高一下数学两条直线的位置关系戴南高级中学
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ )对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、 k2，则有 l1∥l2?k1＝k2.(ⅱ)当直线 l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.②两条直线垂直：(ⅰ )如果两条直线 l1、 l2的斜率存在，设为k1、 k2，则有 l1⊥l2?k1·k2＝－ 1.(ⅱ )当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时， l1⊥l2.(2)两条直线的交点直线 l1：A1x＋B1y＋ C1＝0，l2：A2x＋ B2 y＋ C2＝ 0，则 l1与 l2的交点坐标就是方程组的解．2．几种距离(1)两点 P1(x1， y1 )， P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ .(2)点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax＋By＋ C＝0 的距离： d＝.(3)两条平行线 Ax＋By＋C1＝ 0 与 Ax＋By＋C2＝ 0(其中 C1≠C2)间的距离 d＝ .选择题：设 a∈ R，则“ a＝ 1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2： x＋ (a＋1)y＋4＝ 0 平行”的 () A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析充分性：当 a＝1 时，直线 l1：＋－＝与直线2：＋＋＝0平行；x2y 1 0l x2y 4必要性：当直线 l1： ax＋2y－ 1＝ 0 与直线 l2：x＋ (a＋ 1)y＋ 4＝ 0 平行时有 a＝－ 2 或 1；所以“ a＝1”是“直线 l1： ax＋ 2y－1＝0 与直线 l2： x＋ (a＋1)y＋4＝0 平行”的充分不必要条件已知点 (a,2)(a>0)到直线 l ：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a 等于 ()A.B．2－C.－1D.＋1解析依题意得＝ 1，解得 a＝－ 1＋或 a＝－ 1－，∵a>0，∴ a＝－ 1＋.已知直线 l1： (3＋m)x＋ 4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝ 8 平行，则实数 m 的值为 ()A．－ 7B．－ 1C．－ 1 或－ 7D.解析l1的斜率为－，在 y 轴上的截距为， l2的斜率为－，在y 轴上的截距为 .又∵l1∥ l2，由－＝－得， m2＋8m＋7＝0，得 m＝－ 1 或－ 7.m ＝－ 1 时，＝＝ 2， l 1 与 l 2 重合，故不符合题意； m ＝－ 7 时，＝ ≠＝－ 4，符合题意已知两条直线 l 1：(a －1) ·x ＋ 2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋ 3＝0 平行，则 a 等于 ()A ．－ 1B ．2C ．0 或－ 2D ．－ 1 或 2解析若 a ＝0，两直线方程为－ x ＋2y ＋1＝ 0 和 x ＝－ 3，此时两直线相交，不平行，所以 a ≠0.当 a ≠0 时，若两直线平行，则有＝ ≠，解得 a ＝－ 1 或 a ＝2，选 D.已知点 O(0， 0)，A(0，b)， B(a ，a 3)．若 △OAB 为直角三角形，则必有 ()A ．b ＝ a 3B ． b ＝ a 3＋C ． (b －a 3)＝ 0D ． |b －a 3|＋＝ 0解析 若以 O 为直角顶点，则 B 在 x 轴上，则 a 必为 0，此时 O ，B 重合，不符合题意；若 ∠A ＝，则 ＝ 3≠0，若∠ B ＝，根据垂直关系可知 a 2·＝－ ，所以3－b) ＝－，即－ 3－＝ ，以上两b a 1 a(a1b a种情况皆有可能，故只有C 满足条件．已知过点 A(m ＋1，0)，B(－5，m)的直线与过点 C(－ 4，3)，D(0，5)的直线平行，则 m 的值为 ()A ．－ 1B ．－ 2C ． 2D ．1解析由题意得： k AB ＝＝， CD ＝＝ 由于 AB ∥ CD ，即 AB ＝ CD ，k . kk所以＝，所以 m ＝－ 2当 0＜ k ＜时，直线 l 1 ：kx －y ＝ k － 1 与直线 l 2：ky － x ＝ 2k 的交点在 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析解方程组得两直线的交点坐标为，因为 0＜ k ＜，所以＜ 0，＞ 0，故交点在第二象限．若直线 l 1： y ＝ k(x － 4)与直线 l 2 关于点 (2， 1)对称，则直线 l 2 经过定点 ()A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－ 2)解析直线 l 1： ＝ － 经过定点 ，其关于点 对称的点为 (0,2)，又直线 l 1： ＝ －y k(x 4) (4,0)(2,1) y k(x 4)与直线 l 2 关于点 (2,1)对称，故直线 l 2 经过定点 (0,2)．从点 (2，3)射出的光线沿与向量a ＝ (8，4)平行的直线射到 y 轴上，则反射光线所在的直线方程为()A ． x ＋2y － 4＝ 0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ． 6x ＋ y － 8＝0解析由直线与向量 a ＝ (8,4)平行知：过点 (2,3)的直线的斜率 k ＝，所以直线的方程为y －3＝(x －与 (0,2)，由两点式知 A 正确．填空题：已知 a，b 为正数，且直线 ax＋by－6＝0 与直线 2x＋ (b－3)y＋5＝0 互相平行，则 2a＋3b 的最小值为 _____解析由于直线 ax＋by－ 6＝ 0 与直线 2x＋ (b－3)y＋5＝0 互相平行，所以 a(b－3)＝2b，即＋＝ 1(a，b均为正数 )，所以 2a＋ 3b＝ (2a＋ 3b)＝ 13＋6≥13＋6×2＝ 25(当且仅当＝，即 a＝b＝5 时取等号 ) 若直线 (3a＋2)x＋(1－ 4a)y＋8＝0 与(5a－ 2)x＋ (a＋4)y－7＝0 垂直，则 a＝ ________解析由两直线垂直的充要条件，得 (3a＋ 2)(5a－2)＋ (1－4a)(a＋4)＝ 0，解得 a＝0 或 a＝1.已知两直线方程分别为 l1： x＋ y＝1， l2： ax＋ 2y＝ 0，若 l1⊥ l2，则 a＝________.解析∵l1⊥l2，∴12＝－，即＝－，解得＝－2.k k11a已知直线 y＝ kx＋ 2k＋1 与直线 y＝－ x＋2 的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 ________解析由方程组解得 (若 2k＋ 1＝ 0，即 k＝－，则两直线平行 )，∴交点坐标为，又∵交点位于第一象限，∴解得－＜ k＜.直线 l 过点 P(－1，2)且到点 A(2，3)和点 B(－ 4， 5)的距离相等，则直线l 的方程为 ______解析当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y－ 2＝ k(x＋ 1)，即 kx－ y＋ k＋ 2＝0.由题意知＝，即 |3k－1|＝|－3k－ 3|，∴ k＝－ .∴直线 l 的方程为 y－ 2＝－ (x＋ 1)，即 x＋3y－5＝ 0.当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 x＝－ 1，也符合题意．过点 P(0，1)作直线 l，使它被直线 l1：2x＋y－8＝0 和 l2： x－ 3y＋10＝ 0 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为 ________________解析设 l1与l 的交点为－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－－在 2 上，A(a,8a,2a 6)l代入 l2的方程得－ a－ 3(2a－ 6)＋10＝0，解得 a＝4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为x＋4y－4＝0与直线 l1：3x＋2y－6＝0 和直线 l2： 6x＋4y－3＝0 等距离的直线方程是 ________解析l2：6x＋ 4y－ 3＝0 化为 3x＋ 2y－＝ 0，所以 l1与 l2平行，设与 l1，l2等距离的直线 l 的方程为3x＋ 2y＋c＝0，则： |c＋ 6|＝|c＋|，解得 c＝－，所以 l 的方程为 12x＋ 8y－ 15＝ 0.已知两直线 l1：ax－by＋ 4＝ 0 和 l2：(a－ 1)x＋ y＋ b＝ 0，若 l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则 a＋ b＝ ________解析由题意得解得或经检验，两种情况均符合题意，∴ a＋b的值为0或已知直线 l1：ax＋y－1＝0，直线 l2：x－y－3＝0，若直线 l1的倾斜角为，则 a＝ ______；若 l1⊥l2，则 a＝ ________；若 l1∥l2，则两平行直线间的距离为 _______解析若直线 l1的倾斜角为，则－＝＝°＝，故＝－；若1⊥l2，则a × ＋×(－1)＝，a k tan451a1l 1 10故＝；若1∥l2，则＝－，1：－＋＝，两平行直线间的距离＝＝2.a 1l a 1 l x y 1 0d已知直线 l： 2x－ 3y＋1＝0，点 A(－ 1，－ 2)，则点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标为 ________解析设 A′(x， y)，由已知得解得故A′.解答题：已知两直线 l1： x＋ ysinα－ 1＝0 和 l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥ l2；(2)l1⊥l2.解 (1)当 sinα＝ 0 时，直线 l1的斜率不存在， l2的斜率为 0，显然 l1不平行于 l2. 当sinα≠ 0 时， k1＝－， k2＝－ 2sinα，要使 l1∥l2，需－＝－ 2sinα，即 sinα＝±.所以α＝π±，∈Z ，此时两直线的斜率相等．故当α＝π±，∈时， 1∥l2.kk kk Z l(2)因为 A1A2＋ B1B2＝0 是 l1⊥l2的充要条件，所以 2sinα＋ sinα＝ 0，即 sinα＝ 0，所以α＝ kπ，k∈ Z.故当α＝ kπ， k∈Z 时， l1⊥l2.如图，设一直线过点 (－ 1,1)，它被两平行直线l1：x＋ 2y－1＝ 0，l2：x＋2y－ 3＝ 0 所截的线段的中点在直线 l3：x－ y－ 1＝ 0 上，求其方程．解与 l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋ 2y－2＝0.设所求直线方程为 (x＋ 2y－2)＋λ(x－ y－ 1)＝0，即 (1＋λ)x＋ (2－λ)y－2－λ＝ 0.又直线过 (－ 1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－ 2－λ＝ 0，解得λ＝－ .∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.正方形的中心为点C(－ 1,0)，一条边所在的直线方程是x＋ 3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程解点 C 到直线 x＋3y－ 5＝ 0 的距离 d＝＝ .设与 x＋3y－ 5＝ 0 平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝ 0(m≠－5)，则点 C 到直线 x＋3y＋m＝0 的距离 d＝＝，解得 m＝－ 5(舍去 )或 m＝7，所以与 x＋ 3y－ 5＝ 0 平行的边所在直线的方程是x＋3y＋ 7＝ 0.设与 x＋3y－5＝0 垂直的边所在直线的方程是3x－ y＋ n＝ 0，则点 C 到直线 3x－ y＋n＝0 的距离 d＝＝，解得 n＝－ 3 或 n＝9，所以与 x＋3y－ 5＝ 0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x－y－3＝0 和 3x－y＋9＝0.已知直线 l：2x－ 3y＋ 1＝ 0，求直线 m： 3x－ 2y－ 6＝0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程解在直线 m 上任取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M ′必在直线 m′上．设对称点 M ′ (a，b)，则解得∴ M ′.设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则由得 N(4,3)．又∵m′经过点 N(4,3)．∴由两点式得直线 m′的方程为 9x－46y＋102＝0.求与直线 3x＋4y＋ 1＝ 0 平行且过点 (1， 2)的直线 l 的方程．解依题意，设所求直线方程为3x＋ 4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线过点 (1，2)，所以 3× 1＋ 4× 2＋ c＝0，解得 c＝－ 11.因此，所求直线方程为3x＋4y－ 11＝0.求经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2： x＋ y－2＝0 的交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋ 5＝ 0 垂直的直线 l 的方程．解解方程组得 P(0，2)．因为 l3的斜率为，且 l⊥ l3，所以直线 l 的斜率为－，由斜截式可知 l 的方程为 y＝－ x＋ 2，即 4x＋3y－ 6＝ 0.已知△ ABC 的顶点 A(5， 1)，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为2x－y－5＝0，AC 边上的高BH所在直线方程为x－ 2y－5＝0，求直线 BC 的方程．解依题意知： k AC＝－ 2，A(5，1)，∴l AC为 2x＋ y－11＝ 0，联立 l AC、 l CM得∴C(4， 3)．设 B(x0，y0)， AB 的中点 M 为(， )，代入 2x－y－ 5＝ 0，得 2x0－ y0－ 1＝ 0，∴∴ B(－1，－ 3)，∴k BC＝，∴直线 BC 的方程为 y－3＝(x－4)，即 6x－5y－ 9＝ 0.已知直线 l 经过直线 l1：2x＋ y－5＝0 与 l2： x－ 2y＝ 0 的交点．(1)若点 A(5， 0)到 l 的距离为 3，求 l 的方程；(2)求点 A(5， 0)到 l 的距离的最大值．解(1)易知 l 不可能为 l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋－＋λ －＝，即y5) (x 2y)0(2＋λ)x＋ (1－2λ)y－ 5＝ 0，∵点 A(5,0)到 l 的距离为 3，∴＝3，2即 2λ－5λ＋2＝0，∴λ＝ 2，或λ＝，∴ l 的方程为 x＝2 或 4x－3y－ 5＝ 0.(2)由解得交点 P(2,1)，如图，过 P 作任一直线 l，设 d 为点 A 到 l 的距离，则 d≤PA(当 l⊥ PA 时等号成立 )．∴d max＝PA＝＝ .专项能力提升若点 (m，n)在直线 4x＋3y－10＝ 0 上，则 m2＋ n2的最小值是 ()A．2B．2C．4D．2解析因为点 (m， n)在直线 4x＋ 3y－10＝0 上，所以 4m＋ 3n－10＝0.欲求 m2＋ n2的最小值可先求的最小值，而表示 4m＋3n－ 10＝ 0 上的点 (m，n)到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝ 0 垂直时，原点到点 (m，n)的距离最小为 2.所以 m2＋ n2的最小值为 4.已知直线 l： y＝ x－ 1，(1)求点 P(3,4)关于 l 对称的点 Q；(2)求 l 关于点 (2,3)对称的直线方程．解 (1)设 Q(x0， y0)，由于 PQ⊥ l，且 PQ 中点在 l 上，有解得∴Q.(2)在 l 上任取一点，如 M (0，－ 1)，则 M 关于点 (2,3)对称的点为 N(4,7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点N 且与 l 平行，∴所求方程为 y－7＝(x－4)，即为 x－ 2y＋ 10＝ 0.。
两直线的位关系(2)
（二）两直线的位置关系一、知识归纳：12．点到直线的距离：（1）设点),(00y x P ，直线0:=++C By Ax l ，则P 到直线l 的距离为_________________ （2）两平行直线0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l 之间的距离：_________________ 3．几种常用的直线系方程：（1）过点),(00y x P 的直线系方程：________________________________________ （2）与直线b kx y +=平行的直线系方程：_____________________________________. （3）与0=++C By Ax 平行的直线系方程：________________________________________（4）与0=++C By Ax 垂直的直线系方程：______________________________________ （5）过两直线0:1111=++C y B x A l 与0:2222=++C y B x A l 交点的直线方程： ______________________________________________________ 4．对称问题：（1）点),(00y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称的点),(''y x Q 满足方程组： （2）直线0:=++C By Ax l 关于点),(00y x P 的对称直线的方程：（3）直线关于直线的对称直线的方程： 二、学习要点：1．熟练掌握两直线平行、垂直的条件和点到直线的距离公式；由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法．2．掌握对称问题的基本类型的解法；解决轴对称问题关键要抓住两点：一是两对称点连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上。
高三数学两直线的位置关系
A B
P
O
x
θ A1
B1
〖思维点拨〗；要求直线方程只要有：点和斜
率（可有倾斜角算，也可以先找两点）。
备用题：
例5、 已知A（0，3），B（-1，0），
C（3，0）求D点的坐标，使四边形ABCD
是等腰梯形。
A
D2
A2 B2
平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0之间的
距离为
d C1 C2
A2 B2
1、与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为 Ax+By+m=0
2、与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为 Bx-Ay+m=0
3、过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2： A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为： A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（ λ∈R）(除l2外)。
l1与l2的夹角θ，θ∈ k1·k2≠-1）。
[0, 有] tanθ=|
2
k2 1 k1
kk|1（2
若点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则 有Ax0+By0+C=0；若点P（x0，y0）不在直线 Ax+By+C=0上，则有Ax0+By0+C≠0，此时点 P（x0，y0）到直线的距离： d Ax0 By0 C
〖思维点拨〗 先讨论ｘ、ｙ系数为０的情况。
例2、(优化设计P105例1)等腰三角形一腰所
高三数学两条直线的位置关系2
课题：7.3两条直线的位置关系(二)夹角教学目的：1.明确理解直线l i到丨2的角及两直线夹角的定义•2.掌握直线h到12的角及两直线夹角的计算公式•3.能根据直线方程求直线11到12的角及两直线夹角.教学重点：两条直线的夹角.教学难点：夹角概念的理解.授课类型：新授课-课时安排：1课时-教具：多媒体、实物投影仪-内容分析：首先使学生认识到平行和垂直是两直线位置关系的特殊情形，而相交是两直线位置关系的一般情形.而能够反映相交直线相对位置的就是角，由此引出直线l i到12的角，直线11与12的夹角，并且在有关公式的推导过程中，弓I导学生灵活应用有关三角函数的知识.然后通过一定的训练使学生加深对公式的理解与熟悉程度-教学过程：一、复习引入：1.特殊情况下的两直线平行与垂直.当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90 °，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直-2.斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即IM/J二k1=k2且d =b2已知直线I1、I2的方程为l1: A1X By C^0 ,12: A2X B2 y C2 = 0 (A)B1C^- 0, A2B2C2 = 0)11〃l2的充要条件是十詈C⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是k1和k2，则这两条直线垂直的充要条件是k1k -1 .已知直线11和12的一般式方程为11: A1x B1y C^0 ,l2: A2X B2y C2 = 0 ,则h _ l2A1A2 B1B2 = 0 -二、讲解新课：1.直线丨1到丨2的角的定义：两条直线丨1和J相交构成四个角，它们是两对对顶角，我们把直线丨1按逆时针方向旋转到与丨2重合时所转的角，叫做丨1到丨2的角• 在图中，直线丨1到*的角是円，丨2到丨1的角是I1到丨2的角 r ：0°< 0 < 1 8 0° .2 .直线丨1到*的夹角定义如图，丨1到丨2的角是片，丨2到丨1的角是n - ^1,当丨1与丨2相交但不垂直时-1和n -齐仅有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线丨1丄*时，直线丨1与丨2的夹角是一•2夹角：：0°< ：w 90° .说明:3 > 0，二2 > 0,且V广咕冗3.直线|1到|2的角的公式：ta- ' kr1 +k2k1推导：设直线|1到|2的角二，l1: ^ k1x b1，l 2: ^ k2x b2.2如果1 k1k^0,即k1k^-1,则如果1・k1k2=0,设丨1, l2的倾斜角分别是:1和〉2 ,2则 tan _：” = k 1, tan _：込 =k 2.由图（1）和图（2）分别可知V - ? ? 1 或亍-二 _• r _ ：• 2） _ 二.（〉2 _「•!）tan J - tan （： 2 -匚r ）或 tan 二-tan ［二 C 2 -二』二 tan （： 2 - ：r ）tan 一：込 一 tan 一山 k^k i疋 tan r1 +ta na 2ta n%1 +k 2k r根据两直线的夹角定义可知，夹角在（0° , 90°］范围内变化，所以夹角正切值大于或等于 0•故可以由11到12的角取绝对值而得到11与12的夹 角公式•这一公式由夹角定义可得- 三、讲解范例：3例1求直线h : y 二-2x • 3」2 : y = x 的夹角（用角度制表示）2解：由两条直线的斜率- -2,k 2 =1,得利用计算器计算或查表可得：〉-71° 34'- 说明:应用了两直线夹角公式，要求学生熟练掌握解：设h , l 2 , l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3, l 1到l 2的角是3, 12到l 3的角是4•直线h ,丨2的夹角公式 tan ：=1 k 2k 1tan ：=1-（-2） 1 1 （-=3.例2等腰三角形一腰所在直线11的方程是x-2y-2=0,底边所在直线12的方程是x y -^0，点（-2,0）在另一腰上求这条腰所在直线 l 3的方程.(-1) -丄tan "丄 0231 +k 2k 11 + (_巧丄 2因为丨 1 ,丨 2 ,丨3所围成的三角形是等腰三角形 ，所以“ =二2, tan 二2 = tan “ = 一3. 即 -------- =一3.1 十 k 3k 2k 3 +1将k 2 = -1代入得一3,解得k 3 = 2.1 — k 3因为丨3经过点（-2,0）,斜率为2,写出其点斜式方程为得：2x - y • 4 =0 •即直线丨3的方程-四、课堂练习： 1 •求下列直线11到丨2的角与丨2到h 的角:1(1) 11 : y = X + 2；丨2: y = 3X +7；(2)丨 1 : X — y = 5 ；12: X + 2y — 3= 0k 2 = 3,「.设11到12的角为宀,贝H tan 3|1 = ―2 k-11 +k 1k 2二片=4 5°即11到J 的角为45 ° . ••• J 到11的角为135° .1⑵解：& = 1, k 2 =——-2•••设l 1到l 2的角为片，则丨2到l 1的角为?12 = n —二1y =2[X -(-2)].3-丄 亠=1 1卫2-1-1 23 ,- 二1 = n — arctan3. ^2= arctan31一12即l 1到12的角为n — arctan3 , l 2到l 1的角为arctan3 2.求下列两条直线的夹角:即两直线夹角为4 5°⑶ k1= 3, k2=-五、小结：通过本节学习，要求大家掌握两直线的夹角公式，并区分与 到12的角的联系与区别，能够利用它解决一定的平面几何问题(1)(2) (3)5 x — y = 5; x — 3 y = 9,解：(1) k 1 = 3, k ?k? - & 1 k 1k 21y =— 一 x + 4；3y = 4 .6x + 10y + 7= 0.-1，则 3 -1 -3 3 1-3 -3 ⑵ k i = 1, k 2 = 0,tank 1 • k 2 1 k 1k 2=-1，此时，两直线夹角为 90° .分母为0,正切值不存在)=1,=4 5° ,六、课后作业：课本P 53习题7.3 8.三角形的三个顶点是 度数. 解：由斜率公式：3—3 kAB == 0, kBC9 一6A (6 , 3) ,B (9 , 3),C (3 , 6)，求它的三个内角的tan CA = kAC 一51+kAC ，kAB6 _3 二 3-9 一1 kkAC2CA = 135 °ta n“ =匹k11 k 1k 2k 1 • k 2 =— 1, .••两直线夹角为 90°王新敞1tan ABC=—kBC2— ,「./ CBA= arctan — = 26° 34' 1 k AB k Bc 102 2•••/ C = 180°— 135°— 26° 34'= 18° 26'9.已知直线I 经过点P(2,1 )，且和直线5x + 2y + 3 = 0的夹角等于45 求直线I 的方程•解：设直线I 的斜率为k 1，直线5x + 2y + 3= 0的斜率为k 2.-5-k 12_ 1 -5k 1237 解得k 1 =-—或k 1 =.733 7所以直线I 的方程为：y — 1 = 一一 ( x — 2)或y — 1 =( x — 2)73即: 3x + 7y — 13= 0 或 7x — 3y — 11 = 0 - 七、 板书设计(略)- 八、 课后记：-1 k 1 k 2=1，即。
高一必修2数学空间两直线的位置关系知识点梳理-教学文档
高一必修2数学空间两直线的位置关系知识点梳理在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
小编准备了高一必修2数学空间两直线的位置关系知识点，具体请看以下内容。
空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0，90)esp.空间向量法两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点相交直线;(2)没有公共点平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内有无数个公共点②直线和平面相交有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a 叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
高中必修高一数学PPT课件两条直线的位置关系
当 tan 0时,直线l1到直线l2的角
当 tan 0时,直线l1到直线l2的角
是锐角; 是钝角;
把其中的锐 角叫做两条 直线的夹角
k 2 k1 tan 1 k 2 k1
当直线l1⊥l2时,直线l1和l2的夹角是 2 .
3 例:求直线l1: y=-2x+3 , l2: y=x- 的夾角 2
l1 : 2x 4 y 7 0, l2 : 2 x y 5 0.
求证: l1 l2 . 证明:
1 l1的斜率 k1 2,
l 2的斜率 k2 2,
1 k1 k2 (2) 1, 2
l1 l2 .
例 4 求过点A(2,1),且与直线 垂直的直线 解:直线
θ2 θ1
l2
l1
求斜率为k1、k2的两条直线l1到l2的角 . 设己知直线的方程分别是
l1 : y k1 x b1
l2 : y k2 x b2
如果1+ k1k2=0 , 即 k1k2= -1 ,那么
, 2
所以,当直线l1⊥ l2时,直线l1和l2的夹角是
2
.
1 2 ,
l1 // l2 .
结论: 当直线l1 和 l 2 有斜截式方程
l1 : y k1 x b1 , l2 : y k2 x b2 .
时,直线 l1 // l2 的充要条件是:
k1 k 2 且 b1 b2 .
例一 已知直线方程 l1 : 2 x 4 y 7 0, l2 : x 2 y 5 0 求证 : l1 // l2 证明:把 l1, l 2的方程写成斜截式
设直线
高中 平面解析几何 两条直线的位置关系 知识点+例题
辅导讲义――两条直线的位置关系[巩固]已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．（1）l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．题型二：两直线相交[例]求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[巩固]如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确． 3．若A (－3，－4)，B (6,3)两点到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a =_____________.解析 依题意，|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1， 解得a ＝－79或a ＝－13.4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是_________.解析 ∵63＝m 4≠－143，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0.可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.5.如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是_____________.解析 由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝210.6．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是______________．答案 12x ＋8y －15＝0解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.7．已知点A (－1,1)，B (2，－2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，则实数m 的取值范围 是______________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞) 所以直线恒过定点P (0，－1)．∵点A (－1,1)，B (2，－2)，∴k P A ＝－2，k PB ＝－12，∵直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)， ∴－1m ≤－2或－1m ≥－12，∴m ≤12或m ≥2(经验证m ＝0也符合题意)．∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞)． 8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案 345解析 由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解析 圆心为O (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直．∴k OP ＝2－02－1＝2， 又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直．∴a ＝k OP ＝2，选C.12.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9 ＝12a 2＋4·36a 2＋9＝12 72＋9a 2＋144a 2 ≥1272＋72＝6.13．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析 直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |＝(2－0)2＋(1＋3)2＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.14．(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案 (2,4)解析 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2， ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1， ∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,。
高一数学高效课堂资料2.2.3两条直线的位置关系(一)
高一数学高效课堂资料教案：课题： 2.2.3两条直线的位置关系（一）教学目标：1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或相交． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．重点难点：重点 ：两条直线相交、平行与重合的条件。
难点 ：斜率是否存在与直线重合的两种情况的讨论。
教学方法：问题引导法 教学过程： 一、导入新课问题1： 什么是直线方程的斜截式和一般式？ 问题2： 什么是直线的斜率和截距？二、形成概念1、两条直线有几种位置关系，如何来判断？【思考】已知直线,:,:222111b x k y l b x k y l +=+=如何用这两条直线的斜率,,21k k 以及,,21b b 判定这两条直线平行或者重合？三、概念深化2、已知两条直线方程的一般式()0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l，那么这两条直线相交（垂直）、平行、重合的条件分别是什么？结论：两条直线平行(1)两条不重合的直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1和l 2：y ＝k 2x ＋b 2(b 1≠b 2)，若l 1∥l 2，则______；反之，若______，则l 1∥l 2.(2)若两条不重合的直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，若l 1∥l 2，则________，反之也成立．(3)设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，则与直线l 平行的直线可设为Ax ＋By ＋D ＝0.四、应用例1 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行.(1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； (4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5).【精彩点拨】 先确定各题中直线的斜率是否存在，斜率存在的直线利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行.【自主解答】 (1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又k BC ＝53－3－3＝－43≠－45，故l 1∥l 2.(2)由题意知，k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，k FG ＝413－2＝1，故直线l 1与直线l 2重合. (3)由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合.(4)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2.1.判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断.在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不重合才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.2.应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解. 例2 直线l 1：(m ＋2)x ＋(m 2－3m )y ＋4＝0，l 2：2x ＋4(m －3)y －1＝0，如果l 1∥l 2，求m 的值．[思路分析] 一种方法是对直线斜率是否存在进行讨论，分两种情况进行求解；另一种方法是直接利用一般式方程表示直线的前提下，由两直线平行的条件建立参数的方程求解．解法1：(1)当l 1，l 2斜率都存在时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ≠0，4(m －3)≠0，所以m ≠0且m ≠3.由l 1∥l 2，得－m ＋2m 2－3m ＝－24(m －3)，解得m ＝－4.此时l 1：x －14y －2＝0，l 2：x －14y －12＝0，显然，l 1与l 2不重合，满足条件．(2)当l 1，l 2斜率不存在时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，4(m －3)＝0，解得m ＝3.此时l 1：x ＝－45，l 2：x ＝12，满足条件．综上所述：m ＝－4或m ＝3.五、随堂练习1. 已知直线－6x ＋2y ＋3＝0与直线3x －y －2＝0，则两直线的位置关系是( )A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交2. (1)求过点(1,2)且与直线2x ＋y －1＝0平行的直线方程；(2)已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，求m 的值． 3. 两条直线032=-+k y x 和012=-+ky x 的交点在y 轴上，那么k 的值是（ ） A 、-24 B 、6 C 、6± D 、244. 直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相平行，求a 的值．六、课堂小结1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或相交． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．七、作业1．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( )A.－3B.3C.－13D.132．不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( )A.⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3)D ．(9，－4)3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝04．直线x ＋a 2y ＋6＝0和直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．0或－15.已知直线l 1的倾斜角为60°，直线l 2的斜率k 2＝m 2＋3－4，若l 1∥l 2，则m 的值为________.6．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程。
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南通市崇海高中高一下数学练习――两条直线的位置关系班级________学号__________姓名__________一 填空题1．直线02=+y ax 与直线043=--y x 平行，则a 的值为 _________ ．2.经过点(4,1)M -,且与直线3450x y -+=垂直的直线方程是 ____________ ．3．在x 轴和y 轴上的截距分别为2-，3的直线方程是 ____________________ ．4.过点)1,1(P 作直线l 与两坐标轴相交，所得三角形面积为2，则这样的直线l 有 ____条.5.过点(2,3)-，且与x 轴，y 轴的截距相等的直线方程是 _____________________ ．6.已知过点()2A m -，和()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 ．7．斜率存在的直线l 经过2(2,1),(1,)()A B m m R ∈两点,那么l 的倾斜角的取值范围是_______________ ．8.直线01c o s =++⋅y x α的倾斜角的范围是__________ ．9.已知直线 1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=互相平行，则实数m 的值是 ．10．已知直线012)4()4(2=++++--m y m x m m 的倾斜角为43π，则m 的值是 ___ ．11．若0,0AC BC <<,则直线 0Ax By C ++=不经过第 象限．12.直线:40(0)l ax my a m ++=≠经过点(1,2)-，则直线l 的倾斜角为 ．13.已知(2,3),(3,2)A B ---，直线:10l ax y a +--=与线段AB 相交，则a 的取值范围为 ．14．直线410ax y ++=与直线(1)1a x y -+=- 互相垂直，则a = .15．已知点(1,0)A -， 34(,)55B ,(1,0)C ，若直线AB 与BC 的倾斜角分别为βα,，则 βα,之间的关系是 ．16．有下列命题：（1）若两直线平行，则它们斜率必相等；（2）若两直线斜率乘积为1-, 则它们必互相垂直； （3）过点(1,1)-，且斜率为2的直线方程是121y x -=+；(4) 若直线的倾斜角为α，则πα≤≤0 （5）同垂直于x 轴的两条直线一定都和y 轴平行.其中为真命题的有________(填写序号). 二 解答题1．已知点(2,3),(1,1)A B 和直线1:3480l x y -+=，求 （1）经过点B ，且与直线1l 平行的直线的方程； （2）线段AB 的垂直平分线的方程； （3）经过点A 与直线013=+-y x 的夹角为3π的直线方程；(4) 与直线1l 平行，且与两坐标轴围成的三角形面积为6的直线的方程。
2．已知两条直线12:(3)253,:4(5)16l m x y m l x m y ++=-++=，求分别满足下列条件时m 的值：（1）1l 与2l 相交； （2）1l 与2l 平行； （3）1l 与2l 重合； （4）1l 与2l 垂直.3．已知平行四边形两条边的方程是:10,:340AB AD l x y l x y +-=-+=，它的两条对角线的交点是(3,3)M ，求这个平行四边形其它两边所在直线的方程。
4．已知点(2,0)P 和函数42-=x y 图象上两点,A B ．（1）若直线PA 与PB 的倾斜角互补，求证：直线AB 的斜率为定值； （2）若AB PA ⊥，求点B 的横坐标的取值范围．5．在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为2,宽为1，,AB AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 点与直角坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，设折痕所在的直线的斜率为k ，试写出折痕所在的直线方程,并指出k 的范围。
6．（1）已知定点(8,4)P 与定直线1:4l y x =，过 P 点的直线l 与1l 交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使OQM ∆面积最小的直线l 方程。
（2）将点(8,4)P 改为“(,)(40)P m n m n >>”，解答上面的问题。
xB参考答案一 填空题1．直线02=+y ax 与直线043=--y x 平行，则a 的值为 ．－62.经过点(4,1)M -,且与直线3450x y -+=垂直的直线方程是 ．43130x y +-= 3．在x 轴和y 轴上的截距分别为2-，3的直线方程是 ．3260x y -+=4.过点)1,1(P 作直线l 与两坐标轴相交，所得三角形面积为2，则这样的直线l 有 ____条.35.过点(2,3)-，且与x 轴，y 轴的截距相等的直线方程是 _________ ．10x y ++=或 320x y +=．6.已知过点()2A m -，和()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 ． 8-7．斜率存在的直线l 经过2(2,1),(1,)()A B m m R ∈两点,那么l 的倾斜角的取值范围是___[0,](,)42πππ⋃_______.8.直线01cos =++⋅y x α的倾斜角的范围是 ．3[0,][,)44πππ⋃9.已知直线 1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=互相平行，则实数m 只能是 ． 1-10．已知直线012)4()4(2=++++--m y m x m m 的倾斜角为43π，则m 的值是 ．2-或411．若0,0AC BC <<,则直线 0Ax By C ++=不经过第 象限．312.直线:40(0l a xm y a m ++=≠经过点(1,2)-，则直线l 的倾斜角为 ．135︒13.已知(2,3),(3,2)A B ---，直线:10l ax y a +--=与线段AB 相交，则a 的取值范围为 ．34a ≤-或4a ≥ 14．直线410ax y ++=与直线(1)1a x y -+=- 互相垂直，则a = . 221± 15．已知点(1,0)A -， 34(,)55B ,(1,0)C ，若直线AB 与BC 的倾斜角分别为βα,，则 βα,之间的关系是 ．2παβ=-16．有下列命题：（1）若两直线平行，则它们斜率必相等；（2）若两直线斜率乘积为1-, 则它们必互相垂直； （3）过点(1,1)-，且斜率为2的直线方程是211=+-x y ；(4) 若直线的倾斜角为α，则πα≤≤0（5）同垂直于x 轴的两条直线一定都和y 轴平行;.其中为真命题的有________(填写序号). （2） 二 解答题1．已知点(2,3),(1,1)A B 和直线1:3480l x y -+=，求（1）经过点B ，且与直线1l 平行的直线的方程；（2）线段AB 的垂直平分线的方程； （3）经过点A 与直线013=+-y x 的夹角为3π的直线方程； (4) 与直线1l 平行，且与两坐标轴围成的三角形面积为6的直线的方程。
（1）3410x y -+= （2）01142=-+y x （3）2=x或2)3y x =-+ （4）34120x y -±= 2．已知两条直线12:(3)253,:4(5)16l m x y m l x m y ++=-++=，求分别满足下列条件时m 的值：（1）1l 与2l 相交； 2(3)(5)24870m m m m ++-⨯=++=，1,7m m ≠-≠- （2）1l 与2l 平行； 7m =- （3）1l 与2l 重合； 1m =-（4）1l 与2l 垂直； 4(3)2(5)6220m m m +++=+=，113m =-3．已知平行四边形两条边的方程是:10,:340AB AD l x y l x y +-=-+=，它的两条对角线的交点是(3,3)M ，求这个平行四边形其它两边所在直线的方程。
解：AB l 与AD l 交点37(,)44A -，两条对角线的交点(3,3)M 是AC 中点，则2717(,)44C ， :110,:3160CD BC l x y l x y +-=--=4．已知点(2,0)P 和函数42-=x y 图象上两点,A B ．（1）若直线PA 与PB 的倾斜角互补，求证：直线AB 的斜率为定值； （2）若AB PA ⊥，求点B 的横坐标的取值范围．解：设211(,4)A x x -， 222(,4)B x x -(1);PA PB k k =- 2212112212442,(2)22x x k x k x x x --==+=-=-+--∴124x x +=-又∵22211221AB x x k x x x x -==+-，∴4AB k =-(定值) )2(∵AB PA ⊥，则1-=⋅PA AB k k 又2221211121214(2)()2ABPA x x x kk x x x x x x --⋅=⋅=++-- ∴112(2)()1x x x +⋅+=-∴2)2(212111112++-+-=-+-=x x x x x ∵111|(2)|22x x ++≥+ ∴),4[]0,(2+∞⋃-∞∈x 。
法2：由112(2)()1x x x +⋅+=-，即12212(2)210x x x x ++++=∵1x 有解∴222222(2)4(21)40x x x x ∆=+-+=-≥2204x x ≤≥或∴),4[]0,(2+∞⋃-∞∈x 。
5．在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为2,宽为1，,AB AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 点与直角坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A 点落在线段DC上，设折痕所在的直线的斜率为k ，试写出折痕所在的直线方程,并指出k 的范围。
解：①当0=k 时,此时 A 点与D 点重合,折痕所在直线的方程12y =， ②当0≠k 时，设A 点落在线段DC 上的点)1,(0x A '，)20(0≤≤x ，则直线A O '的斜率001x A k ='，∵折痕所在的直线垂直平分'OA ,∴1-=⋅'k k A O ，∴110-=⋅k x ，∴k x -=0又∵折痕所在的直线与A O '的交点坐标（线段A O '的中点）为)21,2(k M -，∴折痕所在的直线方程)2(21k x k y +=-，即2122k y kx =++，∵00,02k x x =-≤≤ ∴20k -≤≤由①②得折痕所在的直线方程为：2122k y kx =++)02(≤≤-k6．（1）已知定点(8,4)P 与定直线1:4l y x =，过 P 点的直线l 与1l 交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使OQM ∆面积最小的直线l 方程。