C 、251- D 、2 5 1± 6、如图1所示,△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D ,若BD :AD=1:4,则tan ∠BCD 的值是( )A .1 4 B . 13 C .1 2 D .2 (1) (2) (3) 7、如图2所示,已知⊙O 的半径为5cm ,弦AB 的长为8cm ,P?是AB?延长线上一点,?BP=2cm ,则tan ∠OPA 等于( ) A . 32 B .23 C .2 D .1 2 8、如图3,起重机的机身高AB 为20m ,吊杆AC 的长为36m ,?吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°,则这台起重机工作时吊杆端点C 离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是( ) A .(30+20)m 和36tan30°m B .(36sin30°+20)m 和36cos30°m C .36sin80°m 和36cos30°m D .(36sin80°+20)m 和36cos30°m 9、王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地,再从B 地向正南方向 走200m 到C 地,此时王英同学离A 地 ( ) A 350m B 100 m C 150m D 3100m 一、 填空题 1、在△ABC 中,若│sinA-1│+(3 -cosB )=0,则∠C=_______ 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60° 在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再 人教版 九下数学《锐角三角函数》单元测试卷及答案【3】 一、填空题:(30分) 1、在Rt △ABC 中,∠C =90°,a =2,b =3,则cosA = ,sinB = ,tanB = 。 2、直角三角形ABC 的面积为24cm 2,直角边AB 为6cm ,∠A 是锐角,则sinA = 。 3、已知tan α= 12 5,α是锐角,则sin α= 。 4、cos 2(50°+α)+co s 2(40°-α)-tan(30°-α)tan(60°+α)= ; 5、如图1,机器人从A 点,沿着西南方向,行了个42单位,到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上,则原来A 的坐标为 .(结果保留根号). (1) (2) (3) 6、等腰三角形底边长10cm ,周长为36cm ,则一底角的正切值为 . 7、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米,则他离地面 米高。 8、如图2,在坡度为1:2 的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 9、在△ABC 中,∠ACB=90°,cosA=3 3,AB =8cm ,则△ABC 的面积为______ 。 10、如图3,在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米,此时,梯子的倾斜角为75°,如果梯子底端不动,顶端靠在对面墙上N ,此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米,梯子的倾斜角45°,则这间房子的宽AB 是 _米。 二、选择题:(30分) 11、sin 2θ+sin 2(90°-θ) (0°<θ<90°)等于( )A.0 B.1 C.2 D.2sin 2θ x O A y B 初四数学假期作业锐角三角函数 命题人 班级 姓名 家长签名 2014.9.29 一、填空题: 1、在Rt △ABC 中,∠C =90°,a =2,b =3,则cosA = ,sinB = ,tanB = 。 2、直角三角形ABC 的面积为24cm 2,直角边AB 为6cm ,∠A 是锐角,则sinA = 。 3、已知tan α=12 5,α是锐角,则sin α= 。 4、cos 2(50°+α)+co s 2(40°-α)-tan(30°-α)tan(60°+α)= ; 5、如图1,机器人从A 点,沿着西南方向,行了个42单位,到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上,则原来A 的坐标为 .(结果保留根号). (1) (2) (3) 6、等腰三角形底边长10cm ,周长为36cm ,则一底角的正切值为 . 7、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米,则他离地面 米高。 8、如图2,在坡度为1:2 的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 9、在△ABC 中,∠ACB =90°,cosA=3 3,AB =8cm ,则△ABC 的面积为______ 。 10、如图3,在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米,此时,梯子的倾斜角为75°,如果梯子底端不动,顶端靠在对面墙上N ,此时梯 子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米,梯子的倾斜角45°,则这间房子的宽AB 是 _米。 二、选择题: 11、sin 2θ+sin 2(90°-θ) (0°<θ<90°)等于( ) A.0 B.1 C.2 D.2sin 2θ 12、在直角三角形中,各边的长度都扩大3倍,则锐角A 的三角函数值 ( ) A.也扩大3倍 B.缩小为原来的3 1 C. 都不变 D.有的扩大,有的缩小 13、以直角坐标系的原点O 为圆心,以1为半径作圆。若点P 是该圆上第一象限内的一x O A y B 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边,可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值. 例1 如图1,在△ABC 中,∠C =90°,AB =13,BC =5,则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练: 1.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB tan A 的值为( ) A B C .1 2 D .2 二、参数(方程思想)法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值,所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长,然后结合相关条件解决问题. 例2 在△ABC 中,∠C =90°,如果tan A = 5 12 ,那么sin B 的值是 . 对应训练: 1.在△ABC 中,∠C =90°,sin A= 5 3 ,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 2.已知△ABC 中, 90=∠C ,3cosB=2, AC=52 ,则AB= . 3.已知Rt △ABC 中,,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B . 4.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?=∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长. 第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时,可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“两锐角相等,则三角函数值也相等” 来解决. 例3 在Rt △ABC 中,∠BCA =90°,CD 是AB 边上的中线,BC =5,CD =4,则c o s ∠ACD 的值为 . 对应训练 1.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的半径为 3 2 ,2AC =,则s in B 的值是( )A .23 B .32 C .34 D .4 3 2. 如图4,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处.已知8AB =,10BC =, AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )A.34 B.43 C.35 D.45 3. 如图6,在等腰直角三角形ABC ?中,90C ∠=?,6AC =,D 为AC 上一点,若 1tan 5 DBA ∠ = ,则AD 的长为( ) A .2 C .1 D .4. 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ,和点(00)O ,,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y 轴右侧 圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为( )A . 12 B .2 C .35 D .45 5.如图,角α的顶点为O ,它的一边在x 轴的正半轴上,另一边OA 上有一点P (3,4),则 sin α= . 6.(庆阳中考)如图,菱形ABCD 的边长为10cm ,DE ⊥AB ,3sin 5 A =,则这个菱形的面积= cm 2 . 7. 如图6,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C 九年级下册数学锐角三角函数单元重点练习试卷附答案 一、单选题(共12题;共24分) 1.如图,已知在 Rt ΔΑΒC 中, ∠C =90° , ΑΒ=5 , ΒC =3 ,则 cosΒ 的值是( ) A. 35 B. 45 C. 34 D. 4 3 2.已知△ABC 中,∠C=90°,tanA=1 2 , D 是AC 上一点,∠CBD=∠A ,则sin ∠ABD=( ) A. 35 B. √105 C. 3 10 D. 3√1010 3.正方形网格中,∠AOB 如图放置,则cos ∠AOB 的值为( ) A. 1 2 B. √22 C. √32 D. √33 4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cosB 的值为( ) A. √154 B. 1 4 C. √1515 D. 4√1717 5.如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上, 则tan ∠ACB 的值为( ) A. 13 B. 1 2 C. √22 D. 3 6.在正方形网格中,△ABC 的位置如图所示,则cos ∠B 的值为( ) A. √22 B. √32 C. √33 D. 1 7.已知 ΔABC 中, ∠C =90° ,CD 是AB 上的高,则 CD BD =( ) A. sinA B. cosA C. tanA D. cotA 8.在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3,AB=4,则sinA 的值为( ) A. 3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 4 3 9.如图,一艘轮船在A 处测得灯塔P 位于其北偏东60°方向上,轮船沿正东方向航行30海里到达B 处后,此时测得灯塔P 位于其北偏东30°方向上,此时轮船与灯塔P 的距离是( ) A. 15 √3 海里 B. 30海里 C. 45海里 D. 30 √3 海里 10.如图,在直角△BAD 中,延长斜边BD 到点C ,使DC= 1 2 BD ,连接AC ,若tanB= 5 3 ,则tan ∠CAD 的值( ) A. √33 B. √3 5 C. 13 D. 1 5 11.某时刻海上点P 处有一客轮,测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向,且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏听偏西60°方向航行2 3小时到达B 处,那么tan ∠ABP=( ) 2021-2022人教版九年级数学下册 第二十八章锐角三角函数 一、选择题(本大题共7小题,每小题4分,共28分) 1.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,tan A=,则下列判断正确的是( ) 图1 A.∠A=30° B.AC= C.AB=2 D.AC=2 2.在△ABC中,∠A,∠C都是锐角,且sin A=,tan C=,则△ABC的形状是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.不能确定 3.如图2,直线y=x+3分别与x轴、y轴交于A,B两点,则cos∠BAO的值是( ) 图2 A. B. C. D. 4.如图3,一河坝的横断面为梯形ABCD,AD∥BC,AB=CD,坝顶BC宽10米,坝高BE为12米,斜坡AB的坡度i=1∶1.5,则坝底AD的长度为( ) 图3 A.26米 B.28米 C.30米 D.46米 5.如图4,某时刻海上点P处有一客轮,测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向,且相距20海里.客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处,那么tan∠ABP的值为( ) 图4 A. B.2 C. D. 6.如图5,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A,D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是( ) 图5 A. B. C. D. 7.聊城流传着一首家喻户晓的民谣:“东昌府,有三宝,铁塔、古楼、玉皇皋.”被人们誉为三宝之一的铁塔是本市现存最古老的建筑.如图6,测绘师在离铁塔10米处的点C处测得塔顶A的仰角为α,他又在离铁塔25米处的点D处测得塔顶A的仰角为β,若tanαtanβ=1,点D,C,B在同一条直线上,则测绘师测得铁塔的高度约为(参考数据:≈3.162)( ) 图6 A.15.81米 B.16.81米 C.30.62米 D.31.62米 二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分) 8.计算:cos30°+sin30°=________. 9.若α为锐角,且tan(α+20°)=,则α=__________. 10.如图7,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则cos A=________. 图7 1、平面内,如图17,在□ABCD 中,10AB =,15AD =,4tan 3A =.点P 为AD 边上任意一点,连接PB ,将PB 绕点P 逆时针旋转90?得到线段PQ . (1)当10DPQ ∠=?时,求APB ∠的大小; (2)当tan :tan 3:2ABP A ∠=时,求点Q 与点B 间的距离(结果保留根号); (3)若点Q 恰好落在□ABCD 的边所在的直线上,直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积(结果保留π). 2、如图所示,我国两艘海监船A ,B 在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C ,此时,B 船在A 船的正南方向5海里处,A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向,B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向,已知A 船的航速为30海里/小时,B 船的航速为25海里/小时,问C 船至少要等待多长时间才能得到救援?(参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈,≈1.41) 3、如图,港口B 位于港口A 的南偏东37°方向,灯塔C 恰好在AB 的中点处,一艘海轮位于港口A 的正南方向,港口B 的正西方向的D 处,它沿正北方向航行5km 到达E 处,测得灯塔C 在北偏东45°方向上,这时,E 处距离港口A 有多远?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75) B A P C D Q 备用图17 A B C D P Q 4、如图,两座建筑物的水平距离BC=30m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°,求这两座建筑物的高度. 5、一数学兴趣小组来到某公园,准备测量一座塔的高度.如图,在A处测得塔顶的仰角为α,在B处测得塔顶的仰角为β,又测量出A、B两点的距离为s米,则塔高为米. 6、如图,某小区①号楼与?号楼隔河相望,李明家住在①号楼,他很想知道?号楼的高度,于是他做了一些测量,他先在B点测得C点的仰角为60°,然后到42米高的楼顶A处,测得C点的仰角为30°,请你帮助李明计算?号楼的高度CD. 7、某学校教学楼(甲楼)的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗.小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm,在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°. (1)求甲楼的高度及彩旗的长度;(精确到0.01m) (2)若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼(乙楼)楼顶G处的仰角为40°,爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°,求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离.(精确到0.01m) (cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,cos19°≈0.95,tan19°≈0.34,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84) 第28章 锐角三角函数 单元测试 一、选择题(每题3分,共30分) 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,下列式子不一定成立的是( ) A .sinA=sin B B .cosA=sinB C .sinA=cosB D .∠A+∠B=90° 2.在直角三角形中,各边的长度都扩大3倍,则锐角A 的三角函数值( ) A 扩大3倍 B 缩小3倍 C 都不变 D 有的扩大,有的缩小 3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,当已知∠A 和a 时,求c ,应选择的关系式是( ) A .c = sin a A B .c =cos a A C .c =a ·tanA D .c =a ·cotA 4、若tan(α +10°)=3,则锐角α的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50° 5.已知△ABC 中,∠C=90°,设sinA=m ,当∠A 是最小的内角时,m 的取值范围是( ) A .0<m <12 B .0<m <22 C .0<m <33 D .0<m <32 6.小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米,那么他下降( ) A .1米 B . 3 米 C .2 3 米 D .23 3 米 7.已知Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA=4 3 ,BC=8,则AC 等于( ) A .6 B . 32 3 C .10 D .12 8.sin 2θ+sin 2 (90°-θ) (0°<θ<90°)等于( ) A 0 B 1 C 2 D 2sin 2 θ 9.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=8cm ,AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ,连结BD ,若cos ∠BDC= 35 ,则BC 的长是( ) A 、4 cm B 、6 cm C 、8 cm D 、10 cm 10.以直角坐标系的原点O 为圆心,以1为半径作圆。若点P 是该圆上第一象限内的一 点,且OP 与x 轴正方向组成的角为α,则点P 的坐标为( ) A (cos α ,1) B (1 , sin α) C (sin α , cos α) D (cos α , sin α) (附加)小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上,量得CD=8米,BC=20米,CD 与地面成30o角,且此时测得1米杆的影长为2米,则电线杆的高度为( ) A .9米 B .28米 C .(7+3)米 D .(14+23)米 二、填空题:(每题3分,共30分) 1.已知∠A 是锐角,且sinA= 3 2 ,那么∠A = . 2.已知α为锐角,且sin α =cos500 ,则α = . 3.已知3tan A -3=0,则∠A = . (第9题) (附加题) 锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础,它应用广泛,解题技巧性强,下面归纳出锐角三角函数的常见题型,并结合例题介绍一些解题技巧。 一、 化简或求值 例1 (1)已知tan 2cot 1αα-=,且α是锐角,的值。 (2)化简()()22 sin cos cos sin a b a b αααα++-。 分析 (1)由已知可以求出tan α1tan cot αα=?;(2)先把平方展开,再利用22sin cos 1αα+=化简。 解 (1)由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=,解关于tan α的方程得 tan 2α=或tan 1α=-。又α是锐角,∴tan 2α== tan cot αα-。由tan 2α=, 得1cot 2α==tan cot αα-=13222 -=。 (2)()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-= 2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+??++2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-??+=()()222222sin cos sin cos a b αααα+++=22a b +。 说明 在化简或求值问题中,经常用到“1”的代换,即22sin cos 1αα+=,tan cot 1αα?=等。 二、已知三角函数值,求角 例2 在△ABC 中,若2 cos sin 02A B ?-+= ??(),A B ∠∠均为锐角,求C ∠的度数。 分析 几个非负数的和为0,则这几个数均为0。由此可得cos A 和sin B 的值,进而求出,A B ∠∠的值,然后就可求出C ∠的值。 第四章《锐角三角函数》单元测试题 一.选择题(共10小题) 1.利用计算器求sin30°时,依次按键,则计算器上显示的结果是 () A.0.5 B.0.707 C.0.866 D.1 2.Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=,那么tanA等于() A.B.C.D. 3.已知sinα?cosα=,45°<α<90°,则cosα﹣sinα=() A.B.﹣C.D.± 4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanB的值为() A.B.C.D. 5.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosB等于() A.B.C.D. 6.△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是() A.bcosB=c B.csinA=a C.atanA=b D. 7.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,下列等式中不一定成立的是() A.b=atanB B.a=ccosB C.D.a=bcosA 8.如果∠A为锐角,且sinA=0.6,那么() A.0°<A≤30°B.30°<A<45°C.45°<A<60°D.60°<A≤90° 9.若锐角α满足cosα<且tanα<,则α的范围是() A.30°<α<45°B.45°<α<60°C.60°<α<90°D.30°<α<60° 10.下面四个数中,最大的是( ) A . B .sin88° C .tan46° D . 二.填空题(共8小题) 11.用“>”或“<”号填空: 0. 12.已知∠A 为锐角,且,那么∠A 的范围是 . 13.在Rt △ABC 中,∠C=90°,sinA=,则tanA= . 14.如上图,∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角,则cos ∠AOB 的值 是 . 15.如图,当小杰沿坡度i=1:5的坡面由B 到A 行走了26米时,小杰实际上升高度 AC= 米.(可以用根号表示) 16.如图,在菱形ABCD 中,AE ⊥BC ,E 为垂足,若cosB=,EC=2,P 是AB 边上的一个动点,则线段PE 的长度的最小值 是 . 17.如图1是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如图2所示的几何图形,已知BC=BD=15cm ,∠CBD=40°,则点B 到CD 的距离为 cm (参考数据 sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,sin40°≈0.643,cos40°≈0.766,结果精确到0.1cm ,可用科学计算器). 18.如图,为了测量楼的高度,自楼的顶部A 看地面上的一点B ,俯角 为30°,已知地面上的这点与楼的水平距离BC 为30m ,那么楼的高度AC 为 m (结果保留根号). 三.解答题(共8小题) 19.在△ABC 中,∠B 、∠C 均为锐角,其对边分别为b 、c , 求证:=. 第16题 第17题 三角函数专项复习 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B): 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性: 当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大, A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 对 边 C 7、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。 依据:①边的关系:222c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法) 8、应用举例: (1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做 坡度(坡比)。用字母i 表示,即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东45°(东北方向) , 南偏东45°(东南方向), 南偏西45°(西南方向), 北偏西45°(西北方向)。 :i h l =h l α 锐角三角函数经典总结-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 锐角三角函数与特殊角专题训练 【基础知识精讲】 一、 正弦与余弦: 1、 在ABC ?中,C ∠为直角,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做 A ∠的正弦,记作A sin , 锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦,记作A cos . 斜边 的邻边 斜边 的对边 A A A A ∠= ? ∠= cos sin . 若把A ∠的对边BC 记作a ,邻边AC 记作b ,斜边AB 记作c , 则c a A =sin ,c b A =cos 。 2、当A ∠为锐角时, 1sin 0< 九年级数学《锐角三角函数》单元测试题及答案 一、填空题:(30分) 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,2a=b ,则tanA=______,sinA=_______。 2.sin55°、cos36°、sin56°的大小关系是____<____<____。 3.在△ABC 中,∠C=90°,如果 31tan =A ,则cosB=_______。如果03cos 42=-A ,是∠A=______度。 4.一个直角三角形有两条边长为3和4,则较小锐角的正切值是_________。 5.如图6-29,某飞机于空中A 处探测得地面目标C ,此时飞行高度AC=h 米,从飞机上看到地面控制点B 的俯角为α,则飞机A 到控制点B 的距离是__________米。 6、在Rt △ABC 中,∠C =90°,a =2,b =3,则cosA = ,sinB = ,tanB = 。 7、直角三角形ABC 的面积为24cm 2,直角边AB 为6cm ,∠A 是锐角,则sinA = 。 8、已知tan α= 12 5,α是锐角,则sin α= 。 9、cos 2(50°+α)+cos 2(40°-α)-tan(30°-α)tan(60°+α)= ; 10、如图1,机器人从A 点,沿着西南方向,行了个42单位,到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东 60°的方向上,则原来A 的坐标为 .(结果保留根号). (1) (2) (3) 1136cm ,则一底角的正切值为 . 12、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米,则他离地面 米高。 13、如图2,在坡度为1:2 的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 14、在△ABC 中,∠ACB=90°,cosA=3 3,AB =8cm ,则△ABC 的面积为______ 。 15、如图3,在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米,此时,梯子 x O A y B求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
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