中南财大微积分下.

院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： 课堂号：________------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 1 页(共页)------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 2 页(共页)------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 3 页(共页)中南财经政法大学2005–2006学年第二学期期末考试试卷标准答案及评分标准课程名称：《 微积分 》 （B ）卷课程代号：__09156020_____ 考试形式：闭卷、笔试使用对象：全校各经济、管理专业一．填空题（每题2分） 1.1e θ-= 2. ,x t 3.1n n u ∞=∑的部分和数列有界 4. 0 5.4π 6. z x z+ 7. 15π 8.21101(,)y ydy f x y dx +-⎰⎰9. 3412x y c e c e -=+二．判断正误并说明理由1．对。

（2分）反证法。

若不然，存在[]0,x a b ∈，使得0()0f x ≠由()f x 在[],a b 上连续，20()0f x >。

因此存在[][],,a b αβ⊆，使得()()2200(),,(),2f x x f x x αβαβ∈>∈（4分）于是2220()()()()02b af x f x dx f x dx βαβα≥>->⎰⎰这与假设矛盾。

（5分）2．错。

（2分）如22222220()00x y x y f x x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩（4分）在原点连续但不可微分。

（5分）3．错。

（2分）反例111(1)nn n n u n ∞∞===-∑∑收敛。

其偶数项组成的级数112n n∞=∑发散。

（5分）4．错。

（2分）令u xyv x y=⎧⎨=-⎩得 2(,)2f x y x y =+（4分）所以 (,)(,)2(1)x y f x y f x y y ''+=+（5分） 三．计算题1. 原式442001tan (3)2cos 2x dx xd x x ππ==⎰⎰分 440011sin tan |(4)22cos x x x dx xππ=-⎰分 4011cos (5)82cos d x xππ=+⎰分1ln (8)822π=+分 2．原式11arctan ()xd x +∞=-⎰0011arctan (arctan )x d x x x +∞+∞⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰(3分)211(01)(5)4(1)dx x x π+∞=-+⨯++⎰分221111()ln ln(1)(6)4142x x x x x ππ+∞+∞⎡⎤=+-=+-+⎢⎥+⎣⎦⎰分1ln 242π=+(8分) 3．1()(),z f x x y y f y x y y xϕϕϕϕ∂''''=+++=+++∂（4分）2()()()zxf xy x y y x y x yϕϕ∂'''''=++++∂∂（8分） 4．211200sin sin sin (4)()(7)y y Dy y y dxdy dy dx y y dy y y y ==-⎰⎰⎰⎰⎰分分 1sin1(8)=-分 5．将方程 2(sin cot )1y x y y '+=变形为2cot sin dxy x y dy-=（3分） 所以cot cot 2sin (6)sin (cos (8)ydy ydyx e ye dy C y y C ---⎡⎤⎰⎰=+=-+⎢⎥⎣⎦⎰分分 四．1．解：设切点的横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点()00,ln x x 处的切线方程是0001ln ()y x x x x -=-(3分） 由该切线过原点知0ln 1x =，从而0x e = (4分)所以切线方程为xy e=（6分） 1()12y eA e ey dy =-=-⎰（8分） 2．解：总利润函数为2212(25)(18)(12)(225)216105L R C p x p y z x x y y x y x y x y =-=+-+=-+--++=--++-（3分）41602100xy L x L y ⎧'=-+=⎪⎨'=-+=⎪⎩40x y =⎧⇒⎨=⎩（6分） 则1210(7(p p =⎧⎨=⎩万元/t)万元/t)（7分）所以52L =（万元）（8分）五．证明：1230n u u u u <≤≤≤≤≤且{}n u 有界所以{}n u 收敛且有 1111101n n n n n n n n n u u u u uv w u u u ++++--<=-=≤=（3分） 考察n w∑因为11111111111()()NN n n N n n N n n u u S u u u u u u u +++==-==-=-∑∑ ，lim N N S →∞存在（5分） 所以nw∑收敛所以nv∑收敛。

（6分）院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： 课堂号：________------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 1 页(共 3 页)1,2,），若n +∞=∑------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 2 页(共 3 页)------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 3 页(共 3 页)中南财经政法大学2006–2007学年第二学期期末考试试卷标准答案及评分标准课程名称：《 微积分（下）》 （A ）卷课程代号：__09156020_____ 考试形式：闭卷、笔试使用对象：全校财经类各专业2006级一、填空： 1、0； 2、22-+ydx xdyx y； 3、{}0； 4、18； 5、∞； 6、1101(,)x dx f x y dy -⎰⎰； 7、11x+；8、π； 9、12π-； 10、x y e e C -= 二、判断正误并说明理由：1、错 （1分） 令，u xy v x y ==-，∂''=+∂u v zyf f x（4分）2、错 （1分）如211，n n u v n n=-=（4分）3、错 （1分） 广义积分30x dx +∞=+∞⎰（4分）4、正确 （1分）当x < 0时，x dt x F x-=-=⎰0)1()(；当x > 0时，x dt x F x==⎰01)(，当x = 0时，F (0) = 0.即F (x ) = |x |，显然，F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. （4分）三、解答下列各题：1、原式=20cos ()xxd e π--⎰201sin x e xdx π-=-⎰（3分）2201cos x e e xdx ππ-=+-⎰（6分）故原式212e π+=（7分） 2、令21x θ-=，2dx d θθ=，（1分）原式021lim εε→+=⎰（3分）201lim d εθθ→=（5分）83= （7分） 3、画草图（略）（1分）.因为根号下的函数为关于x 的一次函数，“先x 后y ”积分较容易，所以10d d Dx y y x =⎰⎰（4分）()3122021d 3=--⎰yy xy y y（6分）12022d 39==⎰y y （7分） 4、利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.方法一、22(4)8,∂'=-⋅∂z f x y x x ，22(1,2)(1,2)(4)84∂'∴=-⋅=∂zf x y xx（3分）()()2222(1,2)(1,2)(4)2,(4)22∂∂''=-⋅-∴=-⋅-=-∂∂z z f x y y f x y y y y， （6分）()()()1,21,21,2d d d 4d 2d ⎡⎤∂∂∴=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦zz zx y x y xy. （7分） 方法二、对()224z f x y =-微分得2222d (4)d(4)'=--z f x y x y （3分）()22(4)8d 2d '=--f x y x x y y （6分）()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d '∴=-=-zf x y x y . （7分）5、令212n n u nx-=()21221212222lim lim lim 22n n n n n n n n x u n x x u nx n ++-→∞→∞→∞++=== （2分） 221111x x x x ∴<< >>即时，级数收敛；即时，级数发散；()111212n n x n x n ∞=∞==--=∑∑时,级数发散;时,级数发散.()1,1∴-收敛域为 （4分）()21,1,1n x x x x x=+++++∈--11()2422201,1,1nn n x x x x x x∞==+++++= ∈--∑11 （6分）()()()21222211122,1,111n nn n x nxx x x x ∞∞-=='⎛⎫'∴===∈- ⎪-⎝⎭-∑∑ （7分） 6、220325x V y dx ππ==⎰ （4分） 442028y V dy ydy πππ=-=⎰⎰（7分）7、解: sin (cos )y dxy x e dy-= (*) （2分） 解(cos )0dxy x dy-= 得 sin y x ce = （4分） 令sin ()y x c y e =并代入(*)得:sin sin ()y y c y e e '= ()c y y c =+ （6分）原方程的通解为: sin ()y x y c e =+ （7分）五、应用题：1.5U V +=拉格朗日函数(，，)( 1.5)L U V R U V λλ=++-（3分）000L U LV L λ∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪∂⎪=⎪∂⎩（6分）01.52U V λ=⎧⎪⇒=⎨⎪=-⎩（9分） 六、证明题证明：作辅助函数()()()xbaxF x f t dt g t dt =⎰⎰ （2分）由于(),()f x g x 在[],a b 上连续，所以()F x 在[],a b 上连续，(),a b 内可导，并有()()0F a F b == 由罗尔定理有，()()0,,F a b ξξ'=∈ （4分）即 ()()|()()()()0xb b x a x a x f t dt g t dt f g x dx g f x dx ξξξξξ='⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰所以()()()()ξξξξ=⎰⎰abf x dx fg g x dx （6分）院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： 课堂号：________------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 1 页(共 3 页)2,)，若1n ∞=∑------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 2 页(共 3 页)------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 3 页(共页)中南财经政法大学2006–2007学年第二学期期末考试试卷标准答案及评分标准课程名称：《 微积分（下） 》 （B ）卷课程代号：__09156020_____ 考试形式：闭卷、笔试使用对象：全校财经类各专业2006级一． 1.132.11p - 3. 12π- 4. [-1, 1) 5.12 6.221()1ydx xdy x y ++7. 发散 8. 2x y ce =9.e -3ln 310．π二．1．错。