求解排列组合应用题的“八字诀”

学习改变命运

求解排列组合应用题的“八字诀”

分——注意利用分类计数原理和分步计数原理解题。对于一个比较复杂的排列组合应用问题；通常情况下，可以通过“分类”、“分步”等手段分解成若干个易于解决的小问题，然后各个击破之。

特——从特殊的元素、特殊的位置入手解题。附条件的排列组合应用问题往往涉及一些特殊的元素或特殊的位置；对特殊的元素和特殊的位置作特殊的照顾，则容易找到通向成功之路的入口处。

反——利用“正难则反”的原则解题。当问题的正面情况错综复杂时，即正面进攻很难奏效时，可以考虑从问题的反面入手，有时会帮你进入“柳暗花明”的境界。

等——利用概率相等解题。充分利用各元素在每个位置上出现的概率相等，有时可以直捣题目结论。 化——注意用转化思想指导解题。许多排列组合应用问题，表面上看似乎是风马牛不相及，若能用转化的思想方法剥去其外包装，则会发现其本质是相同的，仅仅是问题的“情境”不同而已。转化思想是我们通向成功彼岸的指路明灯，对此要引起特别的重视。

捆——解决若干元素必须排在一起的重要解题技巧。 插——解决若干元素必须互不相邻的重要解题技巧。

推——运用递推关系解决排列组合应用问题。递推方法是把复杂问题化归为简单问题，未知问题转化为已知问题的重要手段之一，也是应用转化思想指导解题的重要体现。

若能对上述“八字诀”做到烂熟于心，又能对具体情况作具体分析，合理地选择方法和技巧，并综合运用之；则通常情况下能立于不败之地。下面通过几个例题的解答和评注，说明“八字诀”的具体应用。

例2．（1994年上海高考题）计划在某画廊展示出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种

A ．

5544A A B ．554435A A A C ．554413A A A D ．5

54422A A A

解：第一步：确定4幅油画的相对位置（捆在一起）的方法数

4

4A . 第二步：确定5幅国画的相对位置（捆在一起）的方法数

55A .

第三步：确定国画和油画的相对位置的方法数22A ，再把水彩画插在国画和油画之间1

1A .

∴满足条件的陈列方式有：

2

24544A A A ??种故选D 。

评注：由于本题的主要附加条件是“连在一起”，故容易相到使用“捆”的技巧。

例3．（2002年全国高考题）从正方体的6个面中选取3个面，其中有两个面不相邻的选法共有（ ） A.8种 B.12种 C.16种 D.20种

解评：由于正面考虑比较复杂，而问题的反面即为三个面两两相邻，一个顶点对应于一种取法，故用“正难则反”的方法解之，即1282083

6

=-=-C 种故选B 。

例4．五个成年人和两个小孩（一男一女）排成一排照相，要求每个小孩两边都是成年人，且小女孩要和其母亲（五个成年人之一）排在一起，问：有多少种不同的排法？

解：第一步：从其他四位成年人中选出一人和小女孩的母亲排在小女孩的两边成“成女母”的方法数为：

82

214=?A C 。

第二步：把“成女母”看成一个成年人和另外三位成年人排成一排的方法数：244

4=A

第三步：把小男孩插入相应的位置的方法数为：313=A .

∴满足条件的排法数为：8×24×3=576.

评注：①由于小女孩最为特殊，故首先照顾小女孩，即从特殊的元素入手； ②小女孩必须和母亲在一起，且两边都是成年人，故易想到用“捆”的技巧； ③由于小男孩必须排在两成年人之间，故可采用“插”的技巧。

例5．编号为1.2.3……n 的n 个人，坐到编号为1.2.3……n 的n 把椅子上，且每个人都不对号入座的方法数记为n x 。求，54321,,,,x x x x x 。

解：易见：1x =0 ,

12=x ，23=x ，

∵n 个人坐到n 把不同的椅子上的方法数为n n A 。其中：

有且仅有n 个对号入座的方法数为：1.

有且仅有（n-1）个人对号入座的方法数为：11

x C n . 有且仅有（n-2）个人对号入座的方法数为：22

x C n . 有且仅有（n-3）个人对号入座的方法数为：33x C n . …………………………………………………… 有且仅有（n-k ）个人对号入座的方法数为：k k n x C . …………………………………………………… 有且仅有1个人对号入座的方法数为：11

--n n n

x C .

有且仅有0个人对号入座的方法数为：n x . ∴

n n A =1+11x C n +22x C n +33x C n +……+11

--n n n x C +n x .

令n=4可得：24=1+224x C +33

4x C +4x =1+6+8+4x ∴4x =9.

令n=5可得：120=1+22

5x C +33

5x C +44

5x C +5x =1+10+20+45+5x ，5x =44.

首先我们把人数推广到 n 个人，即n 个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的

位置上。设满足这样的站队方式有an 种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：

第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有n-1种站法。

第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的n-2个人有an-2种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，……，第n 个人不站在第n 个位置，所以有an-1种站队方式。

由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列an 的递推关系式：

an=(n-1)*(an-1+an-2)，显然，a1=0,a2=1，a3=2,a4=9,a5=44

评注：①给出的问题本身就有点递推数列的“味道”，故选择递推方法解之。

②在实施递推策略的过程中，注意到问题的反面——至少有一人对号入座的问题已经解决，故又使用了“正难则反”的解题策略。

③从理论上讲，上述给出的公式已彻底解决了n 个元素对n 个位置的错位排列问题。

例6：（1993年全国高考题）同室4人然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡的不同分配方式有（ ）

A.6种

B.9种

C.11种

D.23种

解评：本题可转化为：编号为：1.2.3.4的四个人坐在编号为1.2.3.4的四把椅上，4人都不对号入座的方法数为多少？由例5可知：4x =9.

故选（B ）.

例7：4对夫妻排成一排照相，每对夫妻要排在一起的方法数为多少？ 解：第一步：请每对夫妻各自手拉手（捆）的方法数为：2×2×2×2=16. 第二步：把每对夫妻看成一个人排成一排的方法数为：244

4 A .

∴满足条件的排法数为：16×24=384.

评注：由于每对夫妻要排在一起，故使用先捆后排的策略。

例8．4对夫妻排成前后两排，每排4人，使每对夫妻前后对号的排法有多少种？ 解评：易见本题和例7是同一个问题，故方法数为384.

例９．４对夫妻排成前后两排，每排４人，使每对夫妻前后都不对号的排法有多少种？

解：第一步：对四对夫妻进行重新组合，建立４个新的临时家庭，使每个家庭一男一女，但不是夫妻，由例5可知其方法数为4x ＝９.

第二步：对四个临时家庭进行排队，由例８解法可知，其方法数为384. ∴满足条件的排法数为：9×384=3456.

评注：本题看似复杂，但利用分步计数原理可以分解为两个小题，事实上本题可以看成是由例6和例8组合并成的。

各写一张贺年卡，先集中起来，

二 知识要点 (一).两个计数原理:

1.分类计数原理:做一件事,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有m 1种不同的方法,在第二类办法中有m 2种不同的方法,…,在第n 类办法中有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N = m 1+ m 2+ m 2+…+ m n 种不同的方法.(分类满足的条件是不重不漏).

2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法,…,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N = m 1× m 2× m 2×…× m n 种不同的方法.(注意分步的标准,既不重步也不漏步).

3.注意:两个原理是解决以后问题的基础,多数的问题在解决的最后,都可以归结到这两个原理上来,特别要注意分步与分类的区别. (二)排列

1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个元素中取出m 个元素的一个排列(有序性是排列的本质).

2.排列数的定义:从n 个元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数,叫做从n 个元素中取出m 个元素的排列数,用符号

m n A 表示.

3.排列数公式:

(1)当m

n A n n n n m =---+ (必须熟记.) (2)当m=n 时,排列称为全排列,排列数为

(1)(2)321!m n A n n n n =--??= .规定0!1=.

(3)排列数公式的另一种形式:

!

()!

m

n n A n m =

-(在计算,化简,证明中用途比较大).

(4)两个性质:①11m

m n n A nA --=;②111m m m

n n n A mA A ---=+.

(三).组合

1.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素并成一组,叫做从n 个元素中取出m 个元素的一个组合(组合中的元素与顺序无关).

2.组合数的定义:从n 个元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数,叫做从n 个元素中取出m 个元素的组合数,用符号m

n C 表示. 3.组合数公式:

(1)基本公式(1)(2)(1)

(1)(2)21

m m

n n m m A n n n n m C A m m m ---+==--? (必须熟记.)

(2)组合数公式的另一种形式:

!

(,*)!()!

m n n C m n n N m n m =

≤∈-(在计算,化简,证明中用途比较大).规定

01n C =.

(3)两个性质:①m

n m n

n C C -=;②1

1m m m n n n C C C -+=+.(两个很重要的公式,一定要记住).

4.排列组合常见问题解题策略: (1).特殊元素优先安排的策略; (2).合理分类与准确分步的策略; (3).排列、组合混合问题先选后排的策略; (4).正难则反、等价转化的策略; (5).相邻问题捆绑处理的策略; (6).不相邻问题插空处理的策略; (7).定序问题除法处理的策略; (8).分排问题直排处理的策略;

(9).“小集团”排列问题中先整体后局部的策略; (10).构造模型的策略. (四)二项式定理

1.二项式定理:一般地,对于任意正整数n ,都有:

011()()n n n r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=++++++∈

这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做

()n

a b +的二项展开式,其中系数

(0,1,2,,)r n C r n = 叫做二项式系数,式中的r n r r n C a b -叫做二项式的通项公式,用1r T +表示,式展开式中的

第r +1项.

2.二项式系数的性质

①对称性:与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即m

n m

n

n C C -=.

②增减性与最大值:如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大.

当n 是偶数时,n +1是奇数,展开式共有n +1项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数最大,最大为2n n

C .

当n 是奇数时,n +1是偶数,展开式共有n +1项,所以展开式有中间两项,并且这两项的二项式系数相等并且最大,最大为1

122n n n

n

C

C

-+=.

③各项二项式系数的和:0

122n n n

n n n C C C C ++++= .

奇数项的二项式系数和等于偶数项的系数和:0

24135

12n n

n n n n n C C C C C C -+++=+++= .

3.展开式中各项的系数和:只需要将变元值令为1,算出值即可.

4.二项展开式中系数最大问题

①由二项式系数性质可知,当项数n 是偶数时,展开式中二项式系数最大的项是中间项,最大为2n n

C ;当n 是奇数时,展开式中二项式系数最大的项为中间两项,最大为1

122n n n

n

C

C

-+=.

②展开式中系数与二项式系数不同,设1r t +是展开式中1r T +项的系数,若1r T +项为系数最大的值,则必有

112,

0,

r r r r t t r n t t +++≥?≤≤?

≥?.由此不等式组,可确定r 的值,从而确定系数最大的项. (五)概率

1.随机事件的概率 (1)基本概念

①随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. ②必然事件:在一定条件下必然要发生的事件. ③不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件.

④基本事件:一次试验连同其中出现的每一个结果称为一个基本事件.

(2)随机事件的概率

①定义:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率m

n

总是接近于某一个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作:P(A).

②必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,所以随机事件的概率0≤P(A)≤1. (3)等可能事件的概率

①一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常一次试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且每一个结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是

1n .如果某个事件A 的结果有m 个,那么事件A 的概率为()m P A n

=. ②求等可能事件的基本步骤:A.算出基本事件的总个数n ;B.算出事件A 中包含基本事件的个数m ;C.算出事件A 的概率,()m

P A n

=

. 2.互斥事件有一个发生的概率 (1)基本概念:

①互斥事件:事件A 与B 不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件. ②对立事件:其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件,事件A 的对立事件记作A .

③两个对立事件一定是互斥事件,反之两个互斥事件不一定是对立事件;两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件;两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件. (2)事件A+B 的意义及其概率运算公式

①若事件A,B 互斥,事件A+B 的含义是A,B 中有一个发生且只有一个发生,只有对于互斥事件才能运用概率运算的加法公式.

②如果事件A,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ).

③如果事件A 1,A 2,A 3,…,A n 彼此互斥,则P (A 1+A 2+…+A n )= P (A 1)+P (A 2) +…+P (A n ). ④对立事件A 与

A 的概率和等于1,即()()()1()1()P A P A P A A P A P A +=+=?=-.

3.相互独立事件同时发生的概率 (1)相关概念:

①相互独立事件:如果事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响,那么这样的两个事件叫做相互独立事件.

②性质:如果事件A 与B 相互独立,那么

,,A B A A B 与与B 与也都是相互独立的.

③事件A ·B :表示相互独立事件A 与B 同时发生的事件.

(2)两个相互独立事件A 与B 同时发生的概率公式: P (A ·B )=P (A )·P (B ).

(3)推广:如果事件A 1,A 2,A 3,…,A n 相互独立,则P (A 1·A 2·…·A n )= P (A 1)·P (A 2)·…·P (A n ). (4)两个相互独立事件A 与B 至少有一个发生的概率:()1()P A B P A B +=-?. (5)相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤: ①确定诸事件是相互独立的; ②确定诸事件会同时发生;

③先求每个事件发生的概率,再求其积. 4.独立重复试验

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率记为()n P k ,设在一次试验中事件A 发生的概率是P ,则

()(1)k k

n k n n P k C P P -=-.