第八章 二元一次方程组知识点及练习题及答案

第八章 二元一次方程组知识点及练习题及答案

一、选择题

1．已知1,

2

x y =??=?是二元一次方程24x ay +=的一组解，则a 的值为（ ）

A ．2

B ．2-

C ．1

D ．1-

2．某小区准备新建 50 个停车位，已知新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位共需 0.6万元；新建 3 个地上停车位和 2 个地下停车位共需 1.3 万元，求该小区新建 1 个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？设新建 1 个地上停车位需要 x 万元，新建 1 个地下停车位需 y 万元，列二元一次方程组得（ ）

A ．632 1.3x y x y +=??+=?

B ．6

23 1.3x y x y +=??+=?

C ．0.6

32 1.3x y x y +=??+=?

D ．6

3213x y x y +=??+=?

3．已知2

2x y =-??=?

是方程kx +2y ＝﹣2的解，则k 的值为（ ）

A ．﹣3

B ．3

C ．5

D ．﹣5

4．已知关于x 、y 的二元一次方程组356

310

x y x ky +=??

+=?给出下列结论：①当5k =时，此方程

组无解；②若此方程组的解也是方程61516x y +=的解，则10k =；③无论整数k 取何值，此方程组一定无整数解(x 、y 均为整数)，其中正确的是( ) A ．①②③ B ．①③ C ．②③ D ．①② 5．已知10a b +=，6a b -=，则22a b -的值是（ ）

A ．12

B ．60

C ．60-

D ．12-

6．端午节前夕，某超市用1680元购进A ，B 两种商品共60，其中A 型商品每件24元，B 型商品每件36元.设购买A 型商品x 件、B 型商品y 件，依题意列方程组正确的是( )

A ．6036241680x y x y +=??+=?

B ．60

24361680x y x y +=??+=?

C ．3624601680x y x y +=??+=?

D ．2436601680x y x y +=??+=?

7．甲、乙两人同求方程ax -by =7的整数解，甲正确地求出一个解为1

1x y =??=-?

，乙把ax -by =7看成ax -by =1，求得一个解为12x y =??=?，则a ，b 的值分别为( )

A ．2

5a b =??=?

B ．5

2a b =??=?

C ．35a b =??=?

D ．53a b =??=?

8．已知关于x ，y 的二元一次方程组231ax by ax by +=??-=?的解为1

1x y =??=-?

，则a ﹣2b 的值是

（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．3 D ．﹣3 9．由方程组71x m y m +??-?

＝＝可得出x 与y 的关系式是（ ）

A ．x+y=8

B ．x+y=1

C ．x+y=-1

D ．x+y=-8

10．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只 雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为( )

A ．56156x y x y y x +=??-=-?

B ．65156x y x y y x +=??+=+?

C ．56145x y x y y x +=??+=+?

D ．651

45x y x y y x +=??-=-?

二、填空题

11．三位先生A 、B 、C 带着他们的妻子a 、b 、c 到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A 比b 多买9件商品，先生B 比a 多买7件商品．则先生A 的妻子是__________．

12．已知对任意a b ，关于x y ，的三元一次方程()()a b x a b y a b --+=+只有一组公共解，求这个方程的公共解_____________．

13．如图，在大长方形ABCD 中，放入六个相同的小长方形，11BC =，7DE =，则图中阴影部分面积是____．

14．某单位现要组织其市场和生产部的员工游览该公园，门票价格如下： 购票人数 1～50 51～100 100以上 门票价格

13元/人

11元/人

9元/人

如果按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1245元；如果两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为945元．那么该公司这两个部的人数之差的绝对值为_____．

15．2018年10月21日，重庆市第八届中小学艺术工作坊在渝北区空港新城小学体育馆开幕，来自全重庆市各个区县共二十多个工作坊集中展示了自己的艺术特色．组委会准备为现场展示的参赛选手购买三种纪念品，其中甲纪念品5元/件，乙纪念品7元/件，丙纪念

品10元/件．要求购买乙纪念品数量是丙纪念品数量的2倍，总费用为346元．若使购买的纪念品总数最多，则应购买纪念品共_____件．

16．已知a 、b 、c 分别是一个三位数的百位、十位、个位上的数字，且a 、b 、c 满足（|a ﹣2|+|a ﹣4|）（|b |+|b ﹣3|）（|c ﹣1|+|c ﹣6|）＝60，则这个三位数的最大值为_____． 17．在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收人，经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4:3:5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的9

16

种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的

19

40

．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3:4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是____． 18．若3x －5y －z ＝8，请用含x ，y 的代数式表示z ，则z ＝________．

19．a 与b 互为相反数，且4a b -=，那么21

1

a a

b a ab -+++=_______．

20．关于x ，y 的二元一次方程组5323

x y x y a +=??+=?

的解是正整数，试确定整数a 的值为

_________________.

三、解答题

21．用如图1所示的,A B 两种纸板作侧面或底面制作如图2所示的甲、乙两种长方体形状的无盖纸盒．

（1）现有A 纸板70张，B 型纸板160张，要求恰好用完所有纸板，问可制作甲、乙两种无盖纸盒各多少个？

（2）若现仓库A 型纸板较为充足，B 型纸板只有30张，根据现有的纸板最多可以制作多少个如图2所示的无盖纸盒（甲、乙两种都有，要求B 型纸板用完）

（3）经测量发现B 型纸板的长是宽的2倍(即b=2a)，若仓库有6个丙型的无盖大纸盒（长宽高分别为2,,2a a a ），现将6个丙型无盖大纸盒经过拆剪制作成甲、乙两种型号的纸盒，可以各做多少个（假设没有边角消耗，没有余料）？

22．甲从A 地出发步行到B 地，乙同时从B 地步行出发至A 地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a 千米/小时，乙刚出发的速度为b 千米/小时．

（1）A 、B 两地的距离可以表示为 千米（用含a ，b 的代数式表示）； （2）甲从A 到B 所用的时间是： 小时（用含a ，b 的代数式表示）；

乙从B 到A 所用的时间是： 小时（用含a ，b 的代数式表示）．

（3）若当甲到达B 地后立刻按原路向A 返行，当乙到达A 地后也立刻按原路向B 地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB 两地的距离为多少？ 23．规定:二元一次方程ax by c +=有无数组解，每组解记为(),P x y ,称(),P x y 为亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题： (1) 已知()()()1,2,4,3,3,1A B C ---，则是隐线326x y +=的亮点的是 ; (2) 设()10,2,1,3P Q ??-- ???

是隐线26t x hy +=的两个亮点，求方程

()

22

144265t x t h y ??+-++= ???

中,x y 的最小的正整数解; (3)已知,m n 是实数， 且27m n +=,若(

)

,P m n 是隐线23x y s -=的一个亮点，求

隐线s 中的最大值和最小值的和. 24．某公园的门票价格如下表所示：

某中学七年级(1)、(2)两个班计划去游览该公园，其中(I)班的人数较少，不足 50 人；(2) 班人数略多，有 50 多人．如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付 1172 元，如 果两个班联合起来，作为一个团体购票，则需付 1078 元． (1)列方程求出两个班各有多少学生；

(2)如果两个班联合起来买票，是否可以买单价为 9 元的票？你有什么省钱的方法来帮 他们买票呢？请给出最省钱的方案． 25．先阅读材料再回答问题. 对三个数x ，y ，z ，规定{},,3

x y z

M x y z ++=；{}min ,,x y z 表示x,y,z 这三个数中最小的数，如{}1234

1,2,333

M -++-=

=，{}min 1,2,31-=- 请用以上材料解决下列问题：

（1）若{}min 2,22,422x x +-=,求x 的取值范围； （2）①若{}{}21,2min 2,1,2M x x x x ，+=+，求x 的值；

②猜想：若{}{},,min ,,M a b c a b c =，那么a ，b ，c 大小关系如何？请直接写出结论； ③问：是否存在非负整数a ，b ，c 使

{}{}27,321,41min 27,321,41M a b a b c a b a b c -++++=-++++等式成立？若存

在，请求出a ，b ，c 的值；若不存在，请说明理由.

26．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人:他们经过培训后上岗,也

能独立进行电动汽车的安装．生产开始后,调研部门发现:1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？

(2)如果工厂招聘新工人若干名(新工人人数少于10人)和抽调的熟练工合作,刚好能完成一年的安装任务,那么工厂有哪几种新工人的招聘方案?

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

把x 与y 的值代入方程计算即可求出a 的值． 【详解】

把1,2x y =??=?

代入方程24x ay +=，得224a +=，

解得1a =. 故选C. 【点睛】

此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

2．C

解析：C 【分析】

根据“新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元”以及“新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元”分别列出等式，由此进一步即可得出相应的方程组. 【详解】

由题意得：新建1个地上停车位需要x 万元，新建1个地下停车位需y 万元， ∵新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元， ∴0.6x

y

，

又∵新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元， ∴32 1.3x y +=， ∴可列方程组为：0.6

32 1.3x y x y +=??+=?

，

故选：C . 【点睛】

本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意正确找出相应的等量关系是解题关

键.

3．B

解析：B 【分析】 把2

2x y =-??

=?

代入是方程kx +2y ＝﹣2得到关于k 的方程求解即可. 【详解】

解：把22x y =-??=?

代入方程得：﹣2k +4＝﹣2，

解得：k ＝3， 故选B ． 【点睛】

本题主要考查二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．

4．A

解析：A 【分析】

根据二元一次方程组的解法逐个判断即可． 【详解】

当5k =时，方程组为356

3510x y x y +=??

+=?

，此时方程组无解

∴结论①正确

由题意，解方程组35661516x y x y +=??+=?得：23

45x y ?

=????=??

把23

x =

，45y =代入310x ky +=得24

31035k ?+=

解得10k =，则结论②正确

解方程组356310x y x ky +=??+=?得：202315

45x k y k ?

=-??-??=?-?

又

k 为整数

x 、y 不能均为整数

∴结论③正确

综上，正确的结论是①②③ 故选：A ．

本题考查了二元一次方程组的解与解法，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．

5．B

解析：B 【分析】

先利用加减消元法解方程组10

6a b a b +=??-=?

可得a 、b 的值，再代入求值即可得．

【详解】

由题意得：10

6

a b a b +=??

-=?，

解得82a b =??=?

，

则22222864460a b -==-=-， 故选：B ． 【点睛】

本题考查了解二元一次方程组、有理数的乘方和减法运算，掌握方程组的解法是解题关键．

6．B

解析：B 【分析】

根据A 、B 两种商品共60件以及用1680元购进A 、B 两种商品,分别得出等式组成方程组即可． 【详解】

解：设购买A 型商品x 件、B 型商品y 件，依题意列方程组：

60

24361680x y x y +=??

+=?

． 故选B.． 【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后再列出方程组．

7．B

解析：B 【解析】

把甲的解代入ax -by =7可得a +b =7，把乙的解代入可得a -2b =1，由它们构成方程组可得

721a b a b +=??-=?，解方程组得5

2a b =??

=?，故选B ． 8．B

【详解】

把11x y =??=-?代入方程组231ax by ax by +=??-=?得：23

1a b a b -=??

+=?

， 解得：43

13a b ?

=???

?=-??

， 所以a?2b=43?2×(1

3

-)=2. 故选B.

9．A

解析：A 【分析】

将第二个方程代入第一个方程消去m 即可得． 【详解】

71x m y m +??

-?

＝①

＝②，将②代入①，得：x+y-1=7，则x+y=8，故选A ． 【点睛】

本题考查了解一元一次方程和二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

10．C

解析：C 【分析】

根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】

根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y ＝1

(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y ＝5y+x, 故选C. 【点睛】

此题考查二元一次方程组应用，解题关键在于列出方程组

二、填空题

11．【分析】

设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且与有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y

的二元一次方程组，求出x 、y 的值，再找出符合和 解析：c

【分析】

设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且x y +与x y -有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y 的值，再找出符合9x y -=和7x y -=的情况即可进行解答． 【详解】

设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，则钱数为2x ，妻子买了y 件商品，则钱数为2

y ，

依题意有x 2-y 2=48，即()()48x y x y +-=， ∵x 、y 都是正整数，且x y +与x y -有相同的奇偶性， 又∵x y x y +>-，48=24×2=12×4=8×6， ∴242x y x y +=??

-=?或124x y x y +=??-=?或8

6x y x y +=??-=?

，

解得13x =，11y =或8x =，4y =或7x =，1y =， 符合9x y -=的只有一种，可见A 买了13件商品，b 买了4件， 同时符合7x y -=的也只有一种，可知B 买了8件，a 买了1件， ∴C 买了7件，c 买了11件．

由此可知三对夫妻的组合是：A 、c ；B 、b ；C 、a ． 故答案为：c ． 【点睛】

本题考查了不定方程组的解及数的奇偶性，根据题意列出关于x 、y 的不定方程是解答此题的关键．

12．【分析】

先把原方程化为的形式，再分别令a ，b 的系数为0，即可求出答案． 【详解】 解：由已知得： ∴

两式相加得：，即， 把代入得到，， 故此方程组的解为：． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考

解析：0

1x y =??=-?

【分析】

先把原方程化为(1)(1)0a x y b x y ---++=的形式，再分别令a ，b 的系数为0，即可求出答案． 【详解】

解：由已知得：(1)(1)0a x y b x y ---++=

∴1010x y x y --=??++=?

两式相加得：20x =，即0x =， 把0x =代入10x y --=得到，1y =-， 故此方程组的解为：0

1x y =??

=-?

． 故答案为：01x y =??=-?

． 【点睛】

本题主要考查的知识点是三元一次方程组的问题，运用三元一次方程组的解法的知识进行计算，即可解答．

13．51 【分析】

先设小长方形的长、宽分别为、，由题意列方程组，解得小长方形的长、宽，由可求得，再根据，可解阴影面积. 【详解】

解：设小长方形的长、宽分别为、， 依题意得： ，即， 解得：， ， ，

解析：51 【分析】

先设小长方形的长、宽分别为x 、y ，由题意列方程组，解得小长方形的长、宽，由

DC DE EC =+可求得DC ，再根据6ABCD S S S =-?阴影小长方形，可解阴影面积.

【详解】

解：设小长方形的长、宽分别为x 、y ， 依题意得：

31127y x y x y +=??

+-=?，即3117x y x y +=??-=?

，

解得：81x y =??=?

，

818S

∴=?=小长方形

，

729DC DE EC ∴=+=+=， 11BC =，

11999ABCD S BC DC ∴=?=?=，

6996851ABCD S S S ∴=-?=-?=阴影小长方形，

本题的答案为51. 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的实际应用，利用了求面积中一种常用的方法割补法，面积总量不变，扣掉较容易求出的图形面积，可得解.

14．15 【分析】

根据945不能被11和13整除，能被9整除，可得两个部门的人数之和为105；再根据1245不能被11和13整除可知两个部门的人数分别在1～50和51～100的范围，结合门票价格和人数

解析：15 【分析】

根据945不能被11和13整除，能被9整除，可得两个部门的人数之和为105；再根据1245不能被11和13整除可知两个部门的人数分别在1～50和51～100的范围，结合门票价格和人数之间的关系列出方程组进行求解即可． 【详解】

解：设人数较少的部门有x 人，人数较多的部门有y 人， ∵945不能被11和13整除且945÷9=105（人）， ∴两个部门的人数之和为105（人）， ∵1245不能被11和13整除， ∴1≤x ≤50，51≤y ≤100，

依题意，得：105

13111245x y x y +=??+=?，

解得：45

60x y =??=?

，

∴15-=x y ， 故答案为：15． 【点睛】

本题考查了函数的应用问题和学生分析问题的能力，结合门票和人数之间的关系，建立方程是解题的关键．

15．62

【分析】

设购买甲纪念品x件，丙纪念品y件，则购进乙纪念品2y件，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可求出x，y的值，进而可得出（x+y+2y）

解析：62

【分析】

设购买甲纪念品x件，丙纪念品y件，则购进乙纪念品2y件，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可求出x，y的值，进而可得出（x+y+2y）的值，取其最大值即可得出答案.

【详解】

设购买甲纪念品x件，丙纪念品y件，则购进乙纪念品2y件，

依题意，得：5x+7×2y+10y＝346，

∴x＝34624

5

y

-

，

∵x，y均为非负整数，

∴346﹣24y为5的整数倍，∴y的尾数为4或9，

∴

50

4

x

y

=

?

?

=

?

，

26

9

x

y

=

?

?

=

?

，

2

14

x

y

=

?

?

=

?

，

∴x+y+2y＝62或53或44．

∵62＞53＞44，

∴最多可以购买62件纪念品．

故答案为：62．

【点睛】

本题主要考查二元一次方程的实际应用，根据题意，求出x，y的非负整数解，是解题的关键.

16．536

【分析】

由绝对值的性质可得|a﹣2|+|a﹣4|≥2，|b|+|b﹣3|≥3，|c﹣1|+|c﹣6|≥5，因为a、b、c是整数，且(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1

解析：536

【分析】

由绝对值的性质可得|a﹣2|+|a﹣4|≥2，|b|+|b﹣3|≥3，|c﹣1|+|c﹣6|≥5，因为a、b、c是整数，且(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60，分三种情况讨论：①|a﹣2|+|a﹣4|=4，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=5；②|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=6，|c ﹣1|+|c﹣6|=5；③|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=10，求出a、b、c的值，即可得出最大三位数.

【详解】

∵|a﹣2|+|a﹣4|≥2，|b|+|b﹣3|≥3，|c﹣1|+|c﹣6|≥5，

∴(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)≥30.

∵a、b、c是整数，(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60，

∴有三种情况：①|a﹣2|+|a﹣4|=4，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=5；

②|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=6，|c﹣1|+|c﹣6|=5；

③|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=10.

∴要使三位数最大，首先要保证a尽可能大.

当|a﹣2|+|a﹣4|=4时，解得：a=1或a=5；

当|a﹣2|+|a﹣4|=2时，解得：2≤a≤4；

∴a=5.

当a=5时，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=5.

解得：0≤b≤3，1≤c≤6，

∴由a、b、c组成的最大三位数为536.

故答案为：536.

【点睛】

本题考查了三元一次方程、绝对值的意义以及绝对值方程；熟练掌握绝对值的几何意义，利用不等式和数轴解题是关键.

17．3:20

【解析】

【分析】

设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为（x+y），川香已种植面积x、贝母已种植面积x、黄连已种植面积x，依题意列出方程组，用y的代数

解析：3:20

【解析】

【分析】

设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为

（x+y），川香已种植面积1

3

x、贝母已种植面积

1

4

x、黄连已种植面积

5

12

x，依题意列出

方程组，用y的代数式分别表示x、y，然后进行计算即可.

【详解】

解：设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为

（x+y），川香已种植面积1

3

x、贝母已种植面积

1

4

x、黄连已种植面积

5

12

x

依题意可得，

5919

()

121640

191

:3:4 3164

x y x y

x y y z x z

?

+=+

??

???

????

?+--+=

? ?

??

?????

??

?

①

②

由①得

3

2

x y =③

将③代入②得

3

8 z y =

∴贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比=

3

3

8

320

2

y

z

x y y y

==

++

故答案为3：20.

【点睛】

本题考查了三元一次方程组，正确找出等量关系并列出方程是解题的关键18．3x－5y－8

【解析】

【分析】

根据等式的性质,移项即可解题.

【详解】

解：∵3x－5y－z＝8，

∴z=3x－5y－8（移项）.

【点睛】

本题考查了等式的性质,属于简单题,熟练运用移项是解

解析：3x－5y－8

【解析】

【分析】

根据等式的性质,移项即可解题.

【详解】

解：∵3x－5y－z＝8，

∴z=3x－5y－8（移项）.

【点睛】

本题考查了等式的性质,属于简单题,熟练运用移项是解题关键.

19．7或3

【解析】

【分析】

解此题可设b=-a，求出a，b的值，然后代入代数式求解即可．【详解】

由题意得，

解得：或，

当a=2，b=-2时，=7；

当a=-2，b=2时，=3， 故答案为：7或

解析：7或3 【解析】 【分析】

解此题可设b=-a ，求出a ，b 的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】

由题意得0

4a b a b +=??

-=?， 解得：22a b =??=-?或2

2a b =-??

=?

， 当a=2，b=-2时，2a ab 1

a a

b 1

-+++=7；

当a=-2，b=2时，2a ab 1

a a

b 1

-+++=3，

故答案为：7或3. 【点睛】

本题考查了解二元一次方程组以及代数式求值，正确求出a 、b 的值是解题的关键.

20．7或5 【解析】

分析：首先用含a 的代数式分别表示x ，y ，再根据条件二元一次方程组的解为正整数，得到关于a 的不等式组，求出a 的取值范围，再根据a 为整数确定a 的值． 详解： ①-②×3，得 2x=2

解析：7或5 【解析】

分析：首先用含a 的代数式分别表示x ，y ，再根据条件二元一次方程组的解为正整数，得到关于a 的不等式组，求出a 的取值范围，再根据a 为整数确定a 的值．

详解：5323x y x y a +=??

+=?①

② ①-②×3，得 2x=23-3a

解得x=

2332a

- 把x=2332a -代入②得y=

523

2

a -

∵关于x，y的二元一次方程组

5323

x y

x y a

+=

?

?

+=

?

的解是正整数

∴233

2

a

-

＞0，

523

2

a-

＞0

解得2323 53

a

＜＜

即a=5、6、7

∵x、y为正整数

∴a为5或7.

故答案为：5或7.

点睛：本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出关于a的方程．

三、解答题

21．（1）制作甲24个，乙22个．（2）最多可以制作甲，乙纸盒24个．（3）制作甲6个，乙4个．

【分析】

（1）设制作甲x个，乙y个，则需要A，B型号的纸板如下表：

（2）设制作甲m个，乙k个，则需要A，B型号的纸板如下表：

（3）由1个丙型大纸盒可以拆成7块B型纸板，所以6个丙型大纸盒可以拆成42块B型纸板，而制作1个甲纸盒要4块B型纸板，制作1个乙纸盒要4.5块B型纸板，通过列方程求方程的正整数解得到答案．

【详解】

解：（1）设制作甲x个，乙y个，则

34160

270x y x y +=??

+=?

， 解得：24

22x y =??=?

， 即制作甲24个，乙22个． （2）设制作甲m 个，乙k 个，则

23430m k n

m k +=??

+=?

， 消去k 得，4

65

m n =

-， 因为：,m n 为正整数，

所以：10152, 6.63n n m m k k ==????

==????==??

综上，最多可以制作甲，乙纸盒24个． （3）因为1个丙型大纸盒可以拆成7块B 型纸板， 所以6个丙型大纸盒可以拆成42块B 型纸板，

而制作1个甲纸盒要4块B 型纸板，制作1个乙纸盒要4.5块B 型纸板， 设制作甲c 个，乙d 个，则4 4.542c d +=， 因为,c d 为正整数，所以6,4c d ==， 即可以制作甲6个，乙4个． 【点睛】

此题考查了二元一次方程组的应用．二元一次方程（组）的正整数解，解题关键是弄清题意，找出题目蕴含的等量关系，列出方程或方程组解决问题． 22．（1）2（a +b ）；（2）（2+21b a +）；（2+21

a

b +）；（3）36. 【分析】

（1）根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间，即可得出结论； （2）利用时间=路程÷速度结合2小时后第一次相遇，即可得出结论；

（3）设AB 两地的距离为S 千米，根据路程=速度×时间，即可得出关于（a+b ），S 的二元一次方程组（此处将a+b 当成一个整体），解之即可得出结论． 【详解】

（1）A 、B 两地的距离可以表示为2（a +b ）千米． 故答案为：2（a +b ）．

（2）甲乙相遇时，甲已经走了2a 千米，乙已经走了2b 千米， 根据相遇后他们的速度都提高了1千米/小时，得甲还需21b a +小时到达B 地，乙还需21

a

b +小时到达A 地，

所以甲从A 到B 所用的时间为（2+21b a + ）小时，乙从B 到A 所用的时间为（2+21

a

b +）小时． 故答案为：（2+

21b a +）；（2+21

a

b +）． （3）设AB 两地的距离为S 千米，3小时36分钟＝

18

5

小时． 依题意，得： 2()18

2(11)5S a b S a b =+??

?=+++??

， 令x ＝a +b ，则原方程变形为218

2(2)5S x S x =?

?

?=+??

， 解得：18

36

x S =??

=?．

答：AB 两地的距离为36千米． 【点睛】

本题考查了列代数式以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

23．（1）B ；（2）,x y 的最小整数解为10

4

x y =??=?；（3）隐线中s 的最大值和最小值的和

为

72

【分析】

（1）将A,B,C 三点坐标代入方程,方程成立的点即为所求, （2）将P,Q 代入方程,组成方程组求解即可,

（3）将P 代入隐线方程,

27n +=组成方程组,求解方程组的解,再由

()2723147s n n n =--=-即可求解.

【详解】

解：（1）将A,B,C 三点坐标代入方程,只有B 点符合, ∴隐线326x y +=的亮点的是B. （2）将()10,2,1,3P Q ??-- ???

代入隐线方程

得：226163h t h -=??

?-=??

解得253

t h ?=?=-?

代入方程得：5626x y -= ,x y ∴的最小整数解为10

4x y =??=?

（3

）由题意可得27

3n n s

==??

72n =-

72

n ∴=

()2723147s n n n ∴=--=-

21

2

s ∴=

- s ∴的最大值为14，最小值为21

2

-

隐线中s 的最大值和最小值的和为2171422

-= 【点睛】

本题考查了二元一次方程的新定义,二元一次方程与直线的关系,运用了数形结合的思想,理解题意是解题关键.

24．(1)七（1）班有47人，七（2）班有51人;(2) 如果两个班联合起来买票，不可以买单价为9 元的票, 省钱的方法，可以买101张票，多余的作废即可 【解析】 【分析】

（1）由两个班联合起来，作为一个团体购票，则需付 1078 元可知：7

10879=120

9

÷可得票价不是9元，所以两个班的总人数没有超过100人，设七（1）班有x 人，七（2）班有y 人，可列方程组，解方程组即可得答案；（2）如果两班联合起来作为一个团体购票，则每张票11元，省钱的方法，可以买101张票，多余的作废即可。 【详解】

解：（1）∵两个班联合起来，作为一个团体购票，则需付 1078 元 有∵7

10879=120

9

÷可得票价不是9元，所以两个班的总人数没有超过100人， ∴设七（1）班有x 人，七（2）班有y 人，依题意得：

13x+111172111110784751

y x y x y =??

+=?=?∴?

=?

∴七（1）班有47人，七（2）班有51人 （2）因为47+51=98<100

∴如果两个班联合起来买票，不可以买单价为9 元的票

∴省钱的方法，可以买101张票，多余的作废即可。可省：10781019169-?= 【点睛】

熟练掌握二元一次方程组的实际问题是解题的关键。

25．（1）0≤x≤1；（2）①x=1；②a=b=c ；③存在 063a b c =??

=??=?

使等式成立 .

【解析】 【分析】

(1)根据题意可得关于x 的不等式组，解不等式组即可求得答案；

(2)①先求出{}21,21M x x x +=+，，继而根据题意可得{}min 2,1,21x x x +=+，由此可得关于x 的不等式组，求解即可得； ②M{a ，b ，c}=

3a b c ++，如果min{a ，b ，c}=c ，则a ≥c ，b ≥c ，即

3

a b c

++=c ，由此可推导得出a=b=c ，其他情况同理可证，故a=b=c ；

③由②的结果可得关于a 、b 、c 的方程组，由此进行求解即可得. 【详解】 (1)由题意得222

4-22

x x +≥??

≥?，

解得0≤x≤1； (2)①{}21221,213

x x

M x x x ++++=

=+，

{}{}21,2min 2,1,2M x x x x ，+=+

所以{}min 2,1,21x x x +=+ 则有1212x x x +≤??

+≤? 即1

1

x x ≤??≥? 所以x=1

②∵M{a ，b ，c}=

3

a b c

++， 如果min{a ，b ，c}=c ，则a ≥c ，b ≥c ， 则有

3

a b c

++=c ，